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P1 versão 2 resolvida

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Academic year: 2019

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BIS 0003 - Bases Matem´aticas - Turma B2

1a

Avalia¸c˜ao (resolvida) - Prof. Armando Caputi

1. Determine o dom´ınio e o conjunto-solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao abaixo:

|x+ 2| ≤ x

24

x+ 1

Resolu¸c˜ao:

A inequa¸c˜ao est´a bem definida para todo n´umero real x6=1, isto ´e, o dom´ınio ´eD=R\{−1}.

Como temos uma express˜ao modular na inequa¸c˜ao, iremos considerar dois casos: x≥ −2 oux <2, uma vez que

|x+ 2|=

x+ 2 se x+ 20 −x2 se x+ 2<0

Caso 1: x≥ −2. Nesse caso, a inequa¸c˜ao se escreve como

x+ 2 x

24

x+ 1

e fatorando o numerador do segundo membro

x+ 2 (x−2)(x+ 2) x+ 1 .

Para podermos cancelar o fatorx+2, notemos antes que no casox=2 a inequa¸c˜ao ´e claramente satisfeita (n˜ao poder´ıamos usar a lei de cancelamento nesse caso, da´ı a necessidade de consider´a-lo separadamente). Se x+ 2>0, podemos simplificar a inequa¸c˜ao (preservando o sinal de desigualdade):

1 x−2 x+ 1.

Levando em conta o sinal de x+ 1, temos:

Caso 1.1: x+ 1>0, isto ´e, x >1. A inequa¸c˜ao acima se torna

x+ 1x2

que claramente n˜ao possui solu¸c˜ao.

Caso 1.2: x+ 1<0, isto ´e, 2< x <1. A inequa¸c˜ao se torna

x+ 1x2

que ´e sempre satisfeita.

Portanto, como conjunto-solu¸c˜ao parcial do caso 1 temos

S1 = [2,1).

Caso 2: x <2. Nesse caso, a inequa¸c˜ao se escreve como

−(x+ 2) x2−4 x+ 1

e, como antes, fatorando o numerador do segundo membro

(2)

Como agora x+ 2<0, ao cancelarmos tal fator na inequa¸c˜ao obtemos

−1 x−2 x+ 1

e como tamb´em x+ 1<0, obtemos

−(x+ 1)x2

(note que nas duas passagens anteriores houve mudan¸ca no sinal de desigualdade, por estarmos multipli-cando por termos negativos). A inequa¸c˜ao acima equivale a

2x1

cujas solu¸c˜oes s˜ao todos os n´umeros reais x 1

2. Logo, o conjunto-solu¸c˜ao parcial do caso 2 ´e

S2=∅.

Concluindo, o conjunto solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao acima ´e

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2. Determine o dom´ınio maximal da fun¸c˜aof(x) =p√2 +xx.

Resolu¸c˜ao:

O dom´ınio maximal da fun¸c˜aof ´e o conjunto de todos os n´umeros reais para os quais a express˜ao alg´ebrica de f faz sentido. Para isso, devemos ter satisfeitas as duas condi¸c˜oes abaixo:

2 +x0 e √2 +xx0.

Da primeira, segue imediatamente que x≥ −2. Da segunda, devemos ter √

2 +xx.

Tal inequa¸c˜ao se resolve elevando ambos os membros ao quadrado. Mas esse procedimento s´o funciona quando ambos os lados tˆem mesmo sinal. Assim, consideraremos dois casos (j´a levando em considera¸c˜ao a condi¸c˜ao x≥ −2): 2x <0 ou x0.

Caso 1: 2x <0. Como√2 +x0 sempre, resulta √

2 +x0> x

e a inequa¸c˜ao ´e sempre satisfeita.

Caso 2: x0. Elevando ao quadrado ambos os membros da inequa¸c˜ao, obtemos

2 +xx2

o que equivale a

x2x20.

Tendo em mente as ra´ızes da equa¸c˜aox2x2 = 0, que s˜aox=1 ex= 2, e o sinal positivo do termo

quadr´atico, temos que as solu¸c˜oes da inequa¸c˜ao acima s˜ao dadas pela condi¸c˜ao 1 x 2. No nosso caso, como x0, significa que 0x2.

