P1 versão 3 resolvida

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BIS 0003 - Bases Matem´aticas - Turma B2

1a

Avalia¸c˜ao (resolvida) - Prof. Armando Caputi

1. Determine o dom´ınio e o conjunto-solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao abaixo:

|x+ 3_{| ≥} x

2₋₉

x+ 2

Resolu¸c˜ao:

A inequa¸cão está bem definida para todo número real x₆=₋2, isto é, o dom´ınio éD=R_\{−₂_}_.

Como temos uma express˜ao modular na inequa¸c˜ao, iremos considerar dois casos: x_{≥ −}3 oux <₋3, uma vez que

|x+ 3_|=

x+ 3 se x+ 3_≥0 −x₋3 se x+ 3<0

Caso 1: x_{≥ −}3. Nesse caso, a inequa¸c˜ao se escreve como

x+ 3_≥ x

2₋₉

x+ 2

e fatorando o numerador do segundo membro

x+ 3_≥ (x−3)(x+ 3) x+ 2 .

Para podermos cancelar o fatorx+3, notemos antes que no casox=₋3 a inequa¸cão é claramente satisfeita (não poder´ıamos usar a lei de cancelamento nesse caso, da´ı a necessidade de considerá-lo separadamente). Se x+ 3>0, podemos simplificar a inequa¸cão (preservando o sinal de desigualdade):

1_≥ x−3 x+ 2.

Levando em conta o sinal de x+ 2, temos:

Caso 1.1: x+ 2>0, isto ´e, x >₋2. A inequa¸c˜ao acima se torna

x+ 2_≥x₋3

que ´e sempre satisfeita.

Caso 1.2: x+ 2<0, isto ´e, ₋3< x <₋2. A inequa¸c˜ao se torna

x+ 2_≤x₋3

que claramente n˜ao possui solu¸c˜ao.

Portanto, como conjunto-solu¸c˜ao parcial do caso 1 temos

S₁ =_{−3_{} ∪}(₋2,+_∞).

Caso 2: x <₋3. Nesse caso, a inequa¸c˜ao se escreve como

−(x+ 3)_≥ x2−9 x+ 2

e, como antes, fatorando o numerador do segundo membro

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Como agora x+ 3<0, ao cancelarmos tal fator na inequa¸c˜ao obtemos

−1_≤ x−3 x+ 2

e como tamb´em x+ 2<0, obtemos

−(x+ 2)_≥x₋3

(note que nas duas passagens anteriores houve mudan¸ca no sinal de desigualdade, por estarmos multipli-cando por termos negativos). A inequa¸c˜ao acima equivale a

2x_≤1

cujas solu¸cões são todos os números reais x_≤ 1

2. Logo, o conjunto-solu¸c˜ao parcial do caso 2 ´e

S₂ = (_−∞,₋3).

Concluindo, o conjunto solu¸cão da inequa¸cão acima é

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2. Determine o dom´ınio maximal da fun¸c˜aof(x) =px₋√2 +x.

Resolu¸c˜ao:

O dom´ınio maximal da fun¸cãof é o conjunto de todos os números reais para os quais a expressão algébrica de f faz sentido. Para isso, devemos ter satisfeitas as duas condi¸cões abaixo:

2 +x_≥0 e x₋√2 +x_≥0.

Da primeira, segue imediatamente que x_{≥ −}2. Da segunda, devemos ter √

2 +x_≤x.

Tal inequa¸cão se resolve elevando ambos os membros ao quadrado. Mas esse procedimento só funciona quando ambos os lados têm mesmo sinal. Assim, consideraremos dois casos (já levando em considera¸cão a condi¸cão x_{≥ −}2): ₋2_≤x <0 ou x_≥0.

Caso 1: ₋2_≤x <0. Como√2 +x_≥0 sempre, nunca resultar´a √

2 +x_≤x <0

logo, neste caso, n˜ao temos solu¸c˜ao.

Caso 2: x_≥0. Elevando ao quadrado ambos os membros da inequa¸c˜ao, obtemos

2 +x_≤x2

o que equivale a

x2₋_x₋₂_≥₀_.

Tendo em mente as ra´ızes da equa¸c˜aox2₋_x₋_{2 = 0, que s˜ao}_x₌₋_{1 e}_x_{= 2, e o sinal positivo do termo}

quadrático, temos que as solu¸cões da inequa¸cão acima são dadas pela condi¸cãox_{≤ −}1 oux_≥2. No nosso caso, como x_≥0, significa que x_≥2.

