Estratégias de hedge dinâmico: um estudo comparativo

(1)

FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS

ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

DANIEL MONTERO HEILBRUN

ESTRATÉGIAS DE HEDGE DINÂMICO: UM ESTUDO

COMPARATIVO

SÃO PAULO

2017

(2)

DANIEL MONTERO HEILBRUN

ESTRATÉGIAS DE HEDGE DINÂMICO: UM ESTUDO

COMPARATIVO

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Economia.

Área de concentração: Finanças Quantitativas. Orientador:

Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto

SÃO PAULO

2017

(3)

Heilbrun, Daniel Montero.

Estratégias de hedge dinâmico : um estudo comparativo / Daniel Montero Heilbrun. - 2017.

56 f.

Orientador: Afonso de Campos Pinto

Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo.

1. Hedging (Finanças). 2. Derivativos (Finanças). 3. Investimentos – Avaliação – Modelos matemáticos. 4. Mercados financeiros futuros. I. Pinto, Afonso de Campos. II. Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título.

(4)

DANIEL MONTERO HEILBRUN

ESTRATÉGIAS DE HEDGE DINÂMICO: UM ESTUDO

COMPARATIVO

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Economia.

Área de concentração: Finanças Quantitativas.

Data da Aprovação: 03/08/2017

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto (Orientador)

EESP - FGV

Prof. Dr. André Cury Maialy EESP - FGV

Prof. Dr. Oswaldo Luiz do Valle Costa POLI - USP

(5)

(6)

Agradecimentos

A minha esposa, Priscila, por ser tão importante na minha vida. Sempre ao meu lado, me pondo para cima e me fazendo acreditar que posso mais que imagino. Devido ao seu companheirismo, amizade, paciência, compreensão, apoio, alegria e amor, este trabalho pôde ser concretizado.

Aos meus pais, Erico e Fátima, meu infinito agradecimento. Sempre acreditaram em minha capacidade. Isso me fortaleceu, me fez tentar e fazer o melhor de mim. Obrigado pelo amor incondicional.

A meus irmãos, Luisa e Lucas meu agradecimento especial, pois, a seu modo, sempre me apoiaram. Obrigado pela confiança.

A minha família, especialmente ao meu primo Pedro que muito me ajudou e incentivou em todos os momentos. Obrigado pela força.

Aos meus professores, especialmente ao Dr. André Cury Maialy, pela paciência, confiança e disponibilidade para me orientar e discutir o trabalho. Obrigado pela paciência. Agradeço, também, ao Banco Itaú-Unibanco por investir na minha formação e pelo apoio financeiro. Obrigado a todos pelo apoio.

(7)

”O sucesso é uma jornada, não um destino.” (Arthur Ashe)

(8)

RESUMO

Diversos trabalhos teóricos foram desenvolvidos nas últimas cinco décadas propondo estratégias de delta-hedge quando as premissas do modelo de Black e Scholes (1973) são relaxadas. Mais recentemente, outros trabalhos comparando as estratégias surgiram, destacando-se os trabalhos de Zakamouline (2009) e Ino (2013). Como alternativa ao modelo utilizado por Ino (2013) para descrever a dinâmica das ações estudadas, mas utilizando-se da mesma metodologia, este trabalho se propõe a encontrar qual é a melhor estratégia de delta-hedge na presença de custos de transação e considerando-se que a série de preços da ação segue um processo GARCH(1,1). Para isso, avaliou-se quatro diferentes estratégias de delta-hedge: Black e Scholes(1973), volatilidade modificada (Leland (1985)), bandas de tolerância para o preço do ativo-objeto (Henrotte (1993)) e bandas de tolerância variáveis para a variação do delta (Whalley e Wilmott(1997)).

Palavras-chave: Delta-Hedge. Estratégias de Delta-hedge. Custos de transação. Simulação de Monte-Carlo. Erro de replicação.

(9)

ABSTRACT

Several theoretical works have been developed in the last five decades proposing texting delta-hedge strategies when the premises of the Black e Scholes (1973) are relaxed. This paper sets out to find the best delta-hedge strategy in the presence of transaction costs with the price series that follows a GARCH (1,1) process. This paper analyzes and compare four different delta-hedge strategies: Black e Scholes (1973), modified volatility (Leland

(1985)), Asset Tolerance Strategy (Henrotte (1993)) e Variable Banwidth Around Delta (Whalley e Wilmott (1997)).

Keywords: Delta-Hedge. Delta-hedge strategies. Transaction costs. Monte-Carlo Simula-tion. Replication error.

(10)

Lista de ilustrações

Figura 1 – Simulações do preço de uma ação seguindo um MBP. . . 20

Figura 2 – Simulações do preço de uma ação seguindo um MBA. . . 21

Figura 3 – Simulações do preço de uma ação seguindo um MBG. . . 22

Figura 4 – Evolução da volatilidade implícita de uma opção call européia

plain-vanilla.. . . 26

Figura 5 – Log-retornos da CYRE3 para o período de 12/08/2008 a 21/08/2012. . 35

Figura 6 – ACF e PACF para a série de log-retornos de CYRE3. . . 36

Figura 7 – ACF e PACF para a série de log-retornos ao quadrado de CYRE3. . . 36

Figura 8 – Log-retornos da PETR4 para o período de 12/08/2008 a 21/08/2012. . 38

Figura 9 – ACF e PACF para a série de log-retornos de PETR4. . . 39

Figura 10 – ACF e PACF para a série de log-retornos ao quadrado de PETR4.. . . 39

Figura 11 – Log-retornos da OGXP3 para o período de 12/08/2008 a 21/08/2012. . 41

Figura 12 – ACF e PACF para a série de log-retornos de OGXP3. . . 41

Figura 13 – ACF e PACF para a série de log-retornos ao quadrado de OGXP3. . . 42

Figura 14 – Comparação entre os modelos para opção sobre CYRE3 com strike

K = 18, 5. . . . 44

K = 17, 5. . . . 45

K = 16, 5. . . . 46

Figura 17 – Comparação entre os modelos para opção sobre PETR4 com strike

K = 23, 0. . . . 47

K = 21, 0. . . . 48

K = 20, 0. . . . 49

Figura 20 – Comparação entre os modelos para opção sobre OGXP3 com strike

K = 7, 0. . . . 50

K = 6, 0. . . . 51

(11)

Lista de tabelas

Tabela 1 – Teste de Ljung-Box para a série dos quadrados dos log-retornos de

CYRE3. . . 37

Tabela 2 – Teste de Ljung-Box para a série dos quadrados dos log-retornos de PETR4. . . 40

Tabela 3 – Teste de Ljung-Box para a série dos quadrados dos log-retornos de OGXP3. . . 42

Tabela 4 – Parâmetros estimados para CYRE3. . . 43

Tabela 5 – Parâmetros estimados para PETR4. . . 47

(12)

Lista de abreviaturas e siglas

ACF Função auto-correlação

PACF Função auto-correlação parcial BS Modelo proposto por Black-Scholes LL Modelo proposto por Leland

BTS Modelo de bandas de tolerância para o preço do ativo-objeto WW Modelo proposto por Whalley-Wilmott

(13)

Sumário

1 Introdução. . . 14 1.1 Motivação . . . 14 1.2 Objetivo . . . 14 1.3 Estrutura . . . 15 2 Revisão Bibliográfica . . . 16 3 Desenvolvimento do modelo . . . 19 3.1 Conceitos Básicos . . . 19 3.1.1 Processos Estocásticos . . . 19 3.1.2 Processo de Markov. . . 19

