1. Números Reais e Funções Números Reais
O sistema numérico real consiste em um conjunto de elementos chamados de números reais e duas operações denominadas adição (+) e multiplicação ( . ).
O sistema numérico real pode ser inteiramente descrito por um conjunto de axiomas. Com esses axiomas podemos deduzir as propriedades dos números reais, das quais seguem as operações algébricas de adição, multiplicação, subtração e divisão, bem como os conceitos algébricos de resolução de equações, fatoração e assim por diante.
Um número real é positivo, negativo ou zero e qualquer número real pode ser classificado como racional ou irracional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma razão de dois inteiros. Isto é, um número racional é da forma p/q, onde p e q são inteiros e q é diferente de zero. Os números racionais consistem em: i) Números Inteiros, positivos, negativos e zero: … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
ii) Frações positivas e negativas, como:
2 9 81
, ,
3 −5 77, …
iii) Números decimais exatos, positivos e negativos,como:
236 3251 1
2,36 , 0,003251 e 0,5
100 1000000 2
= − = − =
iv) Números decimais não-exatos, mas com repetição periódica, como:
1 61
0,333... e 0,549549549...
3 111
= − = −
Os números reais que não são racionais são chamados de números irracionais. Esses são os decimais não-exatos que não apresentam repetição periódica. Como por exemplo:
3 1,732...,= π =3,14159... e e=2,718281... Propriedades dos números Reais
O conjunto dos números reais, representado por
, admite duas operações, denominadas soma (+) e multiplicação (.). A partir dessas operações, as seguintes propriedades são válidas.
i)Comutativa: a+ = +b b a e .a b=b a. ii)Associativa:
( ) ( ) e .( . ) ( . ).
a+ + =b c a+ +b c a b c = a b c
iii) Distributiva: .(a b+ =c) ( . ) ( . )a b + a c
iv) Elemento Neutro: a+ = 0 a
v) Elemento Identidade: 1.a a= vi) Elemento Simétrico: a+ − = ( a) 0
vii) Elemento Recíproco: Todo número real c, diferente de 0, tem um recíproco, isto é, um número real denotado por 1 ou c 1
c − que satisfaz: . =1 ou c.1 1 1 c c c − = .
Ordenação dos Números Reais
Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada. Observe que a abertura dos sinais > e < fica voltada para o número maior. Por exemplo, 0 < 7 e (-7) < 0. As duas temperaturas -5°C e +5°C são igualmente distantes do ponto 0°C na escala de temperatura. Para expressarmos este fato, dizemos que ambas as temperaturas têm o mesmo valor absoluto. Mais precisamente, o valor absoluto de um número positivo é o próprio número enquanto o valor absoluto de um número negativo é o número oposto. Então, para o valor absoluto escrevemos: 5 5+ = e
5 5
− = . O zero não tem valor nem positivo nem negativo, assim, definimos 0 = . De 0 modo mais claro, quanto maior a distância de 0 maior é o valor absoluto. Dessa forma,
5 2
− > , enquanto ( 5) (2)− < .
Módulo ou Valor Absoluto de um Número Real
O módulo (valor absoluto) de um número real x, é definido como sendo o maior valor entre x e -x, e é indicado por x , isto é:
{ , }
Por definição: 2 x = x ou ainda por: , se 0 0, se 0 , se x<0 x x x x x > ⎧ ⎪ =⎨ = ⎪− ⎩ , Rx∈
Sejam a e b dois números reais quaisquer. Dizemos que a é menor que b e escrevemos a b< , quando b a− é positivo. Geometricamente, isto significa que o número a está à esquerda do número b na reta numerada. Equivalentemente, dizemos que b é maior que a e escrevemos b a> . Neste sentido dizemos que o conjunto dos números reais é ordenado. O símbolo a b≤ , lê-se a é menor ou igual a b, (ou b a≥ , lê-se b é maior ou igual a a) significa que ou a < b ou a = b ( b a> ou b a= ). Se a, b e c são números reais, podemos demonstrar que: (i) Se a b< e b c< então a c< . (ii) Se a b< então a c b c+ < + . (iii) Se a b< e c d< então a c b d+ < + . (iv) Se a b< e c> então ac bc0 < . (v) Se a b< e c< então ac bc0 > . (vi) Se 0 a b< < então 1 1 b< . a
Regras análogas valem para a relação maior que. Desigualdades
Toda relação que usa os sinais > ou < é chamada uma desigualdade. A expressão 0< <x 5, com
R
x∈ indica que x é um número real
compreendido entre 0 e 5. Neste caso, 0 é uma cota inferior de x e 5 é uma cota superior. Para indicar que um número y é indiferentemente maior ou menor que x, mas não igual a x usamos y≠ x (y é diferente de x). Se uma variável puder assumir o valor de sua cota inferior a ou de sua cota superior b, escrevemos
a
≤ ≤
y
b
. Dizemos que “y é maior ou igual a a” e “y é menor ou igual a b. As desigualdades ocorrem geralmente em problemas de classificação.Intervalos Reais
Comumente nos referimos a certos conjuntos numéricos chamados intervalos que correspondem, geometricamente, a segmentos de reta (ou semi-retas). Por exemplo, se a < b, o intervalo aberto,
denotado por (a, b), é constituído por todos os números reais que estão entre a e b.
As possíveis situações de intervalos reais são mostradas abaixo: a)Intervalo aberto: ( , )a b ou {x∈R /a< <x b} a b b) Intervalo fechado: [ , ]a b ou {x∈R /a≤ ≤x b} a b
c) Intervalo aberto à esquerda: ( , ]a b ou
{x∈R /a< ≤x b}
a b
d) Intervalo aberto à direita: [ , )a b ou
{x∈R /a≤ <x b} a b e) Intervalo aberto: ( , )a ∞ ou {x∈R /x>a} a f) Intervalo fechado: [ , )a ∞ ou {x∈R /x≥a} a g) Intervalo aberto: (−∞, )b ou {x∈R /x<b} b h) Intervalo fechado: (−∞, ]b ou {x∈R /x≤b} b i) Intervalo aberto: (−∞ ∞ ou , ) R
Note que o símbolo ∞ não representa um número: a notação ( , )a ∞ define o conjunto de
todos os números maiores que A e o símbolo
∞
indica somente que o intervalo se prolonga indefinidamente, a partir de A, na direção positiva da reta numerada (para a direita do número A).2. Funções
Um dos mais importantes conceitos em todo o Cálculo é o de Função. As funções são utilizadas para descrever as relações entre as quantidades variáveis. O uso de determinados modelos matemáticos os quais podem resultar em funções são, muitas vezes, utilizados para prever acontecimentos futuros. A representação de uma função é usualmente feita de quatro maneiras: • Verbalmente: descrevendo-a com palavras; • Numericamente: por meio de tabelas de valores; • Geometricamente: por meio de gráficos;
• Algebricamente: usando uma fórmula explícita. Utilizando funções para solucionar problemas Muitas vezes é possível encontrar um modelo matemático que descreva o comportamento dos dados. Estes modelos podem ser funções, cuja análise pode nos auxiliar na compreensão e solução do problema em questão. Entretanto salientamos que para encontrar estes modelos é necessário um bom conhecimento matemático.
