NOTAS DE AULAS
DE
GEOMETRIA DESCRITIVA
O A B C E F D 1º diedro 3º diedro 4º diedro 2º diedro PVS PVI PHP PHA P P1 P0 P2PROF. LUIZ ANTONIO DE MORAIS
1) Introdução
A Geometria descritiva foi criada a partir de estudos sobre as projeções. Gaspar Monge, que viveu no século XVIII, foi quem criou os princípios das projeções a partir das operações de estereotomia, reunindo-as sob o nome de Geometria Descritiva.
A Geometria Descritiva é importante na formação de profissionais que trabalham com espaço e forma. É, portanto, base para desenho de máquinas e arquitetura. Esta geometria foi, na época de Monge uma opção aos métodos empíricos. Os estudos feitos a partir da obra de Monge, provocaram a sua evolução e também a descoberta de novas propriedades da geometria plana.
No Brasil, esta geometria foi ensinada pela primeira vez na Real Academia militar, criada por D. João VI. Esta academia começou seu funcionamento em 1º de abril de 1812. O primeiro professor de Geometria Descritiva, no Brasil, foi o 2º tenente José Vitorino dos Santos e Souza. O livro “Elementos de geometria descritiva” publicado por José Vitorino dos Santos e Souza, foi escrito com base na primeira edição da obra de Monge.
Podemos entender a Geometria descritiva como sendo: “Uma ciência que estuda métodos de representações de figuras espaciais sobre um plano”.
2) Sistemas de projeção
Existem dois sistemas de projeção bastante conhecidos e utilizados. São eles: Sistema de projeção cônica e sistema de projeção cilíndrica. O sistema de projeção cilíndrica pode ser visto de duas maneiras: cilíndrica oblíqua e cilíndrica ortogonal.
Sistema de projeção cônica
O sistema de projeção cônica utiliza um ponto de fuga e as figuras são ampliadas ou reduzidas pela projeção. Na figura seguinte, A projeção do triangulo ABC no plano horizontal é o triangulo DEF. Este tipo de projeção, a figura projetada é semelhante à projeção; ou seja, as medidas são proporcionais.
O
A B
C
E D
Sistema de projeção cilíndrica
O sistema de projeção cilíndrica é baseado num ponto de fuga que está posicionado no infinito. Pode ser considerada oblíqua ou ortogonal. Na projeção cilíndrica ortogonal, se uma figura plana estiver contida num plano paralelo ao plano de projeção, então a projeção da figura será congruente à figura; ou seja, estará em verdadeira grandeza (VG).
Projeção cilíndrica oblíqua Projeção cilíndrica ortogonal
O A B C D E F O A B C D E F
A geometria descritiva foi criada para resolver problemas envolvendo figuras de até três dimensões. Para que ela pudesse atingir suas finalidades, foi utilizado o sistema de projeção cilíndrica ortogonal, descrito acima. Este sistema de projeção é determinado pelo ponto O, centro de projeção (posicionado no infinito), e pelo plano de projeção S usando como direção de projeção à normal ao plano S.
Observando a figura da projeção cilíndrica ortogonal acima, vemos que o triângulo DEF, que é a projeção do triângulo ABC do espaço fica bem determinada sobre o plano de projeção, porém é impossível determinar o triângulo ABC do espaço a partir da projeção DEF. Para conseguirmos tal resultado teríamos de conhecer as distâncias DA, EB e FC, pois de outro modo, a única afirmação que podemos fazer é que o triângulo ABC encontra-se nas perpendiculares ao plano de projeção.
Em Geometria Descritiva essa posição é estabelecida através dos métodos de representação, dos quais os mais importantes são:
x o de Gaspar Monge, ou método da dupla projeção ortogonal, que utiliza dois planos perpendiculares entre si.
x o de Felipe Buache, ou método das projeções cotadas, que utiliza um só plano de projeção, porém assinala por um número a distancia do ponto ao plano de projeção. x o de Brook-Taylor-Cousinery, ou método das projeções central, que admite somente
um plano de projeção e utiliza o sistema cônico.
3) Método mongeano ou da dupla projeção
O método mongeano de Gaspar Monge, ou método da dupla projeção ortogonal, utiliza dois planos perpendiculares entre si. Um ponto no espaço fica determinado pela intersecção de duas retas perpendiculares a esses dois planos de projeções.
Este método possui as convenções colocadas na figura abaixo. 1º diedro 3º diedro 4º diedro 2º diedro PVS PVI PHP PHA
x O espaço é dividido em quatro partes, cada uma designada diedro. x Os planos horizontal e vertical são divididos em semi-planos:
o PHA: Semi-plano horizontal anterior o PHP: Semi-plano horizontal posterior o PVS: Semi-plano vertical superior o PVI: Semi-plano vertical inferior
x A intersecção dos planos horizontal e vertical é chamada de linha de terra.
Na representação de um ponto no sistema mongeano convencionam-se as seguintes informações: 1º diedro 3º diedro 4º diedro 2º diedro PVS PVI PHP PHA P P1 P0 P2 P: Ponto no espaço P1: Projeção do ponto P no plano horizontal P2: Projeção do ponto P no plano vertical
P0: Posição das projeções do
ponto P na linha de terra. É chamada de abscissa do ponto P
A distância de P a P1é chamada
de afastamento
A distância de P a P2é chamada
de cota
Nota: Na figura acima, o ponto P foi colocado no primeiro diedro, mas as convenções são
Épura
Para representarmos um ponto do espaço num único plano, conforme o sistema mongeano, devemos girar o plano horizontal pela linha de terra até que ele coincida com o plano vertical. Este processo é chamado de Rebatimento. A figura obtida por esse meio é chamada épura.
