Eixo Temático: (E1 - Avaliação)
COMPREENDER NO SENTIDO QUE CONCEPÇÕES DE ÁLGEBRA SURGEM EM QUESTÕES DAS MACROAVALIAÇOES: ENEM 2011
Daniela Shizuka Saito – UFABC – SP (daniela.saito@aluno.ufabc.edu.br) Debora da Silva Souza – UFABC – SP (deborasou.za@hotmail.com) Regina Lucia da Silva - UFABC – SP (regiluciasilva@hotmail.com) Prof. Dr Francisco José Brabo Bezerra – UFABC – SP (francisco.bezerra@ufabc.edu.br)
Resumo: Neste artigo, descrevemos um estudo sobre questões de matemática ENEM 2011 que se situam no campo da Álgebra. Esse trabalho é parte dos estudos realizados no projeto Observatório da Educação da UFABC visando investigar os conhecimentos algébricos desenvolvidos por professores, ao ensinar álgebra na Educação Básica, utilizando-se de uma abordagem de ensino baseada em perfis conceituais. Apresentamos o referencial teórico, que envolve diferentes Concepções de Álgebra. Adota-se uma abordagem qualitativa, cuja coleta de dados se apoia em documentos oficiais e as análises têm por base as Concepções de Álgebra de Usiskin (1995), Lee (2001), Fiorentini, Miorin e Miguel (1993), Lins e Gimenez (1997). Os resultados preliminares dessa pesquisa apontam que as concepções mais frequentes são as de Usiskin (1995).
Palavras-chave: Concepções. Álgebra. Ensino. Educação Matemática.
Introdução
Quando se verifica os resultados de macro avaliações como a Prova Brasil e o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) mostram um movimento crescente em relação ao desempenho dos estudantes em Matemática. Segundo Ribeiro (2012), apesar, desta evolução positiva, com relação no desempenho das notas, ainda não devemos considerar um progresso para a Educação Brasileira. Pois, existem várias lacunas relacionadas às competências matemáticas que os estudantes não desenvolveram. Portanto, há uma necessidade em colaborar na construção destes conhecimentos matemáticos, que ainda não foram adquiridos pelos estudantes. Ribeiro (2012) relata que, um dos campos da matemática que possui deficiência está na Álgebra. Partindo deste aspecto, Ribeiro (2012) elabora o projeto do Observatório da Educação (aprovado
pela CAPES em 2013) da UFABC com um olhar voltado para os conhecimentos algébricos dos alunos e dos professores. Este projeto nos auxiliará na coleta de dados.
A construção deste artigo tem início com estudos realizados no projeto de pesquisa denominado “Conhecimento Matemático para o Ensino de Álgebra: Uma Abordagem baseada em Perfis Conceituais”, coordenado pelo Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro. Este projeto tem como objetivo geral investigar os conhecimentos algébricos desenvolvidos por professores, ao ensinar Álgebra na Educação Básica, utilizando-se de uma abordagem de ensino baseada em perfis conceituais.
O projeto toma, como ponto de partida, elementos teóricos que envolvem o Conhecimento Matemático para o Ensino (CME) (BALL; THAMES; PHESPS, 2008) e de Perfil Conceitual (PC) (MORTIMER, 1994). Ribeiro (2013) descreve o modelo teórico Perfil Conceitual citado por Mortimer (1994) sendo: “Segundo esse modelo, conceitos polissêmicos permitem a elaboração de perfis conceituais, os quais são compostos de diferentes zonas, que correspondem a diferentes formas de ver, representar e significar o mundo”.
A equipe que compõe este projeto do observatório está dividida em três subgrupos, no caso, o subgrupo que elaborou este artigo, ficou destinado à análise da avaliação de matemática ENEM 2011. Destacamos que, os resultados apresentados neste artigo são preliminares e que neste primeiro momento de estudos, o nosso objetivo buscou analisar questões de matemática ENEM 2011 que estão no campo da álgebra, pretendendo dessa forma, uma contribuição para melhor entendimento sobre as Concepções de Álgebra.
No processo de análise estudamos várias Concepções de Álgebra. Mas, para o presente trabalho vamos destacar as Concepções que abrangem as questões selecionadas para apresentar este artigo. Por isso, consideramos as leituras dos textos de Usiskin (1995), que considera quatro concepções; Lee (2001) apresenta seis concepções; Lins e Gimenez (1997) três concepções; Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) defendem quatro concepções.
Para guiar o nosso primeiro momento de trabalho surgiu a seguinte questão norteadora: Quais as questões do ENEM 2011 estão contidas no campo da Álgebra?
