Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e

Estatística I

Profa. Juliana Freitas Pires

Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB

Modelos de distribuição

• Para utilizar a teoria das probabilidades no

es-tudo de um fenômeno concreto, devemos encon-trar um modelo probabilístico adequado a tal fenômeno. Por modelo probabilístico para uma v.a X entendemos uma forma específica de fun-ção de distribuifun-ção de probabilidade que reflita o comportamento de X.

• Nesse processo de escolha utilizamos, em muitas

situações, algum modelo clássico. Nós Estuda-remos os modelos discretos: Bernoulli, Binomial e Poisson e o modelo continuo: Normal.

Distribuição Bernoulli Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados.

Exemplo:

1 Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 2 Cara ou coroa no lançamento de uma moeda. 3 Um servidor de intranet está ativo ou não ativo. 4 Houve falha ou não na transmissão de um

ar-quivo;

5 O resultado de um exame médico foi positivo ou

Distribuição Bernoulli

• Seja X uma variável aleatória com dois

resulta-dos possíveis: 1 se ocorrer sucesso e 0 se ocorrer fracasso.

• _{Associaremos p, a probabilidade de sucesso}

(even-to que nos interessa) e 1 − p, a probabilidade de fracasso.

• Então X uma v. a. com distribuição Bernoulli

e sua função de probabilidade é dada por:

xi 0 1

p(xi) 1 − p p

Exemplo

• Uma lampada é escolhida ao acaso. Considere:

X = A lâmpada é defeituosa (sucesso). X =  0 se a lampada não é defeituosa

1 se a lampada é defeituosa

xi 0 1

Distribuição Bernoulli

• Notação: X ∼ Bernoulli(p), indica que a v.a

X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p.

• Se X ∼ Bernoulli(p) pode-se mostrar que:

E(X) = p e Var(X) = p(1 − p) = pq.

• Obs: Repetições independentes de um ensaio

Distribuição Binomial

• Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli,

sob as mesmas condições.

• Considere todos os ensaios independentes. • A probabilidade de sucesso p e fracasso 1 − p se

mantém constante em todos os ensaios.

• A variável aleatória X = número de sucessos nas

Distribuição Binomial

Considere 3 ensaios de Bernoulli, n = 3. P(defeituosa)= p = 3/7

P(perfeita)= (1 − p) = 4/7

Seja X = o número de defeituosas

1 O experimento consiste de três ensaios de

Bernoulli idênticos;

2 Os ensaios são independentes.

3 As probabilidades p e (1-p) são as mesmas em

cada ensaio;

Distribuição Binomial X = o número de defeituosas n = 3 ⇒ X = {0, 1, 2, 3} P(D) = p = 3/7 P(P ) = 1 − p = 4/7 P(X = 0) = P(P P P ) P(X = 1) = P(P P D) + P(P DP ) + P(DP P ) P(X = 2) = P(DDP ) + P(DP D) + P(P DD) P(X = 3) = P(DDD)

Distribuição Binomial P(X = 1) = P(P P D) + P(P DP ) + P(DP P ) = 4 7 · 4 7 · 3 7 + 4 7 · 3 7 · 4 7 + 3 7 · 4 7 · 4 7 = 3 × 3 7 · 4 7 · 4 7  = 3 1  (3/7)1(4/7)2 P(X = 2) =3 2  (3/7)2(4/7)1 P(X = 3) =3 3  (3/7)3(4/7)0 P(X = 0) =3 0  (3/7)0(4/7)3

Distribuição Binomial

Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli in-dependentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A v.a. que conta o número total de su-cessos nos n ensaios de Bernoulli tem distribuição Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por:

P(X = x) = n x  px(1 − p)n−x, x = 0, 1, . . . , n em que n x  = n! x!(n − x)! e lembre-se que 0! = 1.

