Para indicarmos que um elemento x pertence a um conjunto A

Teoria dos Conjuntos

Conceitos Primitivos:

Conjunto

Elemento

Relação de Pertinência

O conceito de conjuntos é primitivo, isto é, não possui uma definição.

Conceito de Conjunto, Elemento e Relação de Pertinência

Um conjunto é um conceito primitivo, que informalmente pode ser entendido como uma coleção não ordenada de entidades distintas, chamadas de elementos do conjunto.

Exemplos: Um grupo de alunos, uma coleção de selos e uma lista de livros.

Representação dos conjuntos

Para dar nome aos conjuntos usamos as letras maiúsculas A, B, C, etc.... Os objetos que compõem os conjuntos são denominados elementos.

Um conjunto pode ser representado da seguinte maneira:

a)Se um conjunto tem poucos elementos, podemos listá-los, um a um, em qualquer ordem, entre chaves ‘{ }’.

Exemplo: A = { –2, –1,0 ,1, 2 }

b)Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos

Exemplo: A = { x  ℤ I –2  x  2}

c)Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. Diagrama de Venn-Euler:

Relação de Pertinência

Para indicarmos que um elemento _x pertence a um conjunto A escrevemos x  A ( x pertence a A)

caso contrário x  A ( _x não pertence a _A) Exemplo:

Seja A= { 1, 3, 5, 7, . . . }

INCLUSÃO DE CONJUNTOS

Definição : Subconjunto

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se,

todo elemento de A é também um elemento de B.

A



B



(



x) ( x



A



x



B )

Notação:

A  B ( A está contido em B ou A é subconjunto de B )

A  B ( A não está contido em B ou A não é subconjunto de B ) Exemplo:

a) Se A={ 1, 2} e B={1, 2, 3, 4}, então A  B

b) Se C ={ 5, 10 } e D ={ 10, 20, 30 }, então A  B

1) Use a noção de pertence e a definição de subconjunto para classificar em (V) verdadeira ou (F) falsa as sentenças abaixo:

i) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, então

a) B  A ( ) _{b) a}  A ( ) _{c) b}  B ( ) _{d) {a,b}}  B ( ) _{e) {a}}  A ( )

ii) Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com 

,



,



ou



.

a) A...B b) {1,2}...A c) {1,2,3}...B d) 2...B

2) Sendo A={1, 2, {1}} e B={1, {1}, {1,2}}. Complete com (V) ou (F)

a) A  B ( )

b) {1, 2}  B ( )

c) {1, 2}  B ( )

d) {1, 2}  A ( )

3) Assinale a alternativa correta: (A) 3  {1, 3, 5}

(B) {3}  {1, 3, 5}

(C)  {1, 3, 5}

Igualdade

Definição : Igualdade

Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos.

Simbolicamente: A = B  A  B e B  A ou

A = B  (x ) ( x  A  x  B ) Exemplo:

Sejam A = { 1,3,5,7,9 } e B = { x  ℕ I x é n° ímpar menor que 10 } , neste caso A = B, pois A  B e B  A .

Conjunto Vazio

Definição : Conjunto Vazio

Um conjunto sem elementos é chamado conjunto vazio .

Representamos o conjunto vazio por :  Exemplo:

A = { x I x é n° par compreendido entre 6 e 8 }

A= , pois existe n° par maior que 6 e menor do que 8.

Conjunto Universo

Definição: Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.

Conjunto Universo é um conceito relativo, o conjunto universo U pode mudar de acordo com o contexto da situação em que estivermos trabalhando.

Exemplo:

Cálculo I : U=IR

Matemática Discreta: U=IN ou U=

ℤ

Observação:

Representaremos o número de elementos de um conjunto finito A por n(A).

Exemplo:

A={ 2, 4, 6, 8,10 }  n(A) = 5

Conjunto das Partes

Definição : Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto A, e se indica P(A), ao conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A.

Exemplo :

Se A = {a, b, c}, então o conjunto das partes de A é formado por:

P(A)= { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.

Nesse caso o número de elementos de P(A) é igual a 8, ou seja, n( P(A) ) = 8 .

Exemplo :

Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo:

a) A=  R: P(A) ={} n( P(A) ) = 1

b) A={a} R: P(A) ={ , {a} } n( P(A) ) = 2

c) A= {a, b} R: P(A) ={ , {a} , {b}, {a,b} } n( P(A) ) = 4

d) A= {a, b, c} R: P(A) ={, {a} ,{b},{c}, {a,b},{a,c},{b,c},A } n( P(A) ) = 8

Dessa maneira podemos escrever:

Se n(A) = 0, então n(P(A)) = 2° = 1

Se n(A) = 1, então n(P(A) ) = 2¹ = 2

Se n(A) = 2, então n(P(A)) = 2² = 4

Se n(A) = 3, então n(P(A) ) = 2³ = 8

...

