Dimens˜ao Fractal aplicada em imagens de sat´elite de ´areas urbanas
Andr´e R. Backes
Universidade de S˜ao Paulo
Instituto de Ciˆencias Matem´aticas e Computac¸˜ao
S˜ao Carlos - SP
backes@icmc.usp.br
Adriana B. Bruno
Universidade de S˜ao Paulo
Instituto de Ciˆencias Matem´aticas e Computac¸˜ao
S˜ao Carlos - SP
adriana@arstechnica.com.br
Mauro N. Barros Filho
Faculdade de Ciˆencias Humanas Esuda
Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Recife - PE
mbarrosfilho@gmail.com
Odemir M. Bruno
Universidade de S˜ao Paulo
Instituto de Ciˆencias Matem´aticas e Computac¸˜ao
S˜ao Carlos - SP
bruno@icmc.usp.br
Resumo
Este artigo apresenta um estudo sobre a correlac¸˜ao en-tre Dimens˜ao Fractal e as caracter´ısticas morfol´ogicas de ´areas urbanas. Em imagens de sensoriamento remoto de ´areas urbanas, as caracter´ısticas morfol´ogicas s˜ao repre-sentadas por complexas interac¸˜oes de diferentes tipos de superf´ıcie, onde cada superf´ıcie corresponde a um tipo di-ferente de textura. Neste trabalho, Dimens˜ao Fractal ´e es-timada em imagens de ´areas urbanas de modo a obter uma estimativa da complexidade das texturas da imagem e, conseq¨uentemente, uma medida das caracter´ısticas mor-fol´ogicas das ´areas urbanas.
1. Introduc¸˜ao
Com os avanc¸os obtidos ao longo dos ´ultimos anos, cada vez mais imagens de sensoriamento remoto tˆem sido utiliza-das em aplicac¸˜oes envolvendo mapeamentos e estudos urba-nos. Sua ampla cobertura, aliada a atualizac¸˜oes freq¨uentes e um baixo custo, fazem desse tipo de imagem uma rica fonte de informac¸˜oes sobre a superf´ıcie terrestre. Por´em, imagens de ´areas urbanas s˜ao resultantes de uma complexa interac¸˜ao entre diferentes tipos de superf´ıcies, dificultando assim o
seu processo de an´alise e, conseq¨uentemente, seus resulta-dos [10, 14, 15, 17].
A an´alise de textura ´e um problema recorrente em pro-cessamento de imagens e vis˜ao computacional. Trata-se de um problema comum a diversas ´areas de aplicac¸˜ao, como reconhecimento de objetos, recuperac¸˜ao de imagens por conte´udo e sensoriamento remoto. Apesar de n˜ao existir uma definic¸˜ao exata para o termo textura, trata-se de um atributo facilmente entendido por humanos e uma fonte rica em informac¸˜oes sobre a imagem [19]. A literatura, por sua vez, apresenta diversas abordagens para a an´alise de textu-ras, como: Campo Aleat´orio de Markov [8, 13], Redes Neu-rais Artificiais [18], Wavelet [20], Momentos Invariantes [9] e a Dimens˜ao Fractal [3, 4, 12], sendo esta ´ultima explorada neste trabalho.
A Dimens˜ao Fractal [1, 3, 5] ´e uma medida de comple-xidade. Aplicada em imagens de texturas, permite quan-tific´a-las quanto a homogeneidade, tornando poss´ıvel sua comparac¸˜ao [1].
O objetivo desse artigo ´e desenvolver uma ferramenta que possa extrair caracter´ısticas morfol´ogicas de ´areas ur-banas a partir da estimativa de sua complexidade. Portanto, ´e apresentado um estudo sobre o uso da Dimens˜ao Frac-tal como m´etodo para obter assinaturas de complexidade de textura em imagens de sensoriamento remoto. Essas ima-gens foram obtidas de diferentes bairros de uma mesma cidade. Utilizando um classificador, essas assinaturas
fo-ram agrupadas de acordo com a similaridade dos bairros. O m´etodo e sua implementac¸˜ao s˜ao discutidos, bem como os resultados obtidos, ilustrando o potencial da t´ecnica.