Exemplo 1 (Ferruzzi, 2003): Consumo de energia
elétrica no Paraná
A Tabela 1 nos apresenta o consumo de energia elétrica no estado do Paraná no período de 1992 à 1999. Os dados constantes nesta tabela foram fornecidos pela Copel. Com base nestes dados, é possível prever o consumo de energia elétrica neste estado no ano de 2004?
Tabela 1: Consumo de Energia no Paraná no tempo
t n Cn em TWh 0 1992 10,696643 1 1993 11,432419 2 1994 11,957966 3 1995 12,996213 4 1996 13,862816 5 1997 14,600576 6 1998 15,391161 7 1999 16,029786 Resolução:
Para fazer esta previsão necessitamos de um modelo matemático o qual descreva o comportamento destes dados. Utilizando a planilha de cálculo Excel, podemos obter a curva de tendência destes dados. Esta curva e o modelo encontrado estão representados na Figura 1 e 2.
C onsumo de e ne rgia e lé trica no Paraná
5 7 9 11 13 15 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 anos - iniciando em 1992 c o ns u m o TW H Figura 1 Figura 2
Podemos observar que se essa tendência permanecer, o consumo de energia elétrica no estado do Paraná tende a estabilizar-se. Considerando algumas hipóteses, um possível modelo para o consumo no decorrer do tempo é:
( )
117,41 106,81. 0,0075tC t = − e− .
Com este modelo podemos estimar o consumo de energia para qualquer tempo. Assim, para o ano de 2004, o modelo estima um consumo de de 19.8 TWh.
O Conceito de Função
Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y
é uma função de x, e escrevemos y = f(x).
Segue uma definição mais formal de uma função real.
Definição: Sejam A e B subconjuntos de R .
Uma função f definida em A é uma regra, ou lei de correspondência, que atribui um único elemento de B a cada elemento x de A. O conjunto A é chamado domínio de f e B é chamado contradomínio de f. Escrevemos: : ( ) f A B x f x → →
Costuma-se chamar x de variável independente, porque ela é livre para assumir qualquer valor
C o m p o rtam ento d o co nsu m o d e en erg ia elé trica no E stad o d o Pa ra ná
0 2 0 4 0 6 0 8 0 100 120 140 0 1 00 2 00 300 4 00 50 0 60 0 70 0 80 0 9 00 tem po em anos co n s u m o
do domínio A, e chamar y de variável dependente, porque seu valor numérico depende da escolha de x.
Exemplo 2: Deve-se construir um tanque de aço,
para armazenagem de gás propano, na forma de um cilindro circular reto de 3m de comprimento, com hemisférios iguais em cada extremidade (Figura 3). O raio r deve ser determinado. Expresse o volume V do tanque como função de r.
Figura 3
Solução: Recorrendo as noções básicas de geometria, expressamos o volume do tanque por:
3 2
4
3 3
V = πr + πr
Neste exemplo, V é a variável dependente e r a
variável independente. Ou seja, o volume do
tanque depende da escolha do raio.
Domínio, Contradomínio e Imagem
Considere a função
f
:
A
→
B
, representada pelo diagrama:Definimos:
Domínio: Conjunto de todos os elementos pertencentes ao conjunto A. Indicamos esse conjunto por Dm f . ( )
Contradomínio: é o conjunto de todos os elementos pertencentes ao conjunto B. Indicamos esse conjunto por CDm f . ( )
Imagem: É o conjunto formado pelos elementos de B que são correspondentes dos elementos do domínio. Indicamos esse conjunto por Im f . ( )
Exemplo 3: Dada a função ( )f x =3x− , 5
determine os seguintes valores numéricos da função:
a) (0)f =
b) ( 5)f − =
c) f(12)= d) ( 3)f =
Exemplo 4: Dada a função f x( )=x2− , 3
determine os seguintes valores numéricos da função:
a) (0)f =
b) ( 5)f − =
c) f(12)= d) ( 3)f =
Determinação analítica do domínio de uma função
Veremos alguns exemplos onde poderemos identificar o domínio de uma função:
i) Se f x( )=n g x( ), com n par, então Dm f ( ) é tal que ( ) 0g x ≥ .
ii) Se ( ) 1 ( )
f x g x
= , então Dm f( ) é tal que ( ) 0 g x ≠ iii) Se ( ) 1 ( ) n f x g x
= , com n par, então
( )
Dm f é tal que ( )g x > . 0
Obs: Nos próximos capítulos a expressão “ f é uma função” indica que o domínio e o
contradomínio de f são conjuntos de números reais.
Usualmente definimos uma função f enunciando uma fórmula ou regra para achar
f(x) , tal como: ( )f x = x− , onde o domínio 3
é o intervalo infinito [3 ,+∞) . Assim, se x está no domínio, dizemos que f é definida em x, ou que f(x) existe. Se S é um subconjunto do domínio, então f é definida em S. A expressão f
não é definida em x significa que x não está no
Exercícios: Determine o domínio das seguintes funções: 10 x 3 x 2 = c)y 2 x 3 3x = f(x) b) 2x -4 -= f(x) a) + −
10
x
3
x
)
x
(
g
)
e
5
x
)
x
(
f
)
d
2 3 2−
+
=
−
=
Gráfico de FunçõesDefinição: Seja f uma função. O gráfico de f é o
conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f.
Segundo a definição de função, a cada x do
domínio é associado um único y como imagem.
Portanto, toda reta paralela ao eixo y deverá
interceptar o gráfico da função em no máximo
um ponto.
Determinação do Domínio e da Imagem de
uma função por meio do Gráfico
Considere a função representada pelo gráfico abaixo.
Figura 4
Dado o gráfico de uma função f: Domínio é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f, ou seja, Dm f( ) (2,5]= . Conjunto Imagem é formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f, isto é,
Im( ) (1,6]f = .
Crescimento e Decrescimento de Funções Função Crescente: Uma função f é crescente
num intervalo I ⊂Dm f( ) se para quaisquer x1 e x2 de I, x1< implicar x2 f x( )1 < f x( )2 . Função Decrescente: Uma função f é
crescente num intervalo I⊂Dm f( ) se para quaisquer x1 e x2 de I, x1<x2 implicar
1 2
( ) ( )
f x > f x .
Uma função pode ser estritamente crescente ou decrescente em todo seu domínio. Entretanto, é possível que ela seja crescente em um ou mais intervalos de seu domínio e crescente em outros.
