Problema 4 Um lado do retângulo mede 18. O valor numérico da área somada ao perímetro do retângulo é igual a Calcule o perímetro do retângulo.

(1)

Ensino Médio - PROBLEMAS

Copyright © Titu Andreescu and Jonathan Kane

Traduzido para o português por:

Anderson Weber, Margaret Toba e Luiz Antônio Ponce Alonso.

Colégio Mater Amabilis – Guarulhos/SP - Brasil

Problema 1

Dois inteiros têm soma 2016 e diferença 500. Encontre o maior dos dois números.

Problema 2

O trapézio abaixo possui bases com medidas 7 e 17 e área 120. Calcule o valor absoluto da diferença entre as áreas dos dois triângulos.

(2)

Problema 5

Almir tem um conjunto com 5 inteiros positivos de média 100. Se Almir remove a mediana do conjunto, a média aumenta em 5 unidades, mas a nova mediana diminui 5 unidades. Encontre o maior valor possível para o maior valor que Almir possui no conjunto original.

Problema 6

O diagrama mostra um quadrado com sete pontos sobre cada lado, dividindo em seis segmentos congruentes. Todas as linhas que unem dois destes pontos formam 45° com os lados do quadrado.

A área sombreada mede 75. Calcule a área do quadrado original.

Problema 7

Os inteiros positivos m e n são ambos maiores que 50, possuem mínimo múltiplo comum igual a 480 e máximo divisor comum igual a 12. Calcule m+n.

(3)

O mapa mostra uma rodovia Leste-Oeste ligando as cidades de São Paulo, Guarulhos e Arujá e outra rodovia Norte-Sul ligando Guarulhos a Mairiporã. As distâncias entre duas cidades consecutivas são de 60 km. Numa noite, Sinval sai de São Paulo e pedala sua bicicleta a 17 km/h, Bechara sai de Arujá pedalando a 7 km/h e Boni sai de Mairiporã e pedala em velocidade constante, em linha reta, pelo campo aberto. Os três ciclistas chegam exatamente no mesmo horário em um ponto da rodovia entre Guarulhos e Arujá. Calcule o número de quilômetros percorridos por Boni até o instante do encontro.

Problema 9

Calcule a soma de todos os quadrados perfeitos que dividem 2016.

Problema 10

Carlos escreveu todos os números de 3 algarismos entre 100 e 999 na lousa. Então, Rocsana apagou cada um dos 2700 dígitos que Carlos escreveu substituindo-os pelos respectivos quadrados. Ela trocou todo 1 por 1, todo 2 por 4,

(4)

Problema 13

No triângulo ABC, AB = AC, AF = EF e EH = CH = DH = GH = DG = BG. Também, ∠ CHE = ∠ FGH. Encontre a medida em graus, do ângulo ∠ BAC.

Problema 14

Encontre o maior valor possível para p.q+r, onde p, q, r são números primos, não necessariamente distintos, que satisfazem pq+qr+rp=2016.

Problema 15

Encontre o menor inteiro positivo da forma abaaba, onde a e b são algarismos distintos, de modo que o número inteiro possa ser escrito como produto de seis primos distintos.

Problema 16

Johnny lança um dado. Se o dado mostra um número k, Johnny joga o dado mais k vezes. A probabilidade de Johnny

nunca obter 3 ou 6 no primeiro lançamento ou nos k subsequentes lançamentos é dado por

m

n

, onde m e n são

(5)

Problema 17

Os polinômios cúbicos P(x) e Q(x) satisfazem:

• p(1) = q(2) • p(3) = q(4) • p(5) = q(6) • p(7) = q(8) + 13. Calcule p(9) − q(10).

Problema 18

A fábrica de doces MATER sempre coloca o mesmo número de pedações de doces em cada embalagem que vendem. Hélio comprou 4 embalagens e deu para cada pessoa de sua classe 15 pedaços. Cibele comprou 5 embalagens e 23 pedaços de doces para cada professor de sua escola. Cibele ainda ficou com 15 pedaços.

Determine o menor número de pedaços de doces que a empresa poderia ter colocado em cada embalagem.

