6.1 Conjunto, Representação e Relação de Pertinência

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Plano de Aula

Institui¸cão: Instituto Federal de Educa¸cão, Ciência e Tecnologia da Bahia Professor: Allan de Sousa Soares

Disciplina: Matemática Discreta I Conteúdo Pragmático: Conjuntos Tema da Aula: Conjuntos

Dura¸c˜ao: 100 min Objetivos:

- Compreender a ideia de conjunto e suas representa¸cões; - Entender a rela¸cão de pertinência;

- Entender a rela¸c˜ao de inclus˜ao;

- Entender o conceito de conjunto das partes de um conjunto; - Entender o conceito de produto cartesiano.

Metodologia:

- Aula Expositiva Participada. Recursos Did´aticos

- Apostila;

- Pincel e quadro branco; - Datashow;

Avalia¸c˜ao: - Observa¸c˜ao;

- Resolu¸c˜ao de exerc´ıcios. Referˆencia Principal:

[1] ROSEN, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications, 7rd, McGRAW-HILL, 2007. Bibliografia:

[2] DAGHLIAN, J. Lógica e álgebra de Boole. 4 ed. São Paulo: Atlas, 1995.

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Cap´ıtulo 6

Conjuntos

6.1 Conjunto, Representa¸

c˜

ao e Rela¸

c˜

ao de Pertinˆ

encia

Agora estudaremos a estrutura discreta fundamental sob a qual todas as demais estruturas discretas s˜ao constru´ıdas: o conjunto.

Defini¸cão 1. Um conjunto é uma cole¸cão de objetos.

Os elementos de um conjunto costumam ser escritos entre chaves separados por v´ırgulas.

Exemplo 2. Seguem alguns conjuntos:

a) O conjunto V de todas as vogais da l´ıngua portuguesa pode ser escrito como: V = {a, e, i, o, u}. b) O conjunto dos n´umeros inteiros maiores que 2 e menores que 9 pode ser escrito como: A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

c) O conjunto dos planetas do Sistema Solar atualmente conhecidos pode ser escrito como: P = { Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno}

d) Um conjunto cujos elementos n˜ao tem qualquer rela¸c˜ao aparente: B = { 1, a, carro }

A listagem utilizada acima, na qual se explicitam os elementos de um conjunto ´e chamada de representa¸c˜ao tabular de um conjunto.

A ordem na qual os elementos de um conjunto são listados não é necessariamente importante. Por exemplo, escrever {1, 2, 3} é o mesmo que escrever {3, 2, 1}.

Contudo, anotar seguindo um padrão é sempre aconselhável.

Se um certo elemento x pertence a um conjunto A, escrevemos x ∈ A, do contr´ario, escre-vemos x /∈ A.

Exemplo 3. Considerando o Exemplo 2 temos que i) e ∈ V , ii) b /∈ V , iii) T erra ∈ P , iv) Plut˜ao /∈ P .

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Alguns conjuntos importantes para nosso estudo s˜ao os seguintes conjuntos num´ericos:

N = {0, 1, 2, 3, . . .}, o conjunto dos n´umeros naturais.

Z = {. . . − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}, o conjunto dos n´umeros inteiros. Q =

n

p

q|p, q ∈ Z, q 6= 0

o

, o conjunto dos n´umeros racionais.

R, o conjunto dos n´umeros reais

Um + na parte superior direita da letra que representa um conjunto numérico indica que se consideram os números não negativos; analogamente, um − na parte superior direita indica que se consideram somente o números não positivos; por fim, um ∗ na parte inferior direita da letra que representa um conjunto numérico indica que se consideram os números não nulos. Por exemplo,

Z+ = {. . . 0, 1, 2, 3, . . .}, Z−= {. . . − 3, −2, −1, 0} e Z∗ = {. . . − 3, −2, −1, 1, 2, 3, . . .}

Uma outra forma de se escrever um certo conjunto ´e da escrevˆe-lo por meio de uma propri-edade que identifique todos os seus elementos.

Exemplo 4. Seguem alguns conjuntos dados no Exemplo 2 listados por meio de uma proprie-dade:

a) V = {x| x ´e vogal da l´ıngua portuguesa} b) P = {x| x ´e planeta do Sistema Solar} c) A = {x ∈ Z|3 < x < 9}

Exemplo 5. Classifique as senten¸cas a seguir em verdadeiras ou falsas. Solu¸c˜_{ao: a) 1 ∈ N} b) 2₃ _{∈ R} _{c) π ∈ Q} d) 0, 3333 . . . /_{∈ Q} _{e) 0 ∈ Z}+

∗

a) Verdadeira (trivial). b) Verdadeira (trivial).

c) π /_{∈ Q, não existem p, q ∈ Z, q 6= 0 tal que π =} p_q. Logo, a proposi¸cão é falsa. Em particular, π é irracional, isto é, é real mas não é racional.

d) Note que 0, 3333 . . . = 1₃ _{e portanto 0, 3333 . . . ∈ Q. Logo, a não pertinência é falsa.} e) Note que Z+

∗ = {1, 2, 3, . . .}. Logo, a proposi¸c˜ao ´e falsa.