Ao fazermos alguns levantamentos teóricos sobre as Concepções de Álgebra, verificamos que aparecem várias concepções que envolvem este tema. Com isto, reflexões surgiram sobre a relevância de compreender estes significados e, assim,
colaborar com a abordagem do projeto do observatório que está com base no modelo de perfis conceituais.
Desta forma, acreditamos ter subsídios para gerar e desenvolver atividades matemáticas que considerem diversas concepções de Álgebra aplicadas nos ensinos fundamental e médio. Pois, uma das propostas do OBEDUC será produzir produtos e materiais de cunho pedagógico e curricular para a formação inicial e continuada de professores.
Revisão de literatura
Levando-se em conta a divulgação dos resultados do Enem (2011), ainda que os índices apontem para um crescimento no desempenho dos estudantes, identifica-se uma grande lacuna na formação desses alunos em Matemática. No caso especifico da Álgebra, a partir dos resultados apresentados pelo Instituto de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), observa-se que os estudantes não dominam competências como (1) identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema; (2) resolver equações do 1º grau com uma incógnita; (3) resolver problemas que envolvam equação do 2º grau; (4) identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau; (5) identificar, em um gráfico de função, o comportamento de crescimento/decrescimento; (6) identificar o gráfico de uma reta dada sua equação; dentre outras.
Numa perspectiva de superar tais deficiências, uma vez que a Álgebra, assim como a Matemática, pode ser mais e melhor explorada quando seus significados são articulados com outras áreas do conhecimento (KILPATRICK, HOYLES, SKOVSMOSE, 2005), este artigo que é uma das facetas do OBEDUC foi buscar compreender o que foi o Enem 2011 e no que se diz respeito à álgebra quais foram as habilidades cobradas no exame. Sendo assim nossa revisão bibliográfica nos mostrou que o Enem Exame Nacional do Ensino Médio, criado em 1998 tem o objetivo de avaliar o desempenho do estudante ao fim da escolaridade básica. Podem participar do exame alunos que estão concluindo ou que já concluíram o ensino médio em anos anteriores. Além disso, o Enem é utilizado como critério de seleção para os estudantes que pretendem concorrer a uma bolsa no Programa Universidade para Todos (ProUni) e também cerca de 500 universidades já usam o resultado do exame como critério de
seleção para o ingresso no ensino superior, seja complementando ou substituindo o vestibular.
Sendo assim podemos ver a importância de tal exame, fomos buscar quais habilidades são avaliadas no exame no que se diz respeito à álgebra e encontramos tais habilidades nas matrizes de referência do exame:
H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Tais habilidades se encontram na Competência de área 5 que espera que o aluno possa modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
Após identificar tais questões do exame fomos buscar um suporte teórico que nos trouxesse as diferentes concepções de álgebra que estavam envolvidas nas questões analisadas.
No texto Álgebra na Escola Básica e os Papéis das Variáveis (Adaptado de Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis) Zalman Usiskin (1995) traz a ideia de o conceito de variável é multifacetado e isso não nos permite reduzir a álgebra ao estudo das variáveis apenas. Para ele, em álgebra não há uma única concepção para variável. Então o autor nos traz quatro diferentes concepções:
Concepção 1: a álgebra como aritmética generalizada - As ações importantes para o estudante da escola básica são as de traduzir e generalizar.
Concepção 2: a álgebra como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas - Para armar uma equação, devemos raciocinar exatamente de maneira oposta à que empregaríamos para resolver o problema aritmeticamente, as instruções chaves são simplificar e resolver. O aluno precisa dominar não apenas a capacidade de equacionar os problemas, como também precisa ter habilidades em manejar matematicamente essas equações.
Concepção 3: á álgebra como estudo das relações entre grandezas - Aqui as variáveis realmente variam, o modelo é fundamentalmente algébrico e as variáveis são diferentes do argumento como, por exemplo, a equação de uma reta.
Concepção 4: a álgebra como estudo das estruturas - Nesse caso temos os produtos notáveis, fatoração, operações com monômios e polinômios e as instruções chaves são manipular e justificar.
Lesley Lee em seu texto An Initiation Into Algebraic Culture Through Generalization Activities “uma iniciação a cultura algébrica por meio de atividades que envolvam generalizações” nos traz a relevância na introdução de álgebra utilizar generalização em atividades, ela afirma que, álgebra é uma mini cultura dentro da cultura da matemática. Segundo Lee (1996), a álgebra é uma linguagem e quando há interação entre a linguagem e o conhecimento ocorre um gradual processo de aculturação algébrica. Além disso, a álgebra como aritmética.
