Capítulo
5
5. DISTRIBUIÇÃO TEÓRICA DE PROBABILIDADE DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
5.1. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Este conceito pode ser entendido através do seguinte exemplo: Numa caixa existem 5 bolas de mesmo tamanho e rugosidade, sendo 2 azuis; vamos retirar duas bolas, uma de cada vez, sem reposição da primeira. Queremos determinar a probabilidade de sair exatamente uma azul nas retiradas.
Tomemos A1 e A2 bolas azuis e C1, C2 e C3 bolas de outra cor.
Seja = { A1C1 , A1C2 , A1C3 , A2C1 , A2C2 , A2C3 ,A1A2 , C1C2 , C1C3 , C2C3} o
conjunto de todos os pares de bolas possíveis de serem retirados. Temos: n() = C5,2= 10.
Sendo X o número de bolas azuis retiradas , então X assume os valores 0, 1e 2. O conjunto de pares de bolas com apenas uma azul é A= {A1C1 , A1C2 , A1C3 , A2C1
, A2C2 , A2C3}. Portanto, n(A) = C2,1 . C3,1 = 6.
p(A) = p(X=1 azul) = 2 , 5 1 , 3 1 , 2 . C C C = 2 , 5 ) 1 2 ( ), 2 5 ( 1 , 2 . C C
C
= 5 2 2 5 1 2 2 1 . = 10 6
Generalizando, N é o número de elementos da população (caixa toda), r é a quantidade de elementos com determinada característica (bolas azuis), n é o tamanho da amostra retirada e k é o número de elementos com a tal característica que aparece na amostra.
Devemos ter: 0 r N, 0 n N e 0 k mín{ r, n }.
Vamos considerar sucesso a ocorrência de elemento que possui a tal característica na amostra retirada e fracasso a não ocorrência destes elementos. A probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos da variável aleatória X na amostra é
p(X=k) = N n r N k n r k .
onde: N n
= CN,n número de casos possíveis
r k
= Cr,k número de conjuntos com exatamente k sucessos nas amostras
r N k n
= CN-r, n-k número de conjuntos com (n-k) fracassos nas amostras
N (população) r N-r Fig 5.1
n sem a característica com a k
Demonstra-se que:
E(X) = n.p e VAR(X) = n.p.(1-p)(N-n) / (N-1) , onde p = r/N
EXEMPLOS:
1) Em um lote de 100 peças, 10 estão com defeitos. Escolhendo-se 5 peças ao acaso, sem reposição, qual a probabilidade de obter:
a) nenhuma peça defeituosa ? b) no mínimo uma peça defeituosa ? Solução:
Temos N = 100, r = 10 e n = 5
a) k = 0, p(X=0) =
100
5 90
5 10
0
.
0,5837 ou 58,37%
b) k 0, p(X > 0) = 1 – P(X = 0) 1 – 0,5837 = 0,4163 ou 41,63 %
2) Num lago existem 8 peixes, onde 3 são bagres. Um pescador com sua vara pega 3 peixes e os leva para casa. Qual a probabilidade de que exatamente 1 seja bagre? Solução:
Temos N = 8, r = 3, n = 3 e k = 1
p(X=1) =
8
3 5
2 3
1
.
0,5357 ou 53,57%
---
EXERCÍCIOS APLICAÇÃO 5.1
1) Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão com defeito. São retiradas 6 Lâmpadas, ao acaso, para a iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que:
a) exatamente duas estejam com defeito? R. 0,3788 b) pelo menos uma seja boa? 1 c) pelo menos duas estejam com defeito? 0,8788
2) Uma empresa compra “chips” por centenas. Examina sempre uma amostra de 15 chips para verificar se estão bons. Se uma centena incluir 12 chips queimados, qual a probabilidade de se escolher uma amostra com:
a) nenhum chip queimado? R. 0,1253 b) todos bons? R. 0,1253
c) no máximo um queimado? R. p(X1) = p(X=0) + p(X=1)
3) Uma loja tem um lote de 10 fechaduras, das quais 4 têm defeito. Se alguém
comprar 3 fechaduras, qual a probabilidade de encontrar no máximo uma defeituosa ? R. 2/3
100 10 Defeitos 90
5 k 5-k
Fig 5.2
8 3 bagres 5 3
1 2
4) Uma caixa contém 100 bolas brancas e 70 pretas. A probabilidade de extrair qualquer das bolas é a mesma. Pede-se a probabilidade de, em três extrações sucessivas sem reposição, obter 2 pretas e 1 branca ? R. 0,3002
---
5.2. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Em um experimento com n provas (ou tentativas) independentes, todas executadas sob as mesmas condições, onde cada prova tem só dois resultados: sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q (logo, p+q = 1), diz-se que a variável aleatória X, número de sucessos em n provas, tem Distribuição Binomial.
