Cilindros
Geometria Anal´ıtica - Qu ´adricas
Elizabeth Wegner Karas
Ademir Alves Ribeiro
1
Elips ´oide
2
Hiperbol ´oides
3
Parabol ´oides
Cilindros
Elips ´oide: gr ´afico e equac¸ ˜ao
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
−
k
2
a
2
x
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
−
k
2
a
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
0
x
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
−
k
2
c
2
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
−
k
2
c
2
z
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
0
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
Cilindros
Curvas de n´ıvel em
IR
3
e em
IR
2
As curvas de n´ıvel s ˜ao elipses para todo
k
∈
(
−
c
,
c
)
, um ponto
Equac¸ ˜ao geral de um hiperbol ´oide
Equac¸ ˜ao geral
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
α
α
=
1
: hiperbol ´oide de uma folha
α
=
−
1
: hiperbol ´oide de duas folhas
Cilindros Cone
Equac¸ ˜ao geral de um hiperbol ´oide
Equac¸ ˜ao geral
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
α
α
=
1
: hiperbol ´oide de uma folha
α
=
−
1
: hiperbol ´oide de duas folhas
Equac¸ ˜ao geral de um hiperbol ´oide
Equac¸ ˜ao geral
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
α
α
=
1
: hiperbol ´oide de uma folha
α
=
−
1
: hiperbol ´oide de duas folhas
Cilindros Cone
Equac¸ ˜ao geral de um hiperbol ´oide
Equac¸ ˜ao geral
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
α
α
=
1
: hiperbol ´oide de uma folha
α
=
−
1
: hiperbol ´oide de duas folhas
Hiperbol ´oide de uma folha: gr ´afico e equac¸ ˜ao
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
1
−
k
2
a
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
1
−
k
2
a
2
x
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
0
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
−
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
k
2
a
2
−
1
x
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
−
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
k
2
a
2
−
1
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
+
k
2
c
2
z
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
+
k
2
c
2
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
+
k
2
c
2
z
=
k
Cilindros Cone
Curvas de n´ıvel em
IR
3
e em
IR
2
Hiperbol ´oide de duas folhas: gr ´afico e equac¸ ˜ao
−
x
2
a
2
−
y
2
b
2
+
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
−
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
+
k
2
a
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
−
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
+
k
2
a
2
x
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
−
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
+
k
2
a
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
−
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
+
k
2
a
2
x
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
k
2
c
2
−
1
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
k
2
c
2
−
1
z
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
0
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
k
2
c
2
−
1
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
k
2
c
2
−
1
z
=
k
Cilindros Cone
Curvas de n´ıvel em
IR
3
e em
IR
2
As curvas de n´ıvel s ˜ao elipses para todo
k
<
−
c
ou
k
>
c
, um
Cone: gr ´afico e equac¸ ˜ao
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
−
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
k
2
a
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
0
x
=
0
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
−
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
k
2
a
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
−
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
k
2
a
2
x
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
k
2
c
2
z
=
k
Cilindros Cone
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
0
z
=
0
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
k
2
c
2
z
=
k
Cilindros Cone
Curvas de n´ıvel em
IR
3
e em
IR
2
As curvas de n´ıvel s ˜ao elipses para todo
k
6
=
0
e um ponto para
Parabol ´oide el´ıptico: gr ´afico e equac¸ ˜ao
z
=
x
2
a
2
+
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
z
=
k
2
a
2
+
y
2
b
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
z
=
k
2
a
2
+
y
2
b
2
x
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
z
=
k
2
a
2
+
y
2
b
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
z
=
k
2
a
2
+
y
2
b
2
x
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
0
z
=
0
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
k
z
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
k
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
k
z
=
k
Cilindros
Curvas de n´ıvel em
IR
3
e em
IR
2
As curvas de n´ıvel s ˜ao elipses para todo
k
>
0
, um ponto para
Parabol ´oide hiperb ´olico (sela): gr ´afico e equac¸ ˜ao
z
=
x
2
a
2
−
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
z
=
k
2
a
2
−
y
2
b
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
z
=
k
2
a
2
−
y
2
b
2
x
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
z
=
k
2
a
2
−
y
2
b
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
z
=
k
2
a
2
−
y
2
b
2
x
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
z
=
x
2
a
2
−
k
2
b
2
y
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
z
=
x
2
a
2
−
k
2
b
2
y
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
z
=
x
2
a
2
−
k
2
b
2
y
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
−
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
−
k
z
=
k
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
−
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
−
k
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
0
z
=
0
Cilindros
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
k
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
k
z
=
k
Cilindros
Curvas de n´ıvel em
IR
3
e em
IR
2
As curvas de n´ıvel s ˜ao hip ´erboles para todo
k
6
=
0
e duas retas
Cilindro el´ıptico: gr ´afico e equac¸ ˜ao
x
2
a
2
+
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
b
2
=
1
−
k
2
a
2
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
=
0
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
z
=
k
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
z
=
k
Curvas de n´ıvel em
IR
3
e em
IR
2
Cilindros Cilindro parab ´olico
Cilindro hiperb ´olico: gr ´afico e equac¸ ˜ao
x
2
a
2
−
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
b
2
=
k
2
a
2
−
1
x
=
k
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
=
0
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
b
2
=
k
2
a
2
−
1
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
x
2
a
2
=
1
+
k
2
b
2
y
=
k
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
z
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
z
=
k
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
z
=
k
Curvas de n´ıvel em
IR
3
e em
IR
2
Cilindros Cilindro parab ´olico
Cilindro parab ´olico: gr ´afico e equac¸ ˜ao
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
=
−
2
pk
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
2
=
−
2
pk
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
y
=
0
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
x
=
k
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
−
2
px
=
k
2
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
−
2
px
=
k
2
Intersec¸ ˜ao com planos verticais:
y
=
k
−
2
px
=
k
2
Cilindros Cilindro parab ´olico
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
y
2
=
−
2
px
Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:
z
=
k
y
2
=
−
2
px
Cilindros Cilindro parab ´olico
