Análise Matemática I. f m f f m+1. f f. a f f. f senh f. f coshf. f tgh f. f cotghf. f sech 2 f. f cosech 2 f. f sechf tgh f. f cosechf cotghf.

(1)

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Análise Matemática I

Tabela de Primitivas

PRIMITIVAS IMEDIATAS

Na lista de primitivas que se segue considera-se uma fun¸cão f : I −→ IR diferenciável em I, onde I é um intervalo de IR. Além disso, denotamos por C a constante de primitiva¸cão (arbitrária) e por a uma constante.

Fun¸c˜ao Primitiva a ax+ C fm· f′ f m+1 m+ 1 + C (m ∈ IR\{−1}) f′ f ln |f| + C af · f′ a f ln a+ C (a ∈ IR + \{1}) Fun¸c˜ao Primitiva f′_{· sen f} _{− cos f + C} f′_{· cos f} _{sen f + C} f′_{· tg f} _{− ln | cos f| + C} f′_{· cotg f} _{ln | sen f| + C} f′_{· sec f} _{ln | sec f + tg f| + C}

f′_{· cosec f} _{ln | cosec f − cotg f| + C}

f′_{· sec}2

f tg f + C

f′_{· cosec}2

f − cotg f + C

f′_{· sec f · tg f} _{sec f + C}

f′_{· cosec f · cotg f} _{− cosec f + C}

f′ p1 − f2 arc sen f + C ou − arc cos f + C f′ 1 + f2 arc tg f + C ou - arc cotg f + C f′ |f| ·pf2_{− 1} arc sec f + C ou − arc cosec f + C Fun¸c˜ao Primitiva f′_{· senh f} _{cosh f + C} f′_{· cosh f} _{senh f + C} f′_{· tgh f} _{ln | cosh f| + C} f′_{· cotgh f} _{ln | senh f| + C} f′_{· sech}2_f _{tgh f + C} f′_{· cosech}2_f − cotgh f + C f′_{· sech f · tgh f} _{− sech f + C}

f′_{· cosech f · cotgh f} _{− cosech f + C}

f′ p1 + f2 arg senh f + C f′ pf2_{− 1} arg cosh f + C f′ 1 − f2 arg tgh f + C, se |f(x)| < 1 ou arg cotgh f + C, se |f(x)| > 1 f′ |f| ·p1 − f2 − arg sech f + C f′ |f| ·p1 + f2 arg cosech f + C

(2)

PRIMITIVAC¸ ˜AO POR PARTES Z

f(x) · g(x) dx = F (x) · g(x) − Z

F(x) · g′_{(x) dx,}

sendo F uma primitiva de f .

REGRAS DE PRIMITIVAC¸ ˜AO

Potˆ

encias de fun¸c˜

oes trigonom´

etricas e hiperb´

olicas

1. Potˆencias ´ımpares de sen x, cos x, senh x e cosh x.

Destaca-se uma unidade à potência ´ımpar e o factor resultante passa-se para a co-fun¸cão através das fórmulas fundamentais: cos2 x+ sen2 x= 1, cosh2 x− senh2 x= 1.

2. Potências pares de sen x, cos x, senh x e cosh x. Passam-se para o arco duplo através das fórmulas:

sen2 x=1 2(1 − cos 2x), cos 2 x= 1 2(1 + cos 2x) senh2 x= 1 2( cosh 2x − 1) cosh 2 x= 1 2( cosh 2x + 1).

3. Potˆencias pares e ´ımpares de tg x, cotg x, tgh x e cotgh x. Destaca-se tg2

x( tgh2_{x) ou cotg}2

x( cotgh2_{x) e aplica-se uma das f´ormulas:}

tg2 x= sec2 x− 1 ( tgh2 x= 1 − sech2_x) cotg2 x= cosec2 x− 1 ( cotgh2 x= 1 + cosech2_x).

4. Potˆencias pares de sec x, cosec x, sech x e cosech x. Destaca-se sec2

x( sech2

x) ou cosec2

x( cosech2

x) e ao factor resultante aplica-se uma das f´ormulas: sec2 x= 1 + tg2 x ( sech2 x= 1 − tgh2_x) cosec2 x= 1 + cotg2 x ( cosech2 x= cotgh2 x− 1). 5. Potˆencias ´ımpares de sec x, cosec x, sech x e cosech x.