Rebatimento em execução Épura do ponto
1º diedro 3º diedro 4º diedro 2º diedro PVS PVI PHP PHA P P1 P0 P2 P1 P0 P2
A linha que liga P1 a P2 é a linha
de chamada. Por convenção esta
linha deve ser pontilhada.
4) Estudo do ponto
No estudo do ponto, de acordo com a posição dele no espaço, devemos considerar os sinais dos diedros conforme tabela abaixo:
Posições no sistema 1º D 2º D 3º D 4º D PVS PVI PHA PHP LT
Afastamento + + 0 0 + 0
Cota + + + 0 0 0
Um ponto P do espaço terá a seguinte representação depois do rebatimento: P(P0, P1, P2) = P(abscissa, afastamento, cota)
Vamos fazer, a seguir, representações de pontos do espaço, no sistema mongeano. Serão pontos ocupando as posições descritas na tabela acima
Devemos:
dar a posição do ponto no sistema; desenhar sua localização no espaço e; desenhar a épura correspondente:
A 1º diedro Épura
B 2º diedro Épura
C 3º diedro Épura
E PVS Épura
F PVI Épura
G PHA Épura
J LT Épura
Exercícios:
1) Complete a localização do ponto e desenhe a épura: a) A(0, 1, 3) _________ b) B(3, 0, 2) _________ c) C(1, 2, 3) _________ d) D(3, -2, 2) _________ e) E(0, 3, -2) _________ f) F(-2, 3, 0) _________ g) G(3, -2, -2) _________ h) H(2, -3, 0) _________ i) I(1, 0, -4) _________ j) J(1,5; 0; 0) _________ k) K(1,5; -1,5; -1) _________ l) L(1,5; -2; 2,5) _________ m) M(0; -1,5; 2,5) _________ n) N(1,5; 3; 0) _________ o) O(2; -2; 1,5) _________ p) P(3; 1,5; -4) _________
2) Representar em épura o triângulo ABC sabendo que: o ponto A pertence ao PVS, o ponto B está no 3º diedro e o ponto C é um ponto da linha de terra.
3) Representar em épura o triangulo dado pelos pontos: A(0, 2, 4); B(-2, -2, 0) e C(1, 2, -2). 4) Consideremos os pontos: A = (0, 1, -1); B = (3, 3, 1) e C = (6, 1, -1). Desenhando os três
pontos dados numa mesma épura e unindo os pontos vamos visualizar o quadrilátero convexo A1B1C1B2. A área desse quadrilátero mede:
a) 6 u2
b) 8 u2
c) 12 u2
d) 15 u2
5) Estudo da reta
A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar geométrico das projeções de todos os seus pontos sobre este plano.
A reta pode ser paralela ou oblíqua ao plano. Se uma reta é paralela a um plano diz-se que esta reta tem verdadeira grandeza (VG) em relação a este plano. Por outro lado a projeção de uma reta oblíqua a um plano não tem verdadeira grandeza. Basta considerarmos numa reta r, oblíqua ao plano de projeção, um segmento AB e observarmos a projeção do segmento AB no plano.
Reta paralela ao plano Reta oblíqua ao plano
r
D
s
D
Se uma reta é oblíqua a um plano serão necessários dois planos de projeção para que a posição da reta no espaço fique bem definida. Neste caso usamos o método mongeano.
Convenções:
Na Geometria Descritiva existem algumas convenções para representação de pontos, retas, planos e outras figuras. Seguem abaixo algumas das convenções:
Visibilidade: Qualquer figura só é visível no primeiro diedro
A parte visível de uma figura será representada por linhas cheias. A parte invisível será representada por linha tracejada.
Traços da reta: Os traços da reta são determinados pela intersecção da reta com os planos de
projeção. Uma reta possui sempre dois traços: traço horizontal e traço vertical.
Traço horizontal: É o ponto de intersecção da reta com o plano horizontal. Notação H. As
projeções seguem o padrão; ou seja, H1é a projeção horizontal e H2é a vertical.
Traço vertical: É o ponto de intersecção da reta com o plano vertical. Notação V. Projeções:
V1e V2.
Nota: O traço da reta determina o ponto onde ela saiu de um diedro ou de um semi-plano e
passou para outro diedro ou semi-plano.
Visualização de uma reta qualquer do espaço 1º diedro 3º diedro 4º diedro 2º diedro PVS PVI PHP PHA t V = V2 H = H1 V1 t1 t2 H2
Reta do espaço: reta t
Traços da reta no espaço: H e V
Épura da reta qualquer da figura acima
V2 V1 H1 H2 t1 t2 1º diedro 2º diedro 4º diedro
Exercícios:
1) Complete as épuras seguintes dando os traços, a visibilidade e o caminho das retas. a) t2 t1 b) t2 t1 c) t2 t1
2) Dados dois pontos da reta, determine os traços, a visibilidade e o caminho da reta. a) A(3, 2, 1) B(5, 2, 1)
b) C(3, 0, 0) D(1, -1, -2)
