Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matemática e Estatística
Laiz Valim da Rocha
*-Limpeza em Anéis de Grupo Comutativos
Orientadora: Profa. Dra. Paula Murgel Veloso Coorientador: Prof. Dr. Rodrigo Lucas Rodrigues
Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da UFF como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.
Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pela aluna Laiz Valim da Rocha
e aprovada pela Comissão Julgadora.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do Instituto de Matemática e Estatística da UFF
Bibliotecário responsável pela unidade: Carlos R. S. de Lima – CRB7 5531 R713 Rocha, Laiz Valim
* - Limpeza em anéis de grupo comutativos / Laiz Valim Rocha. – Niterói, RJ: [s.n.], 2018.
73 f.
Orientador: Prof.ª Dr.ª Paula Murgel Veloso Coorientador: Prof. Dr. Rodrigo Lucas Rodrigues
Dissertação ( Mestrado em Matemática) – Universidade Federal Fluminense, 2018.
1.Anel (Álgebra). 2. Anel comutativo. 3. Extensões ciclotômicas I. Título.
Dedico essa dissertação a todos aqueles que, com amor, compartilham o que sabem. Em especial, àqueles que me ensinaram a sonhar mais alto e me inspiram todos os dias a ser uma pessoa melhor: Simão, Lázara, Simony e Dalton.
A G R A D E C I M E N T O S
Aos meus pais, Lázara e Simão, e à minha irmã, Simony, por permanecerem firmes ao meu lado até o ponto final desta dissertação. Obrigada pelas orações, palavras de incentivo, pelos puxões de orelha e por todas as ações que me permitiram alcançar este objetivo. Amo vocês.
À minha orientadora, Paula Veloso. Obrigada por todos os ensinamentos, pela paciência, encorajamento constante e por me apresentar à área mais bonita que eu conheci na Matemática. Você será sempre um referencial para mim.
Aos professores Andrea Gomes, Cristiane de Mello e Rodrigo Rodrigues, por prontamente aceitarem o convite de participar da banca, pelas correções e inúmeras sugestões de aperfeiçoamento do meu trabalho. Muito obrigada pelos conselhos para os próximos passos.
Ao meu companheiro de vida e de Matemática, Dalton Couto. Obrigada por compartilhar seus dias comigo, pela paciência infinita com meus defeitos e meu mau humor em dias ruins. Obrigada por estar presente durante minha formação matemática, em especial pela ajuda na elaboração do presente trabalho. Você me acalma e traz forças para encarar todos os desafios. Eu amo você.
À Mayanne Maia, minha amiga de todas as horas, obrigada pelo apoio a cada passo desse mestrado, pelos conselhos e pelas conversas sobre a vida, o mundo acadêmico e nosso papel como (futuras) professoras. Muito obrigada por sua amizade.
Aos meus amigos da sala 404: Ana Flor, Clarice, Danny, Dani, Denilson, Denis, Jhon, Luana, Michel, Rafael e Vinicius. Obrigada por todas as colaborações nos estudos e tantos momentos de descontração que ficarão guardados para sempre! Em especial, agradeço às minhas amigas Clarice e Luana. Aprendi muito com vocês duas e agradeço por estarem sempre ao meu lado nos momentos de insegurança e cansaço. Nós conseguimos!! Ao Denilson, agradeço especialmente pelo seu enorme carinho comigo e disponibilidade em me ajudar no que fosse necessário. Obrigada por me encorajar sempre a sonhar mais alto.
Por fim, agradeço a Deus, por colocar todas essas pessoas em meu caminho.
R E S U M O
Nesta dissertação, investigamos a propriedade de *-limpeza em anéis de grupo comutativos. Dado um anel 𝑅 local comutativo, começamos analisando quando os anéis de grupo 𝑅𝐶3 e
𝑅𝐶4 são *-limpos, baseados no artigo Some *-clean group rings. Posteriormente, seguindo
o artigo On *-clean group rings, estendemos nossa investigação para anéis de grupo F𝐺, onde 𝐺 é um grupo cíclico de ordem prima e F um corpo. A partir desses resultados, apresentamos uma caracterização completa dos anéis de grupo 𝑅𝐶𝑛 *-limpos, com 𝑅 anel
local comutativo e 3 ≤ 𝑛 ≤ 6. Terminamos fornecendo algumas caracterizações dos anéis de grupo F𝐺 *-limpos, onde 𝐺 denota um grupo abeliano finito e F um corpo tal que sua característica não divida o expoente do grupo 𝐺, baseados no artigo On *-clean group rings over abelian groups.
Palavras-chave: anéis de grupo, anéis limpos, anéis *-limpos, anéis com involução, extensões ciclotômicas.
In this dissertation, we investigate the *-clean property in commutative group rings. Given a commutative local ring 𝑅, we start by analyzing when the group rings 𝑅𝐶3 and
𝑅𝐶4 are *-clean, based on the article Some *-clean group rings. In a second moment,
following the article On *-clean group rings, we extend our investigation to the group rings F𝐺, where 𝐺 is a cyclic group of prime order and Fis a field. From these results, we present a complete characterization of the *-clean group rings 𝑅𝐶𝑛, where 𝑅 is a commutative local
ring and 3 ≤ 𝑛 ≤ 6. We finish this work providing some characterizations of the *-clean group rings F𝐺, where 𝐺 denotes a finite abelian group and F is a field with characteristic not dividing the exponent of the group 𝐺, based on the article On *-clean group rings over abelian groups.
Keywords: group rings, clean rings, *-clean rings, rings with involution, cyclotomic extensions.
S U M Á R I O
lista de notações x
introdução xi
1 conceitos preliminares 1
1.1 Elementos Básicos da Teoria de Anéis 1 1.2 Algumas Classes de Anéis 4
1.3 Anéis de Grupo 8 1.4 Involuções em Anéis 11 1.5 Extensões Ciclotômicas 12
2 anéis limpos e *-limpos 16
2.1 Definindo a Classe dos Anéis Limpos 16 2.2 Algumas Propriedades Básicas 17
2.3 Explorando a Propriedade de Limpeza em Algumas Classes de Anéis 23 2.4 A Subclasse dos Anéis *-Limpos 25
3 anéis de grupos *-limpos 28
3.1 Investigando Anéis de Grupo Comutativos *-limpos 28 3.2 Caso F𝐶𝑝 33
3.3 *-Limpeza em Anéis de Grupo sobre Anéis Locais Comutativos 42
4 *-limpeza em anéis de grupos abelianos sobre corpos 46 4.1 Considerações Iniciais 46
4.2 Construindo Idempotentes 47 4.3 Lema Principal 49
4.4 Caracterizações dos Anéis de Grupo F𝐺 *-Limpos 53
Considerações Finais 58
Referências Bibliográficas 59
𝑀𝑛(𝑅) Anel de matrizes 𝑛 × 𝑛 com entradas em 𝑅 𝑅𝑅 Anel 𝑅 visto como 𝑅-módulo à esqueda
char(𝑅) Característica do anel 𝑅 𝒵(𝑅) Centro do anel 𝑅
𝑊⊥ Complemento ortogonal de 𝑊 𝒰 (𝑅) Conjunto das unidades de 𝑅
𝐴 ∖ 𝐵 Conjunto dos elementos de 𝐴 que não pertencem a 𝐵 ℐ(𝑅) Conjunto dos idempotentes de 𝑅
C Conjunto dos números complexos Z Conjunto dos números inteiros Q Conjunto dos números racionais R Conjunto dos números reais exp(𝐺) Expoente do grupo 𝐺
𝜙(𝑛) Função phi de Euler avaliada no natural 𝑛 deg(𝑝(𝑥)) Grau do polinômio 𝑝(𝑥)
𝐶𝑛 Grupo cíclico de ordem 𝑛
Gal(𝐿/𝐾) Grupo de Galois da extensão 𝐿 sobre 𝐾 ⟨𝑔⟩ Grupo gerado pelo elemento 𝑔
𝐻 < 𝐺 𝐻 é subgrupo do grupo 𝐺
𝐻 C 𝐺 𝐻 é subgrupo normal do grupo 𝐺 mdc (𝑎, 𝑏) Máximo divisor comum entre 𝑎 e 𝑏 𝑜(𝑔) Ordem do elemento 𝑔 de um grupo 𝐺 |𝐺| Ordem do grupo 𝐺
I N T R O D U Ç Ã O
A teoria de anéis não comutativos surge da tentativa de estender os números complexos a vários sistemas numéricos hipercomplexos. Sua gênese data do início do século XIX, atingindo sua maturidade por volta da terceira década do século seguinte. Desde então, esta teoria tem desempenhando um importante papel em diferentes áreas da matemática, sempre que as propriedades e relações entre operações de adição e multiplicação em um determinado conjunto configure a estrutura de anel.
Em linhas gerais, muitos resultados da teoria de anéis são obtidos através do estudo de elementos com propriedades multiplicativas especiais, como os elementos idempotentes, unidades e nilpotentes. Em 1977, no curso de seus estudos sobre anéis exchange, Nicholson introduziu o conceito de anel limpo: um anel tal que todo elemento pode ser escrito como soma de uma unidade e um idempotente. Nicholson observou uma íntima relação entre anéis limpos e exchange e, desde então, várias pesquisas foram feitas envolvendo anéis limpos e suas relações com outras classes de anéis.
Ao longo dos últimos quarenta anos, vários conceitos surgiram a partir da propriedade de limpeza, sendo um deles o de anel *-limpo. Nesta dissertação, estamos interessados em investigar a propriedade de *-limpeza em anéis de grupo, no caso particular em que tais anéis são comutativos. Entretanto, apesar de contarmos com a comutatividade dos anéis de grupo, tal tarefa tem se mostrado complicada ao longo dos anos, visto que muito pouco é sabido até o momento.
Estruturamos esta dissertação em quatro capítulos, os quais passamos a descrever de maneira sucinta. No primeiro, apresentamos alguns conceitos básicos que sustentam as principais ideias desenvolvidas ao longo do texto, como o radical de Jacobson, a classe dos anéis de grupo, involuções em anéis e extensões ciclotômicas. Além disso, definimos algumas classes de anéis importantes no campo da teoria não comutativa, em especial.
No segundo capítulo, introduzimos anéis limpos e a subclasse dos anéis *-limpos. Exibimos alguns exemplos, exploramos algumas propriedades básicas e buscamos relações entre anéis limpos e as classes de anéis mencionadas no Capítulo 1. Em particular, apresentamos as relações entre anéis limpos e exchange observadas por Nicholson e que motivaram o seu estudo. Por fim, definimos anéis *-limpos, fornecendo uma motivação para sua definição e
apresentando dois resultados fundamentais para a investigação que será feita nos capítulos seguintes.
