BIS 0003 - Bases Matem´aticas - Turma B2
1aAvalia¸c˜ao (resolvida) - Prof. Armando Caputi
1. Determine o dom´ınio e o conjunto-solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao abaixo:
|x+ 2| ≤ x
2−4
x+ 1
Resolu¸c˜ao:
A inequa¸c˜ao est´a bem definida para todo n´umero real x6=−1, isto ´e, o dom´ınio ´eD=R\{−1}.
Como temos uma express˜ao modular na inequa¸c˜ao, iremos considerar dois casos: x≥ −2 oux <−2, uma vez que
|x+ 2|=
x+ 2 se x+ 2≥0 −x−2 se x+ 2<0
Caso 1: x≥ −2. Nesse caso, a inequa¸c˜ao se escreve como
x+ 2≤ x
2−4
x+ 1
e fatorando o numerador do segundo membro
x+ 2≤ (x−2)(x+ 2) x+ 1 .
Para podermos cancelar o fatorx+2, notemos antes que no casox=−2 a inequa¸c˜ao ´e claramente satisfeita (n˜ao poder´ıamos usar a lei de cancelamento nesse caso, da´ı a necessidade de consider´a-lo separadamente). Se x+ 2>0, podemos simplificar a inequa¸c˜ao (preservando o sinal de desigualdade):
1≤ x−2 x+ 1.
Levando em conta o sinal de x+ 1, temos:
Caso 1.1: x+ 1>0, isto ´e, x >−1. A inequa¸c˜ao acima se torna
x+ 1≤x−2
que claramente n˜ao possui solu¸c˜ao.
Caso 1.2: x+ 1<0, isto ´e, −2< x <−1. A inequa¸c˜ao se torna
x+ 1≥x−2
que ´e sempre satisfeita.
Portanto, como conjunto-solu¸c˜ao parcial do caso 1 temos
S1 = [−2,−1).
Caso 2: x <−2. Nesse caso, a inequa¸c˜ao se escreve como
−(x+ 2)≤ x2−4 x+ 1
e, como antes, fatorando o numerador do segundo membro
Como agora x+ 2<0, ao cancelarmos tal fator na inequa¸c˜ao obtemos
−1≥ x−2 x+ 1
e como tamb´em x+ 1<0, obtemos
−(x+ 1)≤x−2
(note que nas duas passagens anteriores houve mudan¸ca no sinal de desigualdade, por estarmos multipli-cando por termos negativos). A inequa¸c˜ao acima equivale a
2x≥1
cujas solu¸c˜oes s˜ao todos os n´umeros reais x≥ 1
2. Logo, o conjunto-solu¸c˜ao parcial do caso 2 ´e
S2=∅.
Concluindo, o conjunto solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao acima ´e
2. Determine o dom´ınio maximal da fun¸c˜aof(x) =p√2 +x−x.
Resolu¸c˜ao:
O dom´ınio maximal da fun¸c˜aof ´e o conjunto de todos os n´umeros reais para os quais a express˜ao alg´ebrica de f faz sentido. Para isso, devemos ter satisfeitas as duas condi¸c˜oes abaixo:
2 +x≥0 e √2 +x−x≥0.
Da primeira, segue imediatamente que x≥ −2. Da segunda, devemos ter √
2 +x≥x.
Tal inequa¸c˜ao se resolve elevando ambos os membros ao quadrado. Mas esse procedimento s´o funciona quando ambos os lados tˆem mesmo sinal. Assim, consideraremos dois casos (j´a levando em considera¸c˜ao a condi¸c˜ao x≥ −2): −2≤x <0 ou x≥0.
Caso 1: −2≤x <0. Como√2 +x≥0 sempre, resulta √
2 +x≥0> x
e a inequa¸c˜ao ´e sempre satisfeita.
Caso 2: x≥0. Elevando ao quadrado ambos os membros da inequa¸c˜ao, obtemos
2 +x≥x2
o que equivale a
x2−x−2≤0.
Tendo em mente as ra´ızes da equa¸c˜aox2−x−2 = 0, que s˜aox=−1 ex= 2, e o sinal positivo do termo
quadr´atico, temos que as solu¸c˜oes da inequa¸c˜ao acima s˜ao dadas pela condi¸c˜ao −1 ≤ x ≤ 2. No nosso caso, como x≥0, significa que 0≤x≤2.
