UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO-DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO
UMA SOLUÇÃO HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DO CARTEIRO
CHINÊS NUM GRAFO MISTO COM APLICAÇÃO Ã DISTRIBUIÇÃO
DE BENS E SERVIÇOS PÚBLICOS
/ AM
ANTONIO DOS SANTOS
CAMPINA GRANDE - PARAÍBA
JUNHO - 1981
UMA SOLUÇÃO HEURÍSTICA PARA 0 PROBLEMA DO CARTEIRO CHINÊS NUM GRAFO MISTO COM APLICAÇÃO Ã DISTRIBUIÇÃO
DE BENS E SERVIÇOS PÚBLICOS
ANTONIO DOS SANTOS
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DO CURSO DE PÕS-GRA DUAÇÃO EM SISTEMAS E COMPUTAÇÃO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS ( M . S c . ) . A p r o v a d a com distinção p o r U l r i c h S e i p - Ph.D P r e s i d e n t e
-1
A n t o n i o / I l d e f o n s o de A l b u q u e r q u e M e l o - Ph.D e x a m i n a d o r —> E v i l ^ o n de Araújo B a r r o s - M.Sc E x a m i n a d o r -CAMPINA GRANDEESTADO DA PARAÍBA - BRASIL JUNHO - 1 9 8 1
A meus p a i s
A m i n h a e s p o s a A m i n h a s f i l h a s
*
RESUMO
N e s t e t r a b a l h o são e s t a b e l e c i d o s v a r i a n t e s de a l g o r i t m o s heurísticos de Edmonds e J o h n s o n e de F r e d e r i c k s o n , p a r a o p r o b l e m a do c a r t e i r o chinês num g r a f o m i s t o . E s t a s v a r i a n t e s podem s e r a p l i c a d a s p a r a o p r o b l e m a de e n c o n t r a r r o t a s p a r a distribuição de b e n s e serviços públicos. Como aplicação f o i u s a d a a c o l e t a de l i x o da c i d a d e de A r a c a j u , S e r g i p e .
0 m a i s i m p o r t a n t e r e s u l t a d o do t r a b a l h o ê que e s t a s v a r i a n t e s têm m e l h o r desempenho com relação a aplicação em c o m p u t a d o r e s que os o r i g i n a i s de Edmonds e J o h n s o n e de F r e d e r i c k s o n , e que a a n a l i s e do p i o r c a s o m o s t r a que a estimação de F r e d e r i c k s o n ,
i s t o ê, que o c u s t o de uma r o t a e n c o n t r a d a p e l o u s o do s e u a l g o r i t ^ mo ê menor ou i g u a l a 5/3 do c u s t o de uma r o t a õtima, ê também vã
l i d a p a r a a v a r i a n t e a q u i . a p r e s e n t a d a .
Também p o d e s e r e s p e r a d o que em c a d a c a s o a v a r i a n t e , e s t u d a d a a; r e s e r i t e um r e s u l t a d o com c u s t o menor ou i g u a l ao do re_ s u l t a d o o b t i d o p e l a aplicação dos a l g o r i t m o s o r i g i n a i s . I s t o f o i v e r i f i c a d o em t o d o s os e x e m p l o s u s a d o s d u r a n t e o d e s e n v o l v i m e n t o d e s t e t r a b a l h o .
111
ABSTRACT
We e s t a b l i s h v a r i a n t s o f t h e h e u r i s t i c a l g o r i t h m s o f Edmonds and J o h n s o n and o f F r e d e r i c k s o n f o r t h e c h i n e s e p o s t m a n
p r o b l e m w i t h r e s p e c t t o m i x e d g r a p h s . T h e s e v a r i a n t s may be u s e d t o f i n d r o u t e s f o r t h e d i s t r i b u t i o n o f g o o d s and p u b l i c s e r v i c e s . We h a v e s e l e c t e d t h e w a s t e c o l l e c t i o n s e r v i c e d e p a r t m e n t o f t h e çity o f A r a c a j u , S e r g i p e , f o r t e s t p u r p o s e s . The m o s t i m p o r t a n t r e s u l t o f t h e w o r k i s t h a t o u r v a r i a n t s a r e m o r e súitable f o r a p p l i c a t i o n s u s i n g c o m p u t e r s t h a n t h e o r i g i n a l a l g o r i t h m s o f Edmonds and J o h n s o n and o f F r e d e r i c k s o n T h i s , b e c a u s e c o m p u t e r t i m e i n a p p l i c a t i o n w i l l be s h o r t e r a n d a w o r s t c a s e a n a l y s i s shows t h a t t h e e s t i m a t e o f F r e d e r i c k s o n , \ ^ h i c h s t a t e s t h a t t h e c o s t o f a . r o u t e f o u n d b y u s i n g h i s a l g o r i t h m i s l e s s o r e q u a l t o 5/3 - t i m e s t h e c o s t o f an o p t i m a l r o u t e , i s a l s o v a l i d f o r t h e v a r i a n t g i v e n h e r e . I t may be a l s o e x p e c t e d t h a t o u r v a r i a n t , w h e n e v e a p p l A e d , p r e s e n t s a r e s u l t w i t h a r o u t e c o s t a l w a y s s m a l l e r o r e q u a l t o t h e one o b s t a i n e d b y a p p l y i n g t h e o r i g i n a l a l g o r i t h m s . T h i s c o u l d a t l e a s t be v e r i f i e d w i t h r e s p e c t t o a l i t h e e x a m p l e s u s e d w h i l e d e v e l o p i n g t h i s t h e s i s .
A G R A D E C I M E N T O S Agradeço s i n c e r a m e n t e a t o d o s a q u e l e s q u e d i r e t a o u i n d i r e t a m e n t e contribuíram p a r a a realização d e s t e t r a b a l h o e em p a r t i _ c u l a r : Aos P r o f e s s o r e s D r . U l r i c h S e i p e D r . P e t e r J o a c h i m S i e g f r i e d B r u c k e r , p e l a orientação e pe l a s v a l i o s a s contribuições d u r a n t e t o d o o d e s e n v o l v i m e n t o do t r a b a l h o . Aos P r o f e s s o r e s D r . A n t o n i o I l d e f o n s o de A l b u q u e r q u e M e l o e o M e s t r e E v i l s . o n de Araújo B a r r o s p e l a s sugestões a p r e s e n t a d a s n a formulação f i _ n a l do t r a b a l h o .
Aos P r o f e s s o r e s José N o g u e i r a F o n t e s , L a o n t e Gama da S i l _ v a , J o u b e r t o Uchõa de Mendonça e José Au g u s t o Machado de A l m e i d a , responsáveis pe_ l a m i n h a e n t r a d a no magistério. Aos A m i g o s J a n i r a A l v e s L i m a , A l e x a n d r e G u i l h e r m e A g u i a r P i e t s c h e J o r g e M o t a p e l a a m i z a d e e a p o i o d e m o n s t r a d o s d u r a n t e t o d o o decor_ r e r do c u r s o . A t o d a e q u i p e do Núcleo de P r o c e s s a m e n t o de Dados p e l o a p o i o na implementação d o s a l g o r i t m o s .
A L o j a Maçónica C o t i n g u i b a , p r i n c i p a l m e n t e aos irmãos Car l o s S a t l e r , José F r a n c i s c o da R o c h a , F r a n c i s c o M o u r a e E d v a l d o Goes p e l a a m i z a d e e a p o i o n a s h o r a s , difíceis .
Í N D I C E
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO 0 1 CAPÍTULO I I - CONCEITOS FUNDAMENTAIS SOBRE GRAFOS 03
2.1 - G r a f o não d i r e c i o n a d o 03 2.2 - G r a f o d i r e c i o n a d o 04 2.3 - G r a f o m i s t o 04 2.3.1 - G r a u de um no 04 2.3.2 - C a m i n h o , C i c l o , R o t a e C a d e i a •. . 05 2.3.3 - G r a f o c o n e x o 05 2.3.4 - G r a f o p l a n a r 06 2.3.^ - G r a f o v a l o r a d o 06 2.3.6 - Representação m a t r i c i a l 06 2.4 - Formulação do p r o b l e m a 08
CAPÍTULO I I I - ALGORITMOS AUXILIARES 09 3.1 - Distância e n t r e n o s 09 3.1.1 - Definições 09 3.1.2 - A l g o r i t m o de F l o y d 10 3.1.3 - A l g o r i t m o de D i j k s t r a 1 1 3.2 - F l u x o g e r a i s com c u s t o s mínimos 1 1 3.2.1 - Formulação do p r o b l e m a de f l u x o s como um p r o b l e m a l i n e a r 1 1 3.2.2 - E s t a b e l e c i m e n t o do p r o b l e m a d u a l 13 3.2.3 - Conexão e n t r e o p r o b l e m a p r i m a i e o d u a l 14 3.2.4 - A l g o r i t m o de F o r d - F u l k e r s o n .... 19 3.3 - Casamento num g ; a f o c o m p l e t o 20
v i
3.3.1 - Formulação do p r o b l e m a 20 3.3.2 - A l g o r i t m o de D e r i g s 22 CAPÍTULO I V - VARIAÇÕES EM GRAFOS MISTOS '. 24
4.1 - Definições 24 4.2 - Variação e u l e r i a n a 25
4.3 •- Formulação do p r o b l e m a do c a r t e i r o c h i _
nês como uma variação 26
t
4.4 - A l g o r i t m o GP-variação m i n i m a l 26 4.5 - Variação G r a u de e n t r a d a i g u a l a g r a u de . saída 27 4.5.1 - Definições 27 4.5.2 - A l g o r i t m o ES-variação m i n i m a l .. 29 4.6 - E x e m p l o s 30 CAPÍTULO V - ALGORITMOS APROXIMATIVOS 355.1 - Conceituação . 35 5.2 - A l g o r i t m o MIXED I A 36 5.3 - A l g o r i t m o MIXED 2A 39 5.4 - A l g o r i t m o MIXED A 4 2 ^ 5.5 - A n a l i s e do p i o r c a s o do MIXED A 42 'CAPÍTULO V I - APLICAÇÕES 46 CAPÍTULO V I I - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES V 52
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
O p r o b l e m a do c a r t e i r o chinês f o i p r o p o s t o p e l a p r i _ m e i r a v e z p o r M e i - K o JjL~J , n o s s e g u i n t e s t e r m o s : t o d o s os ramos num g r a f o c o n e x o não d i r e c i o n a d o d e v e r i a m e s t a r incluídos no m i n i mo uma v e z na r o t a de c u s t o mínimo. E s t e p r o b l e m a f o i r e s o l v i d o de
f o r m a e f i c i e n t e ( p o l i n o m i a l m e n t e ) p o r Edmonds (~2^]. D e p o i s , Edmonds e J o h n s o n |j5 J m o s t r a r a m que se num g r a f o d i r e c i o n a d o e x i s t i r uma r o t a , ê também possível e n c o n t r a r uma r o t a de c u s t o mínimo, u s a n d o um a l g o r i t m o p o l i n o m i a l e f i c i e n t e .