2. Dimens˜ao Fractal aplicada a Texturas
Texturas s˜ao padr˜oes visuais caracterizados pela repetic¸˜ao, seja exata ou com pequenas variac¸˜oes, de en-tidades ou sub-padr˜oes, que representam caracter´ısticas f´ısicas, como brilho e cor, da superf´ıcie de um ob-jeto [6, 16].
Trata-se de um excelente descritor regional, facilmente entendido por humanos, e fonte de uma grande quantidade de informac¸˜oes sobre a imagem [11, 19]. No entanto, ape-sar de seu amplo uso e importˆancia como descritor regional em processos de reconhecimento, descric¸˜ao e classificac¸˜ao de imagens, a textura ´e um termo intuitivo, e que carece de uma definic¸˜ao mais precisa ou formal [6, 7].
A Dimens˜ao Fractal pode ser definida como uma medida da complexidade de objetos. Aplicada a texturas, ela per-mite quantificar a complexidade da organizac¸˜ao de seus pi-xels, onde este n´ıvel de complexidade est´a diretamente re-lacionado com o aspecto visual, bem como com a homo-geneidade da textura. Assim, a Dimens˜ao Fractal permite quantificar uma textura em termos de homogeneidade, pos-sibilitando sua comparac¸˜ao com outras texturas [1, 3].
Um dos m´etodos mais simples de se estimar a Dimens˜ao Fractal ´e o m´etodo de BoxCounting [5], o qual se baseia na sobreposic¸˜ao de um grid de quadrados de lado r sobre uma imagem A e na respectiva contagem do total de quadrados necess´arios para cobrir essa imagem, NA(r). No entanto,
para sua utilizac¸˜ao em imagens em tons de cinza, como ´e o caso das texturas, considera-se a intensidade do pixel como a altura daquele ponto da imagem. Assim, substitui-se a contagem de quadrados do m´etodo por uma contagem de cubos de aresta r (Figura 1) necess´arios para cobrir essa textura [2]. A Dimens˜ao Fractal DF da imagem A ´e ent˜ao obtida como:
DF = − lim
r→0
log(NA(r))
log(r) ,
3. An´alise de Imagens de Sat´elite por
Comple-xidade
Imagens de sensoriamento remoto s˜ao uma fonte rica em informac¸˜oes sobre a superf´ıcie terrestre. Por meio delas ´e poss´ıvel, por exemplo, desenvolver aplicac¸˜oes envolvendo mapeamentos e estudos urbanos. Imagens de ´areas urbanas s˜ao resultantes de uma complexa interac¸˜ao entre diferentes caracter´ısticas morfol´ogicas (tamanho de quadra, geometria das quadras, tamanho das ruas, disposic¸˜ao de prac¸as e ´areas
Figura 1. Exemplo de contagem de cubos em imagens tons de cinza. As arestas vermelhas representam as caixas e os quadrados pre-tos, os pixels da imagem.
verdes) da regi˜ao analisada. De modo geral, essas carac-ter´ısticas morfol´ogicas est˜ao relacionadas com a qualidade de vida e o n´ıvel de desenvolvimento da regi˜ao. Assim, atri-butos como tamanho de quadra maior e maior n´umero de ´areas verdes indicam uma maior qualidade de vida na regi˜ao [10, 17].
As caracter´ısticas morfol´ogicas do espac¸o urbano s˜ao
Figura 2. Mapa da cidade e respectivas localizac¸ ˜oes das imagens das ´areas usadas no experimento.
resultantes de um complexo arranjo espacial, do ponto de vista geom´etrico e dimensional, de seus elementos es-truturadores, como edificac¸˜oes, lotes, quadras e vias. Es-sas caracter´ısticas variam em func¸˜ao dos modos de uso e ocupac¸˜ao do solo urbano, das caracter´ısticas naturais do s´ıtio, como o relevo e a hidrografia, e do tempo de ocupac¸˜ao, bem como das condic¸˜oes sociais, econˆomicas, pol´ıticas e culturais existentes. Diante desta complexidade, a an´alise das caracter´ısticas morfol´ogicas do espac¸o urbano tem sido, predominantemente, conduzida de modo subjetivo, sendo incapaz de oferecer medidas quantitativas que possam des-crever, de modo mais preciso, tais caracter´ısticas.