Lee (1996) enfatiza que ao introduzir álgebra com uma atividade cujo foco seja padrão de generalização, auxilia o aluno a compreender com certo grau de facilidade a tarefa. Além disso, oportuniza o aluno a pensar por si mesmo, construir estratégias de resolução, argumentação, relacionar os conhecimentos, desenvolver uma comunicação e até habilidades técnicas mais rápidas. Portanto, algo que os alunos devem ser ensinados desde o início.
Outro ponto que a autora argumenta no capítulo, é a introdução à álgebra, por meio de funções, resolução de problemas e modelagem de uma maneira mais séria, utilizando a generalização de atividades e, assim, iniciar os alunos na cultura algébrica. Em outro estudo sobre álgebra Lee (2001) contribui para fornecer um modelo sobre visões sobre as concepções de álgebra, destacando a Álgebra como Linguagem, como Caminho de Pensamento, como Atividade, como Ferramenta, como Generalização de Aritmética e novamente como cultura.
A princípio em Contribuição para um repensar... a Educação Algébrica Elementar(1993) os autores trazem algumas concepções sobre álgebra através do desenvolvimento histórico da mesma, como Aritmética universal ou generalizada vista como uma tendência tradicional ou uma tendência moderna a qual a Álgebra consiste em um sistema simbólico postulacional, isto é, um sistema cujos símbolos e regras operatórias sobre eles são de natureza essencialmente arbitrária, sujeitos apenas à exigência de consistência interna (Kieran, 1990:97; Boyer 1974:420 e 428)
Uma segunda leitura do desenvolvimento da álgebra vai se apoiar na contribuição das diversas culturas à constituição desse campo de conhecimento, uma terceira leitura muito frequentemente usada nos manuais de história da Matemática, é aquela que distingue três momentos no desenvolvimento da Álgebra em função das fases evolutivas da linguagem algébrica: a retórica ou verbal, a sincopada e a simbólica. A partir disso, uma quarta leitura desse desenvolvimento da Álgebra assenta-se não mais nos aspectos exteriores da linguagem algébrica, isto é, no seu maior ou menor grau de concisão, mas na significação que é atribuída aos símbolos desta linguagem e, por fim, uma quinta e última leitura do desenvolvimento da Álgebra na história é aquela que toma como critério os métodos de abordagem daquilo que, por um longo tempo, constituiu o objeto e o objetivo da Álgebra: a resolução de equações.
Após isso os autores trazem algumas concepções de Álgebra a primeira chamou de processo lógica, esta encara a Álgebra como um conjunto de procedimentos (técnicas, artifícios, processos e métodos) específicos para abordar certos tipos de problemas, essa concepção não é exclusivamente linguística, pois não relaciona a existência de um pensamento algébrico à necessidade de existência de uma forma especifica. A segunda concepção foi chamada de linguístico-estilística, pois denomina a Álgebra como uma linguagem, criada com o propósito de expressar concisamente os procedimentos citados anteriormente.
A terceira concepção foi chamada de linguístico-sintático-semântica que é aquela que como a linguístico-estilística concebe a Álgebra como uma linguagem específica e bem delimitada, mas que o poder criativo e instrumental não reside propriamente em seu domínio estilístico, mas em sua dimensão sintático-semântica. Uma quarta e última foi chamada de linguístico-postulacional, é aquela que denomina “a Álgebra como a ciências das estruturas gerais comuns a todas as partes da Matemática, incluindo a Lógica” (Piaget e Garcia, 1987:163), essa concepção estende o domínio da Álgebra a todos os campos da Matemática.
Então os autores antes de iniciar a discussão sobre as concepções de Educação Algébrica, colocam uma questão: em que medida se relacionam as concepções dominantes de Educação Algébrica que se manifestaram ao longo da história da Educação Matemática elementar com as concepções mais frequentes de Álgebra? E trazem as seguintes concepções:
Linguístico-pragmática: onde prevalece a crença de que a aquisição, ainda que mecânica, das técnicas requeridas pelo “transformismo algébrico” seria necessária e suficiente para que o aluno adquirisse a capacidade de resolver problemas, ainda que esses problemas fossem, quase sempre, artificiais, no sentido de que não era a natureza e relevância deles que determinariam os conteúdos algébricos a serem aprendidos, mas a forma como “fabricar” um problema para cuja solução tais e tais tópicos, tidos como indispensáveis, deveriam ser utilizados.