A p e s a r das soluções e f i c i e n t e s p a r a o p r o b l e m a do c a r t e i r o chinês n o s c a s o s de g r a f o s d i r e c i o n a d o s e não d i r e c i o n a d o s , e s t e p r o b l e m a c o n t i n u a sem uma solução e f i c i e n t e no c a s o ge r a l de g r a f o s m i s t o s .
P a p a d i m i t r i o u £ 4 J m o s t r o u que o p r o b l e m a do c a r t e i r o chinês num g r a f o m i s t o p e r t e n c e a uma c l a s s e de p r o b l e m a s p a r a os q u a i s a i n d a não se sabe se e x i s t e m ou não a l g o r i t m o s p o l i n o m i a i s p a r a resolvê-los. M a i s p r e c i s a m e n t e , P a p a d i m i t r i o u m o s t r o u que o p r o b l e m a do c a r t e i r o chinês num g r a f o m i s t o é e q u i v a l e n t e aos prp_ b l e m a s do c a i x e i r o v i a j a n t e , da atribuição quadrática, da a l o c a ção, e t c . A c l a s s e de equivalência d e f i n i d a p o r e s t e s p r o b l e m a s ê chamada a c l a s s e . d o s p r o b l e m a s N P - C o m p l e t e .
Edmonds. e J o h n s o n a p r e s e n t a r a m um a l g o r i t m o a p r o x i m a t i v o p a r a o p r o b l e m a do c a r t e i r o chinês num g r a f o m i s t o , mas i não
•
.-0 2
f i z e r a m a análise do p i o r c a s o . F r e d e r i c k s o n [ 5 ] f e z e s t a a n a l i s e e m o s t r o u que a razão e n t r e o c u s t o de uma r o t a g e r a d a p e l o a l g o r i t m o e o c u s t o de uma r o t a õtima ê m e n o r ou i g u a l a 2 . . F r e d e r i c k s o n j j Q f e z a l g u m a s modificações no a l g o r i t m o de Edmonds e J o h n s o n e c o m b i n a n d o os s e u s r e s u l t a d o s com um o u t r o a l g o r i t m o m o s t r o u que a razão e n t r e uma solução a s s i m o b t i d a e a solução õtima ê m e n o r
ou i g u a l a 5 / 3 . * O p r o b l e m a p r i n c i p a l d e s t e e s t u d o e o e s t a b e l e c i m e n
t o de a l g o r i t m o s m o d i f i c a d o s d o s de Edmonds e J o h n s o n e de F r e d e r i c k s o n , p a r a e n c o n t r a r uma r o t a (com o menor c u s t o possível) p a r a a c o l e t a de l i x o u r b a n o em c i d a d e s de médio e g r a n d e p o r t e . P a r a e f e i t o de t e s t e d o s a l g o r i t m o s f o r a m u t i l i z a d o s , n e s t e t r a b a l h o , os d a d o s r e f e r e n t e s à c i d a d e de A r a c a j u , S e r g i p e , t e n d o em v i s t a a f a c i l i d a d e do a u t o r , de a c e s s o às informações. O p r o b l e m a é o b v i a m e n t e do t i p o m i s t o p l a n a r , onde os c r u z a m e n t o s e n t r e r u a s r e p r e s e n tam os nos e os s e g m e n t o s de r u a s e n t r e c r u z a m e n t o s os a r c o s ( r e s _ p e c t i v a m e n t e r a m o s ) do g r a f o c o r r e s p o n d e n t e . O a l g o r i t m o e s t a b e l e c i d o n e s t e t r a b a l h o p o d e s e r a p l i c a d o no c a s o g e r a l de g r a f o s m i s t o s e a p r e s e n t a a mesma razão e n t r e a solução e n c o n t r a d a e a solução õtima, como o a l g o r i t m o de F r e d e r i c k s o n , i s t o é: no p i o r c a s o o b t e m o s a razão 5 / 3 .
V a l e s a l i e n t a r q u e a c o l e t a de l i x o em m u i t a s d a s g r a n d e s c i d a d e s b r a s i l e i r a s não é f e i t a de f o r m a e f i c i e n t e e b a r a t a . 0 s i s t e m a u s a d o até a g o r a é o s e g u i n t e : a ãrea da c i d a d e é d i _ v i d i d a em um número de regiões de modo que c a d a uma d e s s a s regiões pode s e r s e r v i d a p o r um veículo c o l e t o r e a r o t a p a r a a c o l e t a é
f e i t a e m p i r i c a m e n t e , no c a s o de A r a c a j u , f i c a à e s c o l h a do m o t o r i s ^ t a . £ c l a r o que t a l s i s t e m a sõ p o d e r e s u l t a r em c u s t o s e l e v a d o r .
A n t e s do e s t a b e l e c i m e n t o dos a l g o r i t m o s m o d i f i c a d o s nos .:apítulos 4 e 5, são d e f i n i d o s no capítulo 2 os e l e m e n t o s ne cessãrios p a r a o d e s e n v o l v i m e n t o d e s s e s a l g o r i t m o s , e no capítulo
3 são e s t u d a d o s e a p r e s e n t a d o s a l g o r i t m o s a u x i l i a r e s que são u s a
dos como s u b r o u t i n a s , n a implementação e c o n s e q u e n t e m e n t e n a a p l i _ cação.
No capítulo 2, as definições f o r a m dadas p a r t i n d o do c a s o p a r t i c u l a r p a r a o g e r a l . E s p e r a - s e com i s t o t o r n a r m a i s fãcil a l e i t u r a e compreensão-dos e l e m e n t o s a l i d e f i n i d o s .
1
i
CAPÍTULO I I
CONCEITOS FUNDAMENTAIS SOBRE GRAFOS
2.1 GRAFO NÃO'DIRECIONADO
D e f i n e - s e Uffl g?'âfd nãõ d i r e c i o n a d o G como s e n d o o p a r (N,E) com N = {!,«*,, n} c I um s u b c o n j u n t o d o s p a r e s não o r d £ n a d o s de e l e m e n t o s âz£©f@nt@§ dé N. Os e l e m e n t o s de N são chamados n o s o u vértices e o s elèmêfttõs âè E r a m o s , U s a - s e a notação { i , j } p a r a d e s i g n a r o p a r n a d o r d e n a d o formado- p e l o s . e l e m e n t o s i £ N e j £ N .
Um g r a f o flâô difèciõfiâdô é chamado c o m p l e t o s e c a d a p a r não o r i e n t a d o de nõ§ d i f e r e n t e s " dè N r e p r e s e n t a um r a m o .
Pa-ra f a c i l i t a r " á noção d e g r a f o serã u s a d o também a representação p o r d i a g r a m a s como
segue;-E x e m p l o 1 G = (N,E) N = { 1 , 2 , 3 , 4 }
E = { { 1 , 2 } , { 1 , 3 } { 2 , 3 } , { 2 , 4 } }
Espera-sé qué â correspondência e n t r e o g r a f o G = (N,E) e a s u a f o r m a diagramãtica s e j a e v i d e n t e . Ê c l a r o que o
04
2.2 GRAFO DIRECIONADO
Um g r a f o d i r e c i o n a d o G ê um p a r (N,A)
com-N =
{ 1 , . . . ,
n } e A um s u b c o n j u n t o d o s p a r e s o r d e n a d o s de e l e m e n t o sd i s t i n t o s de N. Os e l e m e n t o s de N são chamados vértices o u n o s e os e l e m e n t o s de A a r c o s . U s a - s e a notação ( i , j ) p a r a d e s i g n a r o a r co d i r e c i o n a d o de i € N p a r a j £ N e d i z - s e que i é a s u a o r i g e m ou s e u no i n i c i a l e / a s u a e x t r e m i d a d e o u s e u l n o t e r m i n a l . E x e m p l o 2 G = (N, A) N = { 1 , 2 , 3 , 4 } A = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) ( 3 , 2 ) G ( 4 , 2 ) } 2.3 GRAFO MISTO
Um g r a f o m i s t o G é uma t r i p l a (N,E,A) com
N = { i , . . . , n } , . E um s u b c o n j u n t o d o s p a r e s não o r d e n a d o s d o s e l e m e n t o s d i s t i n t o s de N e A um s u b c o n j u n t o d o s p a r e s o r d e n a d o s d o s e l e m e n t o s d i s t i n t o s de N. Como n o s c a s o s a n t e r i o r e s , os e l e m e n t o s de N, E e A são chamados r e s p e c t i v a m e n t e vértices o u n o s , ramos e a r c o s . G r a f o s não d i r e c i o n a d o s e g r a f o s d i r e c i o n a d o s podem s e r c o n s i d e r a d o s como c a s o s e s p e c i a i s de g r a f o s m i s t o s e p o r i s s o m u i t a s v e z e s serã a b r e v i a d a a expressão g r a f o m i s t o p a r a a expressão g r a
f o . E x e m p l o 3 G = ( N , E , A) E = { { 1 , 3 } A = { ( 1 , 2 ) Í2,.4} ( 3 , 2 ) } { 3 , 4 } } 2.3.1 G r a u de um no
D i z - s e que um ramo íi,j} o u um a r c o ( i , j ) é i n c i d e n t e com um no k, se k = i ou k = j .
C o n s i d e r a n d o - s e um g r a f o m i s t o , o b s e r v a - s e que em c a da no JL podem i n c i d i r t a n t o ramos como a r c o s . A soma e n t r e o núme_ r o de a r c o s e o número d e r a m o s i n c i d e n t e s com o n o Á. ê d e f i n i d a como o g r a u de -i que serã r e p r e s e n t a d o p o r g r a u ( i ) . 0 número de. a r c o s c u j a e x t r e m i d a d e é o n o l é d e f i n i d o como o g r a u i n t e r i o r de.