3.1.3 Movimento Browniano Padrão . . . 20

3.1.4 Movimento Browniano Aritmético . . . 21

3.1.5 Movimento Browniano Geométrico . . . 22

3.1.6 Opções Plain-Vanilla . . . 23

3.1.7 Modelo de Black-Scholes (BS) . . . 23

3.1.8 Gregas . . . 25

3.1.9 Volatilidade . . . 26

3.2 Aspectos teóricos do hedge dinâmico . . . 28

3.2.1 Estratégias de hedge . . . 28

3.2.2 Delta hedge dinâmico . . . 28

3.2.3 Custos de transação . . . 30

3.3 Modelos de Delta-Hedge . . . 31

3.3.1 Black-Scholes com custos de transação (BS) . . . 31

3.3.2 Leland (LL) . . . 31

3.3.3 Banda de Tolerância Fixas para o preço do ativo-objeto (BTS) . . . 32

3.3.4 Bandas de Tolerância Variáveis para o valor do delta (WW) . . . . 32

3.4 Método utilizado para comparação entre as estratégias . . . 33

4 Aplicação da teoria . . . 34

4.1 Simulações de Monte Carlo. . . 34

4.2 Características dos ativos e dados de mercado utilizados . . . 35

4.3 Verificação da presença do processo GARCH . . . 35

4.3.1 CYRELA ON . . . 35

4.3.2 PETROBRAS PN . . . 38

4.3.3 OGX ON . . . 41

(14)

5.1 CYRELA ON . . . 43

5.2 PETROBRAS PN . . . 47

5.3 OGX ON . . . 50

6 Conclusões e pesquisas futuras . . . 53

6.1 Conclusões. . . 53

6.2 Pesquisas futuras . . . 54

(15)

14

1 Introdução

1.1 Motivação

É fato que o uso de opções sobre ações como alternativa de investimento ou instrumento de proteção em mercados desenvolvidos é uma prática consolidada. No Brasil, a demanda por estas operações tem crescido nas últimas décadas, e consequentemente, a necessidade de se estudar e comparar diversos modelos de apreçamento.

O conceito de delta-hedge é parte central da teoria de apreçamento de opções e entender as premissas nas quais cada modelo se baseia é interesse de investidores, especuladores e instituições financeiras em geral. Estudar os limites de um modelo e como se comportam quando algumas premissas são relaxadas (discretização do tempo, incidência de custos de transação, volatilidade variável), possibilita um controle/mitigação dos riscos indesejáveis de uma determinada operação, colocando o agente em posição de vantagem sobre os concorrentes.

Diversos trabalhos teóricos foram desenvolvidos nas últimas cinco décadas propondo estratégias de delta-hedge quando as premissas do modelo de Black e Scholes (1973) são relaxadas. Com estes trabalhos, surgiram outros tantos que comparam diferentes modelos.

Este trabalho se propõe a analisar quatro diferentes modelos de delta-hedge e comparar os resultados obtidos com os resultados apresentados em Ino (2013). Mais adiante serão detalhadas as propostas e premissas adotadas em ambos trabalhos e suas vantagens e desvantagens.

1.2 Objetivo

Em Heston (1993) o autor propõe um modelo alternativo ao modelo de Black e Scholes (1973) de precificação de opções que considera que a dinâmica da volatilidade do ativo-objeto seguindo um processo estocástico. Buscando tornar o modelo mais simples, porém equivalente, Heston e Nandi (2000) propuseram a adoção de um modelo GARCH para estimação da volatilidade.

Recentemente, em Ino (2013), o autor compara quatro modelos utilizados para se fazer o delta-hedge de uma call européia plain-vanilla, considerando-se os custos de transação e utilizando-se o modelo de volatilidade estocástica de Heston (1993).

No presente trabalho, o autor tem como objetivo analisar os mesmo modelos de

(16)

Capítulo 1. Introdução 15

a dinâmica proposta por Heston e Nandi (2000) e comparar os resultados obtidos com os resultado apresentados por Ino(2013). A contrbuição deste trabalho esta na utilização de uma dinâmica mais simples porém equivalente à utilizada por Ino (2013).

É importante frisar que este trabalho não avaliou todos os modelos disponíveis, mas os modelos mais utilizados pelo mercado. Para isso, utilizou-se simulações de Monte Carlo para o preço do ativo-objeto da opção seguindo um processo GARCH(1,1) e avaliou-se o erro de replicação dentro de um critério de risco x retorno, variando-se os parâmetros de cada um dos modelos, seguindo exatamente a mesma metodologia utilizada por Ino

(2013).

1.3 Estrutura

Este trabalho está dividido em 6 capítulos. No capítulo 1, foi apresentada a motivação para o desenvolvimento da dissertação, definiu-se o objetivo a ser atingido e descreveu-se a estrutura do trabalho.

No capítulo 2, foi apresentada a revisão bibliográfica mencionando os trabalhos realizados anteriormente e uma descrição da contribuição deste trabalho para o assunto.

No capítulo 3, foram apresentados alguns conceitos básicos para o entendimento da dissertação, aspectos teóricos do hedge dinâmico de opções e uma descrição detalhada de cada um dos modelos avalidados.

No capítulo 4, foram apresentadas as metodologias a serem adotadas neste trabalho, incluindo os modelos numéricos, os parâmetros, intervalos de tempo e ativos a serem testados.

No capítulo 5, foram apresentados os resultados obtidos atrvés da comparação dos modelos. Avaliou-se o erro de replicação dentro de um critério de risco x retorno, variando-se os parâmetros de cada um dos modelos.

No capítulo 6, foi apresentado de forma objetiva a conclusão deste trabalho e oportunidades futuras.

(17)

16

2 Revisão Bibliográfica

O primeiro artigo a ultilizar a idéia de descrever o valor justo de uma opção em relação ao seu ativo subjacente, foi ecrito por Thorp e Kassouf (1967). No entanto, o interesse em estratégias de delta-hedge aumentou exponencialmente após a solução analítica de Black e Scholes (1973).

No artigo, os autores provam que é possível utilizar uma carteira autofinanciável formada pelo ativo base de uma opção e um ativo livre de risco para replicar o resultado da compra ou venda de uma opção européia. A modelagem proposta permite descrever o preço de um derivativo através de uma equação diferencial parcial e a condição de contorno para a solução desta equação é dada pelas características contratuais do derivativo (payoff ).

Uma vantagem deste modelo, que faz com que esse modelo seja amplamente difundido e utilizado pelo mercado financeiro, é que ele admite uma solução fechada para o preço do derivativo. Além disso, ele permite mensurar o prêmio dos mais diversos contratos de opções.

Por outro lado, o modelo de Black e Scholes(1973) possui uma série de premissas teóricas que não podem ser verificadas na prática. São exemplos a possibilidade de rebalanceamento em tempo contínuo e a ausência de custos de transação. Como o delta de uma carteira de ações muda ao longo do tempo, rebalanceamentos frequentes melhoram a eficiência do hedge mas, por outro lado, aumentam os custos de transação consideravelmente. Escolher a frequência ótima de rebalanceamento é um problema.

Nas últimas décadas, uma variedade de métodos foram publicados para tentar solucionar o problema do apreçamento e hedging na presença de custos de transações.

Leland (1985) foi o primeiro autor a propor uma alteração no modelo de Black-Scholes que contempla a presença de custos de transção. No trabalho, o autor utiliza intervalos entre rebalanceamentos contantes e propõe um ajuste na volatilidade de Black-Scholes. Dessa maneira, o delta é calculado de acordo com o modelo de Black-Scholes porém utilizando-se a volatilidade modificada.

Tanto o modelo de Black-Scholes quanto o modelo de Leland utilizam intervalos fixos entre os rebalanceamentos, mas, é intuitivo pensar que nem sempre é necessário o rebalanceamento no intervalo fixo. Hodges e Neuberger (1989) foram pioneiros na modelagem do momento de rebalanceamento utilizando uma função utilidade que descreve as preferências individuais. A solução do problema de maximização não admite uma solução única e fechada e devem ser utilizados métodos numéricos para encontrar a solução do problema.

(18)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 17

EmWhalley e Wilmott(1993), os autores propõe uma estratégia de hedge depen-dente das variações do delta da opção. O delta de Black-Scholes deve ser monitorado continuamente e o portofólio é rebalanceado quando uma barreira é ultrapassada. Esta barreira (nível de tolerância) é definida de acordo com a aversão ao risco do investidor e quanto menor for o valor, mais frequêntes serão os rebalanceamentos e maiores os custos de transação.

