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Geometria Anal´ıtica - Qu ´adricas

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Academic year: 2019

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(1)

Cilindros

Geometria Anal´ıtica - Qu ´adricas

Elizabeth Wegner Karas

Ademir Alves Ribeiro

(2)

1

Elips ´oide

2

Hiperbol ´oides

3

Parabol ´oides

(3)

Cilindros

Elips ´oide: gr ´afico e equac¸ ˜ao

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

(4)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

1

k

2

a

2

x

=

k

(5)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

1

k

2

a

2

x

=

k

(6)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

0

x

=

k

(7)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

(8)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

(9)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

k

2

c

2

z

=

k

(10)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

k

2

c

2

z

=

k

(11)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

0

z

=

k

(12)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

(13)

Cilindros

Curvas de n´ıvel em

IR

3

e em

IR

2

As curvas de n´ıvel s ˜ao elipses para todo

k

(

c

,

c

)

, um ponto

(14)

Equac¸ ˜ao geral de um hiperbol ´oide

Equac¸ ˜ao geral

x

2

a

2

+

y

2

b

2

z

2

c

2

=

α

α

=

1

: hiperbol ´oide de uma folha

α

=

1

: hiperbol ´oide de duas folhas

(15)

Cilindros Cone

Equac¸ ˜ao geral de um hiperbol ´oide

Equac¸ ˜ao geral

x

2

a

2

+

y

2

b

2

z

2

c

2

=

α

α

=

1

: hiperbol ´oide de uma folha

α

=

1

: hiperbol ´oide de duas folhas

(16)

Equac¸ ˜ao geral de um hiperbol ´oide

Equac¸ ˜ao geral

x

2

a

2

+

y

2

b

2

z

2

c

2

=

α

α

=

1

: hiperbol ´oide de uma folha

α

=

1

: hiperbol ´oide de duas folhas

(17)

Cilindros Cone

Equac¸ ˜ao geral de um hiperbol ´oide

Equac¸ ˜ao geral

x

2

a

2

+

y

2

b

2

z

2

c

2

=

α

α

=

1

: hiperbol ´oide de uma folha

α

=

1

: hiperbol ´oide de duas folhas

(18)

Hiperbol ´oide de uma folha: gr ´afico e equac¸ ˜ao

x

2

a

2

+

y

2

b

2

(19)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

z

2

c

2

=

1

k

2

a

2

x

=

k

(20)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

z

2

c

2

=

1

k

2

a

2

x

=

k

(21)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

z

2

c

2

=

0

x

=

k

(22)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

k

2

a

2

1

x

=

k

(23)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

k

2

a

2

1

x

=

k

(24)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

(25)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

(26)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

+

k

2

c

2

z

=

k

(27)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

+

k

2

c

2

z

=

k

(28)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

+

k

2

c

2

z

=

k

(29)

Cilindros Cone

Curvas de n´ıvel em

IR

3

e em

IR

2

(30)

Hiperbol ´oide de duas folhas: gr ´afico e equac¸ ˜ao

x

2

a

2

y

2

b

2

+

(31)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

1

+

k

2

a

2

x

=

k

(32)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

1

+

k

2

a

2

x

=

k

(33)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

1

+

k

2

a

2

x

=

k

(34)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

1

+

k

2

a

2

x

=

k

(35)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

(36)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

(37)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

2

c

2

1

z

=

k

(38)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

2

c

2

1

z

=

k

(39)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

0

z

=

k

(40)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

(41)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

2

c

2

1

z

=

k

(42)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

2

c

2

1

z

=

k

(43)

Cilindros Cone

Curvas de n´ıvel em

IR

3

e em

IR

2

As curvas de n´ıvel s ˜ao elipses para todo

k

<

c

ou

k

>

c

, um

(44)

Cone: gr ´afico e equac¸ ˜ao

x

2

a

2

+

y

2

b

2

(45)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

k

2

a

2

x

=

k

(46)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

z

2

c

2

=

0

x

=

0

(47)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

k

2

a

2

x

=

k

(48)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

k

2

a

2

x

=

k

(49)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

(50)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

2

c

2

z

=

k

(51)