Operações entre Conjuntos

União de Conjuntos

Definição : União

Sejam A e B dois conjuntos chama-se união de conjunto A com o conjunto B, ao conjunto de todos os elementos de A ou B .

A



B = { x I x



A ou x



B }

Exemplo:

Sejam A = { 1, 3, 5, 7 } e B = { 2, 3, 4, 6 }

A  B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

Intersecção de Conjuntos

Definição : Intersecção

Sejam A e B dois conjuntos.Chama-se Intersecção dos conjuntos A e B, ao conjunto formado pelos os elementos que estão em A e estão em B .

A



B = { x I x



A e x



B }

Exemplo:

Sejam A = { 1,3,5,7 } e B = {2,3,4,6,7 }

Diferença entre Conjuntos

Definição : Diferença

Dados os conjuntos A e B .

Define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A – B formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B.

A

–

B = { x I x



A e x



B }

Exemplo :

Se A = { a,b,c,d } e B = {b,c,d,e }, então A  B = { a } e B  A = { e } .

Conjunto Complementar

Definição :Conjunto Complementar

Dados dois conjuntos A e B.

Se B  A , então o conjunto diferença de A – B é denominado conjunto complementar de B em relação a A ou completo de B em A.

B



A



𝑩

̅

= A



B = { x I x



A e x



B }

Exemplo :

Sejam A = {1,2,3,4,5 } e B = { 1,2,3} então

𝐵̅

= A



B = { 4,5 }

Diferença Simétrica

Definição: diferença simétrica

Definimos diferença simétrica por A ∆ B ao conjunto:

A ∆ B = (A



B)



(B



A)

ou

A ∆ B = (A



B)



(A



B)

Exemplo:

A ∆ B = { 1 , 5 }

Número de Elementos de um Conjunto Finito

Para dois conjuntos se tem :

n(AB) = n(A) + n(B)  n(AB)

Para três :

n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C)  n(AB)  n(AC)  n(BC) + n(A  B  C) Para quatro :

n(A  B  C  D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D)

 n(AB)  n(AC)  n(AD)  n(BC)  n(BD)  n(CD) + n(A  B  C) + n(A  B  D) + n(A  C  D) + n(B  C  D) n(A  B  C  D )

Exercícios:

4)Sejam X, Y e Z os conjuntos tais que n(Y  Z) = 20, n(X  Y)= 5, n(X  Z)=4, 

n(X  Y  Z) = 1 e n(X  Y  Z) = 22.

Determinar o número de elementos do conjunto X – (Y  Z). 

5)Assinale a alternativa correta

A={ 1,2,3 } , B={ 1,2,4,5,7 } e C={1,3,4,5,8} então A – (B C) é igual a : (A)1,2,3

(B)2,3 (C)4,5 (D) 1

6) Assinale a alternativa correta

Se o conjunto A tem 20 elementos, o conjunto A  B tem 12 elementos e o conjunto A  B tem 50 elementos, então o conjunto B tem

(A) 20 (B) 38 (C) 50 (D) 42

7)Assinale a alternativa correta

Em uma agência de turismo, o quadro de funcionários é composto por pessoas que falavam apenas um dos seguintes idiomas (além do português): francês, inglês e espanhol. Sabendo que 70 falavam inglês; 40 falavam francês; e 60% falavam espanhol, quantos

funcionários da empresa falam espanhol ou francês? (A) 205

8) Assinale a alternativa correta

O quadro indica o resultado de uma pesquisa com pessoas que leem os jornais: A B, C :

Nestas condições podemos dizer que leem : (A) só A, 75 pessoas.

(B) só B, 57 pessoas. (C) só C, 64 pessoas. (D) dois jornais 50 pessoas. (E) os três jornais 10 pessoas.

9)Assinale a alternativa correta

Após uma pesquisa realizada numa cidade, constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se que 40% consomem arroz; 30% consomem macarrão; 15% consomem feijão e arroz; 20% consomem feijão e macarrão; 60% consomem feijão. Calcule a percentagem correspondente às famílias que não consomem nenhum desses três produtos.

(A) 4% (B) 5% (C) 6% (D) 7% (E) 8%

10) De um torneio de atletismo, têm-se as informações no quadro sobre as proveniências e sexos dos participantes.