Distribuição Binomial

Notação: X ∼ Binomial(n, p) indica que v.a. X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p. A esperança e a variância de X são:

E(X) = np

Distribuição Binomial Considere uma loja de roupas que receba 3 clientes:

p = o cliente faz compra = 0, 30 (1 − p) = o cliente não faz compra = 0, 70

X : número de clientes que compram

x p(x) 0 0, 343 1 0, 441 2 0, 189 3 0, 027 P(X = 0) =3 0  (0, 3)0(0, 7)3= 0, 343 P(X = 1) =3 1  (0, 3)1(0, 7)2= 0, 441 P(X = 2) =3 2  (0, 3)2(0, 7)1= 0, 189 P(X = 3) =3 3  (0, 3)3(0, 7)0= 0, 027

Exemplo

O time Sport Clube do Recife tem 1/4 de probabi-lidade de perder sempre que joga em Recife. Se o time jogar 5 partidas, calcule a probabilidade:

a) do time perder nenhuma partida.

b) do time perder exatamente 3 partidas.

c) do time perder mais de 3 partidas.

d) do time perder pelo menos uma partida.

e) Se o time jogar 30 partidas, em quantos partidas se espera que o time perca?

Exemplo X = no de partidas que o time perdeu em casa.

p = P(perder)= 1/4 n = 5 partidas X ∼ Binomial(5, 1/4) a) P(X = 0) = 5₀
1₄
0 3₄
5 = 0, 2373 b) P(X = 3) = 5₃
1₄
3 3₄
2 = 0, 2637 c) P(X > 3) = P(X = 4)+P(X = 5) = 5₄
1₄
4 3₄
1 + 5₅
1₄
5 3₄
0 = 0, 0156 d) P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = 1 − 0, 2373 = 0, 7627 e) E(X) = np E(X) = 30 ∗ 1₄

Distribuição de Poisson Representa a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória que registra o número de ocorrên-cias em um intervalo de tempo ou espaço específicos.

• Carros que passam por um cruzamento por

minuto, durante uma certa hora do dia.

• Erros tipográficos por página, em um material

impresso.

• _{Defeitos em uma peça fabricada por unidade}

(m2, m, etc).

• Lâmpadas queimadas em uma cidade por dia. • Problemas de filas de espera.

Distribuição de Poisson Se X uma variável aleatória que registra o número de ocorrências em um intervalo específico e a pro-babilidade de uma ocorrência é independente e a mesma para quaisquer dois intervalos de tempo, en-tão a v.a. X tem distribuição de Poisson com parâ-metro λ e sua função de probabilidade é dada por:

P(X = xλ) =

λxe−λ x!

• λ = valor esperado ou número médio de

ocorrências em um dado intervalo.

Distribuição de Poisson

• _{Notação: X ∼ Poisson(λ) indica que v.a. X}

tem distribuição Poisson com parâmetro λ.

• Uma variável aleatória de Poisson não tem limite

superior. X = 0, 1, 2, 3, . . .

• P(xλ) = a probabilidade de x ocorrências em

um intervalo específico, considerando λ o nú-mero médio de ocorrências em tal intervalo.

• A esperança e a variância de X são:

Média: E(X) = λ Variância: Var(X) = λ

Exemplo

Em média há 2 chamadas por hora em um certo telefone. Calcule a probabilidade de:

a) receber nenhuma chamada em 1 horas.

b) receber uma chamada em 1 horas.

c) receber uma chamada em 2 horas.

d) receber no máximo 1 chamadas em 2 horas.

Exemplo

X = número chamadas por hora em um certo telefone λ = 2 chamadas por hora

a)P(X = 0λ = 2) = 20_0!e−2 = 0, 1353 b)P(X = 1λ = 2) = 21_1!e−2 = 0, 2706 c)P(X = 1λ = 4) = 41_1!e−4 = 0, 0732 d)P(X ≤ 1λ = 4) = P(X = 0λ = 4) + P(X = 1λ = 4) = 40_0!e−4+41e_1!−4 = 0, 0183 + 0, 0732 = 0.0915 e)P(X ≥ 1λ = 4) = 1 − P(X < 1λ = 4) = 1−P(X = 0λ = 4) = 1−0, 0183 = 0, 9817