Fundamentalista-estrutural: a introdução de propriedades estruturais das operações, que justificassem logicamente cada passagem presente no transformismo algébrico, capacitaria o estudante a identificar e aplicar essas estruturas nos diferentes contextos em que estivessem subjacentes. Isto traria como consequência uma reorganização dos tópicos algébricos (expressões algébricas, valores numéricos, operações, fatoração). Fundamentalista-analógica: tenta efetuar uma síntese entre as duas anteriores, uma vez que procura, por um lado, recuperar o valor instrumental da Álgebra e, por outro, manter o caráter fundamentalista só que não mais de forma lógico-estrutural de justificação das passagens presentes no transformismo algébrico.
Então finalmente os autores fazem uma comparativa entre essas três ultimas concepções de Educação Algébrica e acreditam ser possível defender a tese de que o ponto comum que na opinião do grupo é didaticamente negativa existente entre elas é a redução do pensamento algébrico à linguagem algébrica.
Os autores Linz e Gimenez (2001) trazem a ideia de que a atividade algébrica é descrita como “fazer ou usar álgebra”. Para eles, dizer que essa atividade algébrica é um cálculo com letras é uma tolice. Os autores corroboram com essa ideia sobre álgebra em um capítulo do livro Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI onde ideia central deste capitulo trazendo a linha de pensamento que atividades algébricas sõ cálculos com letras os autores trazem:
“Não é simplesmente adotar uma caracterização da atividade algébrica com cálculo literal, mas buscar mostrar como uma suposta linha de desenvolvimento histórico da álgebra pode ser retraçada seguindo o desenvolvimento das notações algébricas.” (Lins e Gimenez, 2001, p. 90)
Neste mesmo livro Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI porém na edição de 1997 os autores contribuem com algumas características da
produção de concepções para a Álgebra e a Aritmética. Aqui os autores trazem três concepções sobre a educação algébrica.
Concepção letrista: resume a calculo com letras as atividades ditas algébricas que envolvem atividades baseadas em cálculo com letras, admitindo a sequência técnica-prática (algoritmo – exercícios)
Concepção letrista facilitadora: aqui por meio de trabalho com situações concretas é considerada a capacidade de lidar com expressões algébricas literais alcançada por abstração. As atividades propostas são o uso de áreas para ensinar produtos notáveis, balança de dois pratos para ensinar resolução de equações.
Concepção de modelagem matemática: também apresenta como ponto de partida uma situação concreta, porem com sentido diferente da concepção letrista facilitadora, pois o concreto aqui é visto como real e as atividades proposta são de investigação de situações reais.
Procedimentos metodológicos
Este presente artigo se utiliza de uma metodologia qualitativa (BODGAN; BIDKLEN, 1994), já que requeremos investigar todos os avanços de nosso projeto com riqueza de detalhes. O processo para realizar este trabalho na coleta de dados envolve um estudo documental. Para isso, utilizamos como instrumento de pesquisa a avaliação de matemática ENEM 2011. O primeiro passo foi selecionar as questões que acreditamos estar no campo da Álgebra, no qual encontramos nove questões. O segundo passo tem ênfase nos estudos sobre as Concepções de Álgebra, no qual formamos um conjunto de teorias com seus principais aspectos. Tendo por base, a bibliografia sugerida, a Matriz de Referência e consulta dos Micro dados no INEP do ENEM 2011 fizemos nossas análises. Para analisar as questões que selecionamos utilizamos os seguintes critérios:
Identificamos quais conteúdos algébricos estão presentes nas questões; Verificamos quais habilidades necessárias para a resolução de cada questão; Em cada questão reconhecer qual concepção de Álgebra está envolvida.
Analisando as questões do ENEM 2011 temos como objetivo analisar que conteúdos, habilidades e concepções de álgebra que surgem nesta avaliação. No primeiro momento notamos que das 44 questões que aparecem em Matemática e suas Tecnologias, nove questões faz referência a Álgebra. Para o presente artigo vamos destacar somente três questões da prova Amarela do 2o dia.
Questão 139
Observação
Esta questão abrange o conteúdo algébrico de Função Logarítmica e as propriedades dos Logaritmos que se localizam no Ensino Médio. A questão esta ligada com a Habilidade 21 (Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos). Quanto à concepção de álgebra que caracteriza este item temos a segunda concepção de Usiskin (1995) - Como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a primeira de Fiorentini et al. (1993) - Linguístico-pragmática.