11) Sobre os membros de uma comissão sabe-se que:

i) 9 são solteiros; iii) 10 não são mulheres casadas; ii) 5 são homens; iv) 8 não são homens solteiros. Pede - se:

a) Quantos membros existem nessa comissão?

b) Quantos membros dessa comissão são homens casados?

12) Assinale a alternativa correta.

Em um grupo há 40 homens e 40 mulheres. 30% dos homens fumam e 6 mulheres fumam. A porcentagem de fumantes no grupo é

(A) 20%. (B) 24%. (C) 26,25%. (D) 22,5%. (E) 28,5%.

13) Assinale a alternativa correta.

Em um grupo de 30 gatos, há gatos brancos e gatos pretos.

Nesse grupo, existem 20 gatos machos, 15 gatos pretos, e sabe-se que 4 fêmeas são brancas.

O número de machos pretos é: (A) 7

(B) 9 (C) 8 (D) 11 (E) 10

14) Assinale a alternativa correta.

Um banco de sangue catalogou 60 doadores assim distribuídos: 29 com sangue do tipo O;

30 com fator Rh negativo;

14 com fator Rh positivo e tipo sanguíneo diferente de O.

Quantos doadores possuem tipo sanguíneo diferente de O e fator Rh negativo? (A) 19

(B) 18 (C) 20 (D) 21 (E) 17

15) Assinale a alternativa correta. (A)

3





1,3,5





(B)

1,3,5





(C)





1,3,5





(D)







0,1, 0



16) Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e complete os parênteses com (V) se a sentença for verdadeiras e com (F) se a sentença for falsa.

i) Sejam A = { a, b, {a}, {a, b} } e B = { a, b, {a, b} }, então :

a) B A ( ) b) a  A _{( ) c) b}  B ( ) d) { a, b }  B ( ) e) { a }A ( )

ii) Sejam A={ 1, 2, {1,2} } e B={ {1,2,3}, 3 }, complete com

, ,  e 

a) A ... B b) {1, 2 } ... A c) {1,2,3} ... B d) 2 ... B

17) Sendo A = { 1, 2, {1} } e B={ 1, {1}, {1,2} }. Complete com (V) ou (F):

a) A



B ( ) _{b) {1, 2}}  B ( ) _{c) {1, 2}}



B ( ) _{d) {1, 2}}



A ( )

Propriedades da União e da Intersecção de Conjuntos:

Para todas as propriedades abaixo, considere A, B e C três conjuntos quaisquer.

U é o conjunto Universo e

∅

é o conjunto Vazio.

1. Se A  B, então A B = A e A B = B

2.Idempotência: A



A = A e _A



A _{= A}

3. A



∅

=

∅

e A



∅

= A A 

U

= A e A 

U

=

U

4.Comutativa: A B = B



A e A  B = B



A

5.Associativa : ( A B )



C = A



(

B C ) e ( A  B )



C = A



( B



C )

6.Distributiva: A 

(

B  C ) = ( A



B )  ( A



C ) e A 

(

B  C ) = ( A



B )



( A



C )

7.

𝑨̿ = 𝑨

8. Leis de De Morgan :

A ∪ B

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = A ̅ ∩ B̅

e

A ∩ B

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = A̅ ∪ B̅

9.

A ∩

A

̅

= ∅

10.

A ∪

A̅

=

U

11.

A − B = A ∩

B

̅

12.

A ∆

A

=

∅

13.

A ∆ B = B ∆ A

14.

A ∆

∅

= A

15. A 

(

A  B ) = A e A 

(

A  B ) = A

Exercícios:

18.Classifique a sentença abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F), justifique sua resposta: a)

𝐀 − 𝐁

̅̅̅̅̅̅̅̅ ∪ 𝐁̅ ∪ 𝐁 − 𝐀

̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝐀̅ ∪ 𝐁) ∪ (𝐀 ∩ 𝐁)

b)

_{(A ∪ B) ∩ A̅ = B̅ ∪ A}

c)

_{𝐵̅ ∪ (B − A)}

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴 ∩ 𝐵

19.Assinale a alternativa correta:

𝐴̅ ∪ (A − B)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

é igual a:

(A)

𝐴 ∩ 𝐵

(B)

A ∪ B

(C)

𝐴 − 𝐵

(D)

𝐴

20.Classifique a sentença abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F), justifique sua resposta:

a)

A̅ Δ 𝐵̅ = A Δ B

b)

𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶 ) = ( 𝐴 − 𝐵) ∪ ( 𝐴 − 𝐶 )

c)

𝐴 ∩ (𝐵 Δ 𝐶 ) = ( 𝐴 ∩ 𝐵) Δ ( 𝐴 ∩ 𝐶 )

d)

𝐴 Δ (𝐴 − 𝐵 ) = 𝐴 ∩ 𝐵

21.Mostre que :

A ∩ 𝐵̅

̅̅̅̅̅̅̅ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ) = 𝐴̅ ∪ 𝐵

22.Mostre que :

(A ∪ B ∪ C ) ∩

A ∩ 𝐵̅ ∩ 𝐶̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐵̅ ∩ 𝐶̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

23. Use as propriedades convenientes e mostre que :

A − [ A ∆ (B ∪ C) ] = A ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)

24. Mostre que a sentença abaixo é verdadeira:

A − (B − C) ∪ (A − C ) = A

Respostas:

1) i) a) F b)V c) F d) V e) V

ii) a) A  B ou A  B b) {1,2}  A ou {1,2}  A c) {1,2,3}  B ou {1,2,3}  B d) 2  B 2) a) F b) V c) V d) V

3) (D)

4) 9

5) (B) 6) (D)

7) (A)

8) (D)

9) (B)

10) Nenhuma mulher de Rio Branco. (Obs: a=2 e b=8)

11) a) A comissão é formada por 12 membros. b) 01 homem casado.

12) (D)

13) (B)

14) (E)

15) (D)

16) i) a) V b)V c) F d) V e) V

ii)a) A  B ou A  B b) {1,2}  A ou {1,2}  A c) {1,2,3}  B ou {1,2,3}  B d) 2  B

Respostas: 18) a) Falsa

_{𝑨 − 𝑩}̅̅̅̅̅̅̅̅ ∪ 𝑩̅ ∪ 𝑩 − 𝑨̅̅̅̅̅̅̅̅ = _{(𝑨̅ ∪ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑩) =}

= 𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅̅ ∪ 𝐵̅ ∪ 𝐵 ∩ 𝐴̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴̅ ∪ ( 𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) )

= 𝐴̅ ∪ 𝐵 ∪ 𝐵̅ ∪ 𝐵̅ ∪ 𝐴 = 𝑨̅ ∪ 𝑩

= 𝐴̅ ∪ 𝐵 ∪ 𝐵̅ ∪ 𝐵̅ ∪ 𝐴

= (𝐴̅ ∪ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐵̅) = 𝐔 ∪ 𝐔

= 𝐔 Portanto, 𝐴 − 𝐵̅̅̅̅̅̅̅̅ ∪ 𝐵̅ ∪ 𝐵 − 𝐴̅̅̅̅̅̅̅̅ ≠ (𝐴̅ ∪ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)

b) Falsa

(𝑨 ∪ 𝑩) ∪ 𝑨̅ =

= (𝐴 ∩ 𝐴̅) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴̅)

=  _{∪ (𝐵 ∩ 𝐴̅)}

= _{(𝑩 ∩ 𝑨̅)} Portanto, _{(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐴̅ ≠ 𝐵̅ ∪ 𝐴}

c)Verdadeira

𝑩̅ ∪ (𝑩 − 𝑨)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =

= 𝐵̅̅ ∪ 𝐵 ∩ 𝐴̅̅̅̅̅̅̅̅̅

= 𝐵 ∩ (𝐵̅ ∪ 𝐴)

= (𝐵 ∩ 𝐵̅) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)

= ∅ ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)

= 𝑨 ∩ 𝑩 Portanto, 𝐵̅ ∪ (𝐵 − 𝐴)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴 ∩ 𝐵

19) Alternativa : a

𝑨̅ ∪ (𝑨 − 𝑩)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =

= 𝐴 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵 ̅̅̅̅̅̅̅̅)̅

= 𝐴 ∩ (𝐴̅ ∪ 𝐵)

= (𝐴 ∩ 𝐴̅) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)

= ∅ ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)

= 𝑨 ∩ 𝑩 Portanto, 𝐴̅ ∪ (𝐴 − 𝐵)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴 ∩ 𝐵

20) a) 𝑨̅ △ 𝑩̅ =

= (𝐴̅ – 𝐵̅) ∪ (𝐵̅ – 𝐴̅)

= (𝐴̅ ∩ 𝐵̅) ∪ (𝐵̅ ∩ 𝐴̅)

= (𝐴̅ ∩ 𝐵̅̅) ∪ (𝐵̅ ∩ 𝐴̅̅)