Al´em disso, diante da dinˆamica do processo de ocupac¸˜ao urbano, principalmente nas ´areas informais e perif´ericas da cidade, muitas leis e planos urban´ısticos tornam-se obso-letos ou incapazes de controlar, acompanhar e monitorar o crescimento da cidade, assim como distribuir, de modo mais justo, os servic¸os, os equipamentos e as redes de infra-estrutura urbana no espac¸o urbano. Dessa forma, medidas de complexidade que permitam analisar as caracter´ısticas morfol´ogicas urbanas, como a Dimens˜ao Fractal, s˜ao ferra-mentas valiosas para auxiliar no planejamento e na gest˜ao das cidades.
Nesse artigo ´e apresentado um experimento que visa ve-rificar a correlac¸˜ao entre a Dimens˜ao Fractal e as carac-ter´ısticas morfol´ogicas de ´areas urbanas. Em uma imagem de sat´elite, essas caracter´ısticas morfol´ogicas s˜ao represen-tadas por complexas interac¸˜oes de diferentes tipos de su-perf´ıcie, onde cada superf´ıcie corresponde a um tipo dife-rente de textura [14, 15]. Aplicando-se a Dimens˜ao Fractal, ´e poss´ıvel obter uma estimativa da complexidade dessa tex-tura e, conseq¨uentemente, uma medida das caracter´ısticas de morfologia urbana.
Para esse experimento, foram empregadas imagens que representam diferentes ´areas da cidade de S˜ao Carlos, in-terior do estado de S˜ao Paulo, e que, conseq¨uentemente, apresentam diferentes condic¸˜oes de habitabilidade e desen-volvimento urbano. Essas imagens foram obtidas a partir do software Google Earth R. Ao todo, foram consideradas
5 regi˜oes da cidade (Figura 2). Para cada regi˜ao, 2 ima-gens de 200 × 200 pixels foram obtidas, sendo considera-das duas altitudes diferentes: 10.000 e 15.000 p´es (Figuras 3 e 4). Al´em disso, a informac¸˜ao de cor das imagens foi des-cartada, sendo considerados apenas seus n´ıveis de cinza du-rante as etapas de an´alise e estimativa da Dimens˜ao Frac-tal.
4. Resultados
Inicialmente as imagens selecionadas foram sepa-radas em dois grupos, sendo o fator de separac¸˜ao a altitude. Isso foi realizado, pois `a medida que se dimi-nui a altitude de observac¸˜ao, aumenta-se a quantidade de
Bairro Amostra DF a 1 2,6747 2 2,6778 b 1 2,6520 2 2,6556 c 1 2,6096 2 2,6365 d 1 2,6564 2 2,6688 e 1 2,6481 2 2,6669
Tabela 1. Dimens ˜ao Fractal estimada para as amostras obtidas a 10.000 p ´es de altitude.
informac¸˜ao de micro-textura presente nas imagens obti-das. Essa informac¸˜ao adicional de micro-textura se refere principalmente ao detalhamento de estruturas presen-tes nas imagens dos bairros como, por exemplo, pequenas variac¸˜oes de iluminac¸˜ao ou sombra nos telhados de ca-sas. Logo, imagens obtidas em diferentes altitudes apre-sentam n´ıveis de detalhamento diferentes e, conseq¨uente-mente, n´ıveis de complexidades distintos.
