Lógica Matemática
Lógica Matemática
PROF. JEAN
PROF. JEAN
PROF. JEAN
PROF. JEAN
PROF. JEAN
PROF. JEAN
PROF. JEAN
PROF. JEAN
Definição de Termo e Proposição
Valor Lógico
Proposição Simples e Proposição Composta Proposição Simples e Proposição Composta
Conectivos
Definição de um objeto.
TERMO (Palavra) – Definição:
Exemplo:
Paula
Um filme de terror
Triângulo retângulo
Todo o conjunto de termos ou símbolos que exprimem um pensamento
de sentido completo.
PROPOSIÇÃO – Definição:
de sentido completo.
Todo homem é mortal.
As PROPOSIÇÕES
transmitem pensamentos, isto é,
PROPOSIÇÃO
isto é,
afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a
Lógica Matemática
Adota regras fundamentais do pensamento:
I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição NÃO pode ser
FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo.
O Brasil é pentacampeão de futebol.
Lógica Matemática
Adota regras fundamentais do pensamento:
II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição ou é Verdadeira ou Falsa,
isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
LÓGICA BIVALENTE LÓGICA BIVALENTE
O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é:
VALOR LÓGICO
VERDADE se esta for VERDADEIRA;
VERDADE se esta for VERDADEIRA;
Dos 2 princípios e do valor lógico:
VALOR LÓGICO
Toda proposição tem um,
e somente um,
Proposição NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante
de si mesmo.
PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)
Minha casa é grande. Seu olhos são azuis.
São designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r,s,...,
chamadas letras proposicionais.
PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)
p: Minha casa é grande. q: Seu olhos são azuis.
Formada pela combinação de 2 ou mais PROPOSIÇÕES.
PROPOSIÇÃO COMPOSTAS (MOLÉCULAS)
Minha casa é grande e meu carro é azul. Seu olhos são azuis ou verdes.
São designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R,S,...,
chamadas letras proposicionais.
PROPOSIÇÃO COMPOSTAS (MOLÉCULAS)
P: Minha casa é grande e meu carro é azul. Q: Seu olhos são azuis ou verdes.
Também chamadas de
fórmulas proposicionais ou fórmulas.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS (MOLÉCULAS)
Notação: Notação:
P(q,r,s) – significa que P
é uma proposição composta das proposições atômicas q,r e s.
Termos usados para formar novas proposições a partir de outras.
CONECTIVO – Definição:
E OU
SE...
ENTÃO... SOMENTE SE...
...SE E
CONECTIVO – Exemplos:
P: Minha casa é grande e meu carro é azul. Q: Choverá amanhã ou cairá uma ponte.
R: Se sou maringaense então sou paranaense. S: O triângulo é equilátero se e
Exibe todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondentes a
todas as possíveis atribuições de
valores lógicos às proposições simples componentes.
TABELA-VERDADE:
valores lógicos às proposições simples componentes.
Sejam p e q 2 átomos. Os valores lógicos possíveis para cada um deles é:
Sejam p e q 2 átomos. Os valores lógicos possíveis para cada um deles é:
p 1 V
q 1 V
Seja P uma molécula: P(p,q). A tabela-verdade para P é:
Seja P uma molécula: P(p,q). A tabela-verdade para P é: TABELA-VERDADE: p q Arranjos p q 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F Arranjos Binários com repetição de 2 elementos:
Seja Q uma molécula: Q(p,q,r). Seja Q uma molécula: Q(p,q,r).
TABELA-VERDADE: Arranjos p q r 1 V V V 2 V V F Arranjos Ternários com repetição de 2 elementos: 2 V V F 3 V F V 4 V F F 5 F V V 6 F V F 7 F F V
NOTAÇÃO
V(p): Valor lógico da proposição atômica p. V(p) = V ou V(p)=F
V(P): Valor lógico da proposição molecular P. V(P) = V ou V(P)=F
Assim como operamos com números, as proposições também podem ser “operadas” utilizando os operadores lógicos. São eles:
Conjunção
Conjunção -- EE ((ΛΛ)) Disjunção
Disjunção -- OuOu ((VV)) Condicional
Condicional –– SeSe ... entãoentão (( )) Bi
p q p ΛΛΛΛ q V V V V F F V F F F V F F F F
q: 2 < 5 (V)
p
Λ
Λ
Λ
Λ
q : A neve é branca e 2 < 5 (V)
p: O enxofre é verde.