Destaca-se sec2

x( sech2_{x) ou cosec}2

x( cosech2_{x) e primitiva-se por partes come¸cando por esse factor.}

Produtos de potˆ

encias das fun¸c˜

oes sen x e cos x ( senh x e cosh x)

1. Potˆencia ´ımpar de sen x ( senh x) por qualquer potˆencia de cos x (cosh x).

Destaca-se sen x ( senh x) e passa-se o factor resultante para a co-fun¸cão, através da fórmula fundamental: sen2

x_{= 1 − cos}2

x ( senh2

(3)

2. Potˆencia ´ımpar de cos x (cosh x) por qualquer potˆencia de sen x ( senh x).

Destaca-se cos x (cosh x) e passa-se o factor resultante para a co-fun¸cão, através da fórmula fundamental: cos2

x_{= 1 − sen}2

x ( cosh2

x= 1 + senh2

x).

3. Potência par de sen x ( senh x) por potência par de cos x (cosh x). Aplicam-se as fórmulas:

sen 2x = 2 sen x cos x ( senh 2x = 2 senh x cosh x)

sen2 x= 1 − cos 2x 2 senh2 x= cosh 2x − 1 2 cos2 x= 1 + cos 2x 2 cosh2 x= cosh 2x + 1 2 .

Produtos em que aparecem factores do tipo sen mx ou cos nx, ou produtos em que

aparecem factores do tipo senh mx ou cosh nx

Aplicam-se as f´ormulas: sen x sen y = 1

2(cos(x − y) − cos(x + y)) senh x senh y = 1

2( cosh (x + y) − cosh (x − y))

cos x cos y =1

2(cos(x + y) + cos(x − y)) cosh x cosh y = 1

2( cosh (x + y) + cosh (x − y))

sen x cos y = 1

2( sen (x + y) + sen (x − y)) senh x cosh y = 1

2( senh (x + y) + senh (x − y))

FRACC¸ ˜OES RACIONAIS

Consideremos a frac¸c˜ao f(x)

g(x), em que f (x) e g(x) s˜ao polin´omios.

1. Se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, efectua--se a divisão de f (x) por g(x); obtém-se então f(x) g(x) = Q(x) + R(x) g(x), sendo agora R(x)

g(x) uma fraçcão própria.

2. Decompõe-se o denominador da fraçcão própria em factores; os factores obtidos são da forma

(x − a)m

, correspondendo a ra´ızes reais a de multiplicidade m, ou da forma

[(x − p)2

+ q2

]n_,

(4)

3. Decompõe-se então a fraçcão própria numa soma de elementos simples, de acordo com os factores obtidos:

(a) cada factor do tipo (x − a)m_d´_{a origem a}

A1 (x − a)m+ A2 (x − a)m−1 + . . . + Am x_{− a}, com A1, A2, . . . , Am constantes a determinar;

(b) cada factor do tipo [(x − p)2_{+ q}2_]n _d´_{a origem a}

P1x+ Q1 [(x − p)2_{+ q}2_]n + P2x+ Q2 [(x − p)2_{+ q}2_]_n−1+ . . . + Pnx+ Qn (x − p)2_{+ q}2,

com P1, Q1, P2, Q2, . . . , Pn, Qn constantes a determinar.

4. C´alculo das constantes

As constantes Ai, Pie Qipodem ser determinadas conjuntamnete pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados.

H´a no entanto uma forma alternativa de calcular essas constantes, que descrevemos em seguida.

(a) C´alculo dos coeficientes relativos a factores do tipo (x − a)m_{(seja ψ(x) tal que g(x) = ψ(x)(x − a)}m_):

i. se m = 1, apenas temos de determinar uma constante A1, que ´e dada por:

A1= R(x) ψ(x) x=a .

ii. se m > 1, efectua-se a divis˜ao

R(x) ψ(x)

x=a+h

dispondo os polinómios por ordem crescente dos seus monómios, até chegar ao grau m − 1: R(x)

ψ(x)

x=a+h

= A1+ a2h+ A3h2+ . . . + Amhm−1+ . . .

onde A1, A2, . . . , Ams˜ao as constantes que pretendemos determinar.

(b) C´alculo dos coeficientes relativos a factores do tipo [(x − p)2_{+ q}2_]n

(seja ψ(x) tal que g(x) = ψ(x)[(x − p)2_{+ q}2_]n_):

i. se n = 1, obtemos as constantes P1 e Q1 fazendo

P1x+ Q1= R(x) ψ(x) x=p+qi .

ii. se n > 1, as constantes calculam-se pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados (as constantes P1 e

Q1ainda podem ser obtidas como em i.).