Exercícios
E01: Analise se os seguintes gráficos representam ou não funções justificando sua resposta:
a) b)
c) d)
E02: Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: a) b) c) d)
y
x
y
x
y
x
y
x
1
-1
3
3
-3
y
xy
x
-2
1
y
x
y
x
Domínio
y
6
1
x
2
5
Conjunto
imagem
e) f)
E03: Determine o domínio das seguintes funções
3
x
7
x
)
x
(
f
)
f
)
4
x
3
x
).(
16
(x
=
y
e)
5
x
3
x
2
=
d)y
8
x
6
x
9
x
=
y
c)
2
x
3x
=
f(x)
b)
4x
-6
=
f(x)
a)
2 2 2 2 2 2+
−
−
=
−
−
−
+
+
+
+
+
E04: Analise o gráfico abaixo e responda as seguintes questões:
a) O domínio da função. b) A imagem da função. c) O valor de f(1).
d) O intervalo em que a função é crescente. e) O intervalo em que a função é constante. f) O intervalo em que a função é decrescente. E05: Encontre o domínio das seguintes funções:
4 2 x 3 x ) x ( f ) d 1 x 3 ) x ( f ) c 2 x ) x ( f ) b 3 x 1 ) x ( f ) a + + = − = − = − = 1 x 2 ) x ( f ) h x 3 7 ) x ( f ) g x 8 x ) x ( f ) f 6 x x x ) x ( f ) e 2 3 4 2 2 4 + − = − = − = − + =
(
x 2)(
x 3)
5 ) x ( f ) j 6 x 5 x ) x ( f ) i 2 + − = + − = 1 x 3 x ) x ( f ) m x 3 6 x 2 ) x ( f ) l 3 x 3 x 1 ) x ( f ) k − + = + + = − + =E06: Dada a função f(x) = 2x-3, obtenha: a)f(3) b)f(-4)
c)f(1/2) d)f(x+h) e)o valor de x, tal que f(x) = 49 f)o zero da função
E07: Dada a função f(x)=x2−x, obtenha: a) f(a) b) f(a+h) c) f(a+h)-f(a) E08: Se f(x)=3x2 −5x+2, encontre: a)f(0) b)f(-2) c)
f
(
2
)
d)f
(
1
+
3
)
e)f( - x ) E09: Dada a função f(x)=x2 −4x+10 , obtenha os valores de x cuja imagem seja 7. RespostasE01: São funções: letras a e c
Não são funções: b e d pois alguns pontos do domínio possuem mais de uma imagem. E02:
[
[
[ ]
[
[
{ }
[
[
]
]
[
− +∞[
{ }
∪]
+∞[
= = − ℜ ℜ +∞ − ℜ +∞ ℜ − , 0 1 : Im , 2 : Dom f) 2 y e 1 - y : Im 3 , 3 : Dom e) : Im : Dom ) d 2, : Im 0 : Dom ) c 1, : Im : Dom ) b 1,3 : Im 3 , 3 : Dom ) a E03:7
x
3
u
o
3
x
7
)
f
−
≤
<
−
<
≤
-1
-2
3
1
-3
y
x
y
x
E07: a)f(3) = 3 b)f(-4)= -11 c)f(1/2)= -2 d)f(x+h) = 2x + 2h -3 e)26 f) x 3 2 = E08: 2 2 2 2 a)a a b)a 2ah h a h c)2ah h − + + − − + E09: a)f(0) = 2 b)f(-2)= 24 c)
f
(
2
)
= 8 −5 2 d)f
(
1
+
3
)
= 3 9+ e)f( - x ) = 3x2+5x 2+ E11: x = 1 e x = 3Operações Algébricas com Funções
Definições: Sejam y= f x( ) e y=g x( ) funções.
i) Adição e Subtração de funções: (f ±g x)( )= f x( )±g x( )
ii) Multiplicação de Funções: ( . )( )f g x = f x g x( ). ( )
iii) Divisão de Funções: ( ) ( ) ( ) f f x x g g x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , se ( ) 0g x ≠ .
Para as funções f + , f gg − e .f g , definimos o
domínio como sendo a intersecção dos domínios de f e g; para a função f/g, definimos o domínio como sendo a intersecção dos domínios de f e g, excluídos os pontos onde ( ) 0g x = (para evitar a
divisão por zero).
Composição de Funções
Definição: Dadas as funções f e g, a composição de f e g, denotada por f gο é a função definida por
(fog x)( )= f g x( ( )). Por definição, o domínio de
f gο consiste em todo x no domínio de g para o
qual ( )g x está no domínio de f.
Exemplo (ANTON, 2007, p. 29): Seja 2
( ) 3
f x =x + e g x( )= x . Encontre
(f g xο )( ) e (g fο )( )x
Exemplo (ANTON, 2007, p. 29): Encontre
(f g h xο ο )( )= f g h x( ( ( ))) se f x( )= x , 1 ( ) g x x = e h x( )=x3.
Exemplo (ANTON, 2007, p. 30): Expresse 5
( ) ( 4)
h x = x− como uma composição de duas
funções.
Translações, Reflexões, Alongamentos e Compressões de Gráficos de funções
Translação Vertical
Sejam ( )y= f x e k∈
i) ( )f x + translada o gráfico em k unidades k
para cima, se k >0;
ii) ( )f x + translada o gráfico k unidades k
para baixo, se k<0 Translação Horizontal
Sejam ( )y= f x e h∈ a transformação R
i) (f x+h) translada o gráfico em h unidades
para a esquerda, se h>0
ii) (f x+h) translada o gráfico em h unidades
para a direita, se h<0
Veja representação gráfica das translações verticais e horizontais, respectivamente, na Figura 5.
Figura 5 Reflexões
Sejay= f x( )uma função real.
i) ( )−f x reflete o gráfico de f em relação ao
eixo x.
ii) (f − reflete o gráfico de f em relação ao x) eixo y. Veja Figura 6
Figura 6
Alongamentos
Sejam ( )y= f x e c∈ . R
i) ( )y=cf x alonga o gráfico de f verticalmente
por um fator de c, se c> ; 1
ii) ( )y= f cx alonga o gráfico de f horizontalmente
por um fator de 1/c, se 0< < ; c 1
Figura 7 Compressões
i) ( )y=cf x comprime o gráfico de f verticalmente
por um fator de 1/c, se 0< < ; c 1 ii) ( )y= f cx comprime o gráfico de f
horizontalmente por um fator de c, se c> . 1
Figura 8
Funções Pares e Ímpares
Definição: Uma função y=f(x) é definida
i) uma função par de x se f(-x) = f(x) ii) uma função ímpar de x se f(-x) = - f(x) para qualquer x dentro do domínio da função. Os gráficos de funções pares e ímpares têm propriedades de simetria características.
i) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.
ii) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Figura 9 Exemplo: Seja f x( ) x2 12 x = + e ( ) 5 3 g x =x − . x
Verificar a paridade de cada função.
Resolução: Temos que Dm f( ) R {0}= − e
2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f x x x f x x x − = − + = + = − , logo,
f é uma função par.
Para a função g temos que Dm g( ) R= e
5 3 5 3
( ) ( ) ( ) ( )
g − = −x x − −x = − +x x = −g x logo, g é uma função ímpar.
Funções Definidas por Partes
Definição: São funções definidas por várias sentenças (leis, equações) matemáticas, para intervalos do seu domínio.
Exemplo:
⎩
⎨
⎧
≤
≤
<
≤
=
c
x
b
se
g(x)
b
x
a
se
f(x)
y
Gráfico: Para o traçado do gráfico, consideramos separadamente as várias sentenças matemáticas com seus intervalos do seu domínio. Depois, num mesmo sistema de eixos, traçamos o gráfico relativo a cada sentença, obedecendo a seu intervalo de variação.