Henrotte (1993) desenvolveu um estudo similar ao modelo de Whalley e Wilmott

(1993) porém, a variável de controle é variação percentual do preço do ativo subjacente da opção ao invés das variações do delta de Black-Scholes. Novamente, o preço da ação deve ser monitorado continuamente e o portofólio é rebalanceado quando uma barreira é ultrapassada. Novamente, esta barreira é definida de acordo com a aversão ao risco do investidor e quanto menor for o valor, mais frequêntes serão os rebalanceamentos e maiores os custos de transação.

Dado que os rebalanceamentos frequentes da estratégia replicante reduzem o erro de replicação, mas, aumentam os custos de transação,Mohamed (1994) propôs a separação do erro da estratégia de delta-hedge em duas componentes: o erro de replicação e os custos de transação. Para avaliar a contribuição de cada componente em cada modelo, o autor utilizou simulações de Monte Carlo e custos de transação proporcionais ao valor financeiro das operações.

Martellini e Priaulet (2002) comparam cinco modelos diferentes na presença de custos de transação. Os modelos foram divididos em dois tipos: time-based e move-based. Dentre os modelos time-based estavam: single, double e triple. Dentre os modelos move-based estavam: Underlying Asset Move Based e Delta Move Based.

Em Hoggard, Whalley e Wilmott(1994), os autores estendem o modelo deLeland

(1985) ao eliminar uma das principais limitações: o sinal do gamma da opção deveria ser o mesmo durante toda vigência do contrato. Desta maneira, seria possível aplicar o modelo para uma carteira de ações porém, o modelo deixa de admitir uma solução fechada.

EmZakamouline (2009), o autor compara os modelos já citados anteriormente com adição do modelo proposto por Whalley e Wilmott(1997). Para cada modelo, variando-se os parâmetros, calculou-se um conjunto de pares de valores: o valor esperado e desvio-padrão do erro de replicação (considerando de forma conjunta erro de hedge e os custos de transação) que juntos formam uma fronteira-eficiente. Assim, foi possível comparar a eficiência dos modelos através do gráfico característico de uma fronteira eficiente de Markowitz.

Aguirre (2012) aplicou o modelo de Hoggard, Whalley e Wilmott (1994) para o mercado brasileiro, tomando como base, opções sobre as ações do Banco Itaú-Unibanco (ITUB4) e concluiu que os resultados obtidos eram superiores aos obtidos com base na

(19)

Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 18

aplicação do modelo de Black e Scholes (1973). No trabalho o autor utiliza simulações de Monte Carlo com volatilidade estocástica e varia a frequência de rebalanceamentos.

EmIno (2013), o autor compara os modelos de Black-Scholes, Leland, Bandas de Tolerância e Whalley-Wilmott utilizados para se fazer o delta-hedge de uma call européia

plain-vanilla, considerando-se os custos de transação envolvidos. Usando o modelo de

volatilidade estocástica de Heston, e através de simulações de Monte Carlo, avaliou-se o erro de replicação dentro de um critério de risco x retorno, variando-se os parâmetros de cada um dos modelos. No trabalho o autor mostra haver uma dominância dos modelos do tipo move-based sobre os modelos do tipo time-based.

EmHeston e Nandi(2000), os autores propuseram a adoção de um modelo GARCH para a estimação da série de volatilidade de longo prazo. Segundo os autores, este modelo não gera resultados significativamente diferentes e permite uma estimação mais fácil através da simples observação do histórico de preços. Esta abordagem para o mercado brasileiro de opções foi discutida em Pinto(2015).

Neste trabalho o autor realizou uma análise comparativa entre quatro diferentes modelos de delta-hedge. Dado que no modelo proposto por Heston (1993) e utilizado por

Ino (2013) é necessária a calibração de uma grande quantidade de parâmetros de forma que estes reflitam dados reais de mercado para cada um dos ativos selecionados, neste trabalho, o autor considera que a série de retornos dos ativos financeiros segue um processo GARCH (1,1). Como demonstrado em Heston e Nandi (2000), este modelo permite uma estimação mais fácil através da simples observação do histórico de preços. Por fim, o autor comparou os resultados obtidos com os resultados apresentados em Ino(2013).

(20)

19

3 Desenvolvimento do modelo

3.1 Conceitos Básicos

3.1.1 Processos Estocásticos

Um processo estocástico pode ser definido como uma variável que evolui ao longo do tempo de maneira aleatória e imprevisível e pode ser classificado como discreto ou contínuo. Em um processo contínuo, as mudanças das variáveis podem ocorrer a qualquer instante do tempo enquanto em um processo discreto, estas mudanças devem acontecer em intervalos de tempo definidos. Na simulação dos preços de ativos financeiros é comum aproximar-se os processos estocásticos em tempo contínuo através de processos discretos devido à simplificação.

Os processos estocásticos podem ainda ser classficados de acordo com suas proprie-dades estatísticas em dois grupos:

1. Estacionários: média e variância da variável aleatória são constantes ao longo do tempo.1

2. Não-estacionários: média e variância da variável aleatória variam ao longo do tempo.

3.1.2 Processo de Markov

O processo de Markov é um tipo particular de processo estocástico, no qual apenas o valor corrente da variável é relevante para se prever o seu valor futuro, isto é, toda informação histórica esta contida no valor corrente da variável estocástica.

Assim sendo, um processo estocástico é dito ser Markoviano, caso atenda a seguinte condição:

P rob(Xtn+1 = xtn+1|Xt1 = x1, Xt2 = x2, ..., Xtn = xn) = P rob(Xtn+1 = xtn+1|Xtn = xn)

(3.1)

(21)

Capítulo 3. Desenvolvimento do modelo 20

3.1.3 Movimento Browniano Padrão

O movimento Browniano, também chamado de processo de Wiener, é um processo estocástico em tempo contínuo que satisfaz as seguintes propriedades:

1. É um processo de Markov: a distribuição de probabilidade para todos os valores futuros do processo depende apenas de seu valor corrente;

2. Possui incrementos independentes: a variação ocorrida num intervalo de tempo

deltat é independente da ocorrida em qualquer outro intervalo de tempos;

3. Os incrementos seguem uma distribuição normal com parâmetros que dependem apenas do intervalo de tempo (incrementos estacionários)

Segue abaixo a equação diferencial que representa a evolução do processo que segue um movimento Browniano padrão.

dZt= t

√

∆t (3.2)

onde t∼ N (0, 1).

Segue abaixo simulação com 50 trajetórias e 50 passos para um ativo que segue um movimento Browniano padrão.

(22)

3.1.4 Movimento Browniano Aritmético

O movimento Browniano Aritmético, também chamado de Processo Generalizado de Wiener, é obtido através da adição de um termo de crescimento de longo prazo (drift) ao Processo de Wiener. Segue abaixo a equação diferencial que representa a evolução do ativo.

dSt= µdt + σdZt (3.3)

onde µ representa a taxa de retorno esperada e σ a taxa de variância deste processo, ambas constantes. A taxa de retorno esperada poderia representar o crescimento econômico de um país que é correlacionado com o preço da ação que esta sendo modelado. Segue exemplo abaixo com simulações de diferentes caminhos possíveis para a evolução do preço da ação e a componente de tendência.

(23)

3.1.5 Movimento Browniano Geométrico

O Movimento Browniano Geométrico é parte essencial na teoria de apreçamento de derivativos. Isto porque uma das principais hipóteses do modelo de Black-Scholes para o apreçamento de uma opção, é que o preço da ação que serve de ativo objeto da opção deve ser descrito por um Movimento Browniano. O preço da ação assume uma distribuição log-normal e pode ser definido pelo processo estocástico dado pela equação abaixo:

dSt= µStdt + σStdWt (3.4)

onde µ e σ são constantes e positivos, Wt é um movimento Browniano e dt é o

componente determinístico.