O seguinte exemplo deve ajudar a esclarecer a questão:
Um jogador de futebol é escalado para bater 4 pênaltis. Admitindo-se que o jogador tem probabilidade 2/3 de fazer gol em cada chute, qual a probabilidade de marcar exatamente 3 gols ?
Temos: n = 4, número de provas (tentativas)
X: número de sucessos (gols) , isto é, X assume os valores 0,1,2,3 e 4 p = 2/3, probabilidade de sucesso em cada chute
q = 1 – p = 1 – 2/3 = 1/3, probabilidade de fracasso em cada chute k = 3, número de sucessos esperado
Pede-se: p(X=k) , valor da função probabilidade para x=3. Solução:
a) Número de possibilidades de marcar 3 gols com 4 chutes : C4,3 =
4
3
= 4. Então:
As possibilidades de ocorrer três sucessos são: S S S F, S S F S, S F S S e F S S S O resultado de cada chute não depende da ocorrência anterior (são independentes) b) Probabilidade de cada possibilidade:
p(S S S F) = p(SSSF) = p(S).P(S).P(S).P(F) = p. p. p. q = p3. q = (2/3)3.(1/3)1
p(S S F S) = p(SSFS) = p(S).P(S).P(F).P(S) = p. p. q. p = p3. q = (2/3)3.(1/3)1
p(S F S S) = p(SFSS) = p(S).P(F).P(S).P(S) = p. q. p. p = p3. q = (2/3)3.(1/3)1
p(F S S S) = p(FSSS) = p(F).P(S).P(S).P(S) = q. p. p. p = p3. q = (2/3)3.(1/3)1
Nota: As probabilidades têm o mesmo valor: (2/3)3. (1/3)4-3
c) Os casos são mutuamente excludentes. Assim, pela regra da soma, temos:
p(X=3) = p(ocorrer exatamente 3 sucessos) = (nde possibilidades).(Probabilidade de cada caso) Isto é, p(X=3) =
4
3
. (2/3)3.(1/3)4-3
p(X=3) = 4 . ( 8 / 81) = 0,3951 ou 39,51%
p(X=k) = n
k
. pk . qn-k
e, também, E(X) = n.p e VAR(X) = n.p.q .
A notação X: B(n,p) diz que a variável X tem distribuição binomial com parâmetros n e p.
No exemplo acima, X: B(4, 2/3) e sua distribuição de probabilidades é:
Fig 5.4
X p(X)
0 C4,0 (2/3)0 (1/3)4 = 0,0123
1 C4,1 (2/3)1 (1/3)3 = 0,0988
2 C4,2 (2/3)2 (1/3)2 = 0,2963
3 C4,3 (2/3)3 (1/3)1 = 0,3951
4 C4,4 (2/3)4 (1/3)0 = 0,1975
Soma 1
5.2.1. CALCULO DA MÉDIA, VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
X p(X) X p(X) X2 p(X)
0 0,0123 0 0 1 0,0988 0,0988 0,0988 2 0,2963 0,5926 1,1852 3 0,3951 1,1853 3,5559 4 0,1975 0,7900 3,1600 E(X) = 2,6667 E(X2) = 7,9999
E(X) = 2,6667
VAR(X) = E(X2) –(E(X))2 = 7,9999 – (2,6667)2 = 0,8886
= VAR(X)= 0,8886 = 0,94 Usando as formulas dadas acima:
E(X) = n . p = 4 . (2/3) = 8/3 = 2,6666
VAR(X) = n . p . q = 4 . (2/3) . (1/3) = 8/9 = 0,8888 = VAR(X)= 0,8888 = 0,94
---
1 2 3
p(X)
X 0
0,3 0,2 0,1 0,4
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 5.2
1) Um jogador de basquete tem a probabilidade 1/3 de em um único lançamento fazer a cesta. Em 4 lançamentos, qual a probabilidade de acertar
a) exatamente 3 cestas ? R. p(X=3) = C4,3 (1/3)3 (2/3)4-3 = 0,0988
b) nenhuma cesta ? p(X=0) = C4,0 (1/3)0 (2/3)4-0 = 0,1975
c) no máximo uma cesta ? p(X1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,5926 d) no mínimo uma cesta ? p(X1) = 1 – P(X=0) = 0,8025
2) Uma urna contém 3 bolas verdes, 2 brancas e 4 pretas de tamanhos iguais. Retirando-se 3 bolas desta urna, sucessivamente, com reposição, qual a probabilidade de obtermos:
a) exatamente 2 verdes ? R. p(X=2V) = C3,2 (3/9)2 (6/9)1 = 0,2222
b) 2 verdes ? p(X 2V) = p(X=2V) + p(X=3V) = 0,2592 c) no mínimo 1 verde ? p(X1V) = p(X=1V) + p(X=2V) +p(X=3V) d) exatamente 1 branca ? p(Y=1B) = C3,1 (2/9)1 (7/9)2 = 0,4033
e) 3 brancas ? p(Y3B) = p(Y=3B) = 0,011 f) no máximo 2 brancas ? p(Y2B) = 0,9890
g) nenhuma preta ? p(Z= 0P) = C3,0 (4/9)0 (5/9)3 = 0,1715 h) no máximo 1 preta ? P(Z1P) = p(Z=0P) + p(Z =1P) = 0,5830
OBS: A probabilidade p se altera de acordo com o sucesso esperado.