Prosseguindo, no terceiro capítulo, buscamos condições necessárias e suficientes para que anéis de grupo comutativos sejam *-limpos. Primeiramente, investigamos os casos 𝑅𝐶3 e
𝑅𝐶4, com 𝑅 um anel local comutativo. Em seguida, estendemos nossos estudos ao caso
F𝐶𝑝. Os resultados obtidos culminam em uma caracterização completa dos anéis de grupo
comutativos 𝑅𝐶𝑛 *-limpos, com 𝑅 um anel local comutativo e 3 ≤ 𝑛 ≤ 6.
No último e principal capítulo, apresentamos resultados mais recentes e abrangentes, caracterizando os anéis de grupo F𝐺 *-limpos, onde 𝐺 é um grupo abeliano finito e F um corpo tal que char(F)-exp(𝐺), sendo que, no caso em que char(F) = 0, é fornecida uma caracterização completa.
Por fim, fazemos algumas considerações finais, onde apresentamos algumas informações e observações sobre a pesquisa de anéis de grupo limpo e *-limpo, bem como possibilidades e questões que possam dar prosseguimento a estudos futuros.
1
C O N C E I T O S P R E L I M I N A R E S
Neste capítulo, apresentamos alguns aspectos da teoria de anéis fundamentais para o entendimento do texto. Não obstante, consideramos que o leitor esteja familiarizado com conceitos básicos de Álgebra elementar, tais como as estruturas de grupo, anel e módulo. Para quaisquer dúvidas a respeito de conceitos não definidos que surjam ao longo do texto, referimos [5], [12], [18]. Destacamos que, neste trabalho, 𝑅 sempre denotará um anel associativo com 1.
1.1
elementos básicos da teoria de anéis
Sabe-se da importância das unidades e idempotentes na determinação da estrutura de um anel. Recordando, descrevemos o conjunto das unidades como:
𝒰 (𝑅) = {𝑟 ∈ 𝑅 ; ∃ 𝑠 ∈ 𝑅, 𝑟𝑠 = 1 = 𝑠𝑟}.
Como 𝒰 (𝑅) possui estrutura de grupo, esse conjunto é frequentemente chamado de grupo das unidades de 𝑅. Já os idempotentes são elementos que satisfazem a identidade 𝑟2= 𝑟 e seu conjunto será denotado por ℐ(𝑅). São ditos idempotentes triviais os elementos 0 e 1.
Note que, se 𝑒 ∈ ℐ(𝑅) é não trivial, então 𝑓 = 1 − 𝑒 ∈ ℐ(𝑅) também é não trivial e a seguinte igualdade é satisfeita:
𝑒𝑓 = 0. (1)
Sendo assim, temos que 𝒰 (𝑅) ∩ ℐ(𝑅) = {1}, pois todo 𝑒 ∈ ℐ(𝑅) ∖ {1} é zero ou é um divisor de zero. Em geral, quando dois idempotentes 𝑒, 𝑓 ∈ ℐ(𝑅) arbitrários satisfazem a equação (1), dizemos que 𝑒 e 𝑓 são ortogonais.
Definição 1.1.1. Sejam 𝑅 um anel e {𝑒1, · · · , 𝑒𝑡} uma família de idempotentes em 𝑅
satis-fazendo as seguintes propriedades: (i) 𝑒𝑖̸= 0, para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡;
(ii) Se 𝑖 ̸= 𝑗, então 𝑒𝑖𝑒𝑗= 0;
(iii) 1 = 𝑒1+ · · · + 𝑒𝑡.
Então {𝑒1, · · · , 𝑒𝑡} é dita uma família completa de idempotentes ortogonais. Além disso,
se para cada 𝑒𝑖, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, não existirem 𝑒′𝑖, 𝑒′′𝑖 ∈ ℐ(𝑅) ortogonais não nulos tais que
𝑒𝑖= 𝑒′𝑖+ 𝑒′′𝑖, dizemos que {𝑒1, · · · , 𝑒𝑡} é uma família completa de idempotentes ortogonais
indecomponíveis.
1.1.1 Radical de Jacobson e elementos quase-regulares
O Radical de Jacobson está na base de grande parte das definições e resultados presentes ao longo desse texto. Apresentamos sua definição.
Definição 1.1.2. Seja 𝑅 um anel. O radical de Jacobson de 𝑅, denotado por 𝒥 (𝑅), é definido como a interseção de todos os ideais maximais à esquerda em 𝑅.
Se 𝑅 = {0}, por convenção, 𝒥 (𝑅) = {0}. Se 𝑅 ̸= 0, ideais maximais sempre existem em 𝑅 pelo Lema de Zorn. Na definição, poderíamos utilizar ideais maximais à direita ao invés de à esquerda. Ambas definições coincidem (ver [12, §4]), portanto 𝒥 (𝑅) é um ideal bilateral. A próxima proposição nos ajuda a caracterizar os elementos de 𝒥 (𝑅).
Proposição 1.1.3. [12, Lema 4.3] Para 𝑦 ∈ 𝑅, as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) 𝑦 ∈ 𝒥 (𝑅);
(2) 1 − 𝑥𝑦𝑧 ∈ 𝒰 (𝑅) para quaisquer 𝑥, 𝑧 ∈ 𝑅.
Proposição 1.1.4. O radical de Jacobson não contém idempotentes não nulos.
Demonstração. Seja 𝑒 ∈ 𝒥 (𝑅) idempotente. Então 1 − 𝑒 é uma unidade. No entanto 𝑒(1 − 𝑒) = 0, donde segue que 𝑒 = 0.
Uma classe de elementos que está diretamente ligada ao radical de Jacobson é a dos elementos quase-regulares.
Definição 1.1.5. Um elemento 𝑟 ∈ 𝑅 é dito quase-regular à esquerda se 1 − 𝑟 tem um inverso à esquerda, quase-regular à direita se 1 − 𝑟 tem inverso à direita e quase-regular se 1 − 𝑟 ∈ 𝒰 (𝑅).
1.1 elementos básicos da teoria de anéis 3
Observe que, pela definição, ser quase-regular à esquerda ou à direita não implica imediatamente ser quase-regular. A priori, os respectivos inversos à esquerda e à direita poderiam não ser o mesmo elemento. Entretanto, a próxima proposição garante a igualdade. Proposição 1.1.6. Se um elemento 𝑟 ∈ 𝑅 é quase-regular à esquerda e à direita, então 𝑟 é quase-regular.
Demonstração. Se 𝑟 é quase-regular à esquerda e à direita, então existem elementos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 tal que 𝑥(1 − 𝑟) = (1 − 𝑟)𝑦 = 1. Portanto
𝑥 = 𝑥1 = 𝑥((1 − 𝑟)𝑦) = (𝑥(1 − 𝑟))𝑦 = 1𝑦 = 𝑦.
Assim, 𝑥 = 𝑦 e 1 − 𝑟 ∈ 𝒰 (𝑅).
Proposição 1.1.7. Seja 𝐿 um ideal à esquerda de um anel 𝑅. Se todo elemento de 𝐿 é quase-regular à esquerda, então todos seus elementos são quase-regulares.
Demonstração. Sejam 𝑟 ∈ 𝐿 e 𝑥 ∈ 𝑅 o inverso à esquerda de 1 − 𝑟. Tomemos 𝑠 = 1 − 𝑥. Então (1 − 𝑠)(1 − 𝑟) = 1, o que nos dá −𝑟 − 𝑠 + 𝑠𝑟 = 0. Portanto 𝑠 = 𝑠𝑟 − 𝑟 = (𝑠 − 1)𝑟 ∈ 𝐿, donde concluímos que 1 − 𝑠 também tem um inverso à esquerda, digamos 𝑥𝑠. Uma vez
que 1 − 𝑟 é um inverso à direta de 1 − 𝑠, segue do Lema 1.1.6 que 𝑥𝑠= 1 − 𝑟 = (1 − 𝑠)−1,
portanto 𝑟 é quase-regular.
O resultado acima motiva a seguinte definição.
Definição 1.1.8. Um ideal 𝐿 de um anel 𝑅 é dito quase-regular à esquerda se for um ideal à esquerda e todos seus elementos forem quase-regulares.
Note que, pela Proposição 1.1.3, 𝒥 (𝑅) é um ideal quase-regular à esquerda. Mais ainda:
Proposição 1.1.9. Todo ideal quase-regular à esquerda de um anel 𝑅 está contido em 𝒥 (𝑅). Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que exista um ideal 𝐿 quase-regular à esquerda tal que 𝐿*𝒥 (𝑅). Assim, existe um ideal maximal à esquerda 𝐿0tal que 𝐿*𝐿0. Como 𝐿0
é maximal, segue que 𝐿+𝐿0= 𝑅 e portanto podemos escrever 1 = 𝑥+𝑦, com 𝑥 ∈ 𝐿 e 𝑦 ∈ 𝐿0.
Consequentemente 𝑦 = 1 − 𝑥 ∈ 𝐿0 é uma unidade, uma vez que 𝑥 ∈ 𝐿 é quase-regular, o
Observação 1.1.10. Note que poderíamos ter tomado em1.1.8 ideais à direita e concluir de forma análoga à Proposição 1.1.9 que todo ideal quase-regular à direita está contido em 𝒥 (𝑅), uma vez que as noções de radical de Jacobson à esquerda e à direita coincidem.
Uma subclasse importante dos elementos regulares é a dos elementos nilpotentes, cuja definição é dada a seguir.
Definição 1.1.11. Um elemento 𝑟 de um anel 𝑅 é dito nilpotente se existir um inteiro positivo 𝑛 tal que 𝑟𝑛= 0. Um ideal 𝑁 de 𝑅 é dito nil se todo elemento 𝑟 ∈ 𝑁 é nilpotente.
Observação 1.1.12. Todo elemento nilpotente é quase-regular. De fato, seja 𝑟 ∈ 𝑅 tal que 𝑟𝑛= 0 para algum 𝑛 inteiro positivo. Tomando 𝑢 = (𝑟𝑛−1+ 𝑟𝑛−2+ · · · + 1) é fácil verificar que (1−𝑟)𝑢 = 𝑢(1−𝑟) = 1, donde segue que 1−𝑟 ∈ 𝒰 (𝑅). Em virtude disso e da Proposição 1.1.9, temos o seguinte resultado.
Corolário 1.1.13. Todo ideal nil de um anel 𝑅 está contido em 𝒥 (𝑅). Demonstração. Segue diretamente das Observações 1.1.10e 1.1.12.
1.2
algumas classes de anéis
Nesta seção, apresentamos algumas classes de anéis importantes para o desenvolvimento do texto. Tais classes têm sido amplamente estudadas, sobretudo no campo da teoria de anéis não comutativos.
1.2.1 Anéis semissimples
Definição 1.2.1. Sejam 𝑅 um anel e 𝑀 um 𝑅-módulo (à esquerda). Dizemos que 𝑀 é um módulo:
(i) simples, se 𝑀 ̸= 0 e 𝑀 não possui 𝑅-submódulos além dos triviais. (ii) semissimples, se todo 𝑅-submódulo de 𝑀 é um somando direto.