Em conclus˜ao, o dom´ınio da fun¸c˜ao f ´e
3. Determine se a fun¸c˜aog:Z→Z, dada por g(m) = 2m+ 5 ´e injetora e/ou sobrejetora.
Resolu¸c˜ao :
Injetividade: Para determinar se a fun¸c˜ao g´e injetora, devemos verificar se ∀ a, b∈Z
g(a) =g(b) ⇒ a=b.
Dados ent˜aoa, b∈Z tais queg(a) =g(b), temos
2a+ 5 = 2b+ 5 ⇒ 2a= 2b ⇒ a=b
donde conclu´ımos que g´e injetora.
Sobrejetividade: Para verificar se a fun¸c˜ao g ´e sobrejetora, precisamos verificar se
∀ n∈Z, ∃m∈Z:g(m) =n,
isto ´e, se todo inteiro n(do contradom´ınio) ´e imagem de algum inteirom (do dom´ınio). ´
E imediato verificar que tal proposi¸c˜ao universal ´e falsa, pois, por exemplo,n= 0 n˜ao ´e imagem de nenhum inteiro m. De fato,
4. Sejam dados os conjuntos
A={3k|k∈N}, B={5h|h∈N}, C ={a+b|a∈A, b∈B}, D={n∈N|n≥8}
(a) Determine o conjuntoA∩B.
(b) Prove, usando o PIF, queD⊂C (antes, enuncie a propriedade que pretende provar, de modo conveniente para usar o PIF).
(c) Determine o conjuntoC\D(use a informa¸c˜ao do item b, mesmo se n˜ao o tiver provado).
Resolu¸c˜ao:
(a) O conjunto A ´e formado pelos m´ultiplos n˜ao-negativos de 3, enquanto o conjunto B pelos m´ultiplos n˜ao-negativos de 5. Os n´umeros comuns aos dois conjuntos s˜ao aqueles que s˜ao simultaneamente m´ultiplos de 3 e de 5, isto ´e, os m´ultiplos n˜ao-negativos de 15. Assim
A∩B ={15m|m∈N}.
(b) Dado um n´umero natural n, dizer que n∈ C significa dizer que n pode ser escrito como uma soma a+b, ondea∈Ae b∈B. Em outras palavras, n∈C se e somente se ´e verdadeira a propriedade
P(n) :∃k∈N,∃h∈N : n= 3k+ 5h.
Assim, para provar queD⊂C, vamos provar queP(n) ´e verdadeira para todo n≥8, utilizando o PIF.
Condi¸c˜ao 1: E necess´´ ario verificar que P(8) ´e verdadeira. De fato ´e, pois 8 = 3 + 5 (estamos tomando k= 1 =h).
Condi¸c˜ao 2: Precisamos verificar que vale a implica¸c˜ao P(n)⇒P(n+ 1), para todo n≥8. Dado ent˜ao, n≥8, temos:
- Hip´otese Indutiva: existem k, h∈Ntais que n= 3k+ 5h;
- Tese: existem k′, h′ ∈Ntais que n+ 1 = 3k′+ 5h′.
Vamos dividir em dois casos: h ≥ 1 ou h = 0. No primeiro caso, observando que 1 = 3.2−5, tome k′ =k+ 2 e h′ =h−1 (note que ambos s˜ao n´umeros naturais). Resulta
3k′+ 5h′ = 3(k+ 2) + 5(h−1) = 3k+ 6 + 5h−5 = (3k+ 5h) + 1 =n+ 1.
No segundo caso, devemos necessariamente ter k≥3 (caso contr´ario n seria menor que 8) e, observando que 1 =−3.3 + 5.2, tomemosk′ =k−3 eh′ =h+ 2 (note que ambos s˜ao n´umeros naturais). Resulta
3k′+ 5h′ = 3(k−3) + 5(h+ 2) = 3k−9 + 5h+ 10 = (3k+ 5h) + 1 =n+ 1.
Tanto no primeiro quanto no segundo casos, conclu´ımos que P(n+ 1) tamb´em ´e verdadeira.
Como valem as condi¸c˜oes 1 e 2 do PIF, o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Finita garante que P(n) ´e verdadeira para todo n≥8, ou seja,D⊂C.