(F)
p: O enxofre é verde.
(F)
q: 7 é um número primo. (V)
p
Λ
Λ
Λ
Λ
q : O enxofre é verde e 7 é um
número primo (F)
p q p V q V V V V F V V F V F V V F F F
q: 9 – 4 = 5 (V)
p
V
q : Paris é a capital da França
ou 9 – 4 = 5 (V)
p: Roma é a capital da Rússia. (F)
p: Roma é a capital da Rússia. (F)
q:
ππππ
é um número irracional. (V)
p
V
q : Roma é a capital da Rússia
ou
ππππ
é um número irracional (V)
q: O Maradona é gente boa. (F)
p
V
q :
O Jean é cabeludo ou o
p
V
q :
O Jean é cabeludo ou o
Maradona é gente boa. (F)
p q p → q V V V V F F V F F F V V F F V
q: 10 + 3 = 13 (V)
p
→
→
→
→
q :
Se Hitler era austríaco
então 10 + 3 = 13. (V)
p: O mês de maio tem 31 dias. (V)
p: O mês de maio tem 31 dias. (V)
q: A Terra é plana.(F)
p
→
→
→
→
q : Se o mês de maio tem 31
dias então a Terra é plana. (F)
p q p ↔ q V V V V F F V F F F V F F F V
q: A neve é branca. (V)
p
↔
↔
↔
↔
q : Roma fica na Europa se e
somente se a neve é branca. (V)
p: A Terra é plana.
(F)
p: A Terra é plana.
(F)
q:
ππππ
é um número racional. (F)
p
↔
↔
↔
↔
q :
A Terra é plana se e
somente
se
ππππ
é
um
número
Dada uma proposição p, sua negação será denotada por ~p (não p).
Se p é verdadeira então ~p será falsa e vice Se p é verdadeira então ~p será falsa e vice versa.
Ex:
p = Paula está usando tênis preto.
Ex:
p = Paula está usando tênis preto.
~p = Paula não está usando tênis preto.
Ex:
Ex:
p = Paula está usando tênis preto.
~p = Paula não está usando tênis preto.
Ex:
p = Esta frase possui cinco palavras.
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
que”
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
que”
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
que”
A negação de “p e q” é “~p ou ~q” A negação de “p ou q” é
A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
que”
A negação de “todos” é “existe algum que não”
tautologia à proposição composta que possui valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a compõem. Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q as suas proposições simples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia?
p q p ^ q V V V F V F F F V F F F
p q ~q p ^ ~q V V V F F V F V F F V F F F F V
Não é uma tautologia, é uma
p q ~p p ^ q ~p ^ q (p ^ q) →→→→ (~p ^ q) V V F V F F V F F F V F F F F F V V F V F V V V
p q p v q p ^ q (p v q) →→→→ (p ^ q) V V V V V V F F F V F V V F F F F F F V
Não é uma tautologia, é uma
p q p ^ q p ^ q (p ^ q)→→→→ (p ^ q) V V V V VV V F F F V F F F F F F F V V V V V V
Dada uma composição de proposições, podemos construir sua tabela verdade.
A tabela verdade é uma tabela que mostra o valor lógico da composição a partir do valor valor lógico da composição a partir do valor lógico de suas premissas.
Ex:
Λ
Λ
Λ
p q r ~q ~r ~q v r pΛΛΛΛ (~qvr) ~r↔↔↔↔q prop V F V F F V F F V V V V V F V V F V F V V F V V V F V V F V F V F F F V F F V F F V V V V V V V V F V F V F V F V V F V F F F F F V V V F V F
