Otimização Contínua: Aspectos teóricos e computacionais

Otimizac¸ ˜ao Cont´ınua: Aspectos te ´oricos e computacionais

Ademir Alves Ribeiro

Elizabeth Wegner Karas

1

Conjuntos convexos

Conjunto convexo

Definicao

Um conjunto

C

⊂ R

n

´e dito convexo quando dados

x

,y ∈ C

, o segmento

[x,y] = {(1 −t)x +ty | t ∈ [0,1]}

estiver inteiramente contido em

C.

x

y

Conjunto convexo

x

y

Conjunto convexo

Definicao

Um conjunto

C

⊂ R

n

´e dito convexo quando dados

x

,y ∈ C

, o segmento

[x,y] = {(1 −t)x +ty | t ∈ [0,1]}

estiver inteiramente contido em

C.

x

y

Conjunto convexo

x

y

Conjunto convexo

Definicao

Um conjunto

C

⊂ R

n

´e dito convexo quando dados

x

,y ∈ C

, o segmento

[x,y] = {(1 −t)x +ty | t ∈ [0,1]}

estiver inteiramente contido em

C.

x

y

Conjunto convexo

x

y

Conjunto convexo

Exemplo

Sejam

Ci,

i

= 1,...,m

conjuntos convexos.

O conjunto intersec¸ ˜ao

C

=

m

\

i

=1

Ci

tamb ´em ´e convexo.

Por outro lado, a uni ˜ao de convexos n ˜ao ´e convexa.

Conjunto convexo

Exemplo

Sejam

Ci,

i

= 1,...,m

conjuntos convexos.

O conjunto intersec¸ ˜ao

C

=

m

\

i

=1

Ci

tamb ´em ´e convexo.

Por outro lado, a uni ˜ao de convexos n ˜ao ´e convexa.

Conjunto convexo

Exemplo

O conjunto soluc¸ ˜ao de um sistema de equac¸ ˜oes lineares ´e convexo.

De fato:

Seja

C

= {x ∈ R

n

| Ax = b}

.

Projec¸ ˜ao de um ponto sobre um conjunto

Lema

Seja

S

⊂ R

n

um conjunto fechado n ˜ao vazio. Dado

z

∈ R

n

, existe

¯z

∈ S

tal que, para todo

x

∈ S

,

kz − ¯zk ≤ kz − xk.

z

S

projS(z)

Projec¸ ˜ao de um ponto sobre um conjunto

Lema

Seja

S

⊂ R

n

um conjunto fechado n ˜ao vazio. Dado

z

∈ R

n

, existe

¯z

∈ S

tal que, para todo

x

∈ S

,

kz − ¯zk ≤ kz − xk.

z

S

Projec¸ ˜ao de um ponto sobre um conjunto

Lema

Seja

S

⊂ R

n

um conjunto fechado n ˜ao vazio. Dado

z

∈ R

n

, existe

¯z

∈ S

tal que, para todo

x

∈ S,

kz − ¯zk ≤ kz − xk.

z

S

Unicidade da projec¸ ˜ao de um ponto sobre um conjunto

Lema

Seja

S

⊂ R

n

um conjunto n ˜ao vazio,

convexo e fechado. Dado

z

∈ R

n

,

existe um

´unico

¯z

∈ S

tal que

kz − ¯zk2

≤ kz − xk2,

para todo

x

∈ S

.

z

S

projS(z)

Convexidade

Teorema

Sejam

S

⊂ R

n

um conjunto n ˜ao vazio, convexo e fechado,

z

∈ R

n

e

¯z

= projS(z). Ent ˜ao

(z − ¯z)

T

_{(x − ¯z) ≤ 0,}

para todo

x

∈ S

.

z

S

proj

S

(z)

x

Convexidade

Vale a rec´ıproca

Sejam

S

⊂ R

n

um conjunto n ˜ao vazio, convexo e fechado e

z

∈ R

n

. Se

¯z

∈ S

satisfaz

(z − ¯z)

T

_{(x − ¯z) ≤ 0,}

para todo

x

∈ S

, ent ˜ao

¯z

= proj

S

(z)

.

z

S

proj

S

(z)

x

Minimizac¸ ˜ao em convexos e fechados

Teorema

Sejam

f

: R

n

_{→ R}

_{uma func¸ ˜ao diferenci ´avel e}

_C

_{⊂ R}

n

_{convexo e}

fechado. Se

x

∗

∈ C

´e minimizador local de

f

em

C, ent ˜ao

proj

_C

x

∗

− α∇ f (x

∗

)

= x

∗

,

para todo

α

≥ 0

.