Exemplo: Esboce o gráfico de
⎩ ⎨ ⎧ < + − ≥ + = 1 x se 3 x 1 x se 1 x ) x ( f
Resolução: Primeiro desenhamos pontilhadas,
as retas y = x + 1 e y = − x + 3, veja Figura
10
f(x) f(x)
-f(x)
Figura 10
Em seguida, marcamos, com traço firme, a parte que interessa de cada uma, como na Figura 11
Figura 11 3 x f(x) 1, x para 1 x f(x) , 1 x para + − = < + = ≥ Função Modular
Definição: Função modular é a função de ℜ em ℜ,
definida por:
⎩
⎨
⎧
<
−
≥
=
0
x
se
x
0
x
se
x
)
x
(
f
O gráfico da função modular é equivalente à reunião dos gráficos das sentenças que a definem, como mostra a Figura 12
Figura 12
Exemplo: Esboce o gráfico de f(x)= x−1 +2. Resolução: Eliminando o módulo, temos:
⎩ ⎨ ⎧ < + − ≥ + = 1 x se 3 x 1 x se 1 x ) x ( f veja Figura 13. Figura 13 Funções Polinomiais
Definição: Função polinomial é a função f :ℜ→ℜdefinida por:
1 2
1 2 1
( ) n n ....
n n o
f x =a x +a− x − + +a x +a x+a ond
e os coeficientes ao, , ,...a1 a2 a , são números n
reais e os expoentes são inteiro positivo, Se 0an ≠ então f é de grau n.
Exemplos:
a) A função constante ( )f x = é uma função k
polinomial de grau zero;
b)A função ( )f x =ax+ , a ≠ 0, é uma função b
polinomial do primeiro grau; c)A função ( ) 3
f x =x f( x )= x3 é uma função
polinomial, chamada função cúbica, cujo gráfico está representado na Figura 14:
Figura 14
e) f x( ) (= x−1)3 , seu gráfico é obtido do gráfico da função ( ) 3
f x =x , transladando-o
uma unidade para a direita, como verificamos na Figura 15.
Figura 15 f) ( ) 4 1
f x =x − é uma função polinomial de grau 4,
seu gráfico tem o aspecto apresentado na Figura 16.
Figura 16
Funções Racionais
Definição: Função racional é aquela definida como
o quociente de duas funções polinomiais, isto é, ( ) ( ) ( ) p x f x q x
= , onde ( )p x e ( )q x são polinômios e
( ) 0
q x ≠ .
O domínio da função racional é o conjunto dos números reais, excluindo aqueles x tais que
( ) 0 q x ≠ . Exemplo: A função ( ) 1 1 x f x x − = + é uma função racional de domínio Dm f( ) R { 1}= − − e está representada graficamente na Figura 17:
Figura 17 Exemplo: A função 2 1 ( ) x g x x + = é uma
função racional com domínio Dm g( ) R {0}= − O gráfico de g está representado na Figura 8.
Figura 18
Funções Algébricas
Definição: São funções que podem ser construídas com polinômios, aplicando-se um número finito de operações algébricas (adição, subtração, divisão e extração de raízes).
Exemplos: f x( )=x23(x+2)2 , 2 5 ( ) 3 f x x x = + .
As funções que não são algébricas são ditas transcendentes.
Função Inversa
Definição: Se as funções f e g satisfazem as
duas condições: ( ( ))
g f x = , para todo x do domínio de f x
( ( ))
f g x = , para todo y do domínio de g y
Dizemos que f e g são funções inversas uma da outra, ou então, que f é uma inversa de g e g é
uma inversa de f.
Pode-se mostrar que se uma função f admite inversa, então essa inversa é única. Denotamos então a inversa de f por f -1
.
As seguintes relações entre domínio e imagem de funções inversas são verdadeiras:
1
( ) Im( )
Dm f− = f e Im(f−1)=Dm f( )
Teorema: Se uma equação y= f x( ) pode ser
resolvida para x como uma função de y, digamos ( )x=g y , então f tem uma inversa, a
qual é ( ) 1( ) g y = f− y .
Exemplo: Determine a inversa def x( )=x3− . 3 Resolução:
Como y= f x( ), trocamos x por y e y por x: 3 3 x= y − Isolando y: 3 3 y = + e x 3 3 y= x+
Portanto, f−1( )x =3 x+ é a função inversa 3 de f x( )=x3− . 3
O próximo teorema estabelece a condição necessária e suficiente para a existência da função inversa:
Teorema: Uma função f tem inversa se, e somente
se, f é injetora.
Observe que, uma função pode ser classificada em: a) Injetora se cada elemento do contra-domínio é imagem de, no máximo, um elemento do domínio; b) Sobrejetora se todo elemento do contra-domínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio; c) Bijetora ou isomorfismo se todo elemento do contra-domínio é imagem de exatamente um elemento do domínio
.
Teorema: (Teste da reta horizontal) Uma função f
tem inversa se, e somente se, seu gráfico é cortado, no máximo, uma vez por qualquer reta horizontal. Teorema: Se f tiver inversa, então os gráficos de
( )
y= f x e y= f−1( )x são reflexões um do outro
em relação à reta y x= .
Figura 19
Exemplo:
A função f: [0 ,+ )∞ →ℜ , definida por f(x)=x2 tem como inversa a função g: [0 ,+ )∞ →ℜ dada por g(x)= x . Conforme apresenta a Figura 20.Figura 20
Funções Exponenciais
Vejamos algumas propriedades da potenciação, antes de definir função exponencial.
Propriedades: Sejam ,a b∈ m n∈
seguintes expressões são válidas: P1: a am n=am n+ P2: m m n n a a a − = P3: (am n) =amn P4: ( )ab n =a bn n P5: , 0 n n n a a b b b ⎛ ⎞ = ≠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ P6: a n 1n,a 0 a − = ≠
Definição de Função Exponencial
Definição: Chamamos função exponencial de base b, a função
f
:
ℜ
→
ℜ
*+, definida por:( ) x
f x =b ,com b> e 0 b≠ 1
Exemplo: Algumas funções exponenciais:
1 x 3 ) x ( f ) c x 2 1 ) x ( f ) b x 2 ) x ( f ) a + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =
Características: Com relação ao gráfico da função ( ) x
a) a curva que o representa está toda acima do eixo das abscissas, pois x
y=b para todo x ∈ ; ℜ
b) corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1) ;
c) ( ) x
f x =b é crescente para b> e decrescente 1
para 0< <b 1
.
d) ( ) RDm f = e Im( ) Rf = *+.
A figura 21 ilustra três funções exponenciais decrescentes, no primeiro gráfico e três funções crescentes no segundo.
0< <b 1
b> 1
Figura 21
Exercício: Esboce o gráfico das funções abaixo,
especifique se a função é crescente ou decrescente e dê o domínio e a imagem: x
2
)
x
(
f
)
a
=
b) 1 2 1 ) x ( f x + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =Exercícios: Esboce em um mesmo sistema de eixos os gráficos das funções abaixo:
,
1
2
)
x
(
f
=
x+
g
(
x
)
=
2
x e,
1
2
)
x
(
h
=
x−
Função LogarítmicaIniciamos por recordar a definição de logaritmo.
Definição: O logaritmo logbN= ⇔x bx =N,
onde: é a base é o logaritmando é o logarítmo b N x ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Condição de Existência: N>0,b>0,b≠ 1 É imediato que: log log 1 0; log 1; bN b = bb= b =N
Propriedades: Sejam b>0,b≠1 e ,a c∈R*+, então:
P1: log ( ) logb ac = ba+logbc P2: log ( / ) logb a c = ba−logbc P3: log ( )b a n =nlogba P4: logbma 1log ,ba m m = ∈ P5: , 0 n n n a a b b b ⎛ ⎞ = ≠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ P6: log log log k b k a a b = ,para todo *, 1 k∈+ k≠ .