3) Um fabricante de lâmpadas garante que uma caixa de suas lâmpadas conterá no máximo uma com defeito. Se a caixa contém 5 lâmpadas e a experiência mostra que esse processo de fabricação produz 6% de defeitos, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia ? R. 0,9681
4) Num determinado processo de fabricação 8% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. Se a empresa paga $ 10,00 por caixa que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 5000 caixas ? R. $ 17.045,00
5) Um industrial tem duas alternativas para a venda de seu produto, fornecido em lotes de 500 unidades. Na venda de um lote,
Alternativa A: O comprador paga $ 8,50 por peça e não faz testes no produto. Alternativa B: O comprador toma 10 peças no lote e faz testes. Se verificar que:
a) as 10 são perfeitas, então paga $ 5000,00 pelo lote b) apenas uma é defeituosa, paga $ 4500,00 pelo lote c) mais de uma é defeituosa, paga $ 3000,00 pelo lote
Sabendo-se que a produção apresenta 10% de peças com defeito, qual é a melhor alternativa de venda para o industrial ?
5.3. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Os experimentos que utilizam esta distribuição se referem em geral a contagens do número de vezes que ocorre um determinado evento por unidade de tempo, comprimento, área, volume, etc,
A probabilidade de ocorrência de um sucesso num intervalo é proporcional ao tamanho do intervalo. Assim, ao dizer que num processo de fabricação de tecido aparece em média uma falha a cada 400m, deduz-se que a probabilidade p = 1/400 = 0,0025 indica que o número de falhas em cada metro do tecido é o mesmo. Sucessos aqui significam defeitos. Se desejarmos saber a média de defeitos em n metros faremos:
= n . p .
Assim, uma peça com 900 metros de tecido deverá apresentar em média = 0,0025. 900 = 2,25 defeitos.
Seja a variável aleatória X: número de sucessos no intervalo, onde a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é dada por
p(X= k) = ! . k ek
A variável X assim definida tem a DISTRIBUIÇÃO DE POISSON.
Neste caso, prova-se que E(X) = e VAR(X) =
O valor da probabilidade p desta distribuição é idêntico ao da distribuição binomial, pois mantém sempre o mesmo valor nos intervalos unitários, que são independentes.
EXEMPLOS:
1) Considerando o exemplo que introduz este parágrafo, desejamos saber qual é a probabilidade de ocorrer zero defeitos na produção dos 900m de tecido.
Solução:
Temos p = 0,0025, n = 900 e = n . p = 2,25
p(X=0) =
! 0
) 25 , 2 .( 0 25
, 2
e
= e2,25 = 0,105399 ou 10,54 %
2) Imaginemos que em média uma pessoa em 500 formulários cometa um erro numérico ao preparar o imposto de renda. Selecionados 1120 formulários ao acaso, pede-se determinar a probabilidade de que
a) exatamente dois formulários tenham erros b) nenhum formulário tenha erro
Solução:
Temos p = 1/500 = 0,002 , n = 1120 e = n . p = 2,24
a) p(X=2) =
! 2
) 24 , 2 .( 2 24
, 2
e
=
2
) 0176 , 5 ).( 106459 ,
0 (
= 0,2671
b) p(X=0) =
! 0
) 24 , 2 .( 0 24
, 2
e
=
1 ) 1 ).( 106459 ,
0 (
= 0,1065
c) p(X 1) = P(X=0) + P(X= 1) = 0,3736
d) p(X 1) = 1 – P(X=0) = 0,8935
5.3.1. APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL POR POISSON
Podemos entender a distribuição de Poisson como sendo o caso limite da distribuição binomial., se tivermos:
a) n ( supondo n > 30) b) p 0 ( supondo p < 0,10)
d) 0 < E(X) 10
Neste caso, o cálculo de probabilidades pela fórmula de Poisson oferece boas aproximações para o da binomial, que é trabalhoso, mesmo com auxilio de calculadoras.