Exemplo 1.2.2. Seja 𝐾 um corpo. Então todo 𝐾-espaço vetorial de dimensão finita é um 𝐾-módulo semissimples. De fato, sejam 𝑉 um 𝐾-espaço vetorial de dimensão finita e 𝑊 um
1.2 algumas classes de anéis 5
𝐾-submódulo, ou seja, um subespaço de 𝑉 . Da Álgebra Linear, sabemos que 𝑉 = 𝑊 ⊕ 𝑊⊥, e portanto 𝑊 é um somando direto.
Definição 1.2.3. Um anel 𝑅 é chamado semissimples se o módulo 𝑅𝑅 é semissimples.
Observe que os submódulos de 𝑅𝑅 são os ideais do anel 𝑅. Então segue que 𝑅 é semissimples se, e somente se, cada ideal à esquerda é um somando direto.
Teorema 1.2.4. [18, Teorema 2.5.7] Seja 𝑅 um anel. Então as seguintes condições são equivalentes:
(i) Todo 𝑅-módulo é semissimples. (ii) 𝑅 é um anel semissimples.
(iii) 𝑅 é soma direta de um número finito de ideais minimais.
O próximo teorema nos fornece uma importante caracterização dos anéis semissimples. Teorema 1.2.5 (Wedderburn-Artin). [12, Teorema 3.5] Um anel 𝑅 é semissimples se, e somente se, é da forma:
𝑅 ∼= 𝑀𝑛1(𝐷1) ⊕ . . . ⊕ 𝑀𝑛𝑡(𝐷𝑡)
onde 𝐷1, . . . , 𝐷𝑡 são anéis de divisão e 𝑛1, . . . , 𝑛𝑡 são inteiros positivos. O número 𝑡 e os
pares ordenados (𝐷𝑖, 𝑛𝑖) são unicamente determinados a menos de permutações.
1.2.2 Anéis locais
Definição 1.2.6. Um anel 𝑅 é dito local se satifaz uma das seguintes propriedades equiva-lentes:
(i) 𝑅 possui um único ideal maximal à esquerda. (ii) 𝑅 possui um único ideal maximal à direita. (iii) Se 𝑥 ∈ 𝑅, então 𝑥 ∈ 𝒰 (𝑅) ou 1 − 𝑥 ∈ 𝒰 (𝑅).
Segue da definição acima que, se 𝑅 é um anel local, 𝒥 (𝑅) deve coincidir com seu único ideal máximal à esquerda. Logo, um anel local pode ser visto como a união disjunta de seu grupo de unidades e seu radical de Jacobson.
Exemplo 1.2.7. Todo anel de divisão é local, pois todo elemento satisfaz a condição (iii) da Definição 1.2.6. Em particular, corpos são exemplos de anéis locais comutativos.
Exemplo 1.2.8. Seja 𝑝 ∈Z primo, então o anel dos inteiros localizados em 𝑝, dado por:
Z(𝑝)= {
𝑎
𝑏 ∈Q; 𝑝-𝑏},
é um anel local. De fato, Z(𝑝) possui um único ideal maximal (à esquerda e à direita), a
saber:
𝑀 = {𝑎
𝑏 ∈Q; 𝑝 | 𝑎 e 𝑝-𝑏},
o qual é o único ideal maximal pois, claramente, todos os outros elementos de Z(𝑝) são unidades.
Um fato interessante sobre um anel local diz respeito aos seus idempotentes, como mostra o resultado a seguir.
Proposição 1.2.9. Um anel local possui apenas idempotentes triviais.
Demonstração. Sejam 𝑅 um anel local e 𝑒 ∈ ℐ(𝑅). Tomando 𝑓 = (1 − 𝑒) ∈ ℐ(𝑅), já vimos que 𝑒𝑓 = 0. Mas, do item (iii) da definição 1.2.6, temos que 𝑒 ∈ 𝒰 (𝑅) ou 𝑓 ∈ 𝒰 (𝑅), ou seja, 𝑒 = 0 ou 𝑓 = 0, e o resultado segue.
1.2.3 Anéis regulares e artinianos
Anéis regulares foram introduzidos por von Neumann em 1936 em seu estudo sobre endomorfismos em espaços vetoriais topológicos [27].
Definição 1.2.10. Um anel é dito regular (no sentido de Von Neumann) se, para todo 𝑟 ∈ 𝑅, existir 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑟𝑥𝑟 = 𝑟.
Exemplo 1.2.11. Um anel 𝑅 é dito booleano se ℐ(𝑅) = 𝑅, isto é, se todo elemento de 𝑅 for idempotente. Anéis booleanos são regulares, pois, para todo 𝑟 ∈ 𝑅, basta tomar 𝑥 = 𝑟. Exemplo 1.2.12. Claramente, todo anel de divisão é regular.
Proposição 1.2.13. Um anel 𝑅 é regular se, e somente se, todo ideal principal à esquerda é gerado por um idempotente.
1.2 algumas classes de anéis 7
Demonstração. Suponha 𝑅 regular. Seja 𝐼 um ideal principal à esquerda. Por hipótese, existe 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝐼 = 𝑅𝑥. Seja 𝑦 ∈ 𝑅 tal que 𝑥𝑦𝑥 = 𝑥. Então 𝑦𝑥 = 𝑦𝑥𝑦𝑥 = (𝑦𝑥)2 é um idempotente de 𝐼. Seja 𝑒 = 𝑦𝑥, assim 𝑅𝑒 ⊆ 𝐼. Por outro lado, 𝑥𝑒 = 𝑥𝑦𝑥 = 𝑥, logo 𝑥 ∈ 𝑅𝑒 o que implica 𝐼 ⊆ 𝑅𝑒. Portanto, segue que 𝐼 = 𝑅𝑒.
Reciprocamente, suponha que todo ideal principal à esquerda é gerado por um idempo-tente. Seja 𝑥 ∈ 𝑅, então existe 𝑒 ∈ 𝑅 idempotente tal que 𝑅𝑥 = 𝑅𝑒, isto é, 𝑥 = 𝑟𝑒 e 𝑒 = 𝑠𝑥, com 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅. Mas isto significa que 𝑥𝑠𝑥 = 𝑥𝑒 = 𝑟𝑒𝑒 = 𝑟𝑒 = 𝑥 e portanto 𝑅 é regular.
Podemos interpretar essa proposição da seguinte maneira: para todo 𝑎 ∈ 𝑅, existe 𝑒 ∈ 𝑅 idempotente tal que 𝑅𝑎 = 𝑅𝑒.
Observe também que, em um anel regular, o radical de Jacobson deve ser identicamente nulo, pela Proposição 1.1.4.
Definição 1.2.14. Um anel 𝑅 é chamado unit-regular se, para todo 𝑟 ∈ 𝑅, existir uma unidade 𝑢 ∈ 𝑅 tal que 𝑟𝑢𝑟 = 𝑟.
Proposição 1.2.15. Um anel 𝑅 é unit-regular se, e somente se, todo elemento 𝑟 ∈ 𝑅 pode ser escrito como produto de uma unidade e de um idempotente de 𝑅.
Demonstração. Suponha 𝑅 unit-regular. Dado 𝑟 ∈ 𝑅, sabemos que existe 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) tal que 𝑟𝑢𝑟 = 𝑟. Tomemos 𝑣 = 𝑢−1, então 𝑟 = 𝑣(𝑢𝑟). Basta verificar que 𝑢𝑟 é idempotente. De fato, 𝑢𝑟𝑢𝑟 = 𝑢(𝑟𝑢𝑟) = 𝑢𝑟. Assim, 𝑟 se escreve como produto de uma unidade e um idempotente.
Reciprocamente, tomemos 𝑟 ∈ 𝑅. Por hipótese podemos escrever 𝑟 = 𝑢𝑒, com 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) e 𝑒 ∈ ℐ(𝑅). Tomemos 𝑣 = 𝑢−1. Assim 𝑟𝑣𝑟 = 𝑢𝑒𝑣𝑢𝑒 = 𝑢𝑒𝑒 = 𝑢𝑒 = 𝑟 e portanto 𝑅 é unit-regular.
Outra subclasse conhecida de anéis regulares é dos anéis fortemente 𝜋-regulares, definida a seguir.
Definição 1.2.16. Um anel 𝑅 é dito fortemente 𝜋-regular se uma das seguintes condições equivalentes são satisfeitas:
(i) Para todo 𝑥 ∈ 𝑅, existem 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 e um inteiro positivo 𝑛 tais que 𝑥𝑛= 𝑦𝑥𝑛+1= 𝑥𝑛+1𝑧.
(ii) Para todo 𝑥 ∈ 𝑅, a cadeia descedente de ideais principais à direita 𝑥𝑅 ⊇ 𝑥2𝑅 ⊇ · · · ⊇ 𝑥𝑛𝑅 ⊇ · · ·
(iii) Para todo 𝑥 ∈ 𝑅, a cadeia descedente de ideais principais à esquerda 𝑅𝑥 ⊇ 𝑅𝑥2⊇ · · · ⊇ 𝑅𝑥𝑛⊇ · · ·
estabiliza.
Recorde que uma cadeia descendente 𝐼1⊇ 𝐼2⊇ 𝐼3⊇ . . . de ideais em um anel 𝑅 estabiliza
quando existe 𝑚 ∈N tal que 𝐼𝑖= 𝐼𝑚 para todo 𝑖 ≥ 𝑚. Uma prova para a equivalência das
condições acima pode ser encontrada em [25, Lema 23.1].
Definição 1.2.17. Um anel 𝑅 é dito artiniano à esquerda (respectivamente à direita), se satisfaz a condição de cadeia descendente para ideais à esquerda (respectivamente à direita), ou seja, toda cadeia descendente de ideais à esquerda (respectivamente à direita) 𝐼1⊇ 𝐼2⊇ 𝐼3⊇ . . . estabiliza. Um anel 𝑅 é dito artiniano se for artiniano à esquerda e à
direita.
Exemplo 1.2.18. Todo anel de divisão 𝐷 é artiniano, uma vez que seus únicos ideais são 0 e 𝐷.
Exemplo 1.2.19. O anel Z não é artiniano, pois a cadeia descendenteZ⊇ 2Z⊇ 4Z⊇ 8Z⊇ · · · não estabiliza.
Corolário 1.2.20. Todo anel artiniano é fortemente 𝜋-regular.
Demonstração. Se 𝑅 é um anel artiniano, então é um anel artiniano à esquerda, em par-ticular. Logo, para todo 𝑥 ∈ 𝑅, a cadeia 𝑅𝑥 ⊇ 𝑅𝑥2⊇ . . . ⊇ 𝑅𝑥𝑛. . . estabiliza, satisfazendo
a condição (iii) da Definição 1.2.16. Portanto 𝑅 é fortemente 𝜋-regular.