P7: cologba= −logba , cologaritmo de a na base b.
Exemplos: Utilizando a definição e as
propriedades de logaritmo, calcule:
81
log
27 =25
1
log
5 =1
log
0,3 =log
250
,
008
=)
2
4
(
log
3 2 2 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
e
1
ln
5
log
1
,
0
log
5 1 100 =Definição de Função Logarítmica
Definição: Chamamos função logarítmica de base b, a função
f
:
ℜ
*+→
ℜ
que associa a cada número real x o número logbx, ou seja:ℜ
→
ℜ
*+:
f
( ) logb f x = x, com 0,x> b>0,b≠ . 1Características: Com relação ao gráfico da função ( ) logf x = bx, afirmamos que:
a) a curva que o representa está toda à direita do eixo das ordenadas, pois a função não está definida para x≤ ; 0
b) corta o eixo das abscissas no ponto (1,0) ; c) f x( ) log= bx é crescente para b> e 1
decrescente para 0< <b 1
.
d) ( ) R*Dm f = + e Im( ) Rf = .
A figura 22 ilustra três funções logarítmicas decrescentes, no primeiro gráfico e três funções crescentes no segundo.
0< <b 1
b> 1
Observe que a função logarítmica é a inversa da
função exponencial, pois: log y
bx= ⇔y b =x . Compare os gráficos das funções ( ) 3x
f x = e 3
( ) log
f x = xnum mesmo sistema cartesiano.
Figura 23
Exemplo: Traçar, num mesmo sistema de eixos, o
gráfico das funções f(x)=log2x e
x log
g(x)= 4 .
Exemplo: Traçar, num mesmo sistema de eixos, o
gráfico das funções
(
x 1)
, log ) x ( f 2 1 + = g(x) log x 2 1 = e(
x 1)
log ) x ( h 2 1 − = . Solução: Figura 24Função Exponencial Natural e Logaritmo Natural
O número e=2,718291... (Número de Euler ) é um número irracional de grande utilidade em cálculos de diferentes áreas do conhecimento. A função exponencial de base e , ( ) x
f x =e é
denominada de função exponencial natural e sua função inversa é ( ) ln( )f x = x , onde ln( ) logx = ex.
O ln( )x é o logaritmo de x na base e e é
denominado de logaritmo natural. Todas as propriedades válidas para o exponencial e logaritmo em outras bases valem também para a base e.
Exemplo: As companhias de investimento em
geral optam entre calcular os juros pelo sistema de juros “compostos anualmente” ou “compostos continuamente”. Para um investimento inicial de U$100,00, podemos obter o montante por meio da expressão
1( ) 100.(1,055)t
R t = se os juros forem
compostos anualmente e por meio da expressão 0,055.
2( ) 100.
t
R t = e se os juros forem compostos
continuamente.
a) Complete a Tabela 2, compare e comente qual dos sistemas é mais lucrativo (você vai precisar de uma calculadora).
Tabela 2: Comparação entre Rendimentos Ano 1( ) 100.(1,055)t R t = R t2( ) 100.= e0,055.t 0 100,00 100,00 1 2 3 4 5
b) Quanto tempo de investimento seria necessário para que o montante chegasse a U$2000,00?
Exemplo: Uma população vem decrescendo de
modo que após t anos, a partir de um dado momento em que fixamos t= , o número de 0 indivíduos é ( ) 30.000.2 0,25t
P t = − .
a) Qual será a população 12 anos após.
b) Após quantos anos a população se reduzirá à metade da inicial?
Exercícios
E01: Construa os seguintes gráficos das funções definidas por várias sentenças:
2 x se 3 2 x 0 se 1 x 0 x se 1 ) x ( f ) a ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ + < = 1 x se 1 x 1 x se x ) x ( f ) b 2 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − − < − =
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − ≥ − = 0 x se x 1 0 x se x 2 x ) x ( f ) c 2
E02: A Função de Heaviside H é definida por:
⎩
⎨
⎧
≥
<
=
0
t
se
1
0
t
se
0
)
(t
H
Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada. Esboce o gráfico da função de Heaviside.
E03: Construa os gráficos das seguintes funções:
1 + 4 x 3 y f) 1 x 2 ) x ( f ) e 3 x = y d) 8 x = y c) 1 x y b) x . 2 ) x ( f ) a − = − = − + + = =
E04: Sabendo que uma certa população de bactérias dobra a cada 4 horas, e supondo que inicialmente existam 150 bactérias, determine:
a) o gráfico desta população.
b) o tamanho da população após 20 horas. c) o tamanho da população após t horas.
E05: Esboce o gráfico das funções abaixo e especifique se a função é crescente ou decrescente, dê o domínio e a imagem: 1 x x 1 x x 2 1 f(x) d) 1 2 1 y c) 3 f(x) b) 1 3 ) x ( f ) a + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − =
E06: Esboce o gráfico das funções abaixo, especifique se a função é crescente ou decrescente e dê o domínio e a imagem: ) 1 x ( log ) x ( f c) x og l ) x ( f b) x log ) x ( f ) a 3 3 1 3 − = = =
E07: Construa o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = -6x + 5 b) f(x) = 6 – 12x c) f(x) = -3x d) ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = 0 x se x 0 x se x 2 ) x ( f e) ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ + = 1 x se 3 1 x se 1 x 2 ) x ( f f) 1f(x)=x2 −2x+ ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = + − = − = − = 0 x se 2 0 x se x ) x ( f ) j 3 x x ) x ( f ) i x x 3 ) x ( f ) h x 4 ) x ( f ) g 2 2 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = 0 x se x 0 x se x ) x ( f ) k 2 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = 0 x se x -0 x se x ) x ( f ) l 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < < < + = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ < < ≤ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < = 2 x se 1 2 x 0 se x 0 x se 3 x 2 ) x ( f ) o 2 x se x 2 x 0 se 1 0 x se x ) x ( f ) n 0 x se 4 0 x se 3 0 x se 1 ) x ( f ) m 2 2 3
E08: Dadas as funções bijetoras, obtenha a sua inversa. 1 4 x 5 2 x 3 y ) g 3 2 x 4 y ) f 2 x 3 y ) e 2 x 3 1 x 2 y ) d x 3 1 x 2 y ) c 2 x 2 y ) b 3 x 4 y ) a 3 3 3 3 3 + − = − = + = − + = + = + = − = 1.2.18 Funções Periódicas
Definição: Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe um número real T ≠ 0 tal que f (x + T) = f (x) para todo x ∈ Dm (f ). O número T é chamado período da função f(x).
O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento T.
Exemplos de gráficos de funções periódicas são observadas nas Figuras ? e ?.
Figura 25
Figura 26
As funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas.
Funções Trigonométricas Função Seno
Definição: Chamamos de função seno, a função
ℜ → ℜ :
f que, a cada número real x, associa o seno desse número. ( )f x =sen x( )
O gráfico da função ( )f x =sen x( ), denomina-se
senóide e encontra-se na Figura 27
O domínio da função seno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o intervalo
[
−1, 1]
.A função seno é periódica e seu período é 2 radπ , já que sen x( +2 )π =sen x( ).
