08 Distrib Teórica Probab Var Contínua

Capítulo

6

6. DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

Estudaremos em particular a distribuição normal de probabilidades.

6.1. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE

Sabemos que uma variável aleatória X se diz contínua se os seus valores podem assumir qualquer número do conjunto dos reais. Por exemplo, os valores da variável aleatória X estarem representando as alturas das pessoas de uma cidade, ou os salários dos operários de uma multinacional, ou a rentabilidade de ações na bolsa de valores, etc.

A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua é uma curva contínua chamada de função densidade de probabilidade, que denotaremos por f, cujo domínio é IR e o contradomínio também é IR , tal que:

a) f(x)  0, xIR b) f (x) xd





A primeira premissa indica que a probabilidade f(x) não é negativa.

A segunda premissa diz que a área entre o gráfico da f e o eixo-x é 1 (ou 100%).

A probabilidade da variável aleatória para um valor x igual ou maior que a e igual ou menor que b, é dada pela área limitada pelo gráfico da função f, eixo-x e pelas retas x=a e x=b.

p(a  x  b) = f (x) x

b

a d



Sabendo-se que p(x=a) = p(a  x  a) = f (x) x

a

a d



em um ponto é zero e, daí, que p(a  x  b) = p(a < x < b) = p(a < x  b) = p(a  x < b).

EXEMPLO:

Verificar se a função f : IR IR, onde f(x) =

2x, se 0 x 1

0, se x 0 ou x 1

  

 

 _{ }



é uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X. f(x)

Solução: 2 f

Fig 6.1

x

Verificando as condições: a) f(x)  0 para todo x real (imediato)

b) f (x) xd





1

0

2x. xd



0

x

 

  = (1)2– (0)2 = 1.

A função f é densidade de probabilidade da variável aleatória X.

Temos que p(a  x  b) = 2x. x

b

a d



a  

  = b2– a2.

A probabilidade p(a  x  b) corresponde a área do trapézio de altura entre a e b, pertencentes ao intervalo [ 0, 1], e bases f (a) e f (b) :

p(a  x  b) = f (b) f (a).(b a) 2



 = 2b 2a(b a) 2



 = (b + a).(b – a) = b2_{– a}2 _.

6.2. MÉDIA, VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO

Seja X uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade f.

Definições:

a) Média = E(X) = _X = x.f (x). xd







b) Variância = VAR(X) = 2 X

 = (x _X) f ( ).2 x dx



 



E(X2_{) = x f (x). x}2

d







e E(X) = x.f (x). xd







.

c) Desvio-padrão = X= VAR(X)

Aplicando as definições no exemplo dado acima, obtemos:

a) E(X) = x. (x). xf d 





=

1

0

x.(2x) xd



Também, E(X2_{) = x}2_{f(x). xd}

 



x .(2x) xd



1

0 4

2 _

   x = 2 1

b) VAR(X) = E(X2_{) – [E(X)]}2 ₌

2 3 2 2 1              ₌ 9 4 2 1_ = 18 1

c) X= VAR(X) = 1/18 = 0,2357

6.3. DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE

Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal de probabilidades se a sua função densidade de probabilidade é tal que:

f(x) =

2 1 2 1 . 2 x e            

O gráfico desta função, que chamaremos de curva normal, é:

Fig 6.2

O Cálculo Diferencial e Integral nos permite concluir que:

a) O gráfico da função f apresenta ponto de máximo    

 

  

2 1

, . A curva de f

é posicionada acima do eixo-x com distribuição simétrica de probabilidade a partir do valor

 e “aumenta a altura da curva de f” a medida que o valor de  diminui ( esta no denominador). Você percebe isto ?.

b) Os pontos de inflexão da curva ocorrem em x =  e x = 

c) Vê-se que f(x)  0 quando x.

d)

2 1 2

1

1 2

x

e dx

 

 



 

 _{ }



 







e) A área entre o gráfico de f e o eixo-x, de  a +, tem valor 0,5. A área entre o gráfico de f e o eixo-x, de  a  , também tem valor 0,5.

Usaremos a notação X: N(,_2_{) para indicar que a variável aleatória contínua}

tem distribuição normal de probabilidade com média  e variância _2_.

A probabilidade de x estar entre a e b, deve ser obtida pelo cálculo da área do

gráfico limitada por f , eixo-x e retas x=a e x=b, indicada na figura abaixo

Fig 6.3

e, para isto, devemos efetuar o trabalhoso cálculo da integral que segue:

p(a x b) =

2 1 2

1 2

x b

a

e dx

 

 



 

 _ _





  

  2

1

x f(x)

Observe que esta integral depende dos parâmetros  e _2 _{e, assim, p(a x  b)}

pode assumir valores diferentes quando se considera variáveis aleatórias distintas.