(c) O item B garante que D⊂C, logo C\D⊂ {0,1,2,3,4,5,6,7}. Isto ´e, precisamos ver quais n´umeros entre 0 e 7 podem ser escritos como soma de um m´ultiplo de 3 e um m´ultiplo de 5. Os m´ultiplos de 3 menores que 8 (evidentemente n˜ao ´e necess´ario considerar valores maiores) s˜ao 0,3,6, enquanto os m´ultiplos de 5 menores que 8 s˜ao 0 e 5. Analisando as poss´ıveis somas de uns e outros, descartando aquelas que resultarem maiores que ou iguais a 8, vemos que 0,3,5,6∈C, mas 1,2,4,7∈/C. Assim, conclu´ımos que
5. Nos itens abaixo, as vari´aveis xe y s˜ao n´umeros reais.
(a) Considere a proposi¸c˜ao abertap(x, y) : 2xy= 0.
i. Dˆe um exemplo e um contraexemplo parap(x, y), caso existam.
ii. Indique qual a vari´avel livre da proposi¸c˜ao aberta ∀x, p(x, y) e determine um exemplo e um contraexemplo para ela, caso existam.
iii. Com base no item anterior, determine o valor verdade da proposi¸c˜ao ∃y: ∀x, p(x, y). (b) Considere a proposi¸c˜ao aberta q(x, y) :|x+ 1|+|x−2|< y.
i. Dˆe um exemplo e um contraexemplo paraq(x, y), caso existam.
ii. Indique qual a vari´avel livre da proposi¸c˜ao aberta∃x: q(x, y) e determine um exemplo e um contraexemplo para ela, caso existam.
iii. Com base no item anterior, determine o valor verdade da proposi¸c˜ao ∀y,∃x: q(x, y).
Resolu¸c˜ao: (a)
(i) Um exemplo (isto ´e, valores das vari´aveis que tornam a proposi¸c˜ao verdadeira) ´e dado por x = 0 e y = 2 (h´a infinitos outros exemplos, basta que uma das vari´aveis seja nula). Um contraexemplo (isto ´e, valores das vari´aveis que tornam a proposi¸c˜ao falsa) ´e dado por x = 1 e y = 2 (tamb´em h´a infinitos contraexemplos, basta tomar ambas as vari´aveis n˜ao nulas).
(ii) Na proposi¸c˜ao ∀x, p(x, y), a vari´avel livre (isto ´e, aquela que n˜ao est´a quantificada) ´e a vari´avel y. Um exemplo para essa proposi¸c˜ao (isto ´e, um valor para a vari´avel y que torna a proposi¸c˜ao verdadeira) ´e dado por y= 0. De fato, nesse caso a proposi¸c˜ao pode ser escrita como
∀x, 0x= 0
o que ´e evidentemente verdadeiro. J´a um contraexemplo (isto ´e, um valor da vari´avel y que torna a proposi¸c˜ao falsa) ´e dado pory= 1 (ou qualquer valor n˜ao nulo de y). De fato, a proposi¸c˜ao
∀x,2x= 0 ´e claramente falsa.
(iii) A proposi¸c˜ao ∃y : ∀x, p(x, y) ser´a verdadeira se existir um exemplo para a proposi¸c˜ao aberta ∀x, p(x, y). Tal exemplo existe, como visto no item anterior. Logo, a proposi¸c˜ao em quest˜ao ´e verda-deira.
(b) (nesse item, n˜ao repetiremos o significado de exemplo,contraexemploevari´avel livre, j´a explicados no item anterior)
(i) Um exemplo para q(x, y) ´e dado porx= 0 e y= 5. De fato
|0 + 1|+|0−2|= 3<5. Um contraexemplo ´e dado por x= 0 e y= 1, pois
|0 + 1|+|0−2|= 3>1.
(ii) A vari´avel livre de∃x: q(x, y) ´e a vari´avely. Um exemplo para essa proposi¸c˜ao ´e dado pory= 5. De fato, nesse caso a proposi¸c˜ao se escreve como
∃ x:|x+ 1|+|x−2|<5
que ´e verdadeira, pois existex= 0 que satisfaz a inequa¸c˜ao acima. J´a um contraexemplo ´e dado pory= 0. De fato, nesse caso, a proposi¸c˜ao se escreve como
∃ x:|x+ 1|+|x−2|<0
o que ´e claramente falso (pois a soma dos dois m´odulos n˜ao pode ser negativa).