Em alguns intervalos a função é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo, nos intervalos
2
0,
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ π
e⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
π
π
2
,
2
3
a função é crescente. Já no intervalo⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
π
π
2
3
,
2
ela é decrescente. Figura 27 Função CossenoDefinição: Chamamos de função cosseno, a
função f :ℜ→ℜ que, a cada número real x, associa o cosseno desse número.
( ) cos( )
f x = x
O gráfico da função ( ) cos( )f x = x ,
denomina-se cosdenomina-senóide e está repredenomina-sentado na Figura 28 O domínio da função cosseno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o intervalo
[
−1, 1]
.A função cosseno é periódica e seu período é 2 radπ , já que cos(x+2 ) cos( )π = x .
Em alguns intervalos a função cos( )x é
crescente e em outros é decrescente. Por exemplo, no intervalo [0, π] a função é decrescente. Já no intervalo [π, 2π] ela é crescente.
Figura 28
Exemplo: Construa o gráfico, da função
( ) 2 ( )
f x = − sen x , indicando o domínio,
imagem e o período.
Resolução: Observe a Tabela 3 onde atribuímos valores para x e encontramos f(x). O gráfico desta função está apresentado na Figura 29, onde comparamos o comportamento da função ( )f x = −2sen x( ) com a função
( ) ( )
f x =sen x .
Observe que a função ( )f x = −2sen x( ) modifica sua amplitude em relação à função ( )f x =sen x( ). Tabela 3 x senx 2senx 0 0 0 2 π 1 −2 π 0 0 2 3π -1 2 π 2 0 0 Figura 29
Exemplo: Construa o gráfico, da função
( ) 1 cos( )
f x = + x , dando o domínio, imagem e o
período.
Resolução: Observe a Tabela 4 onde atribuímos valores para x e encontramos f(x).
O gráfico desta função está apresentado na Figura 30, onde comparamos o comportamento da função
( ) 1 cos( )
f x = + x com a função ( ) cos( )f x = x . Dm: ℜ, Im: [
0,
2
]
e P = 2 radπ . Tabela 4 x cos x 1+cos x 0 1 2 2 π 0 1 π −1 0 2 3π 0 1 π 2 1 2 Figura 30Observe que a função ( ) 1 cos( )f x = + x
desloca-se em 1 unidade no eixo y em relação ao gráfico da função ( ) cos( )f x = x
Exemplo: Construa o gráfico, da
função ( )
2
f x =sen x⎛⎜ −π⎞⎟
⎝ ⎠, dando o domínio, imagem e o período.
De forma geral, considerando as funções:
sen( ) y= +a b mx+n e y= +a bcos(mx+n) Temos: Dm=ℜ, C.D=ℜ Im=
[
a−b ,a+b]
, b> 0 e P = rad m 2πFunção Genérica da Corrente
( ) ( )
i t = +A Bsenω t +φ , onde o ângulo de
fase é
ω
φ
=
θ
Exemplo: Dadas as funções abaixo, em cada
caso pede-se: o gráfico; o domínio; a imagem; o valor máximo e mínimo da corrente; em que tempo teremos o valor máximo e em que tempo teremos o valor mínimo; e os valores do tempo que fazem com que a corrente seja nula. 1) ( ) 2,5sen(500 )i t = πt com 0≤ ≤t 4ms 2) ( ) 3sen(50 ) 2 i t = t−π com 0 25 t π s ≤ ≤ Outras Funções Trigonométricas Função Tangente
A função tangente, designada por tg, é definida
por ( ) ( ) cos( ) sen x tg x x = . O domínio é ( ) { / cos( ) 0} Dm tg = ∈x x ≠ ou seja,
( ) { R / ,com R} 2 Dm tg = ∈x x≠Kπ+π K∈ e a imagem é Im( ) {tg = ∈ x } Figura 31 Função Cotangente
A função cotangente, designada por cotg, é definida por ( ) cos( )
( ) x cotg x sen x = . O domínio é ( ) { R / ( ) 0}
Dm cotg = ∈x sen x ≠ ou seja,
( ) { R / ,com R}
Dm cotg = ∈x x≠Kπ K∈ e a
imagem é Im(cotg) {= ∈x R}
Figura 32 Função Secante É definida por ( ) 1 cos( ) sec x x = , com (sec) { R / cos( ) 0} Dm = ∈x x ≠ . Figura 33 Função Cossecante É definida por ( ) 1 ( ) cosec x sen x = , com (cos ) { R / ( ) 0} Dm ec = ∈x sen x ≠ . Figura 37
Funções Trigonométricas Inversas Função Arco Seno
A função seno não é invertível, visto que não é injetora; então consideremos uma restrição em a um intervalo convenientemente escolhido, de forma a obtermos uma função injetora. Seja f a restrição da função seno no intervalo
, 2 2
I = −⎡⎢ π π⎤⎥
⎣ ⎦ . A função inversa de f é
denominada de função arco seno e representada por: f−1( )x =arcsen x( ). Assim,
( ) [ 1,1]
Dm arcsen = − e Im( ) ,
2 2
arcsen = −⎡⎢ π π⎤⎥
⎣ ⎦.
Por um processo análogo, definimos a função
arco cosseno. Porém, é necessário observar
que no intervalo escolhido na restrição f adotada para o seno, a função cosseno não é injetora.
Dessa forma, seja g a restrição da função
cosseno no intervalo I =
[ ]
0,π . A funçãoinversa de g é denominada de função arco
cosseno e representada por: 1( ) cos( )
f− x =arc x .
Figura 38: Funções arcsen e arccos, respectivamente.
Com procedimento análogo ao usado para as função ( )y=arcsen x e y=arccos( )x ,
obtemos as demais funções trigonométricas inversas.
Exercícios
E01: Construa os seguintes gráficos em um mesmo sistema de eixos x sen 2 1 ) x ( f d) x sen 2 ) x ( f ) c x sen ) x ( f b) x sen ) x ( f ) a = = − = =
E02: Construa os seguintes gráficos em um mesmo sistema de eixos x sen 3 ) x ( f ) c x sen 2 ) x ( f b) x sen ) x ( f ) a + − = + = =
Nos exercícios E03 ao E08 pede-se:
a) o gráfico;
b) o domínio e a imagem;
c) o valor máximo e mínimo da corrente (ou da tensão no caso do ex. 16);
d) em que tempo teremos o valor máximo e em que tempo teremos o valor mínimo;
e) os valores do tempo que fazem com que a corrente ( ou a tensão ) seja nula;
f) O período ( T); g) A freqüência ( f );
h) O ângulo de fase quando tiver.
E03: Considere a função i=5sen(10 )t com 0
5
t π s
≤ ≤
E04: Considere a função i=3,5sen(10t−π) com 0
5
t π s
≤ ≤
E05: Considere a função i=4sen(10t+π) com 0
5
t π s
≤ ≤
E06: Considere a função i=25sen(200 )t com 0
100
t π s
≤ ≤
E07: Considere a função i=5sen(400 )t com 0
200
t π s
≤ ≤
E08: Considere a função v=50sen(200t+π) com 0
100
t π s
≤ ≤
E09: (THOMSON, 2002) Á medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se a temperatura do solo for de 20ºC e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10ºC, expresse a temperatura T (em ºC) como uma função da altura h ( em km), supondo que um modelo linear seja apropriado. Em seguida construa o gráfico desta função encontrada e encontre a temperatura à 2,5km de altura. E10: (THOMSON, 2002) Na superfície do oceano, a pressão da água é igual a do ar acima da água, 15 lb/pol2. Abaixo da superfície, a pressão da
água cresce em 4,34 lb/pol2 para cada 10 pés
de descida. Expresse a pressão da água como uma função da profundidade abaixo da superfície do oceano.
