DESENHO GEOMÉTRICO – AULA 4T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. DIVIDIR O SEGMENTO AB = 5 CM EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO E INDICAR O SEGMENTO ÁUREO DE AB E TAMBÉM O SEGMENTO O QUAL AB É ÁUREO.
Seja o segmento AB = 5 cm pertencente à reta s.
Centre o compasso em O e com abertura igual à OB trace um arco que corta a hipotenusa em C'. Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual a AC' trace um arco que corte AB no ponto C transferindo assim, a medida AC' para o segmento AB.
Para encontrar o ponto D' que divide o segmento AB em extrema razão, passe por AO uma semi-reta (t). Centre a ponta seca do compasso em O e com abertura OB trace um arco que corte a reta (t) em D'. Coloque a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a AD' trace um arco que corte a reta (s) no ponto D transferindo assim, a medida AD' para a reta suporte do segmento AB.
O ponto C' divide o segmento AB em média razão pois a medida AC' é igual a AB/2 - AB√5/2.
O segmento AC' é o segmento áureo de AB. O segmento AB é o segmento áureo de AD'. A proporção áurea é: C'B/AC'=AC'/AB e BD'/AB=AB/AD'. Em outras palavras: "O segmento menor resultante da divisão está para o maior assim como o segmento maior está para o segmento todo"
2. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MAIOR DO RETÂNGULO 5 CM
levante por A uma perpendicular (p). Centre o compasso em A e com abertura AC trace um arco que corte a reta (p) em C. Com a ponta seca do compasso em C e abertura AB trace um arco. Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura AC trace um arco que corte o arco anterior em D.
Obtemos assim o retângulo áureo ABCD cujo lado menor é o segmento áureo do lado maior AB dado.
3. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MENOR DO RETÂNGULO L=4 CM
Levante por B uma perpendicular e com a ponta seca do compasso em B e abertura igual a BA' trace um arco que corte a perpendicular no ponto A. Levante uma perpendicular (r) à reta (s) por A' e encontre o ponto médio de BA' (M). Levante uma perpendicular (t) por A encontrando assim o quadrado de lado AB.
Veja a resposta: retângulo ABED cujo lado dado AB é o segmento áureo do lado maior encontrado BD.
4. INSCREVER UMA ESPIRAL EM UM RETÂNGULO ÁUREO
Transporte o segmento FB para o segmento FG encontrando o ponto I. Levante por I uma perpendicular encontrando o ponto H em BD. Com a ponta seca do compasso em I e abertura IF trace o arco FH. Transporte o segmento HD para o segmento IH encontrando ponto L. Levante por L uma perpendicular encontrando o ponto J. Com a ponta seca do compasso em L e abertura LH trace o arco HJ.
Transporte o segmento UL para o segmento UV encontrando o ponto Y. Levante por Y uma perpendicular encontrando o ponto Z. Com a ponta seca do compasso em Y e abertura igual a YU trace o arco UZ. Para encontrar o pólo da espiral trace os segmentos AD e GB.
5. INSCREVER UM PENTÁGONO ESTRELADO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO 5 CM
Ligue os pontos1 e 2 encontrando M o ponto médio do raio. Com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o diâmetro AB no ponto E. Ligue CE obtendo assim o lado L5 do pentágono regular inscrito na circunferência.
Para construir o pentágono coloque a ponta seca do compasso em C e com abertura CE (L5) trace um arco que corte a circunferência em G e F. Depois coloque a ponta
seca em G e F e com a mesma abertura (L5) trace mais dois arcos encontrando H e I
respectivamente. Ligando os pontos CHFGIC consecutivamente teremos o pentágono regular estrelado (pentagrama).
6. RELACIONAR A CONSTRUÇÃO DO PENTÁGONO, DECÁGONO E PENTAGRAMA COM A PROPORÇÃO ÁUREA.
Seja a circunferência de diâmetros AB e CD. Encontre M o ponto médio do raio OB e com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o raio OA no ponto E.
O segmento CE é igual ao L5 (lado do pentágono) inscrito na circunferência. O
segmento OE é igual ao L10 (lado do decágono) inscrito na mesma circunferência. O
Então, a medida OE que é o valor do L10 (lado do decágono) será igual a: R - R√5/2
que é o segmento áureo do raio. Com o valor L5 é possível encontrar os vértices
CFEGH do pentágono e com o valor L10 é possível encontrar os vértices CJIFEKNGH do decágono.
Ligando as diagonais CGEFHC é possível de se traçar o pentagrama.
A relação áurea é a seguinte:
1. O segmento DO = L10 (lado do decágono) é segmento áureo do raio da
circunferência.
7. CONSTRUIR AS SÉRIES VERMELHA E AZUL DO “LE MODULOR”
SÉRI E AZUL
Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Levante uma perpendicular por A e marque nela a metade de AB. Ligue BC encontrando assim o triângulo ABC de lados AB, AB/2 e hipotenusa ABV5/2.
SÉRI E V ERM ELH A
Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Divida o segmento AB pela metade encontrando M o ponto médio de AB. Construa dois triângulos retângulos nos quais o lado menor é igual à 1/4 do segmento AB. Têm-se os triângulos ACM e MDB. Siga a mesma construção da série azul, dividindo AM em média razão (Ponto F). Em seguida divida também MB em média razão (ponto H). Continue a divisão áurea, agora para o segmento BH encontrando J. Repita o processo para encontrar mais divisões áureas.
As duas séries azul e vermelha se intercalam da seguinte forma:
1. Os pontos F, M, H, J, .... da série vermelha dividem os segmentos AD, DF, FH... da série azul pela metade.
8. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ÁUREO DE BASE 8 CM E INSCREVER NELE UMA ESPIRAL
Seja um pentágono inscrito em uma circunferência de diâmetro AB. Considerando as diagonais FHI do pentágono, obtemos um triângulo áureo.
BIBLIOGRAFIA
BRAGA, Theodoro . Desenho Linear Geom ét rico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.
HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção - Um Ensaio sobre a Beleza na M at em át ica. Brasília : Editora Universidade de Brasília, 1985. 178p.
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