Defini¸cão 6. Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmo elementos. Em s´ımbolos, temos:

A = B ⇔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B).

Alguns conjuntos s˜ao bastante importantes para o nosso estudo. ∅ o conjunto vazio;

U o conjunto universo.

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uma situa¸cão ou um problema há sempre um conjunto que deve conter todos os elementos envolvidos, isto é, o universo da questão.

Outros conjuntos importantes são, os conjuntos unitários, isto é, aqueles que possuem um só elemento; os conjuntos finitos, aqueles que possuem uma quantidade finita de elementos; o conjunto infinito, aqueles que não são finitos. Indicamos por n(A) o número de elementos de um conjunto finito A.

Uma outra forma interessante e bastante ilustrativa de se representar um conjunto se dá pela utiliza¸cão dos chamados diagramas de Venn. Nesta representa¸cão, os elementos pertencentes a um dado conjunto ficam limitados por uma região. Os elementos não pertencentes ficam na parte de fora.

Exemplo 7. A representa¸c˜ao em diagramas de Venn do conjunto V dado no Exemplo 2 ´e a seguinte. Caso o nosso conjunto universo U consistisse de todas as letras do alfabeto da l´ıngua

Figura 6.1: Representa¸c˜ao em Diagramas de Venn Para o Conjunto das Vogais da L´ıngua Portuguesa.

portuguesa esta deveriam ser postas do lado de fora do c´ırculo que representa V mas ainda dentro da regi˜ao retangular que representa U conforme a Figura 7.

Figura 6.2: Representa¸c˜ao em Diagramas de Venn Para o Conjunto das Vogais da L´ıngua Portuguesa.

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6.2 Rela¸

c˜

ao de Inclus˜

ao

Defini¸cão 8. O conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A for também um elemento de B. Usamos a nota¸cão A ⊆ B para indicar que A é um subconjunto de B. Simbolicamente, temos

A ⊆ B ⇔ ∀x(x ∈ A → x ∈ B).

Se A n˜_{ao for subconjunto de um conjunto B indicaremos por A * B. Se a inclus˜ao for estrita} usamos o s´ımbolo ⊂ ao inv´es de ⊆.

Quando A é subconjunto de B tendo em vista a Defini¸cão 8 costumamos dizer que A está contido em B ou que B contém A (escreve-se B ⊃ A).

Exemplo 9. Classifique as senten¸cas a seguir em verdadeiras ou falsas.

a) {1, 2, 3} ⊂ Z b) {−1, 0, 1} ⊂ N c) 1 ⊂ R d) N ⊂ Z∗ e) Z ⊂ Q f) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

g) {Lua} * P , em que P ´e um planeta do Sistema Solar

Solu¸cão: a) Note que todo elemento do conjunto {1, 2, 3} é também inteiro. Logo, a inclusão ´

e verdadeira.

b) Note que −1 ∈ {−1, 0, 1} e −1 /_{∈ N. Logo, a afirma¸c˜ao ´e falsa.} c) Verdadeira (trivial).

d) Note que estamos considerando que 0 ∈ N. Neste caso, temos que 0 ∈ N = {0, 1, 2, 3, . . .} e 0 /_{∈ Z}∗ = {. . . , −2, −1, 1, 2, 3, . . .}. Logo a afirma¸c˜ao ´e falsa.

e) Temos que Q = npq|p, q ∈ Z, q 6= 0

o

. Tomando q = 1 mostramos que Z ⊂ Q. Logo, a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.

f) Verdadeira. Raciocine de maneira análoga ao item (c). g) A Lua não é um planeta. Logo, a não inclusão é verdadeira.

O teorema que será apresentado a seguir, embora pare¸ca trivial, possui grande importância teórica.

Teorema 10. Para todo conjunto S, i) ∅ ⊆ S

ii) S ⊆ S

6.3 Conjunto das Partes

Muitos problemas necessitam de saber todas as combina¸c˜oes poss´ıveis de elementos de um dado conjunto na forma¸c˜ao de subconjuntos deste.

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Defini¸cão 11. Dado um conjunto S, o conjunto das partes de S é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto S. O conjunto das partes do conjunto S é indicado por P(S).

Exemplo 12. Determine o conjunto das partes dos seguintes conjuntos: a) A = {1} b) B = {1, 2} c) C = {1, 2, 3} d) ∅ e) D = {∅} Solu¸c˜ao: a) P(A) = {∅, {1}}

b) P(B) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

c) P(C) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} d) P(∅) = {∅}

e) P(D) = {∅, {∅}}. Note que n˜ao ´e o conjunto vazio!

Teorema 13. Se um conjunto S possui n elementos, ent˜ao P(S) possui 2n _elementos.

Exemplo 14. Determine o n´umero de subconjuntos de um conjunto A composto por 10 ele-mentos.