Problema 19

(6)

Problema 20

a, b, c, d, são inteiros positivos satisfazendo as equações

(a + 1)(3bc + 1) = d + 3e + 1

(b + 1)(3ca + 1) = 3d + e + 13

(c + 1)(3ab + 1) = 4(26 − d − e) − 1.

Calcule d2 _{+ e}2_.

Problema 21

No triângulo equilátero ABC, o ponto D está sobre o lado

BC

e dista 1 unidade do ponto B; o ponto E está sobre o lado

AC

e dista 1 unidade de C e o ponto F está sobre o lado

AB

e dista 1 unidade de A. Os segmentos AD, BE e CF interceptam-se em pares nos pontos G, H e J formando um novo triângulo equilátero de vértices GHJ.

A área do triângulo ABC é o dobro da área do triângulo GHJ. A medida do lado do triângulo ABC pode ser escrita como

r

s

t



, onde r, s e t são naturais primos entre si. Calcule r + s + t.

Problema 22

(7)

Dezesseis pontos estão agrupados quatro a quarto como mostra a malha quadriculada abaixo.

A distância entre dois pontos da grade será definida como o menor valor de “passos” horizontais e verticais pelos segmentos da malha. Por exemplo, dois pontos adjacentes possuem distância 1 e dois pontos em vértices opostos da malha distam 6 unidades.

A distância média entre dois pontos da grade é

m

n

, onde m e n são primos entre si. Calcule m+n.

Nota: “passo” é o segmento que une dois vértices consecutivos da “malha”

Problema 24

Encontre o maior número primo p tal que p divide 2p+1 _{+ 3}p+1 _{+ 5}p+1 _{+ 7}p+1_.

Problema 25

Para n, medido em graus, seja T(n) = cos2_(30°_{− n) − cos(30°}_{− n)cos(30°}_{+ n) + cos}2_(30°_{+ n).}

(8)

Problema 27

Um tanque tem o formato de uma pirâmide quadrangular regular de base quadrada 12x12 e outras 4 arestas de medida 11.

Uma face triangular da pirâmide está apoiada no solo.

O tanque está parcialmente cheio com líquido, de modo que o nível do líquido está na metade da distância entre a face apoiada no solo e a aresta superior do tanque.

Calcule o volume do líquido no tanque.

Problema 28

x e y são inteiros positivos satisfazendo (x2 _{+ 1)(y}2 _{+ 1) + 2(x − y)(1 − xy) = 4(1 + xy) + 140.}

Calcule a soma de todos os valores possíveis para o produto x.y.

(x2 _{+ 1)(y}2 _{+ 1) + 2(x − y)(1 − xy) = 4(1 + xy) + 140.}

Problema 29

Dez azulejos quadrados são colocadas numa linha , cada um pode ser pintado com uma das quatro cores:

vermelho ( R ) , amarelo (Y ) , azul ( B) e branco ( W ) . Encontrar o número de maneiras disto ser feito de modo que cada bloco de cinco azulejos adjacentes contenha pelo menos um azulejo de cada cor . Ou seja, contar os padrões RWBWYRRBWY e WWBYRWYBWR, mas não RWBYYBWWRY, porque os cinco azulejos adjacentes coloridos BYYBW não incluem a cor vermelha .

(9)

Problema 30

Algumas esferas idênticas são empilhadas em n camadas sobre a base de uma pirâmide quadrada, de modo que uma esfera fique no topo, 4 esferas fiquem na segunda camada, 9 esferas na terceira camada e assim sucessivamente de modo que na camada n existam n2_{esferas. Em cada camada as esferas são tangentes e os centros das esferas que}

formam o contorno da camada, formam um quadrado. Cada esfera de um nível é tangente à 4 esferas de um nível imediatamente inferior.

O diagrama mostra os 3 primeiros níveis da pirâmide construídos separadamente.

Uma pirâmide de base quadrada é construída pelo lado de fora da pilha de esferas de modo que suas faces tangenciem as esferas mais externas de cada nível.

Existe um inteiro m tal que, à medida que n aumenta, a razão do volume da pirâmide e do volume total das esferas

aproxima-se de