E11: (SWOKOWSKI, 1994) De um ponto exterior
P que está a h unidades de um círculo de raio r,
traça-se uma tangente ao círculo (veja a Fig 39). Seja y a distância do ponto P ao ponto de tangência T. Expresse y como função de h e r. (lembre-se que se C é o centro do círculo, PT é perpendicular a CT.) Se r é o raio da terra e h é a altura de um foguete, então podemos deduzir uma fórmula para a distância máxima (à terra) que um astronauta pode ver da nave. Em particular, se h= 321.800 m e r = 6 436 000 m, dê uma aproximação para y.
Figura 1 Figura 39
E12: (SWOKOWSKI, 1994) As posições relativas de uma pista de aeroporto e de uma torre de controle de 6,1 m de altura são ilustradas na Figura 40. A cabeceira da pista está a uma distância perpendicular de 100 metros da base da torre. Se x é a distância percorrida na pista por um avião, expresse a distância d entre o avião e a torre de controle como função de x.
Figura 40
E13: (ANTON, 2000) Com os dados da tabela, verifique se um modelo linear é apropriado, se for, encontre este modelo relacionando x e f(x) e verifique se os pontos dados estão sobre o gráfico desta função.
X 0 1 2 4 6 F(x) 2 3,2 4,4 6,8 9,2
E
14:
(ANTON, 2000)Com os dados da tabela,
verifique se um modelo linear é apropriado, se
for, encontre este modelo relacionando x e f(x)
e verifique se os pontos dados estão sobre o
gráfico desta função.
X -1 0 2 5 8
F(x) 12,6 10,5 6,3 0 - 6,3
E15: (ANTON, 2000) Existem dois sistemas comum para medir temperatura, Celsius e Fahrenheit. A água congela à 0 ºC e a 32 ºF, ferve à 100 ºC e 212 ºF.
a) supondo que a situação entre as temperaturas Celsius Tc e Fahrenheit TF é uma função linear, encontre-a .
b) qual é a inclinação da reta, sabendo que TF está plotado sobre o eixo do horizonte?
c) qual é a temperatura na qual a leitura em ºC e ºF é a mesma?
d) a temperatura normal do corpo é de 98,6 ºF, qual é em ºC?
E14: (ANTON, 2000) Um termômetro de resistência determina a temperatura ao medir a resistência em seu filamento, que varia com a temperatura. Suponha que a resistência R em ohms Ω varie linearmente com a temperatura T em ºC e que R = 123,4 Ω quando T = 10ºC e que R = 133,9 Ω
quando T = 45ºC. Determine uma equação para
R em função de T.
E16: A resistência elétrica R em Ω para um fio de metal puro está relacionado com sua temperatura T em ºC pela fórmula
(
1 T)
0 R
R= +κ , na qual R0 e k são constantes
positivas. Faça um esboço do gráfico de R em função de T e explique o significado geométrico de R0 e k para seu gráfico.
Respostas E09: T= -10h+20 a temperatura à 2,5 km é de –5ºC. E10: P = 0,434 d+15( d: profundidade e P: pressão) E11: y= h2 +2hr y ≅1 280,6 mi E12: d= 90400+x2
E13: Sim, é apropriado. O modelo é 2 x 2 , 1 y= +
E14: É apropriado. Os pontos estão sobre o gráfico e o modelo encontrado é
( ) 2,1 10,5 f x = − x+ E15:
(
)
c)- 40º d)37º 9 5 b) 32 T 9 5 T ) a c = f − E16: R =0,42T +115 E17: 0R é o valor de R quando t = 0, isto é, 0R é o coeficiente linear da função. K é a constante que interfere no coeficiente angular.
Exercícios Recomendados: ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1 Tradução: Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. Páginas, de 11 à 16 Páginas, de 36 à 39 Páginas, de 48 à 51 Páginas, de 62 à 65 Páginas, de 74 à 76
t
R
R
3. LIMITES
O conceito de limite de uma função f é uma das idéias fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que no vácuo ela seria igual ao valor L. Se representarmos por x a pressão e a medida que quisermos for dada por f(x), então podemos representar esse resultado por:
0 lim ( )
x→ f x = . L Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na física, eletricidade, mecânica, etc.
Noção de Limite
Inicialmente daremos uma definição informal de limites.
Definição: Se os valores de f(x) puderem ser
tomados tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a mas não iguais a a), então escrevemos lim ( )
x→af x = , que deve ser lido L como “o limite de f(x) quando x tende a a é L”. Exemplo: Tomemos a função
(
)
(
)
2 9 ( ) 3 x f x x − = − . Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se aproxima f(x) quando x se aproxima de 3. Façamos uma tabela e atribuamos a x valores menores que 3. x f(x) 2,5 5,5 2,8 5,8 2,9 5,9 2,99 5,99 2,999 5,999 2,9999 5,9999 ... ...Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos aproximamos de x por valores menores do que 3.
Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3. x f(x) 3,4 6,4 3,2 6,2 3,1 6,1 3,01 6,01 3,001 6,001 3,0001 6,0001 ... ...
Note que, quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 6.
Assim, parece que o limite da função quando x tende a 3 é 6. Matematicamente, representamos esta situação por
limx→3f x( ) 6= .
Limites como os referidos acima são chamados
limites laterais.
Definição: Se os valores de f(x) puderem ser
tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas maiores do que a), então escrevemos
limx→a+ f x( ) L = e se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de L quanto queiramos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas menores do que a), então escrevemos
limx→a− f x( )= . L
Relação entre Limites Laterais e Bilaterais O limite bilateral de uma função f(x) existe em um ponto a se, e somente se, existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor, isto é:
lim ( )
x→a f x =L se, e somente se,
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x L f x
− +
→ = = → .
Definição Formal de Limites
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos:
lim ( ) x→a f x = L
se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que ( )
f x − < sempre que 0 x aL ε < − < δ
Dando a definição acima de uma forma que não contenha o símbolo de valor absoluto:
i) 0< − < equivale a ax a δ − < < +δ x a δ e x≠ . a
ii) ( )f x − < equivale a L ε L− <ε f x( )< + L ε
Reformulando a definição de limites, teremos: lim ( )x→a f x = L
significa que, para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que se x está no intervalo aberto (a−δ,a+δ)
x≠a , então f(x) está no intervalo aberto
(L−ε,L+ε). A Figura 41 ilustra a definição.
Figura 1 Figura 41
Exemplo: Usando a definição de limite, prove que: 1
lim(3 1) 2 x→ x− =
Para esta prova devemos mostrar que,
0, 0
ε δ
∀ > ∃ > , tal que: ( 3x−1)−2 <ε sempre que 0< x−1 <δ.
O exame da desigualdade envolvendo ε proporciona uma chave para escolha de δ.