1.3
anéis de grupo
Nesta seção, faremos uma breve apresentação dos anéis de grupo, destacando resultados e propriedades importantes para o desenvolvimento do trabalho. Uma exposição completa do assunto pode ser encontrada em [18].
Dado um anel 𝑅 e um grupo 𝐺, definimos o conjunto 𝑅𝐺 das 𝑅-combinações lineares formais (finitas) de elementos de 𝐺, isto é,
𝑅𝐺 B {𝛼 = ∑︁
𝑔∈𝐺
1.3 anéis de grupo 9
Neste conjunto, podemos definir a adição de elementos componente a componente, ou seja, (∑︁ 𝑔∈𝐺 𝑎𝑔𝑔) + ( ∑︁ 𝑔∈𝐺 𝑏𝑔𝑔) = ∑︁ 𝑔∈𝐺 (𝑎𝑔+ 𝑏𝑔)𝑔
Também podemos definir a multiplicação de elementos de 𝑅𝐺, estendendo-se 𝑅-linearmente à multiplicação de 𝐺: (∑︁ 𝑔∈𝐺 𝑎𝑔𝑔)( ∑︁ 𝑔∈𝐺 𝑏𝑔𝑔) = ∑︁ 𝑔,ℎ∈𝐺 𝑎𝑔𝑏ℎ𝑔ℎ.
Com as operações acima, é fácil verificar que 𝑅𝐺 possui uma estrutura de anel com identidade 1𝑅𝐺= 1𝑅1𝐺, onde 1𝑅 e 1𝐺 denotam as identidades de 𝑅 e 𝐺, respectivamente.
Ainda, é possível definir uma multiplicação por elementos de 𝑅, nomeadamente: 𝜆(∑︁ 𝑔∈𝐺 𝑎𝑔𝑔) = ∑︁ 𝑔∈𝐺 (𝜆𝑎𝑔)𝑔.
Com este produto por elementos de 𝑅 e a adição de elementos de 𝑅𝐺 acima, define-se em 𝑅𝐺 uma estrutura de 𝑅-módulo. Se 𝑅 for comutativo, temos que 𝑅𝐺 é uma 𝑅-álgebra.
Definição 1.3.1. Sejam 𝐺 um grupo e 𝑅 um anel. Com as operações de adição e multiplicação definidas acima, 𝑅𝐺 é chamado o anel de grupo de 𝐺 sobre 𝑅. Se 𝑅 for comutativo, com a operação de multiplicação por elementos de 𝑅, 𝑅𝐺 é também chamado de álgebra de grupo de 𝐺 sobre 𝑅.
Para um elemento 𝛼 ∈ 𝑅𝐺, definimos o suporte de 𝛼, denotado supp(𝛼), como sendo o conjunto 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝛼) = {𝑔 ∈ 𝐺 : 𝑎𝑔̸= 0}. Pela definição de anel de grupo, temos que supp(𝛼) é
sempre finito.
Note que podemos definir uma inclusão 𝑖 : 𝐺 → 𝑅𝐺, tal que cada 𝑥 ∈ 𝐺 é levado no elemento 𝑖(𝑥) =∑︀
𝑔∈𝐺𝑎𝑔𝑔, onde 𝑎𝑥= 1𝑅 e 𝑎𝑔= 0 se 𝑔 ̸= 𝑥. Com esta aplicação, podemos
considerar 𝐺 como um subconjunto de 𝑅𝐺. Isso nos permite ver 𝑅𝐺 como um 𝑅-módulo livre de base 𝐺. Portanto, dados dois elementos 𝛼 =∑︀
𝑔∈𝐺𝑎𝑔𝑔 e 𝛽 = ∑︀𝑔∈𝐺𝑏𝑔𝑔 de 𝑅𝐺,
temos que 𝛼 = 𝛽 se, e somente se, 𝑎𝑔= 𝑏𝑔, para todo 𝑔 ∈ 𝐺.
Também podemos definir o homomorfismo de anéis 𝜈 : 𝑅 → 𝑅𝐺 tal que a cada 𝑟 ∈ 𝑅 associa a 𝜈(𝑟) =∑︀
𝑔∈𝐺𝑎𝑔𝑔, onde 𝑎1𝐺= 𝑟 e 𝑎𝑔= 0 se 𝑔 ̸= 1𝐺. Verifica-se facilmente que 𝜈 é um monomorfismo de anéis, portanto, podemos considerar 𝑅 como um subanel de 𝑅𝐺.
Exemplo 1.3.2. Vamos contruir o anel de grupo de 𝐶2= ⟨𝑔⟩ sobre F2= {0, 1}. Temos que: F2𝐶2= { ∑︁ 𝑔∈𝐶2 𝑎𝑔𝑔; 𝑎𝑔∈F2} = {0F21𝐶2+ 0F2𝑔, 1F21𝐶2+ 0F2𝑔, 0F21𝐶2+ 1F2𝑔, 1F21𝐶2+ 1F2𝑔} = {0F2𝐶2, 1F2𝐶2, 1F2𝑔, 1F21𝐶2+ 1F2𝑔} = {0, 1, 𝑔, 1 + 𝑔} Construindo as tabelas de operações:
+ 0 1 𝑔 1 + 𝑔
0 0 1 𝑔 1 + 𝑔
1 1 0 1 + 𝑔 𝑔
𝑔 𝑔 1 + 𝑔 0 1
1 + 𝑔 1 + 𝑔 𝑔 1 0
Tabela 1: Tabela de adição em F2𝐶2
× 0 1 𝑔 1 + 𝑔
0 0 0 0 0
1 0 1 𝑔 1 + 𝑔
𝑔 0 𝑔 1 1 + 𝑔
1 + 𝑔 0 1 + 𝑔 1 + 𝑔 0
Tabela 2: Tabela de multiplicação em F2𝐶2
No exemplo acima, note que 𝒰 (F2𝐶2) = {1, 𝑔} = 𝐶2. Em geral, a igualdade 𝒰 (𝑅𝐺) = 𝐺
não é verdadeira (por exemplo, ver [18, Proposição 8.1.3]). Na verdade, determinar 𝒰 (𝑅𝐺) não é um problema fácil, e várias pesquisas têm sido feitas com essa finalidade.
Definição 1.3.3. A aplicação 𝜀 : 𝑅𝐺 → 𝑅 dada por:
∑︁ 𝑔∈𝐺 𝑎𝑔𝑔 ↦→ ∑︁ 𝑔∈𝐺 𝑎𝑔
é um homomorfismo de anéis, chamado homomorfismo de aumento de 𝑅𝐺. O seu núcleo, denotado por Δ(𝐺), é chamado ideal de aumento de 𝑅𝐺.
Exemplo 1.3.4. Sejam 𝐺 = 𝐶2= ⟨𝑔⟩ e 𝑅 =R. Assim, construímos a R-álgebra de grupo R𝐶2, formada pelos seguintes elementos:
𝛼 = 𝜆11 + 𝜆2𝑔
onde 𝜆1, 𝜆2∈R. Seu ideal de aumento é:
1.4 involuções em anéis 11
O próximo resultado, demonstrado por Heinrich Maschke no início do século XX, origi-nalmente da Teoria de Representações de Grupos e posteriormente traduzido para os Anéis de Grupo, caracteriza as álgebras de grupos semissimples de grupos finitos sobre corpos. Teorema 1.3.5 (Maschke). [18, Corolário 3.4.8] Sejam 𝐾 um corpo e 𝐺 um grupo finito. Então 𝐾𝐺 é semissimples se, e somente se, 𝑐ℎ𝑎𝑟(𝐾)-|𝐺|.
1.4
involuções em anéis
Nesta seção, iremos explorar o conceito de involução em anéis.
Definição 1.4.1. Seja 𝑅 um anel. Dizemos que uma aplicação * : 𝑅 → 𝑅 é uma involução em 𝑅 se, para todo 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅, 𝜏 satisfaz as seguintes propriedades:
(i) (𝑟 + 𝑠)*= 𝑟*+ 𝑠*; (ii) (𝑟𝑠)*= 𝑠*𝑟*;
(iii) (𝑟*)*= 𝑟.
Quando tal aplicação existe, dizemos que 𝑅 é um *-anel.
Lema 1.4.2. Sejam 𝑅 um anel e * uma involução em 𝑅, então valem as seguintes pro-priedades:
(i) 1*= 1; (ii) 0*= 0;
(iii) (−𝑟)*= −𝑟*, para todo 𝑟 ∈ 𝑅;
(iv) Se 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) então (𝑢−1)*= (𝑢*)−1.
Demonstração.
(i) Temos que 1 = (1*)*= (1 · 1*)*= 1 · 1*= 1*. (ii) Note que 0*= (0 + 0)*= 0*+ 0*, logo 0*= 0.
(iii) Seja 𝑟 ∈ 𝑅. Utilizando o item (ii), temos que 0 = 0*= (𝑟 + (−𝑟))*= 𝑟*+ (−𝑟)*, donde segue que (−𝑟)*= −𝑟*.
(iv) Seja 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅). Utilizando o item (i), temos que 1 = (𝑢.𝑢−1)*= (𝑢−1)*· 𝑢*. De forma análoga, temos 1 = 𝑢*· (𝑢−1)*, portanto (𝑢−1)*= (𝑢*)−1.
Definição 1.4.3. Sejam 𝑅 um anel e * uma involução em 𝑅. Um elemento 𝑟 ∈ 𝑅 é dito: (i) *-simétrico, se 𝑟 é ponto fixo de *, ou seja, 𝑟*= 𝑟.
(ii) projeção, se 𝑟 for idempotente e *-simétrico, ou seja, 𝑟*= 𝑟 = 𝑟2.
Seguem alguns exemplos de involuções em anéis.
Exemplo 1.4.4. A conjugação complexa é uma involução em C.
Exemplo 1.4.5. Seja 𝑅 um anel. A transposição de matrizes é uma involução em 𝑀𝑛(𝑅).
Exemplo 1.4.6. Um anel 𝑅 é comutativo se, e somente se, o homomorfismo identidade é uma involução em 𝑅.
Se 𝑅 é um anel comutativo, dado um grupo 𝐺, o anel de grupo 𝑅𝐺 possui uma importante involução, frequentemente utilizada nesse texto, enunciada na proposição a seguir.
Proposição 1.4.7. [18, Proposição 3.2.1] Sejam 𝑅 um anel comutativo e 𝐺 um grupo. A aplicação * : 𝑅𝐺 → 𝑅𝐺 definida por:
⎛ ⎜ ⎝ ∑︁ 𝑔∈𝐺 𝑎𝑔𝑔 ⎞ ⎟ ⎠ * = ∑︁ 𝑔∈𝐺 𝑎𝑔𝑔−1
é uma involução em 𝑅𝐺, denominada involução clássica.
1.5
extensões ciclotômicas
Nesta seção, apresentamos alguns resultados básicos sobre raízes da unidade, polinômios ciclotômicos e extensões ciclotômicas. Para uma revisão e/ou aprofundamento em Teoria de Galois, sugerimos [17] e [19].