= (𝐴̅ ∩ 𝐵) ∪ (𝐵̅ ∩ 𝐴)

= (𝐵 – 𝐴) ∪ (𝐴 – 𝐵)

= 𝑨 △ 𝑩 𝑨̅ △ 𝑩̅ = 𝑨 △ 𝑩 Verdadeira

b) 𝑨 − (𝑩 ∩ 𝑪) = = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

= 𝐴 ∩ (𝐵̅ ∪ 𝐶 ̅ )

= (𝐴 ∩ 𝐵̅ ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶̅ )

= (𝑨 − 𝑩) ∪ (𝑨 − 𝑪) 𝑨 − (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 − 𝑩) ∪ (𝑨 − 𝑪) Verdadeira

21) 𝑨 ∩ 𝑩̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∪ (𝑩 ∩ 𝑪) =

= (𝐴̅ ∪ 𝐵̅̅) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)

= (𝐴̅ ∪ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)

= 𝐴̅ ∪ [𝐵 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)]

= 𝑨̅ ∪ 𝑩

22)(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) ∩ (𝑨 ∩ 𝑩̅ ∩ 𝑪̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) =

= (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴̅ ∪ 𝐵̅ ∩ 𝐶̅̅̅̅̅̅̅̅)

= (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴̅ ∪ 𝐵̿ ∪ 𝐶̿)

= (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴̅ ∪ 𝐵 ∪ 𝐶)

= (𝐵 ∪ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐴̅ )

= (𝐵 ∪ 𝐶) ∪ ∅

= (𝑩 ∪ 𝑪)

𝑩̅̅̅̅̅̅̅̅ =̅ ∩ 𝑪̅ = 𝐵̿ ∪ 𝐶̿

= (𝑩 ∪ 𝑪)

Sendo (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵̅ ∩ 𝐶̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = (𝑩 ∪ 𝑪) e 𝐵̅ ∩ 𝐶̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑩 ∪ 𝑪)

Portanto, (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵̅ ∩ 𝐶̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝐵̅ ∩ 𝐶̅̅̅̅̅̅̅̅̅

24) [𝑨 − (𝑩 − 𝑪)] ∪ (𝑨 − 𝑪) =

= [𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶̅)] ∪ (𝐴 ∩ 𝐶̅)

= [𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶̅̅̅̅̅̅̅̅)] ∪ (𝐴 ∩ 𝐶̅)

= [𝐴 ∩ (𝐵̅ ∪ 𝐶)] ∪ (𝐴 ∩ 𝐶̅)

= (𝐴 ∩ 𝐵̅) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶̅)

= (𝐴 ∩ 𝐵̅) ∪ [ 𝐴 ∩ (𝐶 ∪ 𝐶̅) ]

= (𝐴 ∩ 𝐵̅) ∪ ( 𝐴 ∩ 𝑈)

= (𝐴 ∩ 𝐵̅) ∪ 𝐴

23) 𝑨 − [𝑨 △ (𝐁 ∪ 𝐂)] =

= 𝐴 − {[𝐴 − (B ∪ C)] ∪ [(B ∪ C) − 𝐴] }

= 𝐴 − {[𝐴 ∩ (B ∪ C̅̅̅̅̅̅̅)] ∪ [(B ∪ C) ∩ 𝐴̅ ]}

= 𝐴 − {[𝐴 ∩ (B ∪ C̅̅̅̅̅̅̅)] ∪ [(B ∪ C) ∩ 𝐴̅ ]}

= 𝐴 − {[𝐴 ∩ (𝐵̅ ∩ 𝐶̅)] ∪ [(B ∪ C) ∩ 𝐴̅ ]}

= 𝐴 ∩ {[𝐴 ∩ (𝐵̅ ∩ 𝐶̅)] ∪ [(B ∪ C) ∩ 𝐴̅ ]̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅}

= 𝐴 ∩ { [𝐴̅ ∪ B ∪ C] ∩ [(B̅ ∩ C̅) ∪ 𝐴]}

= 𝐴 ∩ (𝐴̅ ∪ B ∪ C) ∩ [(B̅ ∩ C̅) ∪ 𝐴]}

= (𝐴̅ ∪ B ∪ C)] ∩ 𝐴 ∩ [(B̅ ∩ C̅) ∪ 𝐴]}

= (𝐴̅ ∪ B ∪ C) ∩ 𝐴

= (B ∪ C) ∩ 𝐴

= 𝐀 ∩ ( 𝐁 ∪ 𝐂 )