Matemática A. Dezembro de 2009

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Matemática A Dezembro de 2009

No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir se apresentam.

Matemática A

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1.

Na figura 1 está representado um triângulo equilátero EFG‘. Os pontos Hß I e J são os pontos médios dos lados do triângulo.

A área do triângulo EFG‘ é igual a 16 Sejam \ß ] e três pontos.^

Sabe-se que: • \ œ F "_# EH • ] œ G HJ "_# J E • ^ œ E # GJ Š $_% HJ‹ Determine a área do triângulo \] ^‘

Figura 1

2.

_{Na figura 2 está representado, num referencial o.n.}

_BSC

_{, o hexágono}_SEFGHI‘

Sabe-se que:

• os lados do hexágono são paralelos e iguais dois a dois; • os pontos e pertencem aos eixos coordenadosE I

SC e SB, respectivamente; • o pontoF tem coordenadas Ð%ß &Ñ • o ponto H tem coordenadas Ð'ß #Ñ

2.1.

_{Determine as coordenadas dos pontos}_{Gß I}_e_E

2.2.

_Seja_Q_{o ponto simétrico do ponto}_F_em

relação ao eixo SC e seja R o ponto da recta SH que é colinear com os pontos Q e E Determine as coordenadas do ponto R

Figura 2

2.3.

Escreva uma condição que defina o segmento de recta _IH‘

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3.

_{Na figura 3 está representado, num referencial o.n.} _BSC_{, o triângulo}_EFG‘

Sabe-se que:

• o ponto , origem do referencial, é o ponto médio doS lado ÒEGÓ

• o vector EF tem coordenadas Ð"!ß #Ñ • o vector FG tem coordenadas Ð 'ß )Ñ

3.1.

_{Determine as coordenadas do ponto} _E_{e as}

coordenadas do ponto G

3.2.

_{Mostre que o ponto tem coordenadas}_F _{Ð)ß &Ñ} Figura 3

3.3.

_{Seja o ponto de intersecção da recta}_H _EF_{com o eixo}_SC

Determine a área do triângulo ESH‘

3.4.

_{Averigúe qual é a posição da origem do referencial em relação à circunferência de diâmetro ÒEFÓ}

4.

_{Sejam e dois números reais positivos.}₊ _,

Num referencial o.n. BSC, considere: • a recta de equação reduzida < C œ +B , • a recta de equação reduzida = C œ #+B ,

• o ponto , ponto de intersecção da recta com o eixo das abcissas;E < • o ponto , ponto de intersecção das rectas e F < =

• o ponto , ponto de intersecção da recta com o eixo das abcissas.G =

Mostre que a área do triângulo pode ser dada, em função de e de , por

4.1.

_EFG‘ ₊ _, $,

%+

#

4.2.

_{Determine o perímetro do triângulo} _{EFG ß}‘ _{admitindo que este triângulo tem área igual a 225 e}

que o vector de coordenadas Ð$ß %Ñ é paralelo a um dos seus lados.

4.3.

_{Na figura 4 está representado o triângulo}_EFG‘_para

o caso de + œ $ e , œ *

Os pontos Ew _e Gw _{pertencem a} EF‘ _{e a} FG‘_, respectivamente.

Sabe-se que EE G Gw w ‘ é um trapézio cuja área é ) * da área do triângulo EFG‘

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5.

_{Na figura 5 está representado, num referencial o.n.}_BSC_{, o quadrilátero}_EFGH‘

Sejam T, U ß V e os pontos médios dos ladosW desse quadrilátero.

5.1.

_{Mostre que o quadrilátero}_{T UVW}‘_{é um}

paralelogramo, utilizando operações com vectores.

5.2.

_{Admita que as coordenadas dos pontos}_{T ß Uß}

V e são:E • T Ð#ß %Ñ • U Ð'ß (Ñ • V Ð'ß $Ñ • E Ð!ß #Ñ Figura 5

Determine as coordenadas do ponto e as coordenadas dos vértices , e do quadriláteroW F G H EFGH‘

6.

Na figura 6 estão representados, num referencial o.n. BSC, dois paralelogramos semelhantes, EFGH‘ e EIJ K‘ Sabe-se que: • tem coordenadas E Ð "ß #Ñ • F tem coordenadas Ð %ß #Ñ • G tem coordenadas Ð)ß "!Ñ • EJ œ "!

6.1.