Temos interesse em estabelecer uma curva normal padrão (única), calcular suas áreas em intervalos do seu domínio e, assim, construir uma tabela que nos permita obter, com facilidade, as probabilidades que nos interessam de distribuições normais em geral. Esta curva normal padrão deverá ser o gráfico da função densidade de probabilidade da variável aleatória padronizada, denotada por Z, e obtida mediante a transformação (mudança de variável) Z=x 



 _{para as funções que definem variáveis aleatórias com}

distribuição normal

6.3.1. VARIÁVEL NORMAL PADRONIZADA

Seja X: N(,_2_{), onde sua função densidade de probabilidade é}

f(x) =

2 1 2

1 . 2

x e

 

 



 

 _ _

, x,

estabelecendo-se Z = x 



 _{, teremos:}

a) f(z) =  

2 2 1

. 2

1 Z

e



 , - < z < +, que define Z com distribuição Normal

b) E(Z) = Z = 0

c) VAR(Z) = 2

Z  = 1

d) f ( ).z dz 1









Usaremos a notação Z: N(0, 1) para indicar que a variável aleatória Z tem distribuição normal de probabilidade com média Z = 0 e variância

2 Z  = 1.

A probabilidade de z estar entre z1 e z2 é dada pela área limitada por f(z), eixo-z e retas eixo-z= eixo-z1 e z= z2 .

Esta integral, como se observa, varia somente com os valores reais de z, não evidenciando ser dependente de  e de  como explicitava em p(a x b).

p(z1  z  z2) =

2 2

1

2

1 2

z z

z

e dz 





O gráfico da curva normal padrão é obtido a partir da função densidade de probabilidade da variável Z e, devido a sua simetria, sua área é obtida considerando-se os intervalos de z₁0 e z₂ z₁.

A tabela de áreas da curva normal está exposta na página 125

6.3..2. EXEMPLOS DO USO DA TABELA

Considerando-se X: N(10, 4) . Determinar:

a) p(10 x 13,5) b) p(8 x 10)

c) p(12 x 15) d) p(7 x 9)

e) p(x 13) f) p(x  4) (pense!)

Solução:

Temos que = 10 e  = 4 =2

a) Devemos obter p(10  x  13,5).

Portanto, p(10 x 13,5) = p(0  z  1,75) = 0,4599 ou 45,99%

Tabela: linha 1,7 e coluna 0,05 p(0 z  z2) = área tabelada

Fig 6.6

Os valores de Z correspondentes a x1 = 10 e x2 = 13,5 são dados pela fórmula Z =x 



 _.

Assim,

p/ x=10 temos Z1= 2

10 10

= 0

p/ x=13,5 temos Z2= 2

10 5 , 13 

b) Devemos obter p(8 x 10).

Portanto, p( 8 x 10) = p(-1  z  0 ) = p( 0  z  1) = 0,3400 ou 34%

c) Devemos obter p(12 x 15).

d) Devemos obter p(7 x 9).

p/ x=12 temos Z1= 2

10 12

= 1

p/ x=15 temos Z2= 2

10 15

=2,5

Portanto,

p(12 x  15) = p(1 z  2,5) = = p(0  z  2,5)  p(0  z  1) = (usar tabela)

= 0,4938 – 0,3400 = 0,1538 ou 15,38%

p/ x=7 temos Z1 = 2

10 7

= - 1,5

p/ x=9 temos Z2 = 2

10 9

= - 0,5

p/ x=8 temos Z1= 2

10 8

= 1

p/x=10 temos Z2= 10 10 0 2

Portanto, p(7 x 9) = p(-1,5  z  -0,5) = p( 0,5  z  1,5) =

= P(0  z  1,5) – P(0  z  0,5) =(tabela)= 0,4332 – 0,1915 = 0,2417

e) ) Devemos obter p(x 13).

. .

6.3.3. CALCULO DE PARÂMETROS A PARTIR DE PROBABILIDADE CONHECIDA

Os problemas que seguem ilustram o que pretendemos abordar:

1) A notas da primeira fase de um concurso vestibular têm distribuição normal com média 6,54 e desvio-padrão 2,00. Se apenas 20,9% dos candidatos serão classificados para a próxima fase, qual é a “nota de corte” ? (nota máxima que ainda desclassifica). Solução:

Se X0 é a nota de corte, então, 79,1% dos candidatos com notas menores ou iguais a ela serão desclassificados. A parte hachurada da curva normal mostra isto.

Fig 6.7

p/ x=13, temos Z1 = 2

10 13

= 1,5

Portanto,

p(x 13) = p(z  1,5) =

= 0,5 – p(0  z  1,5) (ver tabela) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668

ou 6,68%

z 0,00 0,01 0,02

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,1 0,0398 0,0438 0,0478

0,2 0,0793 0,0832 0,0871

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,4 0,1554 0,1591 0,1628

0,5 0,1915 0,1950 0,1985

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,7 0,2580 0,2611 0,2642

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,9 0,3159 0,3186 0,3212

0 6,54 f(x)

x

f(z)

z

0,5000

0,5000

0,2090

0,2090

0,2910

0,2910

x₀

0

z 0

(20,9%)

Temos que p(X  X0) = P(Z  Z0) = 0,7910 ou p(X  X0) = 0,5 + P(0  Z  Z0) = 0,7910.