Veja o exercício abaixo:
Um jogador de basquete tem a probabilidade 1/20 de em um único lançamento fazer a cesta. Em 100 lançamentos, qual a probabilidade de acertar
a) nenhuma cesta ?
b) exatamente uma cesta ? c) no máximo uma cesta ?
c) no mínimo uma cesta ? Solução:
1) Pela distribuição binomial
Temos p = 1/20 = 0,05 , q = 1– 0,05 = 0,95 e n = 100
a) p(X=0) = 100
0
(0,05)0. (0,95)100 = 1 . 1 . 0,00592 = 0,00592
b) p(X=1) = 100
1
(0,05)1. (0,95)99 = 0,03116
2) Pela distribuição de Poisson
Temos: p = 1/20 =0,05 , n = 100 e = n . p = 5
a) p(X=0) = ! 0
5 . 0 5
e
=
1 1 ). 006738 ,
0 (
= 0,006738
b) p(X=1) = ! 1
5 . 1 5
e
=
1 5 ). 006738 ,
0 (
= 0,03369
c) p(X 1) = p(X=0) + p(X=1) = 0,006738 + 0,03369 = 0,040428 d) p(X 1) = 1 – p(X=0) = 1 – 0,006738 = 0,993262.
---
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 5.3
1) Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de um por 600m. Qual a probabilidade de que um rolo com 750m de fita magnética tenha, a) nenhum corte ? R. 0,2865
b) pelo menos, dois cortes ? R. 0,3554 c) no máximo, um corte ? R. 0,6446
2) Na revisão tipográfica de um livro encontrou em média 112 erros em 100 páginas. Das 900 páginas do livro, estimar quantas não precisam ser modificadas por não apresentarem erros ? R.293
3) Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que, em uma página, tenha pelo menos um erro ? R. 0,6321
4) Sabendo-se que a média de peças defeituosas, produzidas por uma determinada máquina, é de 2%, se retirarmos uma amostra de 300 peças, qual a probabilidade de encontrarmos, no máximo, uma com defeito ? R. 0,0174
5) Há, em média, duas chamadas por hora de um telefone. Calcule a probabilidade de receber
a) nenhuma chamada em 150 minutos; R. 0,0067 b) alguma chamada em 2 horas. R. 0,9817
6) Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, um a cada 250m. Supondo-se a distribuição de Poisson para os defeitos, e uma produção diária de 625m, num período de 80 dias de trabalho, em quantos dias podemos esperar produção sem defeitos ? R. 6 dias
8) Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar seus carros na pista de prova há em média, um estouro de pneu a cada 300 km. O número de pneus estourados segue aproximadamente a distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de que num teste de 900km haja, no máximo, um pneu estourado? R. 0,1991
9) Os operários de uma grande industria têm solicitado em média 584 consultas médicas por ano. O médico comparece à industria apenas uma vez por dia. Apresentam-se duas alternativas para remunerar o trabalho do médico:
a) Pagar um salário de $ 12 000,00 por mês, independente do número de consultas b) Pagar $ 350,00 pela primeira consulta do dia e $ 100,00 por consulta adicional no mesmo dia.
Qual das duas alternativas é a mais econômica para a industria? R. b
Sugestão:
Considerar que a indústria trabalha os 365 dias do ano. p(X=k) = [e-1,6. (1,6)k] k!
k=consultas/dia p(X=k) ganho/dia ganho médio/dia 0 0,201897 0 0
1 0,323035 350 113,06 2 0,258428 450 116,29 3 0,137828 550 75,81 4 0,055131 650 35,84 5 0,017642 750 13,23 6 0,004705 850 3,99 7 0,001075 950 1,02 8 0,000215 1050 0,23 9 0,000038 1150 0,04 10 0,000006 1250 0,00 Ganho médio máximo por dia = 359,51 Ganho médio máximo mensal = 359,51x 30 = 10 785,30
NOTA:
e-6 =0,002479, e-5 =0,006738, e-4 =0,018316, e-3 =0,049787, e-2,5 =0,082085,
e-2 =0,135335, e-1,6 = 0,201897, e-1,25 =0,286505, e-1,12=0,32628, e-1 = 0,367879.