Utilizando-se a fórmula de Itô, pode-se demostrar que a função para a evolução do preço da ação deve ser dado por Hull(2006):

St= S0e(µ−

1 2σ

2_)t+σWt

(3.5)

Segue exemplo abaixo com simulações de diferentes caminhos possíveis para a evolução do preço da ação e a componente de tendência.

(24)

3.1.6 Opções Plain-Vanilla

Uma opção européia é um derivativo no qual o detentor tem o direito (não a obrigação) de comprar (call) ou vender (put) o ativo-objeto S, pelo strike K na data de vencimento. O payoff de uma opção do tipo call é dado pela seguinte equação:

V (S, T ) = max(S − K, 0) (3.6) Por outro lado, o payoff de uma opção do tipo put é dado por:

V (S, T ) = max(K − S, 0) (3.7)

3.1.7 Modelo de Black-Scholes (BS)

O modelo deBlack e Scholes(1973) é amplamente utilizado dada a sua simplicidade de implementação e fórmula analítica fechada para o preço da opção. Porém, as hipóteses que o modelo assume frequentemente não podem ser verificadas na realidade. Seguem abaixo as principais hipóteses assumidas:

1. O preço da ação segue um movimento Browniano; 2. Ausência de custos de transação;

3. Tempo contínuo;

4. Possibilidade de emprestar ou tomar empréstimo utlizando-se a mesma taxa livre de risco;

5. Desconsidera o pagamento de dividendos;

6. É possível fazer vendas a descoberto e negociar qualquer fração da ação; 7. A opção é do tipo européia.

Respeitando-se as premissas supra mencionadas, o modelo de Black-Scholes mostra que é possível montar uma carteira auto-financiável que replica a evolução do preço de uma opção. Para um portfólio composto por uma opção call vendida, a carteira replicante deve ser formada por ∆ quantidades da ação (ativo-objeto da opção) e o dinheiro restante deve ser investido/emprestado à taxa livre de risco.

Aplicando-se o Lema de Itô na equação4.1, temos que o preço da opção deve seguir a seguinte dinâmica: dVt= ∂Vt ∂t + µSt ∂Vt ∂S + 1 2µ 2_S2 t ∂2Vt ∂S2 ! dt + σSt ∂Vt ∂SdWt (3.8)

Já o montante investido deve seguir a seguinte dinâmica:

(25)

Como tanto a ação quanto a opção são função do mesmo fator gerador de aleatori-edade dW, então pode-se eliminar a aleatorialeatori-edade escolhendo-se ∆ = ∂V_∂S quantidades de ações para encontrar-se a equação diferencial parcial de Black-Scholes:

∂Vt ∂t + µSt ∂Vt ∂S + 1 2σ 2_S2 t ∂2_V t ∂S2 = rV (3.10)

Segue abaixo a solução para a equação acima que é o valor esperado para uma opção européia do tipo call é satisfazendo-se o payoff da opção como condição de contorno.

V (S, t) = SN (d1) − Ke−r(T −t)N (d2) (3.11)

onde N é a função normal acumulada e d1 e d2 são dados por:

d1 = ln_KS+r +σ₂2(T − t) σ√T − t (3.12) d2 = d1− σ √ T − t (3.13)

(26)

3.1.8 Gregas

As gregas de um opção medem a sensibilidade do preço da opção com relação a cada um dos parâmetros que o impactam, isto é, elas representam a derivada parcial do preço da opção com relação a cada variável que afeta o preço da opção. As gregas são importante pois representam medidas de risco de mercado. Abaixo seguem as fórmulas analíticas para as gregas de uma opção.

• Delta ∆(t)call = ∂V ∂S = N (d1) (3.14) ∆(t)put = ∂V ∂S = N (d1) − 1 (3.15) • Gamma Γ(t) = ∂ 2_V ∂S2 = N0(d1) Sσ√T − t (3.16) • Vega ν(t) = ∂V ∂σ = SN 0 (d1) √ T − t (3.17) • Theta Θcall(t) = − ∂V ∂t = − SN0(d1)σ 2√T − t − rKe −r(T −t) N (d2) (3.18) Θput(t) = − ∂V ∂t = − SN0(d1)σ 2√T − t + rKe −r(T −t) N (d2) (3.19) • Rho ρcall(t) = ∂V ∂r = K(t − t)e −r(T −t) N (d2) (3.20) ρput(t) = ∂V ∂r = −K(t − t)e −r(T −t) N (−d2) (3.21)

(27)

3.1.9 Volatilidade

No mercado de ações, a suposição de variância constante (homocedasticidade) pode não ser apropriada. Na verdade, embora a variância incondicional dos erros ainda possa ser assumida constante, sua variância condicional pode estar mudando ao longo do tempo. Além disso, em muitas situações práticas tem-se interesse em prever a variância condicional da série além da série propriamente dita. É interesse do agente financeiro, não apenas prever a taxa de retorno mas também a sua variância ao longo de um certo período. Esta variância condicional é também chamada de volatilidade. Segue abaixo gráfico da evolução da volatilidade implícita para uma opção do tipo call européia sobre a ação PETR4, com vencimento em 66 dias úteis.

Figura 4 – Evolução da volatilidade implícita de uma opção call européia plain-vanilla.

Para solucionar este problema, existem algumas alternativas. A primeira delas é utilizar um modelo de volatilidade estocástica, neste caso adiciona-se outro fator gerador de aleatoriedade e trabalha-se com uma dinâmica do tipo:

dSt = µStdt +

√

σtStdW1 (3.22)

dσt= p(St, σt, t)dt + q(St, σt, t)dW2 (3.23)

onde W1 e W2 são processos de Wiener com correlação ρ. Existem vários modelos

(28)

mais utilizados no mercado é o modelo desenvolvido por Heston (1993) pois este apresenta uma fórmula de apreçamento fechada. Segundo o modelo de Heston (1993), o preço do ativo-objeto, St, segue a seguinte dinâmica:

dSt = µStdt + √ σtStdW1 (3.24) dσt= κ(θ − σt)dt + η √ σtdW2 (3.25) E[dW1, dW2] = ρdt (3.26)

onde κ > 0 é a velocidade com que a variância σt converge para sua média θ > 0,

η > 0 é a volatilidade da variância e µt é o retorno instantâneo assim como no modelo de

Black e Scholes (1973). Nota-se que o modelo apresenta reverssão a média.

Em Heston e Nandi (2000) os autores apresentam uma forma de precificação alternativa ao modelo de volatilidade estocástico em tempo contínuo que havia sido proposto anteriormente em Heston (1993). Segundo os autores, em uma base de dados diária, o modelo GARCH(1,1) permite alcançar resultados numericamente próximos ao modelo de volatilidade estocástica em tempo contínuo mas com maior simplicidade e praticidade. O preço do ativo-objeto, St, segue o seguinte processo:

log St= log St−∆t+ r + λh(t) + q h(t)z(t) (3.27) ht = ω + p X i=1 βiht−i∆+ q X i=1 αi zt−i∆− γi q ht−i∆ 2 (3.28) onde ∆ é um intervalo de tempo, ht é a variância condicional do log-retorno entre

t e t − ∆, z(t) é uma sequencia i.i.d. normalmente distribuída com média zero e variância

unitária, r é a taxa de juros livre de risco no intervalo ∆ e λ é o parâmetro de prêmio de risco.

Neste trabalho, assim como em Heston e Nandi (2000), será utilizado o modelo considerando-se p = q = 1, isto é, o modelo GARCH(1,1). Segue abaixo a dinâmica da variância condicional utilizada.

ht = ω + βht−1+ α zt−1− γ q ht−1 2 (3.29) Mais adiante, serão apresentados os resultados de alguns testes que evidenciam a presença deste comportamento na série dos log-retornos dos preços das ações estudadas neste trabalho.