05 l e serã r e p r e s e n t a d o p o r g r a u+( i ) . 0
n ú m e r o de a r c o s c u j a o r i g e m
e o no 1 ê d e f i n i d o como o g r a u e x t e r i o r de l e serã r e p r e s e n t a d o p o r g r a u ( i ) . C o n s i d e r a n d o - s e o g r a f o do e x e m p l o 3 tém^sè: g r a u ( 1 ) = 2 g r a u+( l ) = 0g r a u " ( i )
= i . Como a soma de t o d o s os g r a u s i n t e r i o r e s e a sòmâ de t o d o s os g r a u s exteriores-são i g u a i s ao número dê â?ꧧ, p ô d è - s e a f i r m a r que num g r a f o m i s t o G = (N,E,A) a sôfflâ dòs g r a u s irttèrio r e s e i g u a l à soma dos g r a u s e x t e r i o r e s , i s t o e:n + n
£ g r a u ( i ) = E g r a u ~ ( i ) i = l . i = l
2.3.2 - C a m i n h o , C i c l o , R o t a e C a d e i a
Num g r a f o m i s t o G = ( N , E , A) umâ sequência f i n i t a d o t i p o S = e-j^ , e2, . . . , ek, ek + 1, . . . , en_1, en onde §k ; = ( i j . , i j ^ ) o u
e^ = { ik. , ik.+^ > ê chamada um c a m i n h o do no pàfâ O né i i Quando
i. = i , e s t e c a m i n h o r e c e b e o nome de. diêlOi S i uffl ciêlo i n
1 n + l — c l u i t o d o s os ramos e t o d o s os a r c o s do g r a f o , diz=sê quê istê c i _
c i o
ê
uma r o t ae
e s c r e v e - s e R =e . e
> ítttêrpfêtâfldôtuna
r o t ade um g r a f o como um p e r c u r s o s o b r e o g r a f o (ft© s e n t i d o ©vidênt©) p o d e - s e f a l a r de uma r o t a também como a r o t a êlâssiea dô c a r t e i r o chinês.
Da-se o nome de c a d e i a , t a n t o â um c a m i n h o êOfflQ a uma sequência f i n i t a S de a r c o s e/ou ramos ôfi᧠Uffl no l inêidênte com a r c o s pode t e r g r a u+( i ) = 0 ou g r a u ( i ) = 0 , 2.3.3 - G r a f o Conexo Um g r a f o m i s t o G = (N,E,A) e d i t o cõnèxô sê e x i s t e uma r o t a em G. E x e m p l o 4 No g r a f o G :
06 p o d e - s e e s t a b e l e c e r : Caminho ( 1 , 2 ) , { 2 , 3 } C i c l o ( 1 , 2 ) , { 2 , 3 } , { 3 , 1 } R o t a ( 1 , 2 ) , { 2 , 3 } , { 3 , 4 } , ( 4 , 2 ) , { 2 , 3 } , { 3 , 1 } C a d e i a ( 1 , 2 ) , ( 4 , 2 ) , { 3 , 4 } 2.3.4 - G r a f o P l a n a r . / Um g r a f o m i s t o e d i t o p l a n a r q u a n d o p o d e s e r r e a l i z a do no p l a n o sem nenhuma intersecção, i s t o ê, q u a n d o os seus ramos e a r c o s podem s e r r e p r e s e n t a d o s no p l a n o p o r um c o n j u n t o de c u r v a s que não se i n t e r c e p t a m . A aplicação dos a l g o r i t m o s que são a p r e s e n t a d o s n a s secções s e g u i n t e s , serã f e i t a num g r a f o p l a n a r .
2.3.5 - G r a f o V a l o r a d o
D e f i n e - s e como g r a f o v a l o r a d o G = ( N , E , A , c ) , um g r a f o G = (N,E,A) com uma função c: E U A •*• R, i s t o ê, a c a d a a r c o e a c a d a ramo e s t a a s s o c i a d o um número r e a l . 0 v a l o r c ( e ) a s s o c i a d o a c a d a e £ E W A pode s e r i n t e r p r e t a d o como a distância ou o c u s t o de t r a n s p o r t e e n t r e os n o s i n c i d e n t e s com e ( o n d e no c a s o de um a r co a direção p r e c i s a s e r c o n s i d e r a d a ) .
N e s l e t r a b a l h o , a c a d a ramo e a c a d a a r c o v a i s e r a s s o c i a d o um número r e a l não n e g a t i v o , que r e p r e s e n t a a distância e n t r e os nos i n c i d e n t e s com o r a m o , r e s p e c t i v a m e n t e o a r c o . S e j a G = (N,E,A,c) um g r a f o v a l o r a d o e s e j a X C E U A um s u b c o n j u n t o de ramos e a r c o s . Então d e f i n i m o s c ( X ) = E c ( e ) como o c u s t o a s s o c i a d o ao s u b c o n j u n t o X. No c a s o de e€X -um c a m i n h o S = e,,...,e d e f i n i m o s c ( S ) = £ c ( e . ) como o c u s t o o u 1 n ^ J • i i 1 = 1 c o m p r i m e n t o do c a m i n h o . 2.3.6 - Representação M a t r i c i a l
Um g r a f o v a l o r a d o G = (N,E,A,c) com n n o s pode s e r r e p r e s e n t a d o p o r uma ( n x n ) - m a t r i z D = ( d ^ ) , chamada m a t r i z d i s _ tância ou m a t r i z c u s t o , c u j o s e l e m e n t o s d - . são d e f i n i d o s p o r :
07
•d. .
13
c ( ( i , j ) ) c ( ( i , j ) ) 0 se ( i , j ) € A se { i , j } £ E se i = j c a s o c o n t r a r i o i t j i t j E x e m p l o 5 D = 2 0 3 5 0 2 É c l a r o que se { i , j } € E r e p r e s e n t a um r a m o , então na m a t r i z D t e m - s e d . . = d . .Dado um g r a f o d i r e c i o n a d o G = (N,A) com p n o s e q a r c o s , chama-se m a t r i z incidência à ( p x q ) - m a t r i z I = ( h ^ . ) , c u j o s e l e m e n t o s h ^ j são d e f i n i d o s p o r :
r
h. . =- 13
1 se o a r c o e^ t e m o no X como no t e r m i n a l 1 se o a r c o e.. t e m o no l como no i n i c i a l '0 no c a s o c o n t r a r i o E x e m p l o 6 ( 1 , 2 ) 1 - 1 0 0 ( 1 , 3 ) 1 0 - 1 0 ( 2 , 3 ) 01
- 1 0 ( 3 , 4 ) 0 0 1 - 1 ( 4 , 1 ) - 1 0 0 1 v e r i f i c a r q u e : Na m a t r i z incidência de um g r a f o d i r e c i o n a d o p o d e - s e 1) - em q u a l q u e r c o l u n a , e x i s t e m apenas, d o i s e l e m e n t o s não n u l o s que são + 1 e - 1 ;2) - a soma dos e l e m e n t o s da l i n h a L ê a diferença e n t r e o g r a u e x t e r i o r e o " g r a u i n t e r i o r do no Ã., i s t o ê,
E hi- = g r a u ~ ( i ) - g r a u ( i )
08
2.4 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
O p r o b l e m a do c a r t e i r o chinês num g r a f o m i s t o c o n e x o e não n e g a t i v a m e n t e v a l o r a d o G = (N,E,A,c) p o d e s e r f o r m u l a d o co mo: E n c o n t r e uma r o t a R de modo que c ( R ) s e j a mínimo.
CAPÍTULO I I I ALGORITMOS AUXILIARES 3.1 - DISTÂNCIA ENTRE NÕS 3.1.1 - Definições S e j a D = ( d ^ ) a m a t r i z distância-de um g r a f o G = (N,E,A,c) v a l o r a d o não n e g a t i v a m e n t e .
D e f i n e - s e a distância do nõ -c p a r a o nõ j como o com p.'imento de um c a m i n h o de l p a r a / de modo q u e e s t e c o m p r i m e n t o se j a m i n i m a l (com r e s p e i t o a t o d o s os c a m i n h o s de l p a r a / ) . Se não e x i s t e um c a m i n h o de i. p a r a /, então a distância de JL p a r a j e de_
f i n i d a como i n f i n i t o . ' P a r a c a l c u l a r a distância e n t r e os n o s de um g r a f o , f o r a m d e s e n v o l v i d o s d i v e r s o s a l g o r i t m o s . N e s t e t r a b a l h o , ê u s a d o o a l g o r i t m o de F l o y d [ V j q u a n d o se q u e r as distâncias e n t r e t o d o s os p a r e s de n o s , e o a l g o r i t m o de D i j k s t r a \ j j q u a n d o se q u e r a p e n a s a distância e n t r e d o i s n o s d a d o s . 0 a l g o r i t m o de F l o y d se d e s e n v o l v e c o n s i d e r a n d o a princípio as distâncias como s e n d o os e l e m e n t o s da m a t r i z distân c i a e a s e g u i r v a i i n t e r p o l a n d o e n t r e c a d a p a r de n o s t o d o s —o s -t r o s n o s , f a z e n d o a subs-ti-tuição q u a n d o o c a m i n h o com a i n -t e r p o l a ção t e m c o m p r i m e n t o m e n o r que o c a m i n h o a n t e r i o r .
de-. 1 0
rótulos aos n o s com r e s p e i t o a um nõ f i x a d o n . Cada iteração c o n s trõi p a r a c a d a nõ n um c a m i n h o do nõ n p a r a e s t e nó H e dá como rõ t u l o de n o c o m p r i m e n t o d e s t e c a m i n h o ( c o n s i d e r a - s e a não c o n s t r u ção de um c a m i n h o como sendo a construção de um c a m i n h o de c o m p r i _ m e n t o » ) . I n i c i a l m e n t e o nõ n t e m o rótulo 0 ( z e r o ) e t o d o s os o u
t r o s nós têm rótulo °° . Os rótulos d o s nós d i f e r e n t e s de n são a.1 t e r a d o s em c a d a iteração de modo que os n o v o s rótulos c o r r e s p o n d e m à construção de c a m i n h o s com c o m p r i m e n t o s m e n o r e s ou i g u a i s aos já construídos e p o r c o n s e g u i n t e , os n o v o s rótulos são m e n o r e s ou i _ g u a i s aos rótulos a n t e r i o r e s . Além d i s s o , em c a d a iteração m a i s um rótulo de um dos nós n (bem d e f i n i d o ) p a s s a a s e r a distância do nõ n p a r a o nõ n .