1.5 extensões ciclotômicas 13
Definição 1.5.1. Sejam F um corpo e 𝑝(𝑥) ∈F[𝑥]. Um corpo de decomposição de 𝑝(𝑥) sobre F é uma extensão 𝐿 de F sobre a qual 𝑝(𝑥) decompõe-se em fatores lineares:
𝑝(𝑥) =
deg(𝑝(𝑥))
∏︁
𝑖=1
(𝑥 − 𝑎𝑖)
onde, para cada 𝑖, tem-se (𝑥 − 𝑎𝑖) ∈ 𝐿[𝑥] e as raízes 𝑎𝑖 geram 𝐿 sobreF.
A extensão 𝐿 é, portanto, uma extensão de grau minímo sobreF onde 𝑝 decompõe-se linearmente. Prova-se que o corpo de decomposição de um polinômio é único, a menos de isomorfismo [17, Teorema 1.15].
Definição 1.5.2. Sejam F um corpo e 𝑛 ∈N. O corpo de decomposição de 𝑥𝑛− 1 sobre F é chamado de n-ésimo corpo ciclotômico sobre F e denota-se por F(𝑛). As raízes de 𝑥𝑛− 1 emF(𝑛) são chamadas de raízes n-ésimas da unidade sobre F e o conjunto de todas estas raízes é denotado por 𝐸(𝑛).
Tomando F =Q, em particular, Q(𝑛) é um subcorpo de C e é bem conhecido que as raízes 𝑛-ésimas da unidade podem ser interpretadas geometricamente como os vértices de um polígono regular de 𝑛 lados sobre o círculo unitário no plano complexo.
Em geral, a estrutura de 𝐸(𝑛) é determinada pela relação de 𝑛 com a característica do corpo F, como mostra o seguinte teorema.
Teorema 1.5.3. Sejam 𝑛 ∈N e F um corpo de característica 𝑞 ≥ 0 tal que 𝑞-𝑛. Então 𝐸(𝑛) é um grupo cíclico de ordem 𝑛 com respeito à multiplicação em F(𝑛).
Demonstração. O caso 𝑛 = 1 é trivial. Para 𝑛 ≥ 2, observe que 𝑥𝑛− 1 e sua derivada 𝑛𝑥𝑛−1 não possuem raízes em comum, portanto todas as raízes de 𝑥𝑛− 1 são simples e consequentemente 𝐸(𝑛) é formado por exatamente 𝑛 elementos. Para mostrar que 𝐸(𝑛) é de fato um grupo, tomemos 𝛼𝑖, 𝛼𝑗∈ 𝐸(𝑛). Temos que (𝛼𝑖𝛼−1𝑗 )𝑛 = 𝛼𝑖𝑛(𝛼−1𝑗 )𝑛= 𝛼𝑛𝑖(𝛼𝑛𝑗)−1= 1,
logo 𝛼𝑖𝛼𝑗−1∈ 𝐸(𝑛). Como 𝐸(𝑛)̸= ∅, temos que 𝐸(𝑛) é um grupo abeliano. Falta-nos provar
que 𝐸(𝑛) é cíclico. Seja 𝑡 = exp(𝐸(𝑛)). Como o expoente de um grupo divide sua ordem, temos 𝑡 ≤ 𝑛. Por outro lado, temos que 𝛼𝑡𝑖, para todo 𝑖 com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 , são raízes do polinômio 𝑥𝑡− 1 ∈F[𝑥], que tem no máximo 𝑡 raízes. Portanto 𝑡 = 𝑛 e, pelo Teorema de Estrutura dos Grupos Abelianos Finitamente gerados [5, Capítulo 5, Teorema 3], segue que 𝐸(𝑛) tem um elemento de ordem 𝑛. Assim concluímos que 𝐸(𝑛) é cíclico.
Nas condições do teorema acima, a existência de geradores de 𝐸(𝑛) motiva a seguinte definição.
Definição 1.5.4. SejamF um corpo de característica 𝑞 ≥ 0 e 𝑛 um inteiro positivo com 𝑞-𝑛. Então um gerador do grupo 𝐸(𝑛) é chamado de uma raiz primitiva 𝑛-ésima da unidade sobre F.
Assim, 𝐸(𝑛) tem 𝜙(𝑛) geradores, onde 𝜙(𝑛) denota a função 𝜙 de Euler, ou seja, há 𝜙(𝑛) raízes primitivas 𝑛-ésimas da unidade sobre F. Tomando uma destas, denotando por 𝜔, o conjunto de todas as raízes primitivas 𝑛-ésimas da unidade sobre F é dado por:
{𝜔𝑠: 1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑛, mdc(𝑠, 𝑛) = 1}.
Definição 1.5.5. SejamF um corpo de característica 𝑞 ≥ 0 e 𝑛 tal que 𝑞-𝑛 e 𝜔 uma 𝑛-ésima raiz primitiva da unidade sobreF. Então o polinômio
Φ𝑛(𝑥) = 𝑛 ∏︁ 𝑠=1 (𝑠,𝑛)=1 (𝑥 − 𝜔𝑠)
é chamado o 𝑛-ésimo polinômio ciclotômico sobreF.
Naturalmente, os coeficientes de Φ𝑛(𝑥) pertencem a F(𝑛). Entretanto, por [16, Teorema 2.45(ii)], temos que os coeficientes pertencem ao subcorpo primo deF e portanto faz sentido que Φ𝑛(𝑥) seja um polinômio sobre F.
Note que a soma de todas as raízes 𝑛-ésimas da unidade é igual a 0. De fato, esta soma é o coeficiente que acompanha o termo 𝑥𝑛−1, o qual tem coeficiente 0 no polinômio 𝑥𝑛− 1. Exemplo 1.5.6. 1. Sejam 𝑛 = 3,F um corpo arbitrário tal que 𝑐ℎ𝑎𝑟(F) ̸= 3 e 𝜔 uma raiz
primitiva cúbica da unidade sobre F. Então:
Φ3(𝑥) = (𝑥 − 𝜔)(𝑥 − 𝜔2) = 𝑥2− (𝜔 + 𝜔2)𝑥 + 𝜔3= 𝑥2+ 𝑥 + 1
2. Sejam 𝑟 um primo e 𝑘 um inteiro positivo. Em [16, Exemplo 2.46] é provado que:
Φ𝑟𝑘(𝑥) = 1 + 𝑥𝑟 𝑘−1
+ 𝑥2𝑟𝑘−1+ · · · + 𝑥(𝑟−1)𝑟𝑘−1.
Em particular, podemos determinar Φ4(𝑥) = 𝑥2+ 1.
SejaFum corpo tal que 𝑐ℎ𝑎𝑟(F)-𝑛, com 𝑛 inteiro positivo. Nessas condições, o polinômio ciclotômico Φ𝑛(𝑥) está bem definido. Se 𝜔 é uma raiz primitiva 𝑛-ésima da unidade, note
queF(𝑛)=F(𝜔), onde F(𝜔) denota a extensão deF gerada por 𝜔. F(𝜔) é dita uma extensão ciclotômica. Tais extensões são estudadas em Teoria de Galois e terão um papel fundamental nas demonstrações dos principais resultados deste trabalho. O próximo resultado nos fornece informações importantes sobre tais extensões.
1.5 extensões ciclotômicas 15
Proposição 1.5.7. [19, Proposição 7.2] Sejam F um corpo e 𝑛 um inteiro positivo. Suponha
que 𝑐ℎ𝑎𝑟(𝐹 )-𝑛 e seja F(𝑛) o corpo de decomposição do polinômio 𝑥𝑛− 1 sobre F. Então F(𝑛)/F é de Galois, F(𝑛) =F(𝜔) é gerada por uma raiz primitiva 𝑛-ésima da unidade 𝜔
arbitrária e Gal(F(𝜔)/F) é isomorfo a um subgrupo de (Z/𝑛Z)*. Portanto, Gal(F(𝜔)/F) é abeliano e [F(𝜔) :F]|𝜙(𝑛).
Finalizamos este capítulo com o principal teorema da Teoria de Galois.
Teorema 1.5.8. [Teorema Fundamental da Teoria de Galois][17, Capítulo 2, Teorema 4] Seja 𝐿 uma extensão Galois finita de um corpo 𝐾. Então existe uma correspondência biunívoca entre os corpos 𝑀 tais que 𝐾 ⊆ 𝑀 ⊆ 𝐿 e os subgrupos de Gal(𝐿/𝐾). Esta correspondência é dada por:
𝑀 ↔ Gal(𝐿/𝑀 ).
Se 𝐾 ⊆ 𝑀 ⊆ 𝐿, temos que 𝑀 ⊇ 𝐾 é Galois se, e somente se, Gal(𝐿/𝑀 ) ▷ Gal(𝐿/𝐾). Neste caso:
2
A N É I S L I M P O S E * - L I M P O S
Neste capítulo, introduzimos anéis limpos, apresentamos algumas propriedades básicas, relacionamos anéis limpos com algumas outras classes de anéis conhecidas e definimos a subclasse dos anéis *-limpos.
2.1
definindo a classe dos anéis limpos
Definição 2.1.1. Um elemento 𝑟 de um anel 𝑅 é dito limpo se pode ser escrito como soma de uma unidade e um idempotente de 𝑅, isto é, 𝑟 = 𝑢 + 𝑒, com 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) e 𝑒 ∈ ℐ(𝑅).
São exemplos de elementos limpos:
Exemplo 2.1.2. (1) unidades: Seja 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅). Como 0 é um idempotente em qualquer anel 𝑅, podemos escrever 𝑢 = 𝑢 + 0.
(2) idempotentes: Se 𝑒 ∈ ℐ(𝑅), então 1 − 𝑒 ∈ ℐ(𝑅) e 2𝑒 − 1 ∈ 𝒰 (𝑅)), visto que (2𝑒 − 1)2= 1. Assim, podemos escrever 𝑒 = (2𝑒 − 1) + (1 − 𝑒).
(3) quase-regulares: Se 𝑥 é quase-regular, então −(1−𝑥) ∈ 𝒰 (𝑅) e, sendo 1 um idempotente, podemos escrever 𝑥 = −(1 − 𝑥) + 1.
Em particular, o item (3) do exemplo acima nos diz que elementos nilpotentes também são elementos limpos.
Definição 2.1.3. Um anel 𝑅 é dito limpo se todo elemento 𝑟 ∈ 𝑅 é limpo.
De2.1.2, obtemos o seguinte corolário, o qual fornece nossos primeiros exemplos de anéis limpos.
Corolário 2.1.4. Anéis de divisão, anéis booleanos e anéis locais são limpos. Em particular, todo corpo é limpo.
2.2 algumas propriedades básicas 17
Demonstração. Segue diretamente do exemplo 2.1.2, uma vez que todo elemento de um anel de divisão, booleano ou local é uma unidade, um idempotente ou quase-regular, respectivamente.