_{Determine as coordenadas do ponto}_H_{e as}

coordenadas do ponto J

6.2.

_{Defina, analiticamente, o triângulo} _EFG‘

(incluindo o seu interior).

Figura 6

6.3.

_{Suponha que, num dado instante, dois pontos partem de e se deslocam, um sobre a semi-recta}_E

EF. e o outro sobre a semi-recta EGÞ . Admita que a unidade do referencial é o centímetro e que qualquer dos pontos percorre cada centímetro num minuto.

A que distância, um do outro, se encontram os dois pontos, cinco minutos depois de iniciarem o seu deslocamento?

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7.

Considere, num referencial o.n. BSC , o conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem a condição C , B. Seja esse conjunto de pontos.E

7.1.

_{Represente graficamente:}

• uma recta < que esteja contida em E • uma recta = que não intersecte E

• uma recta > tal que o conjunto das abcissas dos pontos de intersecção dessa recta com E seja ‘#ß ∞

Escreva as equações reduzidas das rectas < =, e que desenhou.>

7.2.

_{Determine o conjunto dos valores reais de}₅ _{para os quais o ponto de coordenadas}_{Ð5ß ' 5Ñ}

não pertence a E

8.

_{Na figura 7 está representado, num referencial o.n.}_SBCD_{, o cubo} _{EFGHIJ KL}‘

Sabe-se que:

• o centro do cubo coincide com a origem do referencial; • as arestas do cubo são paralelas aos eixos coordenados; • os pontos Q, R e T são os pontos médios das

arestas a que pertencemà

• o ponto tem coordenadas E " " ", , Considere o vector e os pontos? \ß ] e ^ • ? œ Q R FT • \ œ E GK • ] œ \ "_#\J • ^ œ \ ? EGŠ ‹

Figura 7

8.1.

_{Represente os pontos}_{\ ]}_,_e _^₍_{por construção geométrica, sem recorrer a coordenadas).}

8.2.

_{Defina, por uma condição, o lugar geométrico dos pontos}_[_{para os quais}_{o ponto}_\_pertence

ao plano mediador do segmento F[‘

Identifique esse lugar geométrico, no contexto do problema.

8.3.

_{A recta definida pela equação}_{B C D œ " " " 5 ! " "}_{, ,} _, _, _{, ,} _,_{5 − ‘}_{intersecta a}

recta \H

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9.

_{Na figura 8 está representado, num referencial o.n.}_SBCD_{, o cubo}_{SEFGHIJ K}‘

Sabe-se que:

• um dos vértices do cubo coincide com a origem do referencial;

• os vértices Eß G e I pertencem aos eixos SB SC, e SD, respectivamente;

• o vértice tem coordenadas K Ð"!ß "!ß "!Ñ

• o ponto pertence à aresta T J K‘ e tem ordenada $ • o ponto pertence à aresta U IH‘ e tem ordenada ( • o ponto pertence à aresta W FG‘ e tem abcissa& • a secção determinada no cubo pelo plano T UW é o

pentágono T UVWX‘

Figura 8

9.1.

_{Determine as coordenadas dos vértices do pentágono ÒT UVWX Ó}

9.2.

_Seja_M_{o ponto de intersecção da recta}_{T U}_{com o plano}_BSD

Determine a área do triângulo ÒIM GÓ

10.

_{Na figura 9 está representado, em referencial o.n.} _SBCD_{, um prisma quadrangular regular}

ÒEFGHIJ KLÓ (o ponto L não está representado na figura).

Sabe-se que:

• o ponto E tem coordenadas Ð"%ß (ß %Ñ • o ponto F tem coordenadas Ð"'ß %ß "!Ñ • o ponto G tem coordenadas Ð"!ß 'ß "$Ñ • o ponto I tem coordenadas Ð)ß &ß !Ñ

10.1.

_{Determine as coordenadas dos restantes vértices}

do prisma.

10.2.

_{Determine o volume do prisma.}

Figura 9

10.3.

_{Defina, por uma condição, a aresta ÒEFÓ}

10.4.

_{Escreva uma equação da superfície esférica que contém os oito vértices do prisma.}

10.5.

_{Determine a área da secção produzida no prisma pelo plano EFK}

10.6.

_{Determine uma equação do plano HFJ}

Apresente a sua resposta na forma +B ,C -D œ .

+ , -, , e . designam números reais

: o plano é o plano mediador de um segmento cujos extremos são dois vértices do