3.1.2 - A l g o r i t m o de F l o y d
E n t r a d a : a m a t r i z distância de um g r a f o G = (N,E,A,c) de n n ó s .
.• Saída : a m a t r i z das distâncias e n t r e t o d o s os p a r e s de nós • Passo 1 : Faça k = 0 P a s s o 2 : Faça k = k + 1 , i -' 0 Pas so 3 : Faça i = i t . i . j • = 0 P a s s o à : Faça j j + 1 \ P a s s o 5 : Se d. .
13
d. . > d d •1 + d, . ík k j ., + d, . ík k j faça: Pas so 6 : Se j < n vã p a r a p a s s o 4 P a s s o 7 : S e i < n vã p a r a p a s s o 3 Passo 8 : Se k < n vã p a r a p a s s o 2 P a s s o 9 : P a r e Na m a t r i z r e s u l t a n t e , o e l e m e n t o d-. r e p r e s e n t a a me n o r d i s t a n c i a do no jl p a r a o no j . Se a l e m da distância mínima e n t r e os p a r e s de nós p r e c i s a - s e dos c a m i n h o s q u e dão e s t a s distâncias, b a s t a i n t r o d u z i r no p a s s o 1 a i g u a l d a d e C A ^ = i p a r a i , j = l , . . . , n e i n t r o d u z i r no p a s s o 5 a i g u a l d a d e C A ^ = k . A i g u a l d a d e C A ^ = k i n d i c a que o c a m i n h o ( i , k ) , ( k , j ) t e m c o m p r i m e n t o menor que o c a m i n h o ( i , j ) .O a l g o r i t m o de F l o y d p r e c i s a de um t e m p o p o l i n o m i a l de o r d e m n'
11 3.1.3 - A l g o r i t m o de D i j k s t r a E n t r a d a Saída Passo 1 Passo Passo a m a t r i z d i s t a n c i a de um g r a f o G = ( NsE , A , c ) de n n o s . a distância e n t r e d o i s n o s f i x a d o s • Sendo ò e t os vértices e n t r e os q u a i s se q u e r c a l c u l a r a distância, faça: L(.s) = 0 e c o n s i d e r e L ( s ) como r o t u l o p e r m a n e n t e ; L ( x ) = 0 0 p a r a t o d o s os n o s x f s e c o n s i d e r e L ( x ) como temporário;
P • s
Faça T ( p ) - íx|(p,x) € E V A } P a r a t o d o s os n o s x £ T ( p j e que t e n h a m ró t u l o s temporários faça L ( x ) = miníLCx),L(p) + d ) Passo 4 Passo 5 Passo 6D e n t r e t o d o s os n o s com rótulos temporários e n c o n t r e x de modo que L ( x ) = m i n { L ( x ) } . Faça p = x e c o n s i d e r e L ( x ) como p e r m a n e n t e Se p = t , L ( p ) é a distância e n t r e 4 è t. Caso c o n t r a r i o vã p a r a p a s s o 2. . . Se além da distância do no 4 p a r a o no t p r e c i s a - s e do c a m i n h o que dá e s t a distância, b a s t a i n t r o d u z i r no p a s s o 1 a i g u a l d a d e A P O N T ( i ) • 0 p a r a i = l , . . . , n e i n t r o d u z i r no p a s s o 4 a i g u a l d a d e A P C N T ( i ) = p . P a r a e n c o n t r a r o c a m i n h o c u j o c o m p r i m e n t o é a distância mínima e n t r e ò e t, b a s t a r e c u p e r a r t o d o s os A P O N T ( i ) t 0, p a r a i - n , . . . , l . de o r d e m n' O a l g o r i t m o de D i j k s t r a p r e c i s a de tempo p o l i n o m i a l
3.2 - FLUXOS GERAIS COM CUSTOS MÍNIMOS
3.2.1 - Formulação do p r o b l e m a de f l u x o s como um p r o b l e m a l i n e a r
0 a l g o r i t m o que serã a p r e s e n t a d o no i t e m s e g u i n t e tem como f i n a l i d a d e p r i n c i p a l o equilíbrio dos n o s , i s t o é, t r a n s _ f o r m a r o g r a f o de modo que c a d a no t e n h a o g r a u de e n t r a d a i g u a l ao g r a u de saída. P a r a f a z e r e s t e equilíbrio, serã u s a d o o p r o b l e _ ma de f l u x o s g e r a i s com c u s t o s m í n i m o s .
12 O p r o b l e m a de f l u x o s g e r a i s pode s e r i n t e r p r e t a d o c o mo um p r o b l e m a de t r a n s p o r t e s . * Num g r a f o d i r i g i d o , p o d e - s e d e s c r e v e r o p r o b l e m a co mo s e n d o a n e c e s s i d a d e de t r a n s p o r t a r c e r t a s q u a n t i d a d e s de d e t e r m i n a d o s n o s p a r a o u t r o s também d e t e r m i n a d o s n o s . P a r a o t r a n s p o r t e de uma c e r t a q u a n t i d a d e a de um no p a r a o u t r o n o , d e v e - s e l e v a r em consideração o c u s t o unitário so b r e c a d a a r c o e a c a p a c i d a d e máxima de c a d a a r c o . D e s c r i t o d e s t e modo, o p r o b l e m a de f l u x o s g e r a i s r e s u l t a num p r o b l e m a de o t i m i z a ção c u j o o b j e t i v o é m i n i m i z a r os c u s t o s t o t a i s do t r a n s p o r t e , s o b condição das c a p a c i d a d e s dos a r c o s e d a s q u a n t i d a d e s p r e s c r i t a s .
S e j a D = (N,A,b,C,d) um g r a f o d i r i g i d o com p n o s e n u m e r a d o s p o r i = l , . . . , p e q a r c o s e n u m e r a d o s p o r a j , j = l , . . . , q
com d u a s valorizações b,C: A •*• R s o b r e os a r c o s e uma função de pe so d : N -* R s o b r e os n o s . Então serão i n t r o d u z i d o s r e l a t i v a m e n t e ã enumeração d a d a aos n o s e aos a r c o s os v e t o r e s de l i n h a
b = ( b 1 b q ) ' G = ( c i c q ) e d = ^ . . . d ) onde b^ = b ( a ^ ) ,
Cj = c C a ^ j e d ^ = d ( v ^ ) . Usando a g o r a a m a t r i z incidência I p o d e -se e s c r e v e r o p r o b l e m a de f l u x o c o r r e s p o n d e n t e n a f o r m a
I X = d com 0 £ X < b . A q u i , o índice t d e s i g n a o v e t o r . c o l u n a t r a n s p o s t o do v e t o r l i n h a c o r r e s p o n d e n t e . Cada v e t o r X que s a t i s _ f a z I X = d e 0 <_ X £ b ê chamado solução admissível do p r o b l e m a .
* t * Cada solução admissível X t e m c u s t o C(X) = E c. x . = CX
j - 1
3?
Então uma solução admissível X é chamada õtima se C ( X ) ê mínimo com r e s p e i t o a t o d a s as soluções admissíveis. N e s t e c a s o a solução X t r a n s p o r t a as q u a n t i d a d e s p r e s c r i t a s com c u s t o s E c. x . mínimos. Com as considerações f e i t a s no p a r a g r a f o a n t e r i o r , o p r o b l e m a p o d e s e r f o r m u l a d o • m a t e m a t i c a m e n t e p o r : . M i n i m i z a r CXfc r e l a t i v a m e n t e a I Xt = dt 0 < X < b que ê um p r o b l e m a l i n e a r de otimização. P a r a m e l h o r e n t e n d i m e n t o do e x p o s t o serã f o r m u l a d o um p r o b l e m a como e x e m p l o .
13
E x e m p l o :
C o n s i d e r a n d o que no g r a f o d i r i g i d o
onde os números a s s o c i a d o s aos círculos d e s i g n a m uma enumeração dos n o s e os números a s s o c i a d o s aos q u a d r a d o s d e s i g n a m uma e n u m e r a ção dos a r c o s , os c u s t o s e as c a p a c i d a d e s máximas são d a d a s p e l o s v e t o r e s C = ( 2 , 4 , 1 , 6 , 2 ) e b = ( 9 , 6 , 3 , 6 , 4 ) , r e l a t i v a m e n t e ã e n u m e r a ção d a d a , e d e s e j a - s e t r a n s p o r t a r 10 u n i d a d e s do no 1 , s e n d o 4 u n i d a d e s p a r a o no 3 e 6 u n i d a d e s p a r a o no 4 -. ' No e x e m p l o , a m a t r i z incidência I e o v e t o r de p e s o s s o b r e os n o s d , são d a d o s p o r : I = 1 1 0 0 0. - 1 0 1 1 0 0 - 1 ' - 1 0 1 0 0 0 - 1 - 1 d = ( 1 0 , 0 , - 4 , - 6 ) l o g o t e m - s e a s e g u i n t e fo/mulação matemática p a r a o p r o b l e m a de f l u x o máximo com c u s t o mínimo c o r r e s p o n d e n t e :
M i n i m i z a r ( 2 x ^ ' + 4 x2 + x ^ + 6 x ^ + 2 x ^ ) r e l a t i v a m e n t e x l + x2 = 1 0 "xl + x3 + x4 0 •x2 " X3 " X5 =' "4 - x4 - x5 = -6 0 < x. < b . — í — í 3.2.2 E s t a b e l e c i m e n t o do P r o b l e m a D u a l P a r a r e s o l v e r t a i s p r o h l e m a s e x i s t e m d i v e r s o s r i t m o s , p o r e m , u s a - s e n e s t e t r a b a l h o um a l g o r i t m o do t i p o a l g o p r i
14
m a l - d u a l [ 8 J que p a r t e da observação t r i v i a l que o t r a n s p o r t e de nenhum bem e o t i m o se não é p r e c i s o t r a n s p o r t a r b e n s . A q u a n t i d a d e de b e n s t r a n s p o r t a d o s é, em c a d a aplicação do a l g o r i t m o , a u m e n t a d a sob condição d a o t i m a l i d a d e , até f i n a l m e n t e t e r alcançado uma s o l u ção admissível do p r o b l e m a ; e e s t a solução é p o r c o n s e g u i n t e o t i _ ma, p o i s o a l g o r i t m o s e m p r e p a s s a de um t r a n s p o r t e étimo p a r a o u
t r o t r a n s p o r t e o t i m o m a i s v o l u m o s o . « Como o método a s e r u s a d o é do t t f p o p r i m a l - d u a l , pre_ c i s a - s e também e s t a b e l e c e r o p r o b l e m a d u a l p a r a o p r o b l e m a de f l u xo com c u s t o mínimo. P a r a m e l h o r c l a r e z a são f o r m u l a d o s a s e g u i r ambos os p r o b l e m a s : P r o b l e m a P r i m a i P r o b l e m a D u a l m i n i m i z e CX m a x i m i z e Vd - Ub r e l a t . I X t = dt e 0 <_ X < b r e l a t . 0 < C + U - V I e 0 < U 3.2.3.- Conexão e n t r e o P r o b l e m a P r i m a i e o D u a l D i z - s e q u e X é solução admissível do p r o b l e m a p r i m a i se I Xt = d t e O £ X £ b , e que (U,V) é solução admissível do pró
b l e m a d u a l s e O < Ú + C - V I e O < U . P o r t a n t o , p o d e - s e e s t a b e l e c e r a conexão e n t r e o p r o b l e m a p r i m a i e s e u d u a l p o r :
T e o r e m a 1
Se X e (U,V) são r e s p e c t i v a m e n t e soluções admissí v e i s do p r o b l e m a p r i m a i e do s e u d u a l , então V dt - U bt < CX^ .