Como exemplo de anéis que não são limpos, temos o anel dos inteiros, uma vez que ℐ(Z) = {0, 1} e 𝒰 (Z) = {1, −1}. Em suma, esse exemplo nos diz que subanéis de anéis limpos podem não ser limpos (pois Z é subanel do corpo Q). Se 𝑅 for um anel comutativo, 𝑅[𝑥] também é um exemplo de anel que não é limpo. Uma prova para este fato pode ser encontrada em [8, Exemplo 2].
2.2
algumas propriedades básicas
Na seção anterior, construímos alguns exemplos de anéis limpos ao verificar que cada elemento era limpo. Visto que essa tarefa pode se tornar extremamente complicada, se faz necessário determinar algumas propriedades desses anéis, a fim de construir novos exemplos, bem como conhecer melhor essa classe.
Proposição 2.2.1. Toda imagem homomórfica de um anel limpo é um anel limpo.
Demonstração. Uma vez que homomorfismos preservam multiplicação, a imagem ho-momórfica de uma unidade (resp. idempotente) é uma unidade (resp. idempotente). Como a adição também é preservada, o resultado segue.
Proposição 2.2.2. O produto direto de anéis ∏︀
𝑅𝑖 é limpo se, e somente se, cada 𝑅𝑖 é limpo.
Demonstração. Como a multiplicação em um produto direto de anéis é definida compo-nente a compocompo-nente, um elemento em ∏︀
𝑅𝑖 é uma unidade (respectivamente idempotente)
se, e somente se, cada 𝑖-ésima entrada desse elemento é uma unidade (respectivamente idempotente) de 𝑅𝑖. Uma vez que a adição de um produto direto de anéis também é
definida componente a componente, o resultado segue.
As proposições acima nos mostram que a limpeza de anéis se preserva sob algumas construções básicas em anéis. Vamos verificar que o mesmo ocorre quando lidamos com o anel de matrizes de um anel limpo. Para isso, recordemos o conceito de unidades matriciais.
Considere o anel de matrizes 𝑀𝑛(𝑅), onde 𝑅 é um anel. Denota-se por 𝐸𝑖𝑗 a matriz cuja
entrada (𝑖, 𝑗) é igual a 1 e todas as demais são 0. As matrizes 𝐸𝑖𝑗, 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 são chamadas
de unidades matriciais. Por 𝑎𝐸𝑖𝑗 denotamos a matriz cuja entrada (𝑖, 𝑗) é 𝑎 ∈ 𝑅 e todas as
demais são zeros. Claramente, as unidades matriciais formam uma base para 𝑀𝑛(𝑅).
Note que, para 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛(𝑅) uma matriz arbritrária, temos que:
𝐸𝑖𝑗𝐴𝐸𝑘𝑙= 𝑎𝑗𝑘𝐸𝑖𝑙 ∀1 ≤ 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 ≤ 𝑛. (2)
Observação 2.2.3. As matrizes 𝐸𝑖𝑖 satisfazem:
a) 𝐼𝑛= 𝐸11+ 𝐸22+ · · · + 𝐸𝑛𝑛, onde 𝐼𝑛 denota a identidade de 𝑀𝑛(𝑅);
b) (𝐸𝑖𝑖)2= 𝐸𝑖𝑖, isto é, 𝐸𝑖𝑖 é um idempotente de 𝑀𝑛(𝑅);
c) 𝐸𝑗𝑗𝐸𝑖𝑖 = 0, ∀ 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 com 𝑖 ̸= 𝑗, isto é, os elementos 𝐸11, . . . , 𝐸𝑛𝑛 são ortogonais
dois a dois.
Com isto, o conjunto {𝐸(𝑖𝑖)}𝑛𝑖=1 é uma família completa de idempotentes ortogonais. Em [8, Teorema], Han e Nicholson mostraram que, se a identidade de um anel 𝑅 pode ser escrita como uma soma finita 1 = 𝑒1+ · · · + 𝑒𝑛, onde 𝑒1, · · · , 𝑒𝑛 são idempotentes ortogonais
dois a dois e cada 𝑒𝑖𝑅𝑒𝑖 é limpo, então 𝑅 é limpo.
Assim, considerando o anel de matrizes 𝑀𝑛(𝑅), com 𝑅 limpo, temos que o conjunto de
unidades matriciais satisfaz 1 = 𝐼𝑛= 𝐸11+ · · · + 𝐸𝑛𝑛, com 𝐸𝑖𝑖 idempotentes ortogonais por
2.2.3e, sendo 𝐸𝑖𝑖𝑀𝑛(𝑅)𝐸𝑖𝑖= {𝑎𝐸𝑖𝑖∈ 𝑀𝑛(𝑅) : 𝑎 ∈ 𝑅} ∼= 𝑅, segue que 𝐸𝑖𝑖𝑀𝑛(𝑅)𝐸𝑖𝑖 é limpo
para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Consequentemente, 𝑀𝑛(𝑅) é limpo.
Isto prova o seguinte resultado.
Proposição 2.2.4. Se 𝑅 é limpo, então 𝑀𝑛(𝑅) é limpo.
2.2.1 Levantamento de idempotentes e unidades
Definição 2.2.5. Para um ideal 𝐼 de um anel 𝑅, diz-se que idempotentes se levantam módulo 𝐼 se, para cada 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑥 − 𝑥2∈ 𝐼, existe 𝑒 ∈ ℐ(𝑅) tal que 𝑒 − 𝑥 ∈ 𝐼. Um anel 𝑅 é dito exchange se todo idempotente pode ser levantado módulo todo ideal à esquerda de 𝑅.
Em [22], Nicholson provou que anéis limpos possuem a propriedade de levantamento de idempotentes.
2.2 algumas propriedades básicas 19
Proposição 2.2.6. Todo anel limpo é exchange.
Demonstração. Sejam 𝑅 um anel limpo, 𝐼 um ideal à esquerda de 𝑅 e tomemos 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑥 − 𝑥2∈ 𝐼. É suficiente mostrar que existe algum idempotente 𝑒 ∈ 𝑅 tal que 𝑒 − 𝑥 ∈ 𝐼. Uma vez que 𝑅 é limpo, podemos escrever 𝑥 = 𝑢 + 𝑓 , onde 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) e 𝑓 ∈ ℐ(𝑅). Seja 𝑣 = 𝑢−1 e considere 𝑒 = 𝑣(1 − 𝑓 )𝑢. Temos que:
𝑒2 = 𝑣(1 − 𝑓 )𝑢𝑣(1 − 𝑓 )𝑢 = 𝑣(1 − 𝑓 )(1 − 𝑓 )𝑢 = 𝑣(1 − 𝑓 )𝑢
= 𝑒.
Portanto 𝑒 ∈ ℐ(𝑅). Agora, observe que:
𝑢(𝑥 − 𝑒) = 𝑢[𝑢 + 𝑓 − 𝑣(1 − 𝑓 )𝑢] = 𝑢(𝑢 + 𝑓 − 1 + 𝑣𝑓 𝑢) = 𝑢2+ 𝑢𝑓 − 𝑢 + 𝑓 𝑢 = 𝑥2− 𝑥.
Logo (𝑒 − 𝑥) = 𝑣(𝑥 − 𝑥2) ∈ 𝐼, e o resultado segue.
Uma pergunta natural a ser feita é se a recíproca é sempre verdadeira. Em [4], Camillo e Yu deram uma resposta negativa ao observarem que existem anéis exchange que não são limpos, através de um exemplo construído por Bergman (ver [9]). Entretanto, se os idempotentes de um anel exchange forem todos centrais, a recíproca é assegurada.
Proposição 2.2.7. Seja 𝑅 um anel exchange. Se ℐ(𝑅) ⊆ 𝒵(𝑅), então 𝑅 é limpo.
Demonstração. Se 𝑅 é exchange e 𝑥 ∈ 𝑅, podemos tomar 𝑒 ∈ ℐ(𝑅) tal que 𝑒 ∈ 𝑅𝑥 e (1 − 𝑒) ∈ 𝑅(1 − 𝑥) [22, Proposição 1.1]. Sejam 𝑒 = 𝑎𝑥 e 1 − 𝑒 = 𝑏(1 − 𝑥), com 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. Sem perda de generalidade, podemos supor 𝑒𝑎 = 𝑎 e então 𝑎𝑥𝑎 = 𝑎 (uma vez que 𝑒(𝑒𝑎) = 𝑒𝑎 e 𝑒 = 𝑒2 = (𝑒𝑎)𝑥, basta tomar 𝑎′ = 𝑒𝑎). Como todo idempotente é central,
temos 𝑥𝑎 = 𝑥(𝑎𝑥)𝑎 = 𝑥𝑎(𝑎𝑥) = 𝑎(𝑥𝑎)𝑥 = 𝑎𝑥. Similarmente, podemos supor (1 − 𝑒)𝑏 = 𝑏 e 𝑏(1 − 𝑥) = (1 − 𝑥)𝑏. Observe que 𝑥(1 − 𝑒) ∈ 𝒰 (𝑅), uma vez que:
(𝑥(1 − 𝑒))(𝑎 − 𝑏) = 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 − 𝑎 + 𝑒𝑎 + (1 − 𝑒)𝑏 = 𝑒 − 𝑥𝑏 + 𝑏
= 𝑒 + 1 − 𝑒 = 1
e, analogamente, também temos (𝑎 − 𝑏)(𝑥(1 − 𝑒)) = 1. Como 𝑥 = (𝑥 − (1 − 𝑒)) + (1 − 𝑒), segue que 𝑥 é limpo. Como a escolha de 𝑥 foi arbitrária, 𝑅 é limpo.
Definição 2.2.8. Para um ideal 𝐼 de um anel 𝑅, diz-se que unidades se levantam módulo 𝐼, se para cada 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑥 + 𝐼 ∈ 𝒰 (𝑅/𝐼), existe 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) tal que 𝑢 − 𝑥 ∈ 𝐼.
Lema 2.2.9. Para qualquer anel 𝑅, unidades se levantam módulo 𝒥 (𝑅).
Demonstração. Seja 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑥 + 𝒥 (𝑅) ∈ 𝒰 (𝑅/𝒥 (𝑅)). Então, existe 𝑢 ∈ 𝑅 tal que (𝑥 + 𝒥 (𝑅))(𝑢 + 𝒥 (𝑅)) = 1 + 𝒥 (𝑅), ou seja, 1 − 𝑥𝑢 ∈ 𝒥 (𝑅). Segue então que 1 − (1 − 𝑥𝑢) = 𝑥𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅), logo 𝑥 ∈ 𝒰 (𝑅). Tomando 𝑥 = 𝑢 na Definição 2.2.8, temos 𝑢 − 𝑥 = 0 ∈ 𝒥 (𝑅), e o resultado segue.