As seguintes desigualdades são equivalentes: (3 1) 2 (3 3 3( 1) 3. 1 1 3 x x x x x ε ε ε ε ε − − < − < − < − < − <
A última desigualdade nos sugere a escolha do δ. Fazendo , 3 ε = δ vem que: (3x− − < sempre que 01) 2 ε < − < x 1 δ Portanto, 1 lim(3 1) 2 x→ x− = .
Exemplo: Usando a definição de limite, prove
que: 2
4
lim 16
x→ x =
Devemos mostrar que, dado ε > 0, ∃ δ > 0, tal que: x2−16< sempre que 0ε < − < x 4 δ Da desigualdade envolvendo ε, temos.
2 16 4 . 4 x x x ε ε − < ⇔ − + < ⇔
Necessitamos agora substituir x+ por um 4 valor constante.Neste caso, vamos supor: 0 < δ ≤ 1, e então, de 0< − < , seguem x 4 δ as seguintes desigualdades equivalentes:
4 1 1 4 1 3 x 5 7 x 4 9 x x − < ⇔ − < − < ⇔ < < ⇔ < + < ⇔ Portanto, x+ < 4 9. Escolhendo ,1 , 9 min ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ε = δ temos que se 4 x− < então δ 2 16 4 . 4 .9 .9 9 x − = −x x+ < δ ≤ε =ε logo 2 4 lim 16 x→ x = Observação: Se 1 limx→af x( )=L e 2
limx→af x( )=L então L1 = L2 (Unicidade do
Limite)
Exercícios: Nos exercícios E01 à E03, prove os
limites. E01: lim
(
3x 7)
10 1 x →− − + = ε = 0,5 E02: 2 1 x 1 x lim 2 1 x − = − → ε=0,75E03: 3 1 x -2 1 lim 5 x → =− ε = 0,25 Propriedades dos limites
A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para encontrar muitos limites, sem utilizar a pesquisa do número δ conforme definição. P1. Sejam a e c números reais quaisquer, então
lim
x→ac= isto é, o limite de uma constante é a c própria constante.
P2. Se a, b, m são números reais, então
lim( ) x→a mx+b =ma+ b Exemplo: 4 lim(3 5) 3.4 5 7 x→ x− = − = P3. Se lim ( ) x→af x = e lim ( )L x→ag x =Mentão: a) lim [ ( )x→a f x +g x( )]= +L M b) lim [ ( ). ( )]x→a f x g x =L M. c) ( ) L
lim = desde que M 0
( ) M x a f x g x → ≠ d)
[
]
lim ( ) ( p/ inteiro positivo n)
n n
x→a f x =L ∀ e)
lim ( ) , desde que L 0 p/ n par
n n
x→a f x = L >
f)
[
]
lim lnx→a f x( ) =ln. , desde que L 0 L >
g)
[ ]
lim cos f(x)x→a =cos( ) L
h)
[ ]
lim sen f(x)x→a =sen( ) L
i) ( )
lim
f x L x→ae =e
Exemplo: Determine o seguinte limite: 2
lim (x→2 x −3x+ = 1)
3 2
2 2 2
2 2
lim lim 3 lim 1
2 3.2 1 1 P x x x P x x → → → ⎯⎯→ − + ⎯⎯→ − + = − 2 lim (x→2 x −3x+ = − 1) 1
Vemos neste exemplo que o valor de lim ( )x→af x = f a( )
Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos:
Teorema: Se f é uma função polinomial, então lim ( )x→af x = f a( ) Exemplo: Calcule 2 lim (x→2 x −5x+1) 2 5.2 1 5 2− + =− = Exemplo: Calcule lim ( )x→2f x , onde 2 3 2 ( ) 2 x se x f x x se x ≤ ⎧ = ⎨ > ⎩
Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites.
Teorema: Se f é uma função racional, e a
pertence ao domínio, então
lim ( )x→ aq x =q a( ) Exemplo: Calcule 2 3 5 2 1 lim 6 7 x x x x → − + − Resolução: 2 2 3 7 11 5 2 1 5.3 2.3 1 lim 6 7 6.3 7 40 = 3 11 x x x x → − + = − + − − = Exemplo: Calcular 3 2 lim 3x→5 x −4x+ 9 Resolução: 3 2 3 2 5 5 3 3 lim 3 4 9 lim3 4 9 = 75-20+9 = 64 4 x→ x − x+ = x→ x − x+ = Limites Indeterminados
Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal procedimento nos deparamos com resultados do tipo 0 0 ou ∞ ∞ .
Exemplo: Calcular o limite abaixo: 2 2 2 2 lim ( 4) x x x x → − − − Resolução: Seja f(x) = x2 - x - 2 e g(x) = x2 - 4. Então f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e g(2) = 22 - 4 = 0
Assim, ao substituirmos direto teríamos uma indeterminação do tipo
0 0
, logo tal procedimento não pode ser utilizado.
No caso de indeterminações do tipo 0 0 ou ∞ ∞ há vários métodos que podem ser aplicados de acordo com as funções envolvidas. Deixaremos estes casos quando estudarmos derivadas. Utilizando-se de derivadas apresentaremos um método prático para resolver tais casos.
Limites Laterais
Vimos que para determinar o limite de uma função quando x tende para a, devemos verificar o comportamento da função para valores de x muito próximos de a, maiores ou menores que a.
O valor do qual f se aproxima quando o valor de x se aproxima de a por valores menores do que a é denominado limite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproxima quando x tende para a através de valores maiores que a é o limite à
direita de f.
Estes limites são chamados limites laterais.
Limite à esquerda:
limx a ( )
f x
−
→ teremos x a< , logo x a h= − , onde h> é muito pequeno. 0
Limite à direita:
limx→a+ f x( )
teremos x a> , logo
x= + , onde a h h> é muito pequeno. 0
Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definida por várias sentenças fica simples calcular os limites laterais. Seja a função definida pelo gráfico da Figura 42, calcule: a)
limx→1− f x( ) e b) limx 1 ( ) f x + → Figura 42 Resolução:
Observando o gráfico, podemos concluir que: 1 1 lim ( ) 5 lim ( ) 3 x x f x f x + − → → = =
Logo não existe o limite desta função quando x tende a 1.
Exemplo: Seja a função 2 2 1, para 2 ( ) 2, para 2 9-x , para 2 x x f x x x ⎧ + < ⎪ =⎨ = ⎪ > ⎩ Calcule: 2 limx→2+ f x( ), lim x→2− f x( ) e lim ( )x→ f x Resolução:
Quando x→ 2+ significa x > 2 logo
2 x 9 ) x ( f = − assim lim 9-x2 9-22 5 2 x = = + →
Quando x→ 2− significa x < 2 logo 1 x ) x ( f = 2 + assim 5 1 2 1 x lim 2 2 2 x = + = + + →
Como os limites laterais são iguais, concluímos que limf(x) 5
2
x→ =
Quando a função não está definida por várias sentenças , ou não temos o gráfico da função, teremos que usar um artifício que chamaremos de incremento h para encontrar os limites laterais.
Exemplo: Calcule por mudança de variáveis os
limites laterais à esquerda e à direita respectivamente, das funções abaixo, nos pontos indicados: 1 x em x x 2 1 y ) c 2 x em x y ) b 1 x em 1 x 2 y ) a 2 2 − = + − = = = = + = Exercícios
E01: Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo:
a) 3 2 lim 3 2 7 x→− x − x+ b)