Cilindros Cone

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

0

z

=

0

(52)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

2

c

2

z

=

k

(53)

Cilindros Cone

Curvas de n´ıvel em

IR

3

e em

IR

2

As curvas de n´ıvel s ˜ao elipses para todo

k

6

=

0

e um ponto para

(54)

Parabol ´oide el´ıptico: gr ´afico e equac¸ ˜ao

z

=

x

2

a

2

+

(55)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

z

=

k

2

a

2

+

y

2

b

2

x

=

k

(56)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

z

=

k

2

a

2

+

y

2

b

2

x

=

k

(57)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

z

=

k

2

a

2

+

y

2

b

2

x

=

k

(58)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

z

=

k

2

a

2

+

y

2

b

2

x

=

k

(59)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

(60)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

(61)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

0

z

=

0

(62)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

z

=

k

(63)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

z

=

k

(64)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

z

=

k

(65)

Cilindros

Curvas de n´ıvel em

IR

3

e em

IR

2

As curvas de n´ıvel s ˜ao elipses para todo

k

>

0

, um ponto para

(66)

Parabol ´oide hiperb ´olico (sela): gr ´afico e equac¸ ˜ao

z

=

x

2

a

2

(67)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

z

=

k

2

a

2

y

2

b

2

x

=

k

(68)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

z

=

k

2

a

2

y

2

b

2

x

=

k

(69)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

z

=

k

2

a

2

y

2

b

2

x

=

k

(70)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

z

=

k

2

a

2

y

2

b

2

x

=

k

(71)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

z

=

x

2

a

2

k

2

b

2

y

=

k

(72)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

z

=

x

2

a

2

k

2

b

2

y

=

k

(73)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

z

=

x

2

a

2

k

2

b

2

y

=

k

(74)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

z

=

k

(75)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

k

z

=

k

(76)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

y

2

b

2

=

0

z

=

0

(77)

Cilindros

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

y

2

b

2

=

k

z

=

k

(78)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

y

2

b

2

=

k

z

=

k

(79)

Cilindros

Curvas de n´ıvel em

IR

3

e em

IR

2

As curvas de n´ıvel s ˜ao hip ´erboles para todo

k

6

=

0

e duas retas

(80)

Cilindro el´ıptico: gr ´afico e equac¸ ˜ao

x

2

a

2

+

(81)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

=

1

k

2

a

2

x

=

k

(82)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

=

0

(83)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

(84)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

(85)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

z

=

k

(86)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

z

=

k

(87)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

z

=

k

(88)

Curvas de n´ıvel em

IR

3

e em

IR

2

(89)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Cilindro hiperb ´olico: gr ´afico e equac¸ ˜ao

x

2

a

2

(90)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

=

k

2

a

2

1

x

=

k

(91)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

=

0

(92)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

(93)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

b

2

=

k

2

a

2

1

x

=

k

(94)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

x

2

a

2

=

1

+

k

2

b

2

y

=

k

(95)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

y

2

b

2

=

1

z

=

k

(96)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

y

2

b

2

=

1

z

=

k

(97)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

x

2

a

2

y

2

b

2

=

1

z

=

k

(98)

Curvas de n´ıvel em

IR

3

e em

IR

2

(99)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Cilindro parab ´olico: gr ´afico e equac¸ ˜ao

(100)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

=

2

pk

(101)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

2

=

2

pk

(102)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

y

=

0

(103)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

x

=

k

(104)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

2

px

=

k

2

(105)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

2

px

=

k

2

(106)

Intersec¸ ˜ao com planos verticais:

y

=

k

2

px

=

k

2

(107)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

y

2

=

2

px

(108)

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

y

2

=

2

px

(109)

Cilindros Cilindro parab ´olico

Intersec¸ ˜ao com planos horizontais:

z

=

k

y

2

=

2

px

(110)

Curvas de n´ıvel em

IR

3

e em

IR

2

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