Demonstração
Sendo X solução admissível do p r i m a i t e m - s e q u e I X * = d 1 . Logo VdZ - Ub* = V I Xt - U b1 '.
Sendo (U,V) solução admissível do d u a l t e m - s e que V I < C + U . Logo V I X1 - U b1 < ( C + U ) Xt - U bt = CXt + U ( X - b )t .
Como X - b < 0 e U > 0 t e m - s e q u e CXt + U C X - b )1^ CXt
P o r t a n t o Vd11 - Ub"1 < CXt
Corolário
Se X e (U,V) são r e s p e c t i v a m e n t e soluções admissí . e
soluções õtimas.
15
* *
T e o r e m a 2
Se.X e (U,V) são soluções admissíveis do p r i m a i e do d u a l , então a i g u a l d a d e Cl1 - V dt - U bt e e q u i v a l e n t e ã v a l i d a d e
simultânea d a s condições UCb-X)1" = 0 e c. + u . ^ y . se 0 < x . , o n
de y . r e p r e s e n t a a j-ésima c o o r d e n a d a do v e t o r Y = V I .
Demonstração
Sendo X e (U,V) soluções admissíveis t e m - s e 0 < U C b - X )1 = U bt - Uxt . Como U b1 = V d * - CX* o b t e m - s e
0 < UCb-X)* = UbZ - mt = VdZ - CXl - U X1 . Usando m a i s uma v e z
que X ê solução admissível p a r a o p r i m a i obtêm-se
0 < UCb-X)1 1 = U b1 - U X1 = V d1 1 - CXZ - UXÇ = V I Xt - CX* - U Xt =
= ( V I - C - U ) Xt . Usando m a i s uma v e z que (U,V) é solução admissível
do d u a l t e m - s e q u e V I - C - U <_ 0. Donde u s a n d o o f a t o q u e X >_ 0 o b t e m - s e ( V I - C - U j X1 < 0 . P o r t a n t o 0 < U ( b - X )t = ( V I - C - U ) Xt < 0 que i m p l i c a ( V I - C - U j X * = U f b - X )1 = 0 . Como ( V I - C - U j X1 = 0 , C + U - V I > 0 e X > 0 , então p a r a x^ > 0 s e g u e q u e ( c + u - v l ) ^ = 0. Donde p o d e - s e c o n c l u i r que c. + u . = y . p a r a x . > 0. 1 3 3 3 v 3
Sendo X e (U,V) soluções admissíveis t e m - s e que
0 < X < b e C + U - V I > 0 e p o r c o n s e g u i n t e ( C + U - V I } Xt > 0 com
c a d a somando m a i o r o u i g u a l a 0. 6 e v i d e n t e que p a r a x^ = 0 t e m - s e o l a d o e s q u e r d o i g u a l a o/, e, como p o r hipótese o l a d o e s q u e r d o e z e r o p a r a xi > 0 , então ( C + U - V I ) Xt = 0. Como U C b - X )1 = 0 i m p l i c a .
U bt = UX^ segue que
0 = ( C + U - V I j X1 = CX1 + U X1 - Vd1 = CXt + U bt - Vdt. Donde c o n
c l u i - s e que Vd - Ub*" = CXt .
Teorema 3
Se X e (U,V) são soluções admissíveis do p r i m a i e do d u a l de modo que U C b X ^ = 0 e c. + = p a r a 0 < , t m 4 e ^ _ -d e s i g n a a j - e s i m a c o o r -d e n a -d a -do v e t o r Y = V I , então:
i ) C j - Y j >^ 0 p a r a x^ < b..
i i ) c. - y . <_ 0 p a r a 0 < x .
16
Demonstração
i ) S e j a x . < b . .- Então b . - x . > 0, e como p o r hipótese
3 3 3- 3
U ( b - X ) = 0, o b t e m - s e u . - 0. Como (U,V) é solução admissível t e m o s 0 <_ Cj + u j " Ya I e como u^ = 0 obtêm-se
0 < c.- + 0 - y. = c. - y. .
i i ) P a r a 0 < x^ t e m - s e , p o r hipótese c j " Y j = ~ u j e> c o m o CU,V)
ê solução admissível do d u a l , t e m - s e também p o r hipótese, u . > 0.' Logo c. - y. < 0 .
T e o r e m a 4 , *
Dados I , b > 0, 0 < X < b e V, de modo que
ci " Y-j 1 0 p a r a x . < b . e c. - y . £ 0 p a r a 0 < x . , então e x i s t e um U > 0 de modo q u e : i ) UCb-X)* = 0 i i ) c. + u . = y. p a r a 0 < x .
3 3 3 3 *.
i i i ) 0 < C + U - V I Demons tração D e f i n i n d o U p o r u . = 0 se x . < b . e u . = y . - c.* 3 3 3 3 • 3 3
se X j = b j . Então t e m - s e U ^ 0, p o i s p o r hipótese u^ = y . - C > 0 p a r a x.. = b.. . ti ) Com U d e f i n i d o como a c i m a t e m - s e U ( b - X ) = 0 p o r construção; i i ) Se 0 < x . < b . t e m - s e c. - y . < 0 e c. - y. > 0 p o r hipótese e
*
3
,
3 3
73 ~ 3
13 ~
v vU j = 0 p o r definição. Donde obtém-se u.. - y^ ~ cj * ^e
X j = b j t e m - s e u^ = y. ~ . c j Po r definição. P o r c o n s e g u i n t e ob tém-se y. = c. + u . p a r a 0 < x . . 3
3 3 3
v3
i i i ) Se 0 < x . t e m - s e de ( i i ) que c. + u . - y . > 0 e se x . < b .3
H3 3 3 ~ 3 3
t e m - s e c^ - y. >_ 0 p o r hipótese e u^ = 0 p o r definição.Por c o n s e g u i n t e sempre v a l e que c.. + u j " Ys
17
I X1 1 = IXZ e O < X < b
Corolário
Dados I , b > 0, 0 < X < b , V d e modo que c.. - y . > 0 p a r a x . < b. e c. - y < 0 p a r a 0 < x . , então e x i s t e U > 0 de modo J J J J 3 ' que 0 < C + U - V I e V I Xt - Ub* = CXt. A demonstração d e s s e corolário ê t r i v i a l , p o i s b a s t a u s a r o U construído n o , t e o r e m a 4 e a equivalência do t e o r e m a 2. Corolário " 1 . Dados I , b > 0, 0 < X < b , V de modo q u e c.. - y. > 0 p a r a x. < b . e c. - y^ <_ 0 p a r a 0 < x^ , então X ê o t i m a l com res_ p e i t o ao p r o b l e m a p r i m a i de m i n i m i z a r cx"1" r e l a t i v a m e n t e a
< X < b .
0 último corolário d e i x a c l a r o que a condição t t
-I X = d não e n e c e s s a r i a m e n t e s a t i s f e i t a p e l o X das hipóteses d o s ^ d o i s últimos corolários. P a r a o b t e r um X que também s a t i s f a z
I X * = d * c o n s t r o e m - s e d u a s sequências X ^ , X^ X^n^ = X e
V( 0 ), V( 1 ), . . . , V( n ) = V de modo q u e Xf l ) e V( l ) sempre s a t i s f a z e m
as hipóteses dos r e f e r i d o s corolários e o último X ^ = X também s a t i s f a z a i g u a l d a d e I X • d*~.
A formulação d a d a no t e o r e m a 4 t e m a v a n t a g e m que os v e t o r e s U e d não a p a r e c e m e x p l i c i t a m e n t e .
As condições q u e f o r m a m a hipótese do t e o r e m a 4 são chamadas condições da o t i < m a l i d a d e .
S u p o s t o que os v e t o r e s X = ( x ^ . . . . , x ) e
V = ( v ^ , . . . , v ) são d a d o s e que s a t i s f a z e m as condições de o t i m a l i _ d a d e , i s t o ê: 1) c - y . > 0 se x . < b .