Em conclusão, o dom´ınio da fun¸cão f é

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3. Determine se a fun¸c˜aog:Z_→Z_{, dada por} _g₍_m_{) = 2}_m_{+ 3 ´e injetora e/ou sobrejetora.}

Resolu¸c˜ao :

Injetividade: Para determinar se a fun¸c˜ao g´e injetora, devemos verificar se _∀ a, b_∈Z

g(a) =g(b) _⇒ a=b.

Dados ent˜aoa, b_∈Z _{tais que}_g₍_a_{) =}_g₍_b_{), temos}

2a+ 3 = 2b+ 3 _⇒ 2a= 2b _⇒ a=b

donde conclu´ımos que g´e injetora.

Sobrejetividade: Para verificar se a fun¸c˜ao g ´e sobrejetora, precisamos verificar se

∀ n_∈Z_, _∃_m_∈Z_:_g₍_m_{) =}_n,

isto ´e, se todo inteiro n(do contradom´ınio) ´e imagem de algum inteirom (do dom´ınio). ´

E imediato verificar que tal proposi¸cão universal é falsa, pois, por exemplo,n= 0 não é imagem de nenhum inteiro m. De fato,

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4. Sejam dados os conjuntos

A=_{5k_|k_∈N_}_{, B}₌_{₃_h_|_h_∈N_}_{, C} ₌_{_a₊_b_|_a_∈_{A, b}_∈_B_}_{, D}₌_{_n_∈N_|_n_≥₈_}

(a) Determine o conjuntoA_∩B.

(b) Prove, usando o PIF, queD_⊂C (antes, enuncie a propriedade que pretende provar, de modo conveniente para usar o PIF).

(c) Determine o conjuntoC_\D(use a informa¸c˜ao do item b, mesmo se n˜ao o tiver provado).

Resolu¸c˜ao:

(a) O conjunto A é formado pelos múltiplos não-negativos de 5, enquanto o conjunto B pelos múltiplos não-negativos de 3. Os números comuns aos dois conjuntos são aqueles que são simultaneamente múltiplos de 3 e de 5, isto é, os múltiplos não-negativos de 15. Assim

A_∩B =_{15m_|m_∈N_}_.

(b) Dado um n´umero natural n, dizer que n_∈ C significa dizer que n pode ser escrito como uma soma a+b, ondea_∈Ae b_∈B. Em outras palavras, n_∈C se e somente se ´e verdadeira a propriedade

P(n) :_∃k_∈N_,_∃_h_∈N _: _n_{= 5}_k_{+ 3}_h.

Assim, para provar queD_⊂C, vamos provar queP(n) ´e verdadeira para todo n_≥8, utilizando o PIF.

Condi¸cão 1: E necess´´ ario verificar que P(8) é verdadeira. De fato é, pois 8 = 5 + 3 (estamos tomando k= 1 =h).

Condi¸cão 2: Precisamos verificar que vale a implica¸cão P(n)_⇒P(n+ 1), para todo n_≥8. Dado então, n_≥8, temos:

- Hip´otese Indutiva: existem k, h_∈N_{tais que} _n_{= 5}_k_{+ 3}_h_;

- Tese: existem k′_{, h}′ _∈N_{tais que} _n_{+ 1 = 5}_k′_{+ 3}_h′_.

Vamos dividir em dois casos: k _≥ 1 ou k = 0. No primeiro caso, observando que 1 = ₋5 + 3.2, tome k′ ₌_k₋_{1 e} _h′ ₌_h_{+ 2 (note que ambos s˜}_{ao n´}_{umeros naturais). Resulta}

5k′_{+ 3}_h′ _{= 5(}_k₋_{1) + 3(}_h_{+ 2) = 5}_k₋_{5 + 3}_h_{+ 6 = (5}_k_{+ 3}_h_{) + 1 =}_n_{+ 1}_.

No segundo caso, devemos necessariamente ter h_≥3 (caso contr´ario n seria menor que 8) e, observando que 1 = 5.2₋3.3, tomemos k′₌_k_{+ 2 e} _h′₌_h₋_{3 (note que ambos s˜ao n´}_{umeros naturais). Resulta}

5k′_{+ 3}_h′ _{= 3(}_k_{+ 2) + 5(}_h₋_{3) = 5}_k_{+ 10 + 3}_h₋_{9 = (5}_k_{+ 3}_h_{) + 1 =}_n_{+ 1}_.