Corolário 2.2.10. Para todo anel 𝑅, unidades se levantam módulo todo ideal 𝐼 ⊆ 𝒥 (𝑅). Demonstração. Segue diretamente do Lema2.2.9.
O corolário acima nos permite provar uma caracterização dos anéis limpos através da propriedade de levantamento de idempotentes. Este resultado foi mencionado pela primeira vez em [22], sem prova. A demonstração abaixo foi apresentada por Han e Nicholson em [8]. Teorema 2.2.11. Seja 𝐼 um ideal de um anel 𝑅 tal que 𝐼 ⊆ 𝒥 (𝑅). Então 𝑅 é limpo se, e somente se, 𝑅/𝐼 é limpo e idempotentes se levantam módulo 𝐼.
Demonstração. Suponha 𝑅 limpo. Como 𝑅/𝐼 é a imagem da projeção canônica 𝜋 : 𝑅 → 𝑅/𝐼, segue da Proposição 2.2.1 que 𝑅/𝐼 é limpo. Pela Proposição 2.2.6, 𝑅 é exchange e portanto idempotentes se levantam módulo 𝐼.
2.2 algumas propriedades básicas 21
Reciprocamente, seja 𝑟 ∈ 𝑅 arbitrário. Devemos mostrar que 𝑟 é limpo. Por hipótese, uma vez que 𝑅/𝐼 é limpo, podemos escrever 𝑟 + 𝐼 = 𝑥 + 𝑒 + 𝐼, onde 𝑥 + 𝐼 ∈ 𝒰 (𝑅/𝐼) e 𝑒 + 𝐼 ∈ ℐ(𝑅/𝐼). Como por hipótese idempotentes se levantam módulo 𝐼, podemos assumir, sem perda de generalidade, 𝑒 ∈ ℐ(𝑅). Uma vez que 𝐼 ⊆ 𝒥 (𝑅), do Corolário 2.2.10 sabemos que unidades se levantam módulo 𝐼. Em particular, uma vez que 𝑟 − 𝑒 + 𝐼 = 𝑥 + 𝐼 ∈ 𝒰 (𝑅/𝐼), segue da demonstração do Lema 2.2.9que 𝑟 − 𝑒 ∈ 𝒰 (𝑅). Portanto podemos escrever 𝑟 em 𝑅 como soma de uma unidade e um idempotente, a saber, 𝑟 = (𝑟 − 𝑒) + 𝑒. Consequentemente, 𝑅 é limpo.
Lema 2.2.12. Se 𝑁 é um ideal nil de um anel 𝑅, então idempotentes se levantam módulo 𝑁 .
Demonstração. Suponha 𝑁 ideal nil de 𝑅 e 𝑟 ∈ 𝑅 satisfazendo 𝑟 − 𝑟2 ∈ 𝑁 . Assim, (𝑟 − 𝑟2)𝑛= 0 para algum inteiro 𝑛 ≥ 1. Aplicando a fórmula binomial, segue que:
0 = (𝑟 − 𝑟2)𝑛 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=0 (︃ 𝑛 𝑘 )︃ 𝑟𝑛−𝑘(−𝑟2)𝑘 = 𝑛 ∑︁ 𝑘=0 (−1)𝑘 (︃ 𝑛 𝑘 )︃ 𝑟𝑛+𝑘 = 𝑟𝑛− 𝑟𝑛+1( 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 (−1)𝑘−1 (︃ 𝑛 𝑘 )︃ 𝑟𝑘−1). Seja 𝑠 =∑︀𝑛 𝑘=1(−1)𝑘−1(𝑛𝑘)𝑟 𝑘−1∈ 𝑅. Então: 𝑟𝑛= 𝑟𝑛+1𝑠 e 𝑟𝑠 = 𝑠𝑟. (3)
Agora, tome 𝑒 = 𝑟𝑛𝑠𝑛. Usando recursivamente (3), obtemos:
𝑒 = 𝑟𝑛𝑡𝑛 = (𝑟𝑛+1𝑡)𝑡𝑛 = 𝑟𝑛+1𝑡𝑛+1
= 𝑟𝑛+2𝑡𝑛+2= · · · = 𝑟2𝑛𝑡2𝑛= 𝑒2.
Portanto 𝑒 é um idempotente. Além disso, uma vez que 𝑟 + 𝑁 = 𝑟2+ 𝑁 , temos que 𝑟 + 𝑁 = 𝑟𝑘+ 𝑁 , para todo 𝑘 ≥ 1. Portanto:
Logo:
𝑟 + 𝑁 = (𝑟 + 𝑁 )𝑛= (𝑟𝑠 + 𝑁 )𝑛= 𝑒 + 𝑁, (5)
ou seja, 𝑒 − 𝑟 ∈ 𝑁 , e o resultado segue.
Corolário 2.2.13. Seja 𝑁 um ideal nil qualquer de um anel 𝑅. Então 𝑅 é limpo se, e somente se, 𝑅/𝑁 é limpo.
Demonstração. Do Corolário 1.1.13, sabemos que 𝑁 ⊆ 𝒥 (𝑅), portanto o resultado segue diretamente do Teorema 2.2.11.
Definição 2.2.14. Um anel 𝑅 é dito semipotente se cada ideal 𝐼 à esquerda de 𝑅 tal que 𝐼*𝒥 (𝑅) contém idempotentes não nulos.
Essa definição é simétrica à esquerda e à direita [25, Lema 15.1]
Proposição 2.2.15. Um anel 𝑅 é semipotente se, e somente se, para cada 𝑎 ∈ 𝑅 ∖ 𝒥 (𝑅), existir 𝑥 ∈ 𝑅 não nulo tal que 𝑥𝑎𝑥 = 𝑥.
Demonstração. Suponha 𝑅 semipotente e seja 𝑎 ∈ 𝑅 tal que 𝑎 ̸∈ 𝒥 (𝑅). Assim 𝑅𝑎*𝒥 (𝑅) e, como 𝑅 é semipotente, existe 𝑒 ∈ ℐ(𝑅) não nulo tal que 𝑒 ∈ 𝑅𝑎, isto é, 𝑒 = 𝑟𝑎, com 0 ̸= 𝑟 ∈ 𝑅. Tome 𝑥 = 𝑟𝑎𝑟. Uma vez que (𝑟𝑎𝑟)𝑎 = 𝑒 ̸= 0, segue que 𝑥 ̸= 0. Também temos 𝑥𝑎𝑥 = (𝑟𝑎𝑟)𝑎(𝑟𝑎𝑟) = (𝑟𝑎𝑟𝑎)𝑟𝑎𝑟 = (𝑟𝑎𝑟𝑎)𝑟 = 𝑟𝑎𝑟 = 𝑥, e o resultado segue.
Reciprocamente, tomemos 𝐼 ⊆ 𝑅 ideal à esquerda tal que 𝐼*𝒥 (𝑅). Logo, existe 𝑎 ∈ 𝐼 tal que 𝑎 ̸∈ 𝒥 (𝑅). Por hipótese, existe 𝑥 ̸= 0 em 𝑅 tal que 𝑥𝑎𝑥 = 𝑥. Tome 𝑒 = 𝑥𝑎. Temos que 𝑒 ∈ ℐ(𝑅), uma vez que 𝑥𝑎𝑥𝑎 = 𝑥𝑎 e também 𝑒 é não nulo, pois (𝑥𝑎)𝑥 = 𝑥 ̸= 0. Portanto 𝑅 é semipotente.
Proposição 2.2.16. Todo anel limpo é semipotente.
Demonstração. Sejam 𝑅 um anel limpo e 𝐼 um ideal à esquerda de 𝑅 tal que 𝐼*𝒥 (𝑅). Devemos provar que 𝐼 contém algum idempotente não nulo. De fato, uma vez que 𝐼 *𝒥 (𝑅), então, pela Proposição 1.1.9existe algum elemento 𝑎 ∈ 𝐼 que não é quase-regular. Como 𝑅 é limpo, podemos escrever 𝑎 = 𝑢 + 𝑒, com 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) e 𝑒 ∈ ℐ(𝑅). Seja 𝑣 = 𝑢−1. Como (𝑣(1 − 𝑒)𝑢)(𝑣(1 − 𝑒)𝑢) = 𝑣(1 − 𝑒)(1 − 𝑒)𝑢 = 𝑣(1 − 𝑒)𝑢, temos 𝑣(1 − 𝑒)𝑢 ∈ ℐ(𝑅). Observe também que 𝑣(1−𝑒)𝑢 = 𝑣(1−𝑒)(𝑎−𝑒) = 𝑣(1−𝑒)𝑎 ∈ 𝐼. Por outro lado, 𝑒−𝑎 = −𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) e,
2.3 explorando a propriedade de limpeza em algumas classes de anéis 23
como 𝑎 não é quase-regular, temos 𝑒 ̸= 1. Uma vez que 𝑢, 𝑣 ∈ 𝒰 (𝑅), temos que 𝑣(1 − 𝑒)𝑢 ̸= 0, donde segue que 𝑣(1 − 𝑒)𝑢 é um idempotente não nulo.
Definição 2.2.17. Um anel semipotente 𝑅 é dito potente se idempotentes se levantam módulo 𝒥 (𝑅).
Proposição 2.2.18. Todo anel exchange é potente. Em particular, todo anel limpo é potente. Demonstração. Seja 𝑅 um anel exchange. É suficiente provar que há um idempotente não nulo em 𝑅𝑥, para cada 𝑥 ̸∈ 𝒥 (𝑅). Suponha, por absurdo, que exista 𝑥 ∈ 𝑅∖𝒥 (𝑅) tal que, se 𝑒2= 𝑒 ∈ 𝑅𝑥 então 𝑒 = 0. Dado 𝑎 ∈ 𝑅, existe 𝑒2= 𝑒 ∈ 𝑅𝑎𝑥 ⊆ 𝑅𝑥 tal que (1 − 𝑒) ∈ 𝑅(1 − 𝑎𝑥) [22, Proposição 1.1]. Por nossa suposição, teríamos 𝑒 = 0, o que implica 1 ∈ 𝑅(1 − 𝑎𝑥), mas isto significa que 𝑥 ∈ 𝒥 (𝑅),o que é uma contradição. Em particular, como todo anel limpo é exchange, segue que todo anel limpo é potente.
2.3
explorando a propriedade de limpeza em
algumas classes de anéis
A classe dos anéis limpos está situada entre inúmeras classes de anéis bem conhecidas. Nosso objetivo é fornecer relações entre os tipos de anéis apresentados na Seção 1.2 e a propriedade de limpeza. A fim de explorar mais exemplos, referimos [11].
Proposição 2.3.1. Todo anel semissimples é limpo.