Nota: _{Caso apare¸cam elementos simples da forma} 1 [(x − p)2_{+ c]}n,

com n > 1, estes podem ser primitivados usando a seguinte f´ormula de recorrˆencia: P 1 [(x − p)2_{+ c]}n = 1 c 1 2n − 2× x_{− p} [(x − p)2_{+ c]}_n−1+ 2n − 3 2n − 2× P 1 [(x − p)2_{+ c]}_n−1

(5)

PRIMITIVAÇ ÃO POR SUBSTITUIÇ ÃO

Sejam a, b, c e d constantes reais. A nota¸cão R(...) indica que se trata de uma fun¸cão racional (envolvendo apenas somas, diferen¸cas, produtos e quocientes) do que se encontra entre parêntesis.

Tipo de Fun¸c˜ao Substitui¸c˜ao

1 (x2_{+ a}2₎k, k∈ IN, k > 1 x= a tg t P(x) (ax2_{+ bx + c)}k, k∈ IN, k > 1, b 2 − 4ac < 0,

onde P (x) ´e um polin´omio de grau inferior a 2k ax+b 2 = t

P(x)

((x − p)2_{+ q}2₎k, k∈ IN, k > 1,

onde P (x) ´e um polin´omio de grau inferior a 2k x= p + qt

xk−1 x2k_{± a}2, k∈ Q, k > 1 x k _{= at} R(arx_{, a}sx_{, ...)} _amx_{= t onde m = m.d.c.(r, s, ...)} R(logax) t= logax R x, ax + b cx+ d pq , ax + b cx+ d rs , ... ! ax+ b cx+ d = t m_{onde m = m.m.c.(q, s, ...)} R(x, (ax + b)pq,(ax + b) r s, ...) ax+ b = tm onde m = m.m.c.(q, s, ...) R(x, xpq, x r s, ...) x= tmonde m = m.m.c.(q, s, ...) R(x,√a2_{− b}2_x2₎ _x₌a bsen t ou x = a bcos t ou x = a btgh t R(x,√a2_{+ b}2_x2₎ _x₌a btg t ou x = a bsenh t R(x,√b2_x2_{− a}2₎ _x₌a bsec t ou x = a bcosh t R(x,√x,√a− bx) x=a bsen 2 tou x = a bcos 2 t R(x,√x,√a+ bx) x=a btg 2 t

(6)

Tipo de Fun¸c˜ao Substitui¸c˜ao R(x,√x,√bx_{− a)} x= a_b sec2 t R(x,√ax2_{+ bx + c)} _{se a > 0 faz-se}√_ax2_{+ bx + c = x}√_a_{+ t} se c > 0 faz-se√ax2_{+ bx + c =}√_c_{+ tx} se ax2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2), √ ax2_{+ bx + c = (x − r} 1)t ou √ ax2_{+ bx + c = (x − r} 2)t xm_{(a + bx}n₎p q se m+1 n ∈ Z faz-se a + bx n_{= t}q se m+1 n + p q ∈ Z faz-se a + bx n_{= x}n_tq R( sen x, cos x):

(a) se R ´e ´ımpar em sen x, isto ´e,

R(− sen x, cos x) = −R( sen x, cos x) cos x = t (b) se R ´e ´ımpar em cos x, isto ´e,

R( sen x, − cos x) = −R( sen x, cos x) sen x = t (c) se R ´e par em sen x e cos x, isto ´e,

R_{(− sen x, − cos x) = R( sen x, cos x)} _{tg x = t, sendo ent˜ao (supondo x ∈ (0,}π 2)) sen x = t √ 1+t2, cos x = 1 √ 1+t2

(d) nos restantes casos (e at´e nos anteriores) tgx

2 = t, sendo ent˜ao sen x = 2t 1+t2, cos x = 1−t 2 1+t2 R( sen mx, cos mx) mx= t R(ex ,senh x, cosh x) x= ln t R( senh x, cosh x):

(a) R ´e ´ımpar em senh x cosh x = t

(b) R ´e ´ımpar em cosh x senh x = t

(c) R ´e par em senh x e cosh x tgh x = t, sendo ent˜ao senh x = t √

1−t2, cosh x =

1 √

1−t2

(d) nos restantes casos (e at´e nos anteriores) tghx

2 = t, sendo ent˜ao senh t = 2t

1−t2, cosh x =

1+t2

1−t2

R( senh mx, cosh mx) mx= t

Observa¸cão: Quando se efectua uma substitui¸cão, aparece frequentemente uma expressão do tipo pf2_{(t). No}

caso geral ter´a de se escrever

p