(29)

3.2 Aspectos teóricos do hedge dinâmico

3.2.1 Estratégias de hedge

Existem duas estratégias de hedge de uma carteira. A primeira delas é a estratégia de hedge estático, na qual negocia-se um ou mais instrumentos primitivos para replicar o comportamento de um ativo ou derivativo durante toda a vida do contrato.

As estratégias de hedge estático são muito utilizadas para gestão de risco de ativos ou derivativos lineares e, como a negociação do ativo acontece somente uma vez, o custo de transação é reduzido.

Apesar de ser possível a utilização da estratégia de hedge estático para derivativos não lineares, é muito comum utilizar-se uma estratégia de hedge dinâmico. Esta estratégia é composta por uma carteira autofinanciável formada pelo ativo subjacente do derivativo e de um ativo livre de risco. Ao contrário da estratégia de hedge estático, nesta estratégia, a carteira auto financiável deve ser rebalanceada de forma a neutralizar o risco do derivativo sempre que houver alteração das características estruturais da exposição de risco dos derivativos devido às oscilações de mercado.

O hedge dinâmico é o assunto central de estudo deste trabalho.

3.2.2 Delta hedge dinâmico

O arcabouço teórico utilizado para descrever a estratégia de hedge dinâmico está diretamente relacionado com a modelagem proposta por Black e Scholes (1973). Através das equações 3.14 e 3.15 pode-se determinar a quantidade do ativo subjacente a uma opção a ser negociado para se proteger do risco de uma variação de primeira ordem no preço do ativo subjacente. Define-se como delta-hedge esta estratégia que desconsidera outros fatores de risco que podem influenciar o preço da opção e consiste na construção de uma carteira Π contendo:

• Uma posição comprada ou vendida no instrumento derivativo Vt;

• Uma posição oposta em δt unidades do ativo subjacente da opção St;

• Uma posição comprada ou vendada em βt quantidade do ativo livre de risco Bt.

No instante t, a carteira Πt é dada por:

(30)

Uma vez que é premissa do modelo, a possibilidade de emprestar ou tomar emprés-timo utlizando-se a mesma taxa livre de risco, a evolução do preço do ativo livre de risco deve seguir a seguinte equação:

Bt+dt= Bterdt (3.31)

E que, por ser uma estratégia auto-financiável, a posição βt no ativo livre de risco

é obtida pela condição Πt= 0, que implica:

βt =

∆tSt− Vt

Bt

(3.32) Assim, no momento t+dt, negocia-se a quantidade de ∆t+dt−∆tdo ativo subjacente

da opção utilizando-se o βt+dt− βt quantidades do ativo livre de risco. Neste momento, é

necessário rebalancear a carteira Πt+dt conforme:

Πt+dt= Vt+dt− ∆t+dtSt+dt+ βt+dtBt+dt (3.33)

Considerando-se o tempo contínuo, temos que:

dΠt= dVt− ∆tdSt+ βtdBt (3.34)

Substituindo-se 3.33 em 3.34, temos que:

dΠt= dVt− ∆tdSt+ (∆tSt− Vt)

dBt

Bt

(3.35) Através dos sucessivos rebalanceamentos promovidos a cada período de tempo dt, pode-se definir a função resultado de uma carteira Π, no intervalo de tempo de entre t e vencimento do contrato T , por:

∆H = ΠT − Πt = Z T t dΠtdt = Z T t dVt− ∆tdSt+ (∆tSt− Vt) dBt Bt dt (3.36)

No caso de uma estratégia de hedge perfeita, o resultado esperado é zero. Porém como outros fatores de risco foram desconsiderados (outras gregas), o resultado da car-teira de hedge deve ser chamado de erro de hedge. Quanto menor o intervalo entre os rebalanceamentos, menor será o erro de hedge.

Neste ponto, é importante ressaltar que ao negociar-se o ativo subjacente da opção, incidem-se custos de transação que não podem ser desconsiderados. Ao aumentar-se a frequência de rebalanceamentos com a finalidade de reduzir o erro de hedge, os custos de transação crescem infinitamente. Assim, é fácil perceber que a incidência de custos de transação impossibilita o rebalanceamento contínuo da carteira previsto no modelo de Black-Scholes.

A seguir serão apresentados alguns modelos que consideram a existência dos custos de transação e seus impactos no erro de replicação em uma estratégia de hedge dinâmico.

(31)

3.2.3 Custos de transação

Os custos de transação no mercado de capitais são formados a partir das seguintes componentes principais:

• corretagem e emolumentos;

• custos indiretos de impacto de mercado - associado ao conceito de liquidez; • metade do tamanho do bid-ask spread;

• custos de aluguel de ação (vendas a descoberto); • impostos;

• custos de oportunidade.

Para simplificar o modelagem, de maneira geral, os modelos assumem que os custos de transação são proporcionais ao volume negociado. Esta simplificação faz sentido na medida que todos os investidores enfrentam os mesmos bid-ask spreads, custos de impacto de mercado e custos de corretagem para um dado volume negociado.

Neste trabalho, os custos de transação a ser utilizado será de 0.15%, proporcional ao valor financeiro negociado.

(32)

3.3 Modelos de Delta-Hedge

Os modelos de delta-hedge podem ser divididos em dois grupos: modelos do tipo

time-based, onde o intervalo de tempo entre os rebalanceamentos é fixo e pré determinado;

modelos de tipo move-based, onde o intervalo de tempo entre os rebalanceamentos é variável e dependente da ocorrência de um trigger. Estes modelos costumam ser mais eficientes em cenários que o preço do ativo se altera com baixa frequência, sem a necessidade de reba-lanceamento. Em contrapartida os modelos move-based necessitam de um monitoramento constante das variáveis de controle, o que aumenta o custo computacional.

Segue-se uma descrição detalhada dos cinco modelos a serem avaliados neste trabalho.

3.3.1 Black-Scholes com custos de transação (BS)

Este é o modelo mais simples e direto para solucionar o problema da presença dos custos de transação. A cada passo de tempo que acontece o rebalanceamento, é necessário, além do cálculo do delta de Black-Scholes (quantidade de ações que serão compradas ou vendidas), impactar a quantidade financeira que esta emprestada/investida. No tempo

t + δt, deve-se gastar a seguinte quantidade de dinheiro para negociar o ativo-objeto:

[∆(t + δt) − ∆(t) − |∆(t + δt) − ∆(t)|λ] S(t + δt) (3.37) Como este termo é sempre negativo, então quanto maior for a frequência de rebalanceamentos, menor será o erro de replicação. Este comportamento ficará evidente mais adiante.

3.3.2 Leland (LL)

Leland(1985) foi um dos primeiros autores a estudar uma maneira de incorporar os custos de transação ao modelo de delta-hedge. Baseado no modelo deBlack e Scholes(1973), o autor propõe uma correção na volatilidade de Black-Scholes que permite a replicação de uma única opção com volume finito de custos de transação, não importando quão pequeno seja o intervalo de rebalanceamento. Segue a volatilidade modificada de Leland (σm):

σ_m2 = σ2  1 + k σ s 2 πδt   (3.38)

sendo k o parâmetro que representa os custos de transação, δt o intervalo de tempo fixo entre os rebalanceamento e sigma a volatilidade de Black-Scholes.

Pode-se notar que este modelo é do tipo time-based e o ajuste proposto na volatili-dade de Black-Scholes depende do sinal do gama da opção.

(33)

3.3.3 Banda de Tolerância Fixas para o preço do ativo-objeto (BTS)

O modelo de Henrotte (1993), ao contrário de Leland (1985), é um modelo do tipo move-based no qual o trigger que define o momento de cada rebalanceamento é dado pela variação percentual do preço do ativo objeto, em módulo, maior que um determinado parâmetro de controle h. Caso esta condição seja atingida, então efetua-se o rebalanceamento para o delta de Leland(1985). Os instantes em que devem ocorrer o rebalanceamento são descritos abaixo:

τi+1= inf ( τi < τi+1< T : S(τi+1) − S(τi) S(τi) > h ) , i = 0, 1, 2, ... (3.39) onde S(τ ) é o preço do ativo base no momento do último rebalanceamento, h é a tolerância percentual de variação do preço do ativo e T é o vencimento da opção.