Em conclus˜ao, o dom´ınio da fun¸c˜ao f ´e

(4)

3. Determine se a fun¸c˜aog:ZZ, dada por g(m) = 2m+ 5 ´e injetora e/ou sobrejetora.

Resolu¸c˜ao :

Injetividade: Para determinar se a fun¸c˜ao g´e injetora, devemos verificar se a, bZ

g(a) =g(b) a=b.

Dados ent˜aoa, bZ tais queg(a) =g(b), temos

2a+ 5 = 2b+ 5 2a= 2b a=b

donde conclu´ımos que g´e injetora.

Sobrejetividade: Para verificar se a fun¸c˜ao g ´e sobrejetora, precisamos verificar se

∀ nZ, mZ:g(m) =n,

isto ´e, se todo inteiro n(do contradom´ınio) ´e imagem de algum inteirom (do dom´ınio). ´

E imediato verificar que tal proposi¸c˜ao universal ´e falsa, pois, por exemplo,n= 0 n˜ao ´e imagem de nenhum inteiro m. De fato,

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4. Sejam dados os conjuntos

A={3k|kN}, B={5h|hN}, C ={a+b|aA, bB}, D={nN|n8}

(a) Determine o conjuntoAB.

(b) Prove, usando o PIF, queDC (antes, enuncie a propriedade que pretende provar, de modo conveniente para usar o PIF).

(c) Determine o conjuntoC\D(use a informa¸c˜ao do item b, mesmo se n˜ao o tiver provado).

Resolu¸c˜ao:

(a) O conjunto A ´e formado pelos m´ultiplos n˜ao-negativos de 3, enquanto o conjunto B pelos m´ultiplos n˜ao-negativos de 5. Os n´umeros comuns aos dois conjuntos s˜ao aqueles que s˜ao simultaneamente m´ultiplos de 3 e de 5, isto ´e, os m´ultiplos n˜ao-negativos de 15. Assim

AB ={15m|mN}.

(b) Dado um n´umero natural n, dizer que n C significa dizer que n pode ser escrito como uma soma a+b, ondeaAe bB. Em outras palavras, nC se e somente se ´e verdadeira a propriedade

P(n) :kN,hN : n= 3k+ 5h.

Assim, para provar queDC, vamos provar queP(n) ´e verdadeira para todo n8, utilizando o PIF.

Condi¸c˜ao 1: E necess´´ ario verificar que P(8) ´e verdadeira. De fato ´e, pois 8 = 3 + 5 (estamos tomando k= 1 =h).

Condi¸c˜ao 2: Precisamos verificar que vale a implica¸c˜ao P(n)P(n+ 1), para todo n8. Dado ent˜ao, n8, temos:

- Hip´otese Indutiva: existem k, hNtais que n= 3k+ 5h;

- Tese: existem k′, hNtais que n+ 1 = 3k+ 5h.

Vamos dividir em dois casos: h 1 ou h = 0. No primeiro caso, observando que 1 = 3.25, tome k′ =k+ 2 e h=h1 (note que ambos s˜ao n´umeros naturais). Resulta

3k′+ 5h= 3(k+ 2) + 5(h1) = 3k+ 6 + 5h5 = (3k+ 5h) + 1 =n+ 1.

No segundo caso, devemos necessariamente ter k3 (caso contr´ario n seria menor que 8) e, observando que 1 =3.3 + 5.2, tomemosk′ =k3 eh=h+ 2 (note que ambos s˜ao n´umeros naturais). Resulta

3k′+ 5h= 3(k3) + 5(h+ 2) = 3k9 + 5h+ 10 = (3k+ 5h) + 1 =n+ 1.

Tanto no primeiro quanto no segundo casos, conclu´ımos que P(n+ 1) tamb´em ´e verdadeira.

Como valem as condi¸c˜oes 1 e 2 do PIF, o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Finita garante que P(n) ´e verdadeira para todo n8, ou seja,DC.

