Ensino Médio - PROBLEMAS
Copyright © Titu Andreescu and Jonathan Kane
Traduzido para o português por:
Anderson Weber, Margaret Toba e Luiz Antônio Ponce Alonso.
Colégio Mater Amabilis – Guarulhos/SP - Brasil
Problema 1
Dois inteiros têm soma 2016 e diferença 500. Encontre o maior dos dois números.
Problema 2
O trapézio abaixo possui bases com medidas 7 e 17 e área 120. Calcule o valor absoluto da diferença entre as áreas dos dois triângulos.
Problema 5
Almir tem um conjunto com 5 inteiros positivos de média 100. Se Almir remove a mediana do conjunto, a média aumenta em 5 unidades, mas a nova mediana diminui 5 unidades. Encontre o maior valor possível para o maior valor que Almir possui no conjunto original.
Problema 6
O diagrama mostra um quadrado com sete pontos sobre cada lado, dividindo em seis segmentos congruentes. Todas as linhas que unem dois destes pontos formam 45° com os lados do quadrado.
A área sombreada mede 75. Calcule a área do quadrado original.
Problema 7
Os inteiros positivos m e n são ambos maiores que 50, possuem mínimo múltiplo comum igual a 480 e máximo divisor comum igual a 12. Calcule m+n.
O mapa mostra uma rodovia Leste-Oeste ligando as cidades de São Paulo, Guarulhos e Arujá e outra rodovia Norte-Sul ligando Guarulhos a Mairiporã. As distâncias entre duas cidades consecutivas são de 60 km. Numa noite, Sinval sai de São Paulo e pedala sua bicicleta a 17 km/h, Bechara sai de Arujá pedalando a 7 km/h e Boni sai de Mairiporã e pedala em velocidade constante, em linha reta, pelo campo aberto. Os três ciclistas chegam exatamente no mesmo horário em um ponto da rodovia entre Guarulhos e Arujá. Calcule o número de quilômetros percorridos por Boni até o instante do encontro.
Problema 9
Calcule a soma de todos os quadrados perfeitos que dividem 2016.
Problema 10
Carlos escreveu todos os números de 3 algarismos entre 100 e 999 na lousa. Então, Rocsana apagou cada um dos 2700 dígitos que Carlos escreveu substituindo-os pelos respectivos quadrados. Ela trocou todo 1 por 1, todo 2 por 4,
Problema 13
No triângulo ABC, AB = AC, AF = EF e EH = CH = DH = GH = DG = BG. Também, ∠ CHE = ∠ FGH. Encontre a medida em graus, do ângulo ∠ BAC.
Problema 14
Encontre o maior valor possível para p.q+r, onde p, q, r são números primos, não necessariamente distintos, que satisfazem pq+qr+rp=2016.
Problema 15
Encontre o menor inteiro positivo da forma abaaba, onde a e b são algarismos distintos, de modo que o número inteiro possa ser escrito como produto de seis primos distintos.
Problema 16
Johnny lança um dado. Se o dado mostra um número k, Johnny joga o dado mais k vezes. A probabilidade de Johnny
nunca obter 3 ou 6 no primeiro lançamento ou nos k subsequentes lançamentos é dado por
m
n
, onde m e n sãoProblema 17
Os polinômios cúbicos P(x) e Q(x) satisfazem:
• p(1) = q(2) • p(3) = q(4) • p(5) = q(6) • p(7) = q(8) + 13. Calcule p(9) − q(10).
Problema 18
A fábrica de doces MATER sempre coloca o mesmo número de pedações de doces em cada embalagem que vendem. Hélio comprou 4 embalagens e deu para cada pessoa de sua classe 15 pedaços. Cibele comprou 5 embalagens e 23 pedaços de doces para cada professor de sua escola. Cibele ainda ficou com 15 pedaços.
Determine o menor número de pedaços de doces que a empresa poderia ter colocado em cada embalagem.