3
]3 - 3 3
2) c - y . < 0 se 0 < x .3
;3
-
3
onde y j ê d e f i n i d o p o r y. = v i n ^ j - v t e r ( j ) c o m i n ( j ) d e s i g n a n d o o nõ i n i c i a l e t e r ( j ) d e s i g n a n d o o nõ t e r m i n a l do a r c o /. A g o r a c o n s t r u i n d o o g r a f o d i r i g i d o D ( X ) = ( N , A ( X ) ) com A ( X ) = A1 (X) \j A " ( X ) e A' (X) = { j £ A / x . < b . } e A " ( X ) = { - j / j £ A e 0 < x . } , p o d e - s e v a l o r a r e s t e dígrafo com c u s t o s não n e g a t i v o s d a s e g u i n t e m a n e i r a : os a r c o s j t e m c u s t o s c. - y. e os a r c o s -/ têm os c u s t o s - ( c ^ - y_.) .18 N e s t e g r a f o de a u m e n t o , p a r a os a r c o s que t e m d i r e ção " o r i g i n a l " ( o s a r c o s de A ' ( X ) ) a c a r g a pode s e r a u m e n t a d a e p a r a os a r c o s que t e m direção " i n v e r s a ã o r i g i n a l " ( o s a r c o s de A " ( X ) ) a c a r g a d o s c o r r e s p o n d e n t e s a r c o s o r i g i n a i s pode s e r d i m i _ nuída. Com X dado p o d e - s e c a l c u l a r d - X l * " e d o s t e o r e m a s s a b e - s e que X e admissível e o t i m a l sse d - X I = 0 . No c a s o c o n trãrio, d e f i n e - s e o no l como s e n d o do t i p o 1 ou do t i p o 2 c o n f o r me, o v a l o r da i-ésima c o o r d e n a d a de d - X I ^ s e j a p o s i t i v o o u n e g a t i v o . Quando e s t e v a l o r ê z e r o , d i z - s e que o no i. ê e q u i l i b r a d o . D e f i n i n d o V ( X ) = { i / i e do t i p o 1 } e V ( X ) = { i / i ê do t i p o 2 } v e r i f i c a - s c que V+( X ) = § s s e V " ( X ) = <}> s s e d - X I 1 = 0 s s e X e solução admissível e p o r c o n s e
g u i n t e o t i m a l , do p r o b l e m a . P o r t a n t o se f o i o b t i d a uma solução que não ê admissível mas que s a t i s f a z as condições de o t i m a l i d a d e ,
t e m - s e que V+( X ) i § . N e s t e c a s o e s c o l h e - s e um nõ i £ V+( X ) e constrõi-se no g r a f o v a l o r a d o * D ( X ) o v e t o r d a s distâncias V = ( v ^ , . . . , V ) s a i n d o do nõ i Q p a r a t o d o s os o u t r o s n o s . Como t a m bem V ( X ) f <f>, e s c o l h e - s e um n o i , £ V ( X ) e d e t e r m i n a - s e um cami_ nho e l e m e n t a r de c o m p r i m e n t o mínimo de i p a r a i ^ , no g r a f o v a l o r a do D ( X ) . S o b r e a c a d e i a c o r r e s p o n d e n t e a e s t e c a m i n h o em D ( X ) , p o d e - s e a g o r a a u m e n t a r a c a r g a t o t a l de t r a n s p o r t e , o que r e s u l t a num n o v o v e t o r X q u e , r e l a t i v a m e n t e ao n o v o v e t o r V ( c a l c u l a do p o r V - V) também s a t i s f a z as condições de o t i m a l i d a d e .
E s t e p r o c e s s o ê r e p e t i d o a t e que uma solução õtima p a r a o p r o b l e m a e e n c o n t r a d a ( c a s o e x i s t a uma solução) . ,
F i n a l i z a n d o as explicações s o b r e o a s s u n t o , v e r i f i _ c a - s e q u e f a l t a m v a l o r e s i n i c i a i s p a r a os v e t o r e s X e V que s a t i s _ façam as condições de o t i m a l i d a d e . Mas, como X = 0 e V = 0 s a t i s f a z e m ãs condições de o t i m a l i d a d e , i n i c i a - s e o p r o c e s s o com e s t e s v e t o r e s .
19 3.2.4 - A l g o r i t m o de F o r d - F u l k e r s o n '1 se i n ( j ) = i Passo 1 : D e f i n a a^. = ^ ~ 1s e t e r ( j ) = i 0 c a s o c o n t r a r i o Faça -A = { - 1 , . . . , - q } X j = 0 p a r a j = l , . . . , q ; v^^ % 0 p a r a i = 1 , . . . ,p f V+ = { i / di > 0 } e V" = { i / d . < 0 } AUX = 0 D e f i n a i n : -A--*• N p o r i n ( - j ) = t e r ( j ) e t e r : -A -> N p o r t e r ( - j ) = i n ( j ) Passo 2: Faça: c. = c. + v. r.> - v . p a r a j £ A v 3 3 t e r ( j ) m ( j ) J *=• A' = { j 6 A / x . < b . } 3 3 A" = {-j£ -A I 0 < x . } 5 j = c. p a r a j £ A' c _ j = - c . p a r a - j £ A" PaSso 3: Se V+ - <J> ( p a r e . X ê o t i m a l ) Se V+ f * e s c o l h a i £ V+ 0
P a s s o 4: A p l i q u e o a l g o r i t m o das distâncias mínimas ao dí g r a f o D = ( N , A ' U A" , c: A ' V A" * R) e d e t e r m i ne o v e t o r V = (v^,. . . ,v ) , onde v\ d e s i g n a a d i s _ tância mínima de i p a r a l, s e n d o v ^ = m q u a n d o não e x i s t e um c a m i n h o de i p a r a -i. P a s s o 5: Faça: N = { i / v . < °°}; v = max { v . / i £ N}, V • : v . p a r a i £ N 1 v c a s o c o n t r a r i o Se v " n N = <j> p a r e ( o p r o b l e m a não t e m solução admissível) . Se V~r\ N
?
<J> e s c o l h a i . £ V f\ N e e s c o l h a um c a m i n h o mínimo W de i p a r a i ^ em D. Se AUX = 0 faça m - d. e n - d. 1o 11•
20 Passo 7: Faça: e. - b . - x . p a r a j £ W
J J J
£j = X j p a r a - j £ W e = m i n { e . / j £ W ou - j £ W, m, n } P a s s o 8: D e f i n a Z:A—>-R p o r X j + e se j £ W - e se - j £ W c a s o c o n t r a r i o " P 1 Passo 9: Faça: m = d. - E a. . x . q n = - d . + £ a. . x . xl j - 1 ^ 1 Passo 1 0 : Se m = 0 faça V+ = V+ \ { i } o Se n = 0 faça V~ = V~ \ { i . } AUX = 1 . Vã p a r a p a s s o 23.3 - CASAMENTO NUM GRAFO COMPLETO
3.3.1 - Formulação do P r o b l e m a
Uma das p a r / e s p r i n c i p a i s d e s t e t r a b a l h o ê a t r a n s _ formação de um g r a f o m i s t o , de modo que t o d o s os nós t e n h a m g r a u p a r . E s t a transformação f o r n e c e um n o v o g r a f o m i s t o com os mesmos n ó s , p o r e m com m a i s - r a m o s ou a r c o s , sob condição que só um n u m e r o m i n i m a l de n o v o s ramos ou a r c o s e a d i c i o n a d o . P a r a f a z e r e s t a
transformação, d e v e - s e em p r i m e i r o l u g a r i d e n t i f i c a r t o d o s os nós de g r a u ímpar e em s e g u i d a c o m b i n a r e s t e s nós e n t r e s i de modo que a soma d o s p e s o s dos a r c e s e ramos r e p e t i d o s s e j a m í n i m a .
Nu,m g r a f o não d i r e c i o n a d o , e s t e p r o b l e m a e c o n h e c i d o como o p r o b l e m a da soma do c a s a m e n t o e pode s e r f o r m u l a d o do se_ g u i n t e modo:
S e j a G = (N,E) um g r a f o c o m p l e t o com um c o n j u n t o N de nós e um c o n j u n t o E de r a m o s . Um s u b c o n j u n t o M C E e chamado um c a s a m e n t o ( m a t c h i n g ) se não e x i s t e m d o i s ramos de M que são i n c i _ d e n t e s com um mesmo nõ. O c o n j u n t o d " t o d o s os c a s a m e n t o s de G se rã d e n o t a d o p o r M. Quando um c a s a m e n t o M c o n t e m o m a i o r n u m e r o pos_
21
sível de r a m o s , d i z - s e que M e um c a s a m e n t o de c a r d i n a l i d a d e ma x i m a (m.c. c a s a m e n t o ) . Um m . c - c a s a m e n t o ê d i t o p e r f e i t o se c a d a no
ê i n c i d e n t e com um ramo do' c a s a m e n t o . 0 c o n j u n t o de t o d o s os c a s a
m e n t o s p e r f e i t o s será a q u i d e n o t a d o p o r M .
Se o g r a f o G = (N,E, c:E •*• R) ê v a l o r a d o não n e g a t i _ vãmente e se c.. r e p r e s e n t a o c u s t o s o b r e o ramo { i , j } , p o d e - s e a s s o c i a r a c a d a M € M o c u s t o , c ( M ) -. £ • c. . { i , j } £ M 1J . A g o r a , s e j a C = e^,..., en onde e^ = , . um c a m i n h o num g r a f o G = ( N , E ) . D i z - s e q u e o c a m i n h o e e l e m e n t a r se t o d o s os n o s i ^ , , . . . , in +- ^ são d o i s a d o i s d i s t i n t o s . Então ob s e r v a - s e que um c a m i n h o d e s s e t i p o f o r n e c e d o i s c a s a m e n t o s de n o s de G como s e g u e : a) t o d o s os r a m o s e^ do c a m i n h o C com j p a r
b ) t o d o s os ramos do c a m i n h o C com j ímpar . ' E s t a observação e u s a d a a g o r a p a r a a u m e n t a r um c a s a m e n t o M d a d o , p a r a um c a s a m e n t o m a x i m a l como s e g u e : um c a m i n h o e l e _ m e n t a r C ê d i t o a l t e r n a t i v o se os s e u s ramos estão a l t e r n a t i v a m e n
t e em M. Se a l e m d i s s o C j u n t a d o i s nós não i n c i d e n t e s com os r a mos de M, d i z - s e que C e um c a m i n h o a l t e r n a t i v o a u m e n t a n d o . E* c i a
r o que um c a m i n h o a l t e r n a t i v o a u m e n t a n d o sempre t e m um número ím p a r de ramos e se C = ei > ',,>e2 n + l ' e n ;- ^0 t o d o s o? ramos e. com j
p a r p e r t e n c e m a M e t o d o s os ramos e^ com j ímpar não p e r t e n c e m a M. Mas os ramos e^ com j ímpar j u n t a m e n t e com t o d o s os ramos de M
que não p e r t e n c e m a C f o r m a m um c a s a m e n t o que tem um número de r a mos i g u a l ao número de ramos de M m a i s 1 . 0 n o v o c a s a m e n t o o b t i d o d e s t a m a n e i r a serã d e n o t a d o p o r Mc e' a s u a c a r d i n a l i d a d e p o r |M_ | , que c o n f o r m e f o i , o b s e r v a d o e i g u a l a |M| + 1 . D e n o t a n d o p o r "^(M) o c o n j u n t o de t o d o s os c a m i n h o s a l _ t e r n a t i v o s a u m e n t a n d o com r e s p e i t o ao c a s a m e n t o M,^at^-s^^igj^se , no c a s o de um g r a f o v a l o r a d o o c u s t o c ( M ) p a r a o c a s a m e n t o c o r r e s p o n -d e n t e M com c ( M ) -d e f i n i -d o p o r {(j* c c c ( M J = E c; . '.+ _ I c. c { i , j > e M \C i ; ) íi,j} € C\M XJ
22
P o r t a n t o , o s e g u i n t e a l g o r i t m o t e m como o b j e t i v o a construção de um c a s a m e n t o m a x i m a l com c u s t o mínimo.