Assim, p(0  Z  Z0) = 0,2910. E, usando a tabela, encontramos Z0 = 0,81.

Logo, X0 6,54

2



= 0,81 e

X0 = 6,54 + 2. (0,81) = 8,16 é a nota de corte.

2) O salário mensal dos operários de uma indústria são distribuídos, normalmente, em torno de uma média de $ 18.000,00 e desvio-padrão $ 2.500,00. Se 30,5% dos operários ganham “salários baixos”, então, qual é o maior salário para esta categoria ? Solução:

Se X0 é o maior salário dos operários que menos ganham, então p(XX0) = 0,3050 corresponde a área hachurada no gráfico da curva normal.

Fig 6.8

Fig 6.9

p(XX0) = p(ZZ0) = 0,5  p (Z0  Z  0) , pois a metade da área total é 0,5 = p(ZZ0) = 0,5  p ( 0  Z  Z₀) , onde Z₀= - Z0

= p(ZZ0) = 0,5  p ( 0  Z  Z₀) = 0,3050 , isto é, pela última igualdade p ( 0  Z  Z₀) = 0,1950.

Usando a tabela, temos Z₀= 0,51

Logo, Z0 =  Z₀=  0,51

Assim,

2500 18000

0

X

=  0,51 e

X = 18 000 + 2 500 ( 0,51) = 16 725,00 X0

0

Z0

0 Z

z 0,00 0,01 0,02

0,0 0,0000 0,0040 0,0080

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,2 0,0793 0,0832 0,0871

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,4 0,1554 0,1591 0,1628

0,5 0,1915 0,1950 0,1985

6.3.4. VALORES NOTÁVEIS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

É interessante observar as áreas das regiões sob a curva normal nos intervalos

simétricos com relação a média e os extremos sendo múltiplos do desvio-padrão  .

Fig 6.10

Fig 6.11

Portanto, utilizando a tabela 6.3.2, vemos que

p(  x) = p(-1 Z  1) = 0,6800 ou 68%

p(2 x 2 ) = p(-2 Z  2) = 0,9544 ou 95,44%

p(3  x 3 ) = p(-3 Z  3) = 0,9974 ou 99,74%

O exposto acima mostra que, praticamente, a área sob a curva normal se concentra no intervalo [3 , 3].

---

0

f(x)

x

f(z)

z



  











EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 6.1

1) As notas de uma prova de Estatística se distribuem normalmente em torno da média 6,4 e desvio-padrão 2,2. Qual a probabilidade de um aluno ter tirado:

a) entre 6,4 e 8,6 ? R. 0,3400 b) entre 4,20 e 6,4 ? R. 0,3400 c) entre 4,20 e 9,15 ? R. 0,7357 d) exatamente 7,00 ? R. 0

e) pelo menos 5,74 ? R. 0,6179 f) no máximo 4,09 ? R. 0,1469

g) Se 75,8 % dos melhores classificados serão aprovados, então qual é a nota mínima de aprovação ? R. 4,86

2) A resistência de uma coluna é uma variável aleatória de média 180kg/cm2 _e desvio-padrão 8 kg/cm2_{. Qual é o esforço máximo que se pode permitir para que a coluna} tenha 93,7% de probabilidade de resistir ? R. 192,24

3) O consumo de gasolina por quilômetro rodado, para um certo tipo de veículo em determinadas condições de teste, tem uma distribuição normal de média 100 ml e desvio-padrão de 5 ml:

a) qual a probabilidade de um veículo gastar acima de 108,8 ml? R. 0,0392 b) qual a probabilidade de um veículo gastar entre 93,4 ml e 97,6 ml? R 0,2222 c) determinar x0 tal que p(x x0 ) = 20,9% ? R. 104,05 ml

4) O tempo de duração de uma bateria de automóvel de certa marca se distribui normalmente com média 800 dias e desvio-padrão de 60 dias. Qual a garantia em dias que o fabricante deve dar para que reponha no mercado somente 6,3% das baterias ?

R. 708 dias

5) Na produção de tábuas para forro, verifica-se que as medidas de comprimento têm distribuição normal com média 220 cm e desvio-padrão 0,2 cm. Sendo aceitáveis, para uma determinada obra, apenas as que têm comprimento entre 219,55 e 220,28 cm, qual a percentagem de tábuas inaceitáveis por ter comprimento:

a) menor que o estipulado ? R. 1,22 % b) maior que o estipulado ? R. 8,08 %

6) Uma certa máquina produz tubos metálicos com diâmetro médio de 200mm e desvio-padrão de 2mm. Se 14,92% dos tubos estão sendo rejeitados por estarem com o diâmetro acima de um valor especificado e 10,2% por estarem abaixo de outra especificação:

a) quais os valores das especificações mínimas e máximas ?

R. Xmím= 197,71 e Xmáx = 202,79 b) quais as tolerâncias de especificação para este diâmetro ?