C

x

Minimizac¸ ˜ao em convexos e fechados

Teorema

Sejam

f

_{: R}

n

→ R

uma func¸ ˜ao diferenci ´avel e

C

⊂ R

n

convexo e

fechado. Se

x

∗

∈ C

´e minimizador local de

f

em

C, ent ˜ao

proj

C

x

∗

− α∇ f (x

∗

)

= x

∗

_,

para todo

α

≥ 0

.

C

x

−∇f

Func¸ ˜ao convexa

Seja

C

⊂ R

n

um conjunto convexo. Uma func¸ ˜ao

f

_{: R}

n

→ R

´e convexa em

C

quando, para todos

x

,y ∈ C

e

t

∈ [0,1]

,

Func¸ ˜ao convexa

Seja

C

⊂ R

n

um conjunto convexo. Uma func¸ ˜ao

f

_{: R}

n

→ R

´e convexa em

C

quando, para todos

x

,y ∈ C

e

t

∈ [0,1]

,

f

(1 −t)x +ty

≤ (1 −t) f (x) +t f (y).

Func¸ ˜ao convexa

Seja

C

⊂ R

n

um conjunto convexo. Uma func¸ ˜ao

f

_{: R}

n

→ R

´e convexa em

C

quando, para todos

x

,y ∈ C

e

t

∈ [0,1]

,

f

(1 −t)x +ty

≤ (1 −t) f (x) +t f (y).

Func¸ ˜ao convexa

Seja

C

⊂ R

n

um conjunto convexo. Uma func¸ ˜ao

f

_{: R}

n

→ R

´e convexa em

C

quando, para todos

x

,y ∈ C

e

t

∈ [0,1]

,

f

(1 −t)x +ty

≤ (1 −t) f (x) +t f (y).

x

y

f(x)

f(y)

Func¸ ˜ao convexa

Seja

C

⊂ R

n

um conjunto convexo. Uma func¸ ˜ao

f

_{: R}

n

→ R

´e convexa em

C

quando, para todos

x

,y ∈ C

e

t

∈ [0,1]

,

f

(1 −t)x +ty

≤ (1 −t) f (x) +t f (y).

x

y

f(x)

f(y)

Func¸ ˜ao convexa

Seja

C

⊂ R

n

um conjunto convexo. Uma func¸ ˜ao

f

_{: R}

n

→ R

´e convexa em

C

quando, para todos

x

,y ∈ C

e

t

∈ [0,1]

,

f

(1 −t)x +ty

≤ (1 −t) f (x) +t f (y).

x

y

f(x)

f(y)

(1 −t)x + ty

f

¡

(1 −t)x + ty

¢

Func¸ ˜ao convexa

Seja

C

⊂ R

n

um conjunto convexo. Uma func¸ ˜ao

f

_{: R}

n

→ R

´e convexa em

C

quando, para todos

x

,y ∈ C

e

t

∈ [0,1]

,

f

(1 −t)x +ty

≤ (1 −t) f (x) +t f (y).

x

y

f(x)

f(y)

(1 −t)x + ty

f

¡

(1 −t)x + ty

¢

(1 −t)f(x) + tf(y)

Func¸ ˜ao convexa

Seja

C

⊂ R

n

um conjunto convexo. Uma func¸ ˜ao

f

_{: R}

n

→ R

´e convexa em

C

quando, para todos

x

,y ∈ C

e

t

∈ [0,1]

,

f

(1 −t)x +ty

≤ (1 −t) f (x) +t f (y).

x

_(1−t)x+ty

_y

f(x)

f(y)

f

¡

(1−t)x+ty

¢

(1−t)f(x)+tf(y)

Func¸ ˜ao convexa

Exemplos de func¸ ˜oes convexas

f

_{: R → R}

f

(x) = x

2

.