3.3.2 - A l g o r i t m o de D e r i g s
P a s s o 1 : Faça M = <j>
Passo 2: Se M £ M p a r e , M p o t i m a l
P a s s o 3: D e t e r m i n e C e"^CM) de modo quê p a r a M-c ( M - ) <_ M-c ( M ) p a r a t o d o M-c U (M) Passo 4: Faça M = M-5 c vã p a r a p a s s o 2 Na implementação d e s s e a l g o r i t m o , o c a m i n h o C que i m p l i c a o menor c u s t o do c a s a m e n t o c o r r e s p o n d e n t e M- e c a l c u l a d o a d a p t a n d o um p r o c e d i m e n t o de classificação e contração, d e s e n v o l v i ^ do p o r Edmonds e J o h n s o n [ 3 J . A v a l i d a d e d e s t e p r o c e d i m e n t o ê mos t r a d a ' p o r D e r i g s [ p j . P a r a m e l h o r e s c l a r e c i m e n t o de como p r o c e d e o a l g o r i t _ mo do c a s a m e n t o , ê e s t a b e l e c i d o o s e g u i n t e e x e m p l o . E x e m p l o 0 ^ C o n s i d e r a n d o o g r a f o G : ? p o d e - s e e s t a b e l e c e r o c a s a m e n t o M = { 1 , 2 } com c ( M ) = 1 . E c l a r o que o c a m i n h o C = { 3 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 4 } ê um c a m i n h o a u m e n t a n d o , p o i s os seus ramos estão a l t e r n a t i v a m e n t e em M e além d i s s o t e m d o i s n o s que não são i n c i d e n t e s com os r a m o s de M.
Como o c a m i n h o a u m e n t a n d o construído é m i n i m a l com relação ã valoração do g r a f o d a d o , p o d e - s e f o r m a r o n o v o c a s a m e n t o Mc = { 1 , 3 } , { 2 , 4 } . 6 fãcil v e r i f i c a r que e s t e n o v o c a s a m e n t o é
m a x i m a l , e que tem c u s t o c ( M ) = 4 m i n i m a l , c o n f o r m e é m o s t r a d o pe l o s g r a f o s a b a i x o :
23 C a s a m e n t o M : (T) -(2) Caminhos a l t e r n a t i v o s a u m e n t a n d o e r e s p e c t i v o s c a s a m e n t o s 1 M l : CD © 4 (D © 2 « M2 : CD (3) t (2) © 3 M3 : CD © 5 © ( D
i
CAPÍTULO I V
VARIAÇÕES EM GRAFOS MISTOS
4.1 - DEFINIÇÕES
N e s t e capítulo serão i n t r o d u z i d o s a l g u n s n o v o s c o n c e i t o s que terão g r a n d e u t i l i d a d e no e s t u d o dos p r o b l e m a s do c a r t e i r o chinês. Porem., a n t e s da introdução d e s t e s ' ' c o n c e i t o s , serã f e i t a uma generalização do c o n c e i t o de g r a f o m i s t o , p a s s a n d o a c o n s i d e r a r g r a f o s que a d m i t e m ramos e a r c o s p a r a l e l o s . N e s t a g e n e r a l i _
zação u s a - s e a notação e p a r a i n d i c a r t a n t o um a r c o como um ramc . Um g r a f o m i s t o ( g e n e r a l i z a d o ) G = (N,E,A,a,3) c o n s i s _ t e de um c o n j u n t o f i n i t o de n o s N = { l , . . . , n } , um c o n j u n t o f i n i t o de ramos E, um c o n j u n t o f i n i t o de a r c o s A, s e n d o E e A d i s j u n t o s , e duas funções a,3 : E U A -* N. P a r a c a d a e £ E , a ( e ) e 3 ( e ) podem s e r i n t e r p r e t a d o s como os n o s i n c i d e n t e s com o ramo e e p a r a c a d a e £ A, a ( e ) d e s i g n a o nõ i n i c i a l e 3 ( e ) o nõ t e r m i n a l do a r c o e .
Um ramo e ê d i t o p a r a l e l o a e' £ E U A se
{ a ( e ) , 3 ( e ) } =
Ca(e'),
3 ( e ' ) } . D o i s a r c o s e e e' são d i t o s p a r a l e l o s se a ( e ) = o t ( e ' ) e 3 ( e ) = 3 ( e ' ) . Uma r o t a R = e^,...,e ê d i t a e u l e r i a n a se c a d a e 6 E U A a p a r e c e em R e x a t a m e n t e uma v e z . Se num g r a f o m i s t o G e x i s t e uma r o t a e u l e r i a n a d i z - s e que G ê um g r af o m i s t o e u l e r i a n o .
D i z - s e que um g r a f o m i s t o G' = (N , E ' , A , et' , 3 ') ê umavariação do g r a f o m i s t o G = (N,E,A,cc,3) se G' e,construído p e l a
-25
transformação de a l g u n s ramos em a r c o s e/ou p e l a repetição de r a mos e / o u a r c o s ( i n c l u i n d o as repetições d o s n o v o s a r c o s c r i a d o s ) . Se o g r a f o G f o r v a l o r a d o p o r c : E V A •*> R , G ' t e m a v a l o r i z a ção c o r r e s p o n d e n t e c : ( E ' U A1) •*• R . As d e m a i s definições d a d a s a n t e r i o r m e n t e p a r a g r a f o s m i s t o s , podem s e r a d a p t a d a s p a r a o c a s o de g r a f o s m i s t o s g e n e r a l i / z a d o s de f o r m a e v i d e n t e . 4.2 - VARIAÇÃO EULERIANA *
Uma variação G' de um g r a f o m i s t o G e chamada e u l e r i a n a se e x i s t e uma r o t a e u l e r i a n a em G1. É o b v i o q u e o c u s t o d e s t a r o t a e u l e r i a n a e i g u a l ao c u s t o da variação. P o r t a n t o , f i c a e v i _ d e n t e a v a l i d a d e do s e g u i n t e t e o r e m a : T e o r e m a 1 S e j a G = (N,E,A,a,g) um g r a f o m i s t o ( g e n e r a l i z a d o ) . Então são e q u i v a l e n t e s : i ) G e c o n e x o i i ) e x i s t e uma variação e u l e r i a n a de G
Ê" também e v i d e n t e que uma variação e u l e r i a n a
G' = (N ,E ' ,A * ,a '*, 3 1) de um g r a f o m i s t o G = (N,E,A,a,3) t e m
g r a u ( i ) p a r p a r a t o d o i £ N. Como p o d e - s e c o n s t r u i r num g r a f o m i s t o e u l e r i a n o uma r o t a e u l e r i a n a , s e g u e t r i v i a l m e n t e que uma v a riação e u l e r i a n a sempre p o d e s e r t r a n s f o r m a d a (sõ t r a n s f o r m a n d o r a mos em a r c o s ) numa o u t r a variação q u e também s a t i s f a z g r a u+( i ) =
= g r a u ( i ) p a r a t o d o i € N. Como um g r a f o m i s t o que s a t i s f a z g r a u ( i ) p a r p a r a t o d o i £ N e g r a u+( i ) = g r a u ( i ) p a r a t o d o i € N e o b v i a m e n t e c o n e x o , e e v i d e n t e a v a l i d a d e do s e g u i n t e t e o r e m a : Teorema 2 P a r a um g r a f o m i s t o G = (N,E,A,a,3) são e q u i v a l e n t e s : . i ) G e c o n e x o i i ) e x i s t e uma variação e u l e r i a n a de G
i i i ) e x i s t e uma variação G* = (N,E',A' ,a ' ,3 ') de G de modo que 1) g r a u ( i ) e p a r p a r a t o d o i £ N
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4.3 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DO CARTEIRO CHINÊS COMO UMA VARIAÇÃO
O t e o r e m a 2 ê a b a s e f u n d a m e n t a l dos a l g o r i t m o s h e u rísticos de Edmonds e J o h n s o n e de F r e d e r i c k s o n , 'para r e s o l v e r o p r o b l e m a do C a r t e i r o Chinês num g r a f o m i s t o . Como os a l g o r i t m o s
que serão a p r e s e n t a d o s n e s t e t r a b a l h o são v a r i a n t e s d e s t e s , ê c i a r o , que e s t e t e o r e m a também serã a b a s e f u n d a m e n t a l d e s t a s v a r i a n t e s . P o r t a n t o , p o d e - s e a f i r m a r que e n c o n t r a r uma r o t a com c u s t o mí n i m o p a r a o C a r t e i r o Chinês num g r a f o m i s t o c o n e x o ê e q u i v a l e n t e â construção de uma variação do t i p o ( i i i ) do t e o r e m a , com c u s t o m í n i m o . . *
Uma variação de um g r a f o m i s t o c o n e x o que s a t i s f a z g r a u ( i ) ê p a r p a r a t o d o i £' N, serã d e n o m i n a d a uma GP-variação.
Uma variação que s a t i s f a z g r a u+( i ) = g r a u ~ ( i ) p a r a t o d o i £ N, se_
rã d e n o m i n a d a uma ES-variação' (Entrada=Saída-variação). Então, o p r o b l e m a de e n c o n t r a r uma r o t a num g r a f o m i s t o c o n e x o pode s e r r e
s o l v i d o p e l o s s e g u i n t e s métodos:
Método 1 : p r i m e i r o c o n s t r u a uma GP-variação e a s e g u i r uma ES-va riação;
Método 2 : p r i m e i r o c o n s t r u a uma ES-variação e a s e g u i r uma ' GP-va riação.
Em ambos os c a s o s r e s u l t a um g r a f o m i s t o que s a t i s _ f a z ( i i i ) do t e o r e m a e a r o t a c o r r e s p o n d e n t e p o d e s e r s i m p l e s m e n t e construída.
No c a s o de um g r a f o m i s t o v a l o r a d o , os p r o c e s s o s de GP-e de ES-variações podem s e r e f e t u a d o s sob consideração de m i n i _ m i z a r o c u s t o c o r r e s p o n d e n t e .