Demonstração. Seja 𝑅 um anel semissimples. Pelo Teorema1.2.5,
𝑅 ∼= 𝑀𝑛1(𝐷1) ⊕ . . . ⊕ 𝑀𝑛𝑡(𝐷𝑡),
onde cada 𝐷𝑖 é um anel de divisão, portanto limpo. Segue da Proposição2.2.4 que 𝑀𝑛𝑖(𝐷𝑖) é limpo, para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡. Por fim, pela Proposição 2.2.2, 𝑀𝑛1(𝐷1) ⊕ . . . ⊕ 𝑀𝑛𝑡(𝐷𝑡) é limpo. Consequentemente, 𝑅 é limpo.
Observação 2.3.2. A partir do resultado acima, obtemos que anéis semiperfeitos são outros exemplos de anéis limpos. Um anel 𝑅 é dito semiperfeito se o quociente 𝑅/𝒥 (𝑅) é semis-simples e idempotentes se levantam módulos 𝒥 (𝑅). Uma vez que todo anel semissemis-simples é limpo, segue do Teorema 2.2.11 que todo anel semiperfeito é limpo.
Como visto no Corolário 2.1.4, todo anel local é limpo. A recíproca, em geral, não é verdadeira (por exemplo, 𝑀2(R) é limpo mas não é local). Exigindo uma condição adicional, obtemos a seguinte caracterização para anéis locais:
Proposição 2.3.3. Um anel é local se, e somente se, é limpo e não possui idempotentes não triviais.
Demonstração. Pela Proposição 1.2.9 e pelo Corolário 2.1.4, precisamos provar somente a recíproca. Suponha 𝑅 anel limpo tal que ℐ(𝑅) = {0, 1}. Seja 𝑟 ∈ 𝑅. Podemos escrever 𝑟 = 𝑢+𝑒, com 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) e 𝑒 ∈ ℐ(𝑅), uma vez que 𝑅 é limpo. Se 𝑒 = 0, temos 𝑟 = 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅); se 𝑒 = 1, temos 1−𝑟 = −𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) . Portanto, ou 𝑟 ∈ 𝒰 (𝑅) ou 1−𝑟 ∈ 𝒰 (𝑅), logo 𝑅 é local.
Corolário 2.3.4. Um domínio de integridade é limpo se, e somente se, é local.
Demonstração. Segue imediatamente da Proposição2.3.3, uma vez que um domínio de integridade não possui idempotentes não triviais.
Nos últimos anos, anéis limpos ganharam bastante atenção devido a suas relações com anéis regulares, anéis unit-regulares e anéis fortemente 𝜋-regulares (ver [14]).
Em [28, p. 34], Warfield provou que todo anel regular é exchange, mas um anel regular não necessariamente é limpo, de acordo com Camillo e Yu [4, p. 4746]. O próximo resultado, devido a Lee, Yi e Zhou [13], nos dá condições necessárias e suficientes para um anel regular ser limpo. Antes, recordamos que um anel 𝑅 é dito indecomponível se não é possível escrever 𝑅 ∼= 𝑅1× 𝑅2, com 𝑅1 e 𝑅2 anéis não nulos.
Teorema 2.3.5. [13, Corolário 7] Um anel regular é limpo se, e somente se, as imagens por homomorfismos de 𝑅 indecomponíveis são limpas.
Tendo em vista a caracterização de anéis unit-regulares dada pela Proposição 1.2.15, podemos considerar os anéis limpos como o “análogo aditivo” dos anéis unit-regulares. Mas de que maneira essas duas classes de anéis estão exatamente relacionadas? Uma resposta foi dada por Camillo e Khurana em [3].
2.4 a subclasse dos anéis *-limpos 25
Teorema 2.3.6. [3, Teorema 1] Um anel 𝑅 é unit-regular se, e somente se, para todo 𝑎 ∈ 𝑅, existem 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) e 𝑒 ∈ ℐ(𝑅) tais que 𝑎 = 𝑒 + 𝑢 e 𝑎𝑅 ∩ 𝑒𝑅 = {0}.
No caso dos anéis fortemente 𝜋-regulares, Burgess e Menal [1, Proposição 2.6] provaram que essa classe de anel está contida na classe dos anéis limpos. Uma prova elementar desse fato foi apresentada por Nicholson em [23].
Teorema 2.3.7. [23, Teorema 1] Todo anel fortemente 𝜋-regular é limpo. Corolário 2.3.8. Todo anel artiniano é limpo.
Demonstração. Do Corolário1.2.20, temos que todo anel artiniano é fortemente 𝜋-regular. Portanto o resultado segue pelo Teorema2.3.7.
Podemos concatenar as relações apresentadas nesta seção através do seguinte diagrama: corpo ⇒ unit regular ⇒ regular
⇓ ⇓ ⇓
fortemente 𝜋-regular ⇒ limpo ⇒ exchange
⇑ ⇑ ⇓
artiniano ⇒ semiperfeito ⇒ semipotente
Ao contrário do que vimos ao longo deste capítulo, a classe dos anéis de grupo não interage muito bem com a propriedade de limpeza. Mesmo tomando grupos e anéis com boas propriedades, como por exemplo, 𝐺 abeliano finito e 𝑅 comutativo noetheriano, ainda assim não conseguimos garantir que 𝑅𝐺 seja limpo. De fato, Han e Nicholson, os primeiros a estudarem limpeza em anéis de grupo, apresentaram em [8] o seguinte exemplo:
Exemplo 2.3.9. Se 𝑅 =Z(7) e 𝐺 = 𝐶3, então 𝑅𝐶3 não é limpo.
Na classe dos anéis de grupos, investigaremos o comportamento desse tipo de anel em relação a uma propriedade ainda mais forte: a *-limpeza de anéis. A classe de anéis que possuem tal propriedade será definida a seguir.
2.4
a subclasse dos anéis *-limpos
Muitos conceitos surgiram a partir da noção de anéis limpos, como por exemplo o de um anel *-limpo. Em 2010, Vaš propôs em seu artigo [26] a seguinte definição.
Definição 2.4.1. Um *-anel 𝑅 é dito *-limpo se todo elemento de 𝑅 pode ser escrito como soma de uma unidade e uma projeção.
Exemplo 2.4.2. Todo *-anel local é *-limpo. De fato, se 𝑅 é um anel local, da Proposição 2.3.3segue que 𝑅 é limpo e da Proposição 1.2.9, ℐ(𝑅) = {0, 1}. Como 0 e 1 são projeções, pelo Lema 1.4.2, segue que 𝑅 é *-limpo.
O estudo de anéis *-limpos foi motivado por uma pergunta feita por T. Lam na Conference on Algebra and Its Applications, em 2005: Quais álgebras de von Neumann são limpas quando vistas como anéis? Uma vez que álgebras de von Neumann são *-anéis, torna-se mais simples trabalhar com projeções do que com idempotentes.
Claramente, todo anel *-limpo é um *-anel limpo. Vaš então levantou a seguinte questão: Existem *-anéis limpos que não são *-limpos? Uma resposta positiva foi apresentada por Li e Zhou em [14, Exemplo 2.6], através do exemplo abaixo.
Exemplo 2.4.3. Seja 𝑅 =T2(Z2) o anel das matrizes triangulares superiores 2 × 2 com
entradas em Z2. Valem os seguintes resultados.
(1) 𝑅 é um anel limpo com involução;
(2) 𝑅 não é *-limpo, para qualquer involução * de 𝑅.
Primeiramente, note que 𝑅 é formado por oito elementos, onde:
ℐ(𝑅) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ; 𝒰 (𝑅) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Id = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ .
Sendo 𝐸12∈ 𝑅 um elemento nilpotente e considerando a descrição dos conjuntos ℐ(𝑅) e
𝒰 (𝑅), concluímos que 𝑅 é um anel limpo. Agora, considere a aplicação: * : 𝑅 → 𝑅 ⎛ ⎜ ⎝ 𝑎 𝑏 0 𝑐 ⎞ ⎟ ⎠ ↦→ ⎛ ⎜ ⎝ 𝑐 𝑏 0 𝑎 ⎞ ⎟ ⎠
É fácil verificar que * é uma involução em 𝑅, o que garante (1). Para verificar (2), suponha que 𝑅 seja um anel *-limpo para alguma involução *. Pela Proposição 1.4.2, 𝐼𝑑*= 𝐼𝑑 e 𝑢*∈ 𝒰 (𝑅), para todo 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅). Uma vez que 𝒰 (𝑅) tem apenas dois elementos, segue que
2.4 a subclasse dos anéis *-limpos 27
𝑢*= 𝑢, para todo 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅). Por hipótese, dado 𝑟 ∈ 𝑅, podemos escrever 𝑟 = 𝑢 + 𝑝, onde 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅) e 𝑝*= 𝑝 = 𝑝2. Assim, 𝑟*= 𝑢*+ 𝑝*= 𝑢 + 𝑝 = 𝑟, donde concluímos 𝑟*= 𝑟, para todo 𝑟 ∈ 𝑅. Portanto, temos que * = 𝐼2, onde 𝐼2 denota o homomorfismo identidade em 𝑅.
Mas isto implica que 𝑅 é um anel comutativo, o que é um absurdo.
Sejam 𝐺 um grupo e 𝑅 um anel comutativo, da Proposição1.4.7 sabemos que 𝑅𝐺 é um *-anel, munido da involução clássica, e portanto faz sentido nos perguntarmos se 𝑅𝐺 é *-limpo. Em 2011, Li e Zhou [14] publicaram o primeiro artigo abordando *-limpeza em anéis de grupo. Desde então, muito pouco é conhecido sobre o tema.
Nos próximos capítulos, vamos investigar *-limpeza em anéis de grupos comutativos. Finalizamos esta seção com dois resultados fundamentais para a investigação de anéis de grupo *-limpos.
Lema 2.4.4. Um *-anel comutativo 𝑅 é *-limpo se, e somente se, 𝑅 é limpo e todo idempo-tente é uma projeção.
Demonstração. Suponha 𝑅 um anel *-limpo, dado 𝑒 ∈ 𝑅 um idempotente qualquer, podemos escrevê-lo da forma 𝑒 = 𝑝 + 𝑢, onde 𝑝 ∈ 𝒫(𝑅) e 𝑢 ∈ 𝒰 (𝑅). Assim, 𝑢 = 𝑒 − 𝑝 o que nos dá 𝑢(𝑒 + 𝑝 − 1) = (𝑒 − 𝑝)(𝑒 + 𝑝 − 1) = 0. Como 𝑢 é unidade, segue que 𝑒 + 𝑝 − 1 = 0 e portanto 𝑒 = 1 − 𝑝. Por fim, 𝑒*= (1 − 𝑝)*= 1*− 𝑝*= 1 − 𝑝 = 𝑒.
A recíproca segue diretamente da Definição2.4.1.
Teorema 2.4.5. [21, Teorema] Sejam 𝑅 um anel e 𝐺 um grupo. Se 𝑅 é local, 𝐺 é um 𝑝-grupo localmente finito e 𝑝 ∈ 𝒥 (𝑅), então 𝑅𝐺 é um anel local.