Func¸ ˜ao convexa

Exemplos de func¸ ˜oes convexas

f

_{: R → R}

f

(x) = x

2

.

f

(x) = e

x

.

Func¸ ˜ao convexa

Teorema

Sejam

C

⊂ R

n

convexo e

f

: C

→ R

uma func¸ ˜ao convexa.

Se

x

∗

∈ C

´e

minimizador local

de

f

, ent ˜ao

Func¸ ˜ao convexa diferenci ´avel

Teorema

Sejam

f

_{: R}

n

→ R

uma func¸ ˜ao diferenci ´avel e

C

⊂ R

n

convexo. A func¸ ˜ao

f

´e

convexa em

C

se, e somente se, para todos

x

,y ∈ C

,

f

(y) ≥ f (x) + ∇ f (x)

T

(y − x).

Func¸ ˜ao convexa diferenci ´avel

Corol ´ario

Sejam

f

_{: R}

n

→ R

uma func¸ ˜ao convexa, diferenci ´avel e

C

⊂ R

n

convexo. Se

∇ f

(x

∗

)

T

(y − x

∗

) ≥ 0

, para todo

y

∈ C

, ent ˜ao

x

∗

´e um minimizador global de

f

em

C. Em particular,

todo ponto estacion ´ario ´e minimizador global.

C

x

∗

_∇f

y

Hip ´oteses satisfeitas

C

¯x

∇f

y

Func¸ ˜ao convexa diferenci ´avel

Corol ´ario

Sejam

f

_{: R}

n

→ R

uma func¸ ˜ao convexa, diferenci ´avel e

C

⊂ R

n

convexo. Se

∇ f

(x

∗

)

T

(y − x

∗

) ≥ 0

, para todo

y

∈ C

, ent ˜ao

x

∗

´e um minimizador global de

f

em

C. Em particular,

todo ponto estacion ´ario ´e minimizador global.

C

x

∗

_∇f

y

Hip ´oteses satisfeitas

C

¯x

∇f

y

Func¸ ˜ao convexa diferenci ´avel

Corol ´ario

Sejam

f

_{: R}

n

→ R

uma func¸ ˜ao convexa, diferenci ´avel e

C

⊂ R

n

convexo. Se

∇ f

(x

∗

)

T

(y − x

∗

) ≥ 0

, para todo

y

∈ C

, ent ˜ao

x

∗

´e um minimizador global de

f

em

C. Em particular,

todo ponto estacion ´ario ´e minimizador global.

C

x

∗

_∇f

y

Hip ´oteses satisfeitas

C

¯x

∇f

y

Func¸ ˜ao convexa diferenci ´avel

Teorema

Sejam

f

_{: R}

n

→ R

uma func¸ ˜ao convexa diferenci ´avel e

C

⊂ R

n

convexo e

fechado. Se

proj

C

x

∗

− ∇ f (x

∗

)

= x

∗

_,

ent ˜ao

x

∗

∈ C

´e minimizador global

de

f

em

C.

Func¸ ˜ao convexa de classe

C

2

Teorema

Sejam

f

_{: R}

n

→ R

uma func¸ ˜ao de classe

_C

2

e

C

⊂ R

n

convexo.

(i)

Se

∇

2

f

(x) ≥ 0

, para todo

x

∈ C

, ent ˜ao

f

´e convexa em

C.

Principais refer ˆencias

D. P. Bertsekas, A. Nedi

c

´

, and A. E. Ozdaglar.

Convex Analysis and Optimization.

Athena Scientific, Belmont, USA, 2003.

J-B. Hiriart-Urruty and C. Lemarechal.

Convex Analysis and Minimization Algorithms I.

Springer-Verlag, New York, 1993.

A. L. Peressini, F. E. Sullivan, and Jr J. J. Uhl.

The Mathematics of Nonlinear Programming.