Solu¸c˜ao: Temos que n (P(A)) = 2n(A)_{= 2}10_{= 1024. Logo, A tem 1024 subconjuntos.}

6.4 Produto Cartesiano

Em muitos casos a ordem dos elementos de uma cole¸c˜ao ´e importante. Neste caso, intro-duziremos o conceito de n−upla ordenada.

Defini¸cão 15. A n−upla ordenada (a1, a2, . . . , an) é a cole¸cão ordenada que tem a1 como seu

primeiro elemento, a2 como seu segundo elemento, . . ., e an como seu n−´esimo elemento.

Dizemos que duas n−uplas (a1, a2, . . . , an) e (b1, b2, . . . , bn) s˜ao iguais se, e somente se,

a1 = b1, a2 = b2, . . ., an= bn, isto ´e, ai = bi para todo i = 1, 2, . . . , n.

Muitas estruturas discretas se baseiam no chamado produto cartesiano, as 2−uplas or-denadas comumente chamadas de pares ordenados.

Defini¸c˜ao 16. Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano de A por B, indicado por A × B, ´e o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), em que a ∈ A e b ∈ B. Em s´ımbolos,

A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Exemplo 17. Determine os produtos cartesianos A × B e B × A dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {a, b}.

Solu¸c˜ao: Temos que

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Por outro lado,

B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.

Note que, no Exemplo 17 os produtos cartesianos A × B e B × A s˜ao diferentes. De modo geral, a igualdade A × B = B × A ocorres se, e somente se, A = B.

Teorema 18. Sejam A e B dois conjuntos finitos com n(A) e n(B) elementos respectivamente. O n´umero de elementos do produto cartesiano de A × B, indicado por n(A × B) ´e dado por n(A × B) = n(A) · n(B).

Defini¸c˜ao 19. O produto cartesiano dos conjuntos A1, A2, . . . , An, ´e o conjunto das n−uplas

ordenadas (a1, a2, . . . , an) em que cada aipertence a um Aipara i = 1, 2, . . . , n. Simbolicamente,

A1× A2× · · · × An = {(a1, a2, . . . , an)|ai ∈ Ai, para i = 1, 2, . . . , an}.

Exemplo 20. Determine o produto cartesiano de A × B × C em que A = {0, 1}, B = {1, 2} e C = {−1, 0, 1}.

solu¸c˜ao: Temos que

A × B × C = {(0, 1, −1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 2, −1), (0, 2, 0), (0, 2, 1), (1, 1, −1), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, −1), (1, 2, 0), (1, 2, 1)}.

6.5 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1. Represente os conjuntos a seguir na forma tabular:

a) {x ∈ N|3 ≤ x < 10} b) {x ∈ R|x2 _{= 9}} _{c) {x ∈ Z|2x}2_{− x − 1 = 0}}

Exerc´ıcio 2. Classifique como V ou F cada uma das afirma¸c˜oes a seguir:

a) {3} ⊂ {1, 2, 3} b) {2, 3, 1} ⊂ {1, 2, 3} c) 2 ⊂ {1, 2} d) 2 ∈ {1, 2} _{e) {2, 3, 4} *} 1, 2, 3, 4 f) ∅ ⊂ {1, 2} g) ∅ ∈ {1, 2} h) {3, 5, 2} ⊃ {3, 5}

Exerc´ıcio 3. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {d, e} e C = {f, g, h, }, de quantas maneiras diferentes podemos escolher um elemento de A, um de B e um de C?

Exerc´ıcio 4. Classifique em V ou F cada uma das afirma¸c˜oes sobre o conjunto A = {1, 2} e seu conjunto das partes P(A):

a) {1} ∈ P(A) b) 1 ∈ A c) 1 ∈ P(A) d) {1} ⊂ P(A) e) {{1}} ⊂ P(A) f) {1, 2} ∈ A g) {1, 2} ∈ P(A) h) {{1, 2}} ∈ P(A) i) A ∈ P(A) j) ∅ ∈ P(A) k) ∅ ⊂ P(A)

Exerc´ıcio 5. Se um conjunto A possui dois elementos, qual o n´umero de elemento do conjunto das partes das partes de A, isto ´e, n(P(P(A)))?

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Exerc´ıcio 6. Em um programa de TV um espectador participa de um jogo onde deve res-ponder a cinco perguntas. As perguntas, por apresentarem dificuldades em n´ıveis diferentes, correspondem a prêmios diferentes: um relógio, um rádio, um fogão, um televisor e uma gela-deira. Para cada resposta certa, o espectador ganha o prêmio correspondente à pergunta. De quantas maneiras diferentes pode ser premiado (ou não) esse espectador?

6.6 Respostas dos Exerc´ıcios

Resposta do Exerc´ıcio 1. a) {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, b) {−3, 3}, c) {1} Resposta do Exerc´ıcio 2. a) V , b) V , c) F , d) V , e) F , f) V , g) F , h) V Resposta do Exerc´ıcio 3. 24. Resposta do Exerc´ıcio 4. a) V , b) V , c) F , d) F , e) V , f) F , g) V , h) F , i) V , j) V , k) V Resposta do Exerc´ıcio 5. 16 Resposta do Exerc´ıcio 6. 32