3.3.4 Bandas de Tolerância Variáveis para o valor do delta (WW)

Através da análise do comportamento assintótico do modelo proposto por Hodges e Neuberger (1989), assumindo-se que os custos de transação são pequenos, Whalley e Wilmott(1997) chegaram na seguinte fórmula que descreve a região que leva em conta a aversão ao risco do investidor:

∆ = ∂V ∂S ± 3 2 e−r(T −t)λSΓ2 γ !1₃ (3.40) onde λ é o parâmetro que representa os custos de transação, γ é o parâmetro que representa a aversão ao risco do investidor ∂V_∂S é o delta de Black-Scholes, S o preço do ativo-objeto e r a taxa livre de risco.

Note que quando λ → 0, o delta ótimo de hedge caminha para o delta de Black-Scholes.

(34)

3.4 Método utilizado para comparação entre as estratégias

O método para comparação dos quatro modelos testados neste trabalho é o mesmo utilizado porIno(2013). Em cada um dos modelos testados, existe uma variável de controle que representa a tolerância ao risco do investidor. Para os modelos de Black e Scholes

(1973) e Leland (1985), a variável é de controle utilizada foi o intervalo de tempo entre os rebalanceamentos. Já para o modelo Henrotte (1993), utilizou-se a variação máxima percentual h, enquanto para o modelo de Whalley e Wilmott (1997) utilizou-se o índice de aversão a risco γ como variável de controle.

Para cada modelo escolhido, simulou-se 5.000 possiíveis trajetórias para o preço das ações que são ativo-objeto das opções estudadas e calculou-se o erro de replicação da estratégia. Em posse do conjunto de resultados obtidos para cada um dos modelos, plotou-se em um plano cartesiano, onde a abscissa representa o desvio padrão do erro de replicação (e portanto o risco) e a ordenada representa a média do erro de replicação (o retorno), um gráfico que pode ser interpretado como a fronteira eficiente do modelo, para cada modelo.

Finalmente, repetiu-se o processo para cada um dos quatro modelos e obteve-se quatro diferentes fronteiras eficientes. De maneira análoga ao modelo de Markowitz, espera-se que um investidor racional, para um dado nível de risco, escolha espera-sempre o modelo que lhe traga o melhor retorno.

Para os modelos Black e Scholes (1973) e Leland(1985), utilizou-se os seguintes intervalos de rebalanceamento: 1/4, 1/2, 3/4, 1, 5/4, 3/2, 7/4, 2, 9/4, 5/2, 11/4, 3, 13/4, 7/2 e 15/4 dias, totalizando 15 possíveis valores. Para o modeloHenrotte (1993), os valores possíveis de h são: 0,10%, 0,50%, 1,00%, 1,50%, 2,00%, 2,50%, 3,00%, 4,00%, 6,00% e 7,00%, totalizando 10 possíveis valores. Para o modelo Whalley e Wilmott (1997), os possíveis valores de γ são: 0,1; 0,5; 1; 2; 3; 4; 10; 20; 100; 1000. É importante ressaltar que para os modelos Henrotte (1993) e Whalley e Wilmott (1997), por fazerem parte da classe de modelos do tipo move-based, exigem monitoramento constante dos seus respectivos parâmetros. Para estes modelos, adotou-se o menor intervalo de rebalanceamentos dos modelos time-based, que é 1/4 de dia, como o intervalo para verificação se o limite para novo rebalaceamento foi atingido.

(35)

34

4 Aplicação da teoria

4.1 Simulações de Monte Carlo

O método de Monte Carlo é uma metodologia estatística que consiste em simular uma grande quantidade de amostras aleatórias para obter resultados numéricos próximos ao resultado real. Isto é, repetindo-se sucessivas simulações um elevado número de vezes, calcula-se o valor esperado para uma variável real.

Na primeira parte deste trabalho, testou-se empiricamente cada modelo apresen-tado anteriormente considerando-se custo de transação λ = 0.0015. Segue passo-a-passo detalhado com cada etapa das simulações:

1. O investidor que fará o hedge vende uma opção do tipo call pelo prêmio (Black-Scholes);

2. calcula-se o delta (Black-Scholes);

3. compra-se delta quantidades do ativo-objeto da opção;

4. a diferença financeira deve ser emprestada ou investida à taxa livre de risco; 5. simula-se a trajetória da ação seguindo a seguinte dinâmica:

S(t + δt) = S(t)exphµ − 0.5σ2δt + σεt

√

δti (4.1)

Onde εt é uma variável normalmente distribuída com média 0 e variância 1. Para os

métodos do tipo time-based a cada passo de tempo δt foi feito o rebalanceamento, já para os métodos do tipo move-based a cada passo de tempo δt verificou a necessidade do rebalanceamento.

6. Repete-se os passos 2, 3, 4 e 5 até o vencimento do contrato da opção (número de rebalanceamentos).

7. Repete-se os passos 2, 3, 4, 5 e 6 (simulação de Monte Carlo).

Espera-se que a dinâmica da carteira replicante seja semelhante à dinâmica da opção vendida.

(36)

Capítulo 4. Aplicação da teoria 35

4.2 Características dos ativos e dados de mercado utilizados

Com o objetivo comparar os resultados obtidos neste trabalho com os resultados apresentados em Ino (2013), optou-se por utilizar os mesmos ativos utilizados em Ino

(2013). Os parâmetros do modelo GARCH(1,1) foram calculados tomando como base os dados de mercado disponíveis em 21 de agosto de 2012. Para testar a sensibilidade dos modelos em relação ao moneyness das opções, foram escolhidos 3 strikes diferentes, para o mesmo vencimento para cada uma das três opções.

4.3 Verificação da presença do processo GARCH

Para justificar a modelagem dos retornos através de um processo GARCH é necessária a verificação da presença deste comportamento nas séries dos retornos das ações avaliadas. Para isso foram efetuados alguns testes qualitativos e quantitativos que serão descritos mais a frente.

4.3.1 CYRELA ON

Abaixo segue o gráfico com a série dos log-retornos diários da ação CYRE3.

Figura 5 – Log-retornos da CYRE3 para o período de 12/08/2008 a 21/08/2012.

Em primeiro lugar, executou-se o seguinte teste: para verificar se a série de retornos da ação contém auto-correlação, plotou-se o gráfico da função auto-correlação e da função auto-correlação parcial da série de log-retornos. Seguem gráficos abaixo.

(37)

Figura 6 – ACF e PACF para a série de log-retornos de CYRE3.

Como é possível observar no gráfico, a série dos log-retornos de CYRE3 não contém auto-correlação, porém, a série dos log-retornos ao quadrado contém um alto grau de auto-correlação. Este comportamento é conhecido para as séries financeiras. Segue abaixo o gráfico das funções auto-correlação e auto-correlação parcial.

(38)

Por fim, executou-se o teste de Ljung-Box para verificar se existe uma correlação significativa entre os retornos de diferentes lags. A hipótese nula é que o modelo não apresenta correlação entre os elementos para o lag testado. Na tabela abaixo é possível verificar o resultado do teste para a série dos quadrados dos log-retornos.

Lags H p-Valor Stat Valor Crítico 1 1 0.1412 · 10−10 45.6521 3.8415 2 1 0.1697 · 10−10 123.6370 5.9915 3 1 0.1115 · 10−10 188.9389 7.8147

Tabela 1 – Teste de Ljung-Box para a série dos quadrados dos log-retornos de CYRE3.

Como pode-se verificar na tabela acima a hipótese nula foi rejeitada, portanto, a série dos quadrados dos log-retornos de CYRE3 apresenta alta correlação e, consequentemente, é possível utilizar-se um processo GARCH para modelar a dinâmica da volatilidade dos retornos.

(39)

4.3.2 PETROBRAS PN

Realizou-se a mesma análise descrita anteriormente para a ção PETR4. Abaixo segue o gráfico com a série dos log-retornos diários da ação.