Quanto maior for a quantidade de informac¸˜ao de micro-texturas, menor ser´a a quantidade de informac¸˜ao so-bre a macro-textura da imagem. Diante dessas diferen-tes quantidades de micro e macro texturas, faz-se necess´ario a utilizac¸˜ao de configurac¸˜oes diferentes do m´etodo de Box-Counting para cada grupo de imagens. Neste caso, onde se pretende obter uma caracterizac¸˜ao da complexidade or-ganizacional dos diferentes bairros, percebe-se clara-mente a necessidade de uma ˆenfase maior nas informac¸˜oes de macro-textura da imagem, ou seja, tem-se a necessi-dade de uso de caixas maiores no m´etodo de
BoxCoun-Bairro Amostra DF a 1 2,6151 2 2,6291 b 1 2,6078 2 2,6034 c 1 2,5977 2 2,5971 d 1 2,6087 2 2,6212 e 1 2,5946 2 2,5973
Tabela 2. Dimens ˜ao Fractal estimada para as amostras obtidas a 15.000 p ´es de altitude.
(a) (b) (c) (d) (e)
Figura 3. Imagens de sat ´elite de diferentes ´areas obtidas a 10000 p ´es de altitude.
(a) (b) (c) (d) (e)
Figura 4. Imagens de sat ´elite de diferentes ´areas obtidas a 15000 p ´es de altitude
ting.
Os conjuntos de tamanhos de caixas utilizados no m´etodo BoxCounting para analisar as texturas foram esco-lhidos empiricamente. No entanto, tanto valores pequenos quanto valores grandes para o tamanho das caixas fo-ram considerados. Desse modo, pode-se avaliar a textura de uma imagem em termos de micro-textura (caixas pequenas) e macro-textura (caixas grandes). Isso garante uma quan-tidade maior de informac¸˜ao sobre a imagem com um con-junto m´ınimo de caixas, e permite uma maior separac¸˜ao en-tre as amostras pertencentes a diferentes bairros da cidade. Os conjuntos de caixas que obtiveram os melhores resulta-dos para as imagens a 10.000 e 15.000 p´es foram, respec-tivamente, {1, 16, 31, 46, 61, 76, 91} e {1, 14, 27, 40, 53}, sendo os valores obtidos para a Dimens˜ao Fractal apresen-tados nas Tabelas 1 e 2.
Para ambos os conjuntos de imagens (10.000 e 15.000
p´es) percebe-se que, `a medida que se afasta do centro da ci-dade, o valor da Dimens˜ao Fractal aumenta. Esse aumento da complexidade indica uma maior heterogeneidade des-sas ´areas, ou seja, a organizac¸˜ao das estruturas morfol´ogicas nessas regi˜oes apresenta um padr˜ao mais ca´otico, menos re-gular ou homogˆeneo. Nota-se tamb´em que as ´areas vizinhas ou que estejam a uma distˆancia aproximadamente igual do centro da cidade apresentam valores de complexidade pare-cidos, logo a organizac¸˜ao de suas estruturas morfol´ogicas ´e semelhante. Isso ´e corroborado pelo fato de ´areas centrais das cidades serem alvo de maior n´umero de benfeitorias, portanto melhor estruturadas, e de n˜ao sofrerem de proces-sos de ocupac¸˜ao espontˆaneos ou informal. A Figura 5 mos-tra an´eis concˆentricos delimitando regi˜oes a partir do marco central da cidade de S˜ao Carlos (Prac¸a Dom Jos´e Marcon-des Homem de Melo). As ´areas analisadas no experimento est˜ao destacadas no gr´afico, que apresenta suas respectivas
Figura 5. An ´eis conc ˆentricos, apresentando as regi ˜oes de mesma dist ˆancia do marco central da ci-dade e sua Dimens ˜ao Fractal: (a) Valores de DF das imagens de sat ´elite obtidas a 10000 p ´es; (b) Valores de DF das imagens de sat ´elite obtidas a 15000 p ´es.
dimens˜oes fractais. Em ambos os gr´aficos pode ser obser-vado o aumento da dimens˜ao fractal `a medida que as zonas de an´alise se distanciam do centro urbano, comprovando as hip´oteses levantadas anteriormente.