Resolução
Como devemos ter Mw = 7,3, do enunciado vem:
-10,7+ log10 M0 = 7,3 log10 M0 = 7,3 + 10,7 log10 M0 = 18 log10 M0 = log10 M0 = 27 M0 = 1027
Questão 153
Observação
Neste item destacamos o conteúdo algébrico equações e a Habilidade 23 (Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos). No primeiro momento apresenta uma fórmula cuja variável é funcional (altura). A característica desta questão consiste em relacionar conhecimentos matemáticos à realidade cotidiana. Com base na resolução, proporcionara a interpretação de dados. Em relação à concepção de Álgebra temos a terceira concepção de Lins e Gimenez (1997) – Modelagem Matemática, Lee (2001) – Como Atividade e a segunda concepção de Usiskin (1995) - Como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas.
Questão 160
Resolução
Da fórmula do IMC, sendo h a altura, em metros, temos: 20 = h2 = h2 = 30 h = h = 1,7 metros
Da fórmula do IAC, sendo p a porcentagem de gordura corporal, temos:
p = - 18 = - 18 27,25%
Para atingir a normalidade, a jovem deve ter IAC de 26%, logo:
Observação
O conteúdo algébrico abordado faz referência ao conceito de Função Afim. A princípio a questão contempla a linguagem natural e depois a linguagem algébrica. Neste caso, o aluno deverá expressar uma equação para solucionar este item. Leva-se em consideração a Habilidade 5 (Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos). A questão apresenta as concepções de Fiorentini et al. (1993) - Fundamentalista Estrutural e a quarta concepção de Usiskin (1995) - Como estudo das estruturas.
Considerações finais
Este trabalho faz parte de um projeto mais amplo, no qual esta primeira etapa teve por objetivo analisar questões de Matemática ENEM 2011 que estão no campo da Álgebra. Uma característica que podemos citar que, as questões apresentam no seu contexto temas com referências no cotidiano. Quanto a questão de pesquisa, notamos que as Concepções de Álgebra que mais aparecem são as Concepções de Usiskin.
Sendo assim, temos a pretensão de obter subsídios para: compreender o papel de atividades matemáticas que contemplem perfis conceituais de conceitos matemáticos do campo da Álgebra, na formação inicial e/ou continuada dos professores envolvidos
Resolução
Sendo A a primeira empresa e B a segunda, temos:
Para tornar a escolha da empresa indiferente, do ponto de vista econômico, temos:A = B
com/a pesquisa e identificar a mapear os diferentes conhecimentos algébricos que emergem na interação dos professores com as atividades.
Referências
Não utilizar notas de rodapé. As referências bibliográficas devem ficar localizadas ao final do texto, contendo exclusivamente as obras citadas e de acordo com as normas vigentes da ABNT. Os quadros, tabelas, gráficos, figuras (fotografias ou desenhos) devem vir no local de inserção e com indicação de fonte (quando for o caso) .
BALL, D.L. et al. Content knowledge for teaching: What makes it special? In: Journal of Teacher Education, n.59, p. 389-407, 2008.
BOYER, C.B. História da Matemática. São Paulo, Blücher, 1974.
FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Contribuição para um repensar a educação algébrica elementar. Pro-Posições, v.4, n.1 (10), p. 78-91, 1993.
KIERAN, C. Cognitive processes involved in learning school algebra. In: Mathematics and Cognition: a Research Synthesis by the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Cambridge. Cambridge University Press, 1990.
KILPATRICK, J. et al. Meaning in mathematics education. New York: Springer, 2005. LEE, L. Early – but which algebra? The future of the teaching and learning of algebra. ICMI STUDY CONFERENCE, 2001.
____. Approaches to algebra – Perspectives for Research and Teaching. v.18, Kluwer Academic Publishers, London, 1996.
LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997.
__________________. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 2001.
Matriz de Referência ENEM 2011. Disponível em
<http://www.ceps.ufpa.br/daves/PS%202012/PS%202012%20ENEM.pdf>. Acesso em: 06/08/13.
MORTIMER, E.F. Evolução do atomismo em sala de aula: mudanças de perfis conceituais. FE/USP, 281 f., 1994.
PIAGET, J.; REDDEN, E. From number patterns to algebra: the importante link. In: The Australian Mathematics Teacher, 46(2): 19-22, 1990.
Portal INEP. Disponível em < http://portal.inep.gov.br/web/enem/enem >. Acesso em: 12/07/13.
RIBEIRO, A.J. Equação e conhecimento matemático para o ensino: relação e potencialidades para a Educação Matemática. Bolema, n. 26, p. 535-558, 2012. USISKIN, Zalman. Concepções sobre álgebra da escola média e utilização das
variáveis. In: COXFORD, A.F.; SHULTE, A.P. As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995, p. 9-22.