Figura 8 – Log-retornos da PETR4 para o período de 12/08/2008 a 21/08/2012.

Novamente plotou-se o gráfico da função auto-correlação e da função auto-correlação parcial da série de log-retornos. Seguem gráficos abaixo.

(40)

Figura 9 – ACF e PACF para a série de log-retornos de PETR4.

Como é possível observar no gráfico, a série dos log-retornos de PETR4 não contém auto-correlação, porém, a série dos log-retornos ao quadrado contém um alto grau de auto-correlação. Segue abaixo o gráfico das funções auto-correlação e auto-correlação parcial.

(41)

Lags H p-Valor Stat Valor Crítico

1 1 0 121.5487 3.8415

2 1 0 147.4098 5.9915

3 1 0 160.2441 7.8147

Tabela 2 – Teste de Ljung-Box para a série dos quadrados dos log-retornos de PETR4.

Como pode-se verificar na tabela acima a hipótese nula foi rejeitada, portanto, a série dos quadrados dos log-retornos de PETR4 apresenta alta correlação e, consequentemente, é possível utilizar-se um processo GARCH para modelar a dinâmica da volatilidade dos retornos.

(42)

4.3.3 OGX ON

Abaixo segue o gráfico com a série dos log-retornos diários da ação OGXP3.

Figura 11 – Log-retornos da OGXP3 para o período de 12/08/2008 a 21/08/2012.

Novamente plotou-se o gráfico da função auto-correlação e da função auto-correlação parcial da série de log-retornos. Seguem gráficos abaixo.

(43)

Como é possível observar no gráfico, a série dos log-retornos de OGXP3 não contém auto-correlação, porém, a série dos log-retornos ao quadrado contém um alto grau de auto-correlação. Segue abaixo o gráfico das funções auto-correlação e auto-correlação parcial.

Figura 13 – ACF e PACF para a série de log-retornos ao quadrado de OGXP3.

Lags H p-Valor Stat Valor Crítico 1 1 0.1976 · 10−13 58.5589 3.8415

2 1 0 191.8360 5.9915

3 1 0 276.1016 7.8147

Tabela 3 – Teste de Ljung-Box para a série dos quadrados dos log-retornos de OGXP3.

Como pode-se verificar na tabela acima a hipótese nula foi rejeitada, portanto, a série dos quadrados dos log-retornos de OGXP3 apresenta alta correlação e, consequentemente, é possível utilizar-se um processo GARCH para modelar a dinâmica da volatilidade dos retornos.

(44)

43

5 Apresentação e discussão dos resultados

Nesta seção serão apresentados os resultados obtidos através das simulações de Monte Carlo. Inicialmente, definiu-se os strikes a serem considerados. Depois, estimou-se os parâmetros para cada um dos respectivos modelos GARCH(1,1) a serem utilizados nas simulações de Monte Carlo. Por fim, construi-se fronteiras eficientes para cada uma das opções analisadas.

5.1 CYRELA ON

Com base nos dados disponíveis em 21 de agosto de 2012, e utilizando-se a função

estimate do MATLAB, estimou-se os parâmetros do modelo GARCH(1,1) a serem utilizados.

Seguem abaixo os parâmetros estimados.

Parâmetro Valor Desvio Padrão Constante 2 · 10−7 1.40727 · 10−7 GARCH(1) 0.765072 0.00855939

ARCH(1) 0.22627 0.0161621 Tabela 4 – Parâmetros estimados para CYRE3.

Para testar a sensibilidade dos modelos comparados neste trabalho com relação ao moneyness das opções, foram escolhidos 3 strikes diferentes: K1 = 18, 5, K2 = 17, 5 e

K3 = 16, 5 - mesmos valores usados no trabalho desenvolvido por Ino (2013).

Segue abaixo comparação dos resultados gerados a partir de 5.000 simulações de Monte Carlo para cada modelo utilizando-se os parâmetros acima.

(45)

Capítulo 5. Apresentação e discussão dos resultados 44

Figura 14 – Comparação entre os modelos para opção sobre CYRE3 com strike K = 18, 5.

Pode-se observar no gráfico acima que, para um mesmo nível de risco, o modelo WW apresenta resultados de erro de replicação melhores do que os outros modelos, seguido dos modelos BTS, BS e LL.

Abaixo são apresentados os resultados gerados a partir das mesmas simulações, mas neste caso, a opção possui strike de K = 17, 5.

(46)

Novamente observamos que o modelo de WW apresenta resultados superiores aos outros modelos. Nota-se uma alteração na ordem de prefência entre os modelos, pois agora, o modelo LL apresentou resultados de erro de replicação melhores que o modelo BS.

Por fim, são apresentados os resultado gerados a partir das mesmas simulações, mas neste caso, a opção possui strike de K = 16, 5.

(47)

Pode-se verificar no gráfico acima que a ordem de preferência não sofre alteração, sendo importante ressaltar que o modelo LL apresenta ganhos cada vez maiores em relação ao modelo BS conforme a opção esta mais in-the-money. De forma geral, para as três opções analisadas acima, obteve-se resultados muito similares aos resultados obtidos por

Ino (2013), onde os modelos do tipo move-based mostraram-se mais eficientes do que os modelos do tipo time-based.

(48)

5.2 PETROBRAS PN

Novamente, com base nos dados disponíveis em 21 de agosto de 2012, e utilizando-se a função estimate do MATLAB, estimou-se os parâmetros do modelo GARCH(1,1) a serem utilizados. Seguem abaixo os parâmetros estimados.

Parâmetro Valor Desvio Padrão Constante 1.15517 · 10−6 3.08302 · 10−7

GARCH(1) 0.9 0.00289355

ARCH(1) 0.05 0.0161621

Tabela 5 – Parâmetros estimados para PETR4.

Figura 17 – Comparação entre os modelos para opção sobre PETR4 com strike K = 23, 0.

(49)

(50)

Pode-se verificar no gráfico acima que a ordem de preferência não sofre alteração, sendo importante ressaltar que o modelo LL apresenta ganhos cada vez maiores em relação ao modelo BS conforme a opção esta mais in-the-money. De forma geral, para as três opções analisadas acima, obteve-se resultados muito similares aos resultados obtidos por

Ino (2013), onde os modelos do tipo move-based mostraram-se mais eficientes do que os modelos do tipo time-based.

(51)

5.3 OGX ON

Maius uma vez, com base nos dados disponíveis em 21 de agosto de 2012, e utilizando-se a função estimate do MATLAB, estimou-utilizando-se os parâmetros do modelo GARCH(1,1) a serem utilizados. Seguem abaixo os parâmetros estimados.

Parâmetro Valor Desvio Padrão Constante 2 · 10−7 8.33538 · 10−8 GARCH(1) 0.637254 0.0384785

ARCH(1) 0.362746 0.156528

Tabela 6 – Parâmetros estimados para OGXP3.

Figura 20 – Comparação entre os modelos para opção sobre OGXP3 com strike K = 7, 0.

(52)

(53)

Pode-se verificar no gráfico acima que a ordem de preferência não sofre alteração, porém neste caso, ao contrário dos casos anteriores, o modelo LL apresenta ganhos cada vez menores em relação ao modelo BS conforme a opção esta mais in-the-money. Mais uma vez, para as três opções analisadas acima, obteve-se resultados muito similares aos resultados obtidos por Ino (2013), onde os modelos do tipo move-based mostraram-se mais eficientes do que os modelos do tipo time-based.

(54)

53

6 Conclusões e pesquisas futuras

Este capítulo esta dividido em duas partes: na primeira apresenta-se as principais conclusões deste trabalho. Em seguida apresenta-se alguns assuntos que podem servir de base para pesquisas futuras.