Tanto no primeiro quanto no segundo casos, conclu´ımos que P(n+ 1) tamb´em ´e verdadeira.

Como valem as condi¸cões 1 e 2 do PIF, o Princ´ıpio de Indu¸cão Finita garante que P(n) é verdadeira para todo n_≥8, ou seja,D_⊂C.

(c) O item B garante que D_⊂C, logo C_\D_{⊂ {}0,1,2,3,4,5,6,7_}. Isto é, precisamos ver quais números entre 0 e 7 podem ser escritos como soma de um múltiplo de 5 e um múltiplo de 3. Os múltiplos de 5 menores que 8 (evidentemente não é necessário considerar valores maiores) são 0,5, enquanto os múltiplos de 3 menores que 8 são 0,3,6. Analisando as poss´ıveis somas de uns e outros, descartando aquelas que resultarem maiores que ou iguais a 8, vemos que 0,3,5,6_∈C, mas 1,2,4,7_∈/C. Assim, conclu´ımos que

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5. Nos itens abaixo, as variáveis xe y são números reais.

(a) Considere a proposi¸c˜ao abertaq(x, y) : 2xy= 0.

i. Dˆe um exemplo e um contraexemplo paraq(x, y), caso existam.

ii. Indique qual a vari´avel livre da proposi¸c˜ao aberta _∀y, q(x, y) e determine um exemplo e um contraexemplo para ela, caso existam.

iii. Com base no item anterior, determine o valor verdade da proposi¸c˜ao _∃x: _∀y, q(x, y). (b) Considere a proposi¸c˜ao aberta p(x, y) :_|x+ 2_|+_|x₋1_|< y.

i. Dˆe um exemplo e um contraexemplo parap(x, y), caso existam.

ii. Indique qual a vari´avel livre da proposi¸c˜ao aberta_∃x: p(x, y) e determine um exemplo e um contraexemplo para ela, caso existam.

iii. Com base no item anterior, determine o valor verdade da proposi¸c˜ao _∀y,_∃x: p(x, y).

Resolu¸c˜ao: (a)

(i) Um exemplo (isto é, valores das variáveis que tornam a proposi¸cão verdadeira) é dado por x = 0 e y = 2 (há infinitos outros exemplos, basta que uma das variáveis seja nula). Um contraexemplo (isto é, valores das variáveis que tornam a proposi¸cão falsa) é dado por x = 1 e y = 2 (também há infinitos contraexemplos, basta tomar ambas as variáveis não nulas).

(ii) Na proposi¸cão _∀y, q(x, y), a variável livre (isto é, aquela que não está quantificada) é a variável x. Um exemplo para essa proposi¸cão (isto é, um valor para a variável x que torna a proposi¸cão verdadeira) é dado por x= 0. De fato, nesse caso a proposi¸cão pode ser escrita como

∀ y, 0y = 0

o que é evidentemente verdadeiro. Já um contraexemplo (isto é, um valor da variável x que torna a proposi¸cão falsa) é dado porx= 1 (ou qualquer valor não nulo de x). De fato, a proposi¸cão

∀y,2y= 0 ´e claramente falsa.

(iii) A proposi¸cão _∃x : _∀y, q(x, y) será verdadeira se existir um exemplo para a proposi¸cão aberta ∀y, q(x, y). Tal exemplo existe, como visto no item anterior. Logo, a proposi¸cão em questão é verda-deira.

(b) (nesse item, não repetiremos o significado de exemplo,contraexemploevariável livre, já explicados no item anterior)

(i) Um exemplo para p(x, y) ´e dado porx= 0 ey= 5. De fato

|0 + 2_|+_|0₋1_|= 3<5. Um contraexemplo ´e dado por x= 0 e y= 1, pois

|0 + 2_|+_|0₋1_|= 3>1.

(ii) A variável livre de_∃x: p(x, y) é a variávely. Um exemplo para essa proposi¸cão é dado pory= 5. De fato, nesse caso a proposi¸cão se escreve como

∃ x:_|x+ 2_|+_|x₋1_|<5

que é verdadeira, pois existex= 0 que satisfaz a inequa¸cão acima. Já um contraexemplo é dado pory= 0. De fato, nesse caso, a proposi¸cão se escreve como

∃ x:_|x+ 2_|+_|x₋1_|<0

o que é claramente falso (pois a soma dos dois módulos não pode ser negativa).