Problema 19
Problema 20
a, b, c, d, são inteiros positivos satisfazendo as equações
(a + 1)(3bc + 1) = d + 3e + 1
(b + 1)(3ca + 1) = 3d + e + 13
(c + 1)(3ab + 1) = 4(26 − d − e) − 1.
Calcule d2 + e2.
Problema 21
No triângulo equilátero ABC, o ponto D está sobre o lado
BC
e dista 1 unidade do ponto B; o ponto E está sobre o ladoAC
e dista 1 unidade de C e o ponto F está sobre o ladoAB
e dista 1 unidade de A. Os segmentos AD, BE e CF interceptam-se em pares nos pontos G, H e J formando um novo triângulo equilátero de vértices GHJ.A área do triângulo ABC é o dobro da área do triângulo GHJ. A medida do lado do triângulo ABC pode ser escrita como
r
s
t
, onde r, s e t são naturais primos entre si. Calcule r + s + t.
Problema 22
Dezesseis pontos estão agrupados quatro a quarto como mostra a malha quadriculada abaixo.
A distância entre dois pontos da grade será definida como o menor valor de “passos” horizontais e verticais pelos segmentos da malha. Por exemplo, dois pontos adjacentes possuem distância 1 e dois pontos em vértices opostos da malha distam 6 unidades.
A distância média entre dois pontos da grade é
m
n
, onde m e n são primos entre si. Calcule m+n.Nota: “passo” é o segmento que une dois vértices consecutivos da “malha”
Problema 24
Encontre o maior número primo p tal que p divide 2p+1 + 3p+1 + 5p+1 + 7p+1.
Problema 25
Para n, medido em graus, seja T(n) = cos2(30°− n) − cos(30°− n)cos(30°+ n) + cos2(30°+ n).
Problema 27
Um tanque tem o formato de uma pirâmide quadrangular regular de base quadrada 12x12 e outras 4 arestas de medida 11.
Uma face triangular da pirâmide está apoiada no solo.
O tanque está parcialmente cheio com líquido, de modo que o nível do líquido está na metade da distância entre a face apoiada no solo e a aresta superior do tanque.
Calcule o volume do líquido no tanque.
Problema 28
x e y são inteiros positivos satisfazendo (x2 + 1)(y2 + 1) + 2(x − y)(1 − xy) = 4(1 + xy) + 140.
Calcule a soma de todos os valores possíveis para o produto x.y.
(x2 + 1)(y2 + 1) + 2(x − y)(1 − xy) = 4(1 + xy) + 140.
Problema 29
Dez azulejos quadrados são colocadas numa linha , cada um pode ser pintado com uma das quatro cores:
vermelho ( R ) , amarelo (Y ) , azul ( B) e branco ( W ) . Encontrar o número de maneiras disto ser feito de modo que cada bloco de cinco azulejos adjacentes contenha pelo menos um azulejo de cada cor . Ou seja, contar os padrões RWBWYRRBWY e WWBYRWYBWR, mas não RWBYYBWWRY, porque os cinco azulejos adjacentes coloridos BYYBW não incluem a cor vermelha .
Problema 30
Algumas esferas idênticas são empilhadas em n camadas sobre a base de uma pirâmide quadrada, de modo que uma esfera fique no topo, 4 esferas fiquem na segunda camada, 9 esferas na terceira camada e assim sucessivamente de modo que na camada n existam n2 esferas. Em cada camada as esferas são tangentes e os centros das esferas que
formam o contorno da camada, formam um quadrado. Cada esfera de um nível é tangente à 4 esferas de um nível imediatamente inferior.
O diagrama mostra os 3 primeiros níveis da pirâmide construídos separadamente.
Uma pirâmide de base quadrada é construída pelo lado de fora da pilha de esferas de modo que suas faces tangenciem as esferas mais externas de cada nível.
Existe um inteiro m tal que, à medida que n aumenta, a razão do volume da pirâmide e do volume total das esferas
aproxima-se de