6.1 Conclusões

O objetivo deste trabalho era comparar o resultado de diferentes estratégias de

delta-hedge que relaxam as premissas do modelo de Black-Scholes e incorporam características

relevantes quando verifica-se a prática. Como evolução do trabalho publicado por Ino

(2013), ao invés de considerar-se a volatilidade seguindo o modelo de Heston, modelo este que necessita da calibração e estimação de quatro parâmetros, utilizou-se um modelo GARCH(1,1), que modela a variância condicional dos retornos do ativo-objeto da opção. Em um primeiro momento verificou-se a presença do processo do tipo GARCH(1,1) na série de preços das ações selecionadas. Uma vez identificada a presença do comporta-mento, utilizou-se a função estimate do MATLAB para estimar os parâmetros a serem utilizados nas simulações de Monte Carlo.

Ficou evidente nas simulações que o resultado do hedge é impactado pelo nível de aversão ao risco do investidor e pelo moneyness da opção. Em todos os casos analisados, o modelo WW se mostrou o mais eficiente, seguido do modelo BTS. Verificou-se uma alternância entre os modelos BS e LL variando-se o moneyness da opção. É importante ressaltar que, para as primeiras opções analisadas (sobre CYRE3 e PETR4), verificou-se um preferência do modelo LL sobre o modelo BS crescente com relação ao moneyness enquanto detectou-se o comportamento contrário para as opções sobre OGXP3.

Estes resultados estão em linha com os resultados obtidos por Zakamouline(2009) e Ino (2013), que já haviam demostrado anteriormente que os modelos do tipo move-based tendem a ser mais eficientes, apesar do monitoramento constante.

A contribuição deste trabalho está na possibilidade de utilizar-se um modelo simplificado (Heston-Nandi) que proporciona resultados similares a um modelo mais complexo (Heston) para um problema de replicação de uma carteira formada por uma opção plain-vanilla vendida através da negociação periódica de ações (que são ativo-objeto das opções) e investimento/empréstimo de dinheiro à taxa livre de risco (delta-hedge dinâmico). Esta simplificação se dá na praticidade de implementação e calibração deste modelo, uma vez que o número de parâmetros a serem estimados é menor e podem ser obtidos através da série histórica dos preços da ação.

(55)

Capítulo 6. Conclusões e pesquisas futuras 54

6.2 Pesquisas futuras

O tema deste trabalho é de grande importância prática pois é amplamente utilizado pelos diversos agentes do mercado. Seguem abaixo algumas possíveis extensões:

1. Considerar outras dinâmicas na modelagem da série de preços das ações; 2. Comparar os resultado obtidos com o modelo de hedge estático;

3. Comparar os modelos utilizados para hedge de carteiras formadas por mais de uma opções;

4. Incorporar outros modelos de delta-hedge;

(56)

55

Referências

AGUIRRE, G. K. P. d. Modelos dinâmicos de hedging: um estudo sobre a volatilidade. Dissertação (Mestrado), 2012.

BARLES, G.; SONER, H. M. Option pricing with transaction costs and a nonlinear black-scholes equation. Finance and Stochastics, Springer, v. 2, n. 4, p. 369–397, 1998. BLACK, F.; SCHOLES, M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of

political economy, The University of Chicago Press, v. 81, n. 3, p. 637–654, 1973.

BOYLE, P. P.; EMANUEL, D. Discretely adjusted option hedges. Journal of Financial

Economics, Elsevier, v. 8, n. 3, p. 259–282, 1980.

BOYLE, P. P.; VORST, T. Option replication in discrete time with transaction costs. The

Journal of Finance, Wiley Online Library, v. 47, n. 1, p. 271–293, 1992.

CLEWLOW, L.; HODGES, S. Optimal delta-hedging under transactions costs. Journal of

Economic Dynamics and Control, Elsevier, v. 21, n. 8, p. 1353–1376, 1997.

COLEMAN, T. F. et al. Dynamic hedging with a deterministic local volatility function

model. [S.l.], 2003.

DAVIS, M. H.; PANAS, V. G.; ZARIPHOPOULOU, T. European option pricing with transaction costs. SIAM Journal on Control and Optimization, SIAM, v. 31, n. 2, p. 470–493, 1993.

DERMAN*, E.; TALEB, N. N. The illusions of dynamic replication. Quantitative Finance, Taylor & Francis, v. 5, n. 4, p. 323–326, 2005.

HENROTTE, P. Transaction costs and duplication strategies. Preprint, Graduate School

of Business, Stanford University, 1993.

HESTON, S. L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of financial studies, Soc Financial Studies, v. 6, n. 2, p. 327–343, 1993.

HESTON, S. L.; NANDI, S. A closed-form garch option valuation model. Review of

Financial Studies, Soc Financial Studies, v. 13, n. 3, p. 585–625, 2000.

HODGES, S. D.; NEUBERGER, A. Optimal replication of contingent claims under transaction costs. Review of futures markets, v. 8, n. 2, p. 222–239, 1989.

HOGGARD, T.; WHALLEY, A.; WILMOTT, P. Hedging option portfolios in the presence of transaction costs. Advances in Futures and Options Research, v. 7, n. 1, p. 21–35, 1994.

HULL, J. C. Options, futures, and other derivatives. [S.l.]: Pearson Education India, 2006. INO, N. Delta hedge com custos de transação: uma análise comparativa. Dissertação (Mestrado), 2013.

(57)

Referências 56

KARATZAS, I.; SHREVE, S. Brownian motion and stochastic calculus. [S.l.]: Springer Science & Business Media, 2012. v. 113.

LAI, T. L.; LIM, T. W. Option hedging theory under transaction costs. Journal of

Economic Dynamics and Control, Elsevier, v. 33, n. 12, p. 1945–1961, 2009.

LELAND, H. E. Option pricing and replication with transactions costs. The journal of

finance, Wiley Online Library, v. 40, n. 5, p. 1283–1301, 1985.

LUOMA, S. Option hedging with transaction costs. 2010.

MARTELLINI, L.; PRIAULET, P. Competing methods for option hedging in the presence of transaction costs. The Journal of Derivatives, Institutional Investor Journals, v. 9, n. 3, p. 26–38, 2002.

MERTON, R. C. Theory of rational option pricing. The Bell Journal of economics and

management science, JSTOR, p. 141–183, 1973.

MOHAMED, B. Simulations of transaction costs and optimal rehedging. Applied

Mathematical Finance, Taylor & Francis, v. 1, n. 1, p. 49–62, 1994.

MORAIS, I. A. D.; PORTUGAL, M. S. Modelagem e previsão de volatilidade determinística e estocástica para a série do ibovespa. 1999.

MORETTIN, P. A.; TOLOI, C. Análise de séries temporais. [S.l.]: Blucher, 2006.

PINTO, A. C. F. O Modelo de Heston e o mercado brasileiro de opções. Tese (Doutorado) — PUC-Rio, 2015.

THORP, E. O.; KASSOUF, S. T. Beat the market. Random House, 1967.

TOKAT, Y.; WICAS, N. W. Portfolio rebalancing in theory and practice. The Journal of

Investing, Institutional Investor Journals, v. 16, n. 2, p. 52–59, 2007.

WHALLEY, A.; WILMOTT, P. Counting the costs. Risk, v. 6, n. 10, p. 59–66, 1993. WHALLEY, A. E.; WILMOTT, P. An asymptotic analysis of an optimal hedging model for option pricing with transaction costs. Mathematical Finance, Wiley Online Library, v. 7, n. 3, p. 307–324, 1997.

ZAKAMOULINE, V. The best hedging strategy in the presence of transaction costs.

International journal of theoretical and applied finance, World Scientific, v. 12, n. 06, p.

833–860, 2009.

ZAKAMOULINE, V. I. Efficient analytic approximation of the optimal hedging strategy for a european call option with transaction costs. Quantitative Finance, Taylor & Francis, v. 6, n. 5, p. 435–445, 2006.

ZAKAMOULINE, V. I. European option pricing and hedging with both fixed and proportional transaction costs. Journal of Economic Dynamics and Control, Elsevier, v. 30, n. 1, p. 1–25, 2006.