(c) O item B garante que DC, logo C\D⊂ {0,1,2,3,4,5,6,7}. Isto ´e, precisamos ver quais n´umeros entre 0 e 7 podem ser escritos como soma de um m´ultiplo de 3 e um m´ultiplo de 5. Os m´ultiplos de 3 menores que 8 (evidentemente n˜ao ´e necess´ario considerar valores maiores) s˜ao 0,3,6, enquanto os m´ultiplos de 5 menores que 8 s˜ao 0 e 5. Analisando as poss´ıveis somas de uns e outros, descartando aquelas que resultarem maiores que ou iguais a 8, vemos que 0,3,5,6C, mas 1,2,4,7/C. Assim, conclu´ımos que

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5. Nos itens abaixo, as vari´aveis xe y s˜ao n´umeros reais.

(a) Considere a proposi¸c˜ao abertap(x, y) : 2xy= 0.

i. Dˆe um exemplo e um contraexemplo parap(x, y), caso existam.

ii. Indique qual a vari´avel livre da proposi¸c˜ao aberta x, p(x, y) e determine um exemplo e um contraexemplo para ela, caso existam.

iii. Com base no item anterior, determine o valor verdade da proposi¸c˜ao y: x, p(x, y). (b) Considere a proposi¸c˜ao aberta q(x, y) :|x+ 1|+|x2|< y.

i. Dˆe um exemplo e um contraexemplo paraq(x, y), caso existam.

ii. Indique qual a vari´avel livre da proposi¸c˜ao abertax: q(x, y) e determine um exemplo e um contraexemplo para ela, caso existam.

iii. Com base no item anterior, determine o valor verdade da proposi¸c˜ao y,x: q(x, y).

Resolu¸c˜ao: (a)

(i) Um exemplo (isto ´e, valores das vari´aveis que tornam a proposi¸c˜ao verdadeira) ´e dado por x = 0 e y = 2 (h´a infinitos outros exemplos, basta que uma das vari´aveis seja nula). Um contraexemplo (isto ´e, valores das vari´aveis que tornam a proposi¸c˜ao falsa) ´e dado por x = 1 e y = 2 (tamb´em h´a infinitos contraexemplos, basta tomar ambas as vari´aveis n˜ao nulas).

(ii) Na proposi¸c˜ao x, p(x, y), a vari´avel livre (isto ´e, aquela que n˜ao est´a quantificada) ´e a vari´avel y. Um exemplo para essa proposi¸c˜ao (isto ´e, um valor para a vari´avel y que torna a proposi¸c˜ao verdadeira) ´e dado por y= 0. De fato, nesse caso a proposi¸c˜ao pode ser escrita como

∀x, 0x= 0

o que ´e evidentemente verdadeiro. J´a um contraexemplo (isto ´e, um valor da vari´avel y que torna a proposi¸c˜ao falsa) ´e dado pory= 1 (ou qualquer valor n˜ao nulo de y). De fato, a proposi¸c˜ao

∀x,2x= 0 ´e claramente falsa.

(iii) A proposi¸c˜ao y : x, p(x, y) ser´a verdadeira se existir um exemplo para a proposi¸c˜ao aberta ∀x, p(x, y). Tal exemplo existe, como visto no item anterior. Logo, a proposi¸c˜ao em quest˜ao ´e verda-deira.

(b) (nesse item, n˜ao repetiremos o significado de exemplo,contraexemploevari´avel livre, j´a explicados no item anterior)

(i) Um exemplo para q(x, y) ´e dado porx= 0 e y= 5. De fato

|0 + 1|+|02|= 3<5. Um contraexemplo ´e dado por x= 0 e y= 1, pois

|0 + 1|+|02|= 3>1.

(ii) A vari´avel livre dex: q(x, y) ´e a vari´avely. Um exemplo para essa proposi¸c˜ao ´e dado pory= 5. De fato, nesse caso a proposi¸c˜ao se escreve como

∃ x:|x+ 1|+|x2|<5

que ´e verdadeira, pois existex= 0 que satisfaz a inequa¸c˜ao acima. J´a um contraexemplo ´e dado pory= 0. De fato, nesse caso, a proposi¸c˜ao se escreve como

∃ x:|x+ 1|+|x2|<0

o que ´e claramente falso (pois a soma dos dois m´odulos n˜ao pode ser negativa).

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