Em relac¸˜ao `as Tabelas 1 e 2, outro aspecto importante pode ser observado. Nota-se que os valores da dimens˜ao fractal est˜ao relacionados `as diferentes altitudes. Os valores da dimens˜ao fractal em amostras obtidas a 10.000 p´es s˜ao mais elevados que aqueles em amostras obtidas a 15.000 p´es. Com isso, pode-se concluir que ocorre um aumento de complexidade ou maior heterogeneidade quando se diminui a distˆancia (vertical) de observac¸˜ao das amostras, ou seja, quando as amostras s˜ao observadas mais de perto.
Al´em do c´alculo da Dimens˜ao Fractal, um classifica-dor hier´arquico foi aplicado sobre as curvas log-log obti-das para cada grupo de imagens. Nesse caso, considera-se como m´etrica a distˆancia euclidiana m´edia entre as curvas log-log das diversas amostras, pois esta sofre menos inter-ferˆencia de valores esp´urios. A Figura 6 mostra dendro-gramas da organizac¸˜ao das amostras de acordo com a si-milaridade. Percebe-se uma total separac¸˜ao das amostras de acordo com a sua regi˜ao, o que evidencia os diferen-tes n´ıveis de complexidade e, conseq¨uentemente, a dife-rente organizac¸˜ao das estruturas morfol´ogicas de cada ´area urbana. A classificac¸˜ao hier´arquica foi utilizada para apre-sentar as relac¸˜oes de distˆancias e agrupamentos das ima-gens utilizadas no experimento. Em ambos os casos, as imagens foram classificadas corretamente. No dendrograma da Figura 6b o agrupamento das regi˜oes foi realizado de
modo proporcional ao distanciamento do marco central da cidade, evidenciando os resultados apresentados na Figura 5. Embora a classificac¸˜ao das imagens esteja correta, o den-drograma de menor altitude (Figura 6a) n˜ao apresentou o relacionamento entre o agrupamento e as distˆancias das imagens ao marco central, sugerindo melhor acuidade do m´etodo para imagens adquiridas em altitudes maiores.
5. Conclus˜ao
Neste trabalho foi apresentado um estudo sobre a utilizac¸˜ao do m´etodo de estimativa de Dimens˜ao Frac-tal na an´alise de caracter´ısticas morfol´ogicas de ima-gens de sat´elite de ´areas urbanas, cuja interac¸˜ao resulta em padr˜oes de texturas complexos. Por meio da Di-mens˜ao Fractal ´e poss´ıvel quantificar a complexidade dessa textura e, conseq¨uentemente, estimar o n´ıvel de desenvol-vimento urbano de uma determinada ´area, permitindo a sua comparac¸˜ao com demais regi˜oes de uma mesma ci-dade.
Foi realizado um experimento onde imagens de dife-rentes ´areas urbanas foram comparadas segundo a meto-dologia proposta. Os resultados demonstraram que existe correlac¸˜ao entre o n´ıvel de complexidade e as caracter´ısticas morfol´ogicas existentes em determinadas ´areas urbanas, ob-servadas em diferentes altitudes, evidenciando o grande po-tencial da t´ecnica na an´alise e classificac¸˜ao de imagens de sat´elite dessas ´areas.
(a) (b)
Figura 6. Dendrograma: (a) Imagens de sat ´elite obtidas a 10000 p ´es; (b) Imagens de sat ´elite obtidas a 15000 p ´es.
6. Agradecimentos
Odemir M. Bruno agradece ao CNPq (Procs. #303746/2004-1 e #504476/2007-6) e a FAPESP (Proc. #06/54367-9). Andr´e R. Backes agradece a FAPESP (Proc. #06/54367-9) pelo apoio financeiro ao doutorado. Adri-ana B. Bruno agradece ao CNPq (Proc. #504476/2007-6) pelo apoio financeiro `a iniciac¸˜ao cient´ıfica. Mauro N. Bar-ros Filho agradece `a Faculdade Esuda.
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