Os a l g o r i t m o s c o r r e s p o n d e n t e s de GP-e de E S - v a r i a ções m i n i m a i s f o r m a m a b a s e d o s ' a l g o r i t m o s heurísticos que são u s a dos p a r a e n c o n t r a r uma r o t a p a r a o C a r t e i r o Chinês no c a s o de um g r a f o m i s t o c o n e x o não n e g a t i v a m e n t e v a l o r a d o , cõm um c u s t o que ê m e n o r ou i g u a l a 5/3 do c u s t o de uma r o t a o t i m a l .
4.4 - ALGORITMO GP-VARIAÇÃO MINIMAL
E n t r a d a : um g r a f o m i s t o c o n e x o g e n e r a l i z a d o
Saída. : um g r a f o m i s t o c o n e x o g e n e r a l i z a d o com g r a u ( i ) p a r t o d o no i é N.
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Passo 1: I d e n t i f i q u e o c o n j u n t o N C N de n o s de g r a u ímpar em G Passo 2: P a r a t o d o i , j £ N e n c o n t r e a c a d e i a m i n i m a l que l i g a
i e j e c o n s i d e r e a distância e n t r e i e j como s e n d o o c o m p r i m e n t o d e s t a c a d e i a .
P a s s o 3: Usando como e n t r a d a o c o n j u n t o de n o s N e as distâncias e n c o n t r a d a s no p a s s o 2, chame o a l g o r i t m o do c a s a m e n t o . Passo 4: D u p l i q u e em G os r a m o s e a r c o s , de a c o r d o com a saída do
p a s s o 3 ( p a r e ) .
Apos a aplicação d e s t e a l g o r i t m o o g r a u de c a d a v e r t i c e i é N e i n c r e m e n t a d o p o r um n u m e r o ímpar, e, p o r c o n s e g u i n t e t o d o s os n o s do g r a f o r e s u l t a n t e G' têm g r a u p a r . P o r o u t r o l a d o , como a GP-variação se b a s e i a num c a s a m e n t o máximo com c u s t o m i n i mo, p o d e - s e c o n c l u i r q u e e s t a GP-variação ê mínima.
P a r a g r a f o s m i s t o s onde g r a u+( i ) = g r a u ~ ( i ) p a r a t £
dq i é N ê possível a p l i c a r a GP-variação m i n i m a l com r e s p e i t o ao g r a f o p a r c i a l de G c o n s i s t i n d o a p e n a s d o s r a m o s de G. Apos uma aplicação da GP-variação m i n i m a l d e s s e t i p o obtêm-se uma G P - v a r i a
ção de G q u e não ê n e c e s s a r i a m e n t e m i n i m a l , mas que mantêm a i g u a l _ dade e n t r e os g r a u s de e n t r a d a e saída d o s n o s .
4.5 - VARIAÇÃO GRAU DE ENTRADA IGUAL A GRAU DE SAÍDA
4.5.1 - Definições
A n t e s de a p r e s e n t a r o a l g o r i t m o p a r a o b t e r uma ES-va riação m i n i m a l serão d e f i n i d o s a l g u n s c o n c e i t o s necessários p a r a o e n t e n d i m e n t o do mesmo. P a r a c a d a nõ i € N de um g r a f o m i s t o d e f i n e - s e o d £ + — f i c i t de i p o r d e f ( i ) = g r a u ( i ) - g r a u ( i ) e, d e n o t a - s e p o r S A I ( i ) o c o n j u n t o de t o d o s os a r c o s e. t a l que 3 ( e ) = i e p o r E N T ( i ) o c o n j u n t o de t o d o s os a r c o s d t a l q u e a ( e ) = i . S e j a a g o r a G = (N,E,A,c: E U A ->• R) um g r a f o mist*o ( g e n e r a l i z a d o ) não n e g a t i v a m e n t e v a l o r a d o . A l e m d i s s o s e j a u : A •* R d e f i n i d a p o r u ( e ) = 0 0 p a r a t o d o e £ A e s e j a D = A U B um n o v o c o n j u n t o de a r c o s , onde A ê o c o n j u n t o dos a r c o s de G e B ê d e f i n i d o como s e g u e : p a r a c a d a ramo e = íi,j} € E os p a r e s oràe n a d o s c o r r e s p o n d e n t e s ( i , j ) e ( j , i ) p e r t e n c e m a B e a d i c i o n a l m e n t e um d e s t e s p a r e s o r d e n a d o s , d e n o t a d o p o r e', também p e r t e n c e a B co mo a r c o p a r a l e l o . Então, c a d a ramo e = ( i , j ) £ E c o r r e s p o n d e e x a t a m e n t e a três a r c o s em B que v a o s e r d e n o t a d o s p o r e, e , e
28 É c l a r o que o c o n j u n t o de nos N de G e o c o n j u n t o de a r c o s D f o r m a m um g r a f o d i r e c i o n a d o e g e n e r a l i z a d o que serã d e n o t a do p o r G = ( N , D ) . A e s t e g r a f o G a s s o c i a - s e d u a s valorizações c,u:D •* R d e f i n i d a s p o r : i ) c : D + R c ( e ) = c ( e ) se e é A c ( e ) = c ( e ) = c ( e ) e c ( e ' ) = 0 se e € E „ i i ) ú : D -> R - # • u ( e ) = u ( e ) se e £ A u ( e ) = 0 0 = u ( e ) e ú(e') = 2 se e € E ¥
Serã u s a d a também a notação G p a r a i n d i c a r o g r a f o ( g e n e r a l i z a d o ) d i r e c i o n a d o e b i v a l o r a d o G = ( N , D , c , u ) . Com r e s p e i _ t o a e s t e g r a f o b i v a l o r a d o G p o d e - s e a s s o c i a r o s e g u i n t e p r o b l e m a de f l u x o : M i n £ c ( e ) X ( e ) r e l a t i v a m e n t e a e*D I X ( e ) - £ X ( e ) = d e f ( i ) p a r a t o d o i £ N (em G) e£SAI(i) eéENT(i) X ( e ) € N.
A uma solução õtima d e s t e p r o b l e m a de f l u x o a s s o c i a -se uma ES-variação do g r a f o v a l o r a d o o r i g i n a l \
G - (N,E,A, c:E V A R) , do s e g u i n t e modo:
i ) se e £ A, então s u b s t i t u i - s e o a r c o e p o r X ( e ) + 1 a r c o s p a r a l e _ l o s ao a r c o e;
i i ) se e £ E, então:
1) Se X ( e ' ) = 0 , o ramo e e substituído p e l o a r c o ( e ou e ) que
tem direção o p o s t a ã direção de e ' ; * 2) Se X ( e ' ) = 1 , o ramo e ê m a n t i d o ;
3) Se X ( e ' ) = 2, o ramo e é s u b s t i t u i d o p e l o a r c o ( e ou e) que tem mesma direção de e' ;
-V - ->•
4) a d i c i o n e X ( e ) c o p i a s p a r a l e l a s a e; 5) a d i c i o n e X ( e ) c o p i a s p a r a l e l a s a e.
Pode s e r m o s t r a d o q u e as soluções õtimas do p r o b l e m a de f l u x o em G, d e s c r i t o a c i m a , d e f i n e m e x a t a m e n t e as ES-variações õtimas ( m i n i m a i s ) p a r a o g r a f o o r i g i n a l G.
29 4.5.2 - A l g o r i t m o ES-variação M i n i m a l E n t r a d a : um g r a f o m i s t o c o n e x o g e n e r a l i z a d o Saída : um g r a f o m i s t o c o n e x o g e n e r a l i z a d o com g r a u ( i ) = g r a u ( i ) p a r a t o d o no l . Passo 1 Passo 2 Passo P a s s o Passo 5 A s s o c i e a c a d a a r c o e £ A a c a p a c i d a d e u ( e ) = 0 0 e faça o c u s t o c ( e ) i g u a l ao c u s t o o r i g i n a l ! S u b s t i t u a c a d a ramo e = { i , j } £ E p o r um a r c o e de d i r e ção arbitrária (sugestão: faça e = ( i , j ) p a r a i < j ) .
C a l c u l e o d e f i c i t de c a d a vértice. Se d e f ( i ) = 0 p a r a t o d o i é . N , p a r e , g r a u+( i ) = g r a u " ( i ) p a r a t o d o i £ N. . P a r a c a d a a r c o e = ( i , j ) c r i a d o no p a s s o 2, c o n s t r u a d o i s n o v o s a r c o s e Faça: • ( j , i ) e e' = ( j , i ) . c ( e ) = c ( e ) = c ( e ) , c ( e ' ) = 0 u ( e ) = u ( e ) e u ( e ' ) = 2 Passo 6: C r i e um no f o n t e F e ura nó s u m i d o u r o S. C r i e a r c o s do no f o n t e p a r a os n o s i €. N que têm.def(i) > 0 e faça
c ( F , i ) = 0, u ( F , i ) = d e f ( i ) e D l -. I d e f ( i ) . C r i e a r c o s dos nos i £ N que têm d e f ( i ) < 0 p a r a o no s u m i d o u r o e f a ça c ( i , S ) = 0 e u ( i , S ) = - d e f ( i , ) . P a s s o 7: A p l i q u e o a l g o r i t m o do f l u x o p a r a t r a n s p o r t a r D l u n i d a d e s do no F p a r a o no S. P a s s o 8: S u b s t i t u a c a d a a r c o e £ A p o r X ( e ) + 1 a r c o s p a r a l e l o s a Z. P a s s o 9: P a r a c a d a ramo e £ E faça: Se X ( e ' ) = 0 s u b s t i t u a e p o r um a r c o p a r a l e l o a e; Se X ( e ' ) • 1 m a n t e n h a o ramo e; Se X ( e ' ) = 2 s u b s t i t u a e p o r um a r c o p a r a l e l o a e. Passo 1 0 : A d i c i o n e X ( e ) c o p i a s p a r a l e l a s a e e X ( e ) c o p i a s p a r a L e l a s a e. Apôs a aplicação d e s t e a l g o r i t m o t o d o s os n o s d o g r i r f o r e s u l t a n t e G têm os g r a u s de e n t r a d a i g u a i s aos c o r r e s p o n d e n t e s g r a u s de saída. P o r o u t r o l a d o , como a ES-variação se b a s e i a num p r o b l e m a de f l u x o máximo com c u s t o m í n i m o , p o d e - s e c o n c l u i r que e s
t a ES-variação ê mínima.
