Figura 2.1: Exercício 2.1. a) Indicar em q ual dos três intervalos de tempo, 2 a 3 s, 4 a 5 s e 6 a 7 s:

(1)

Cin e m ´

atic a

E x e rc´ıc io 2.1 : O gr´afico da figura 2.1 representa a velocidade escalar de um ponto material, q ue se desloca em linh a recta, em fun¸c˜ao do tempo.

t(s) -5 v (m /s) 1 2 3 4 5 6 7 5 1 0 Figura 2.1: Exerc´ıcio 2.1.

a) Indicar em q ual dos três intervalos de tempo, 2 a 3 s, 4 a 5 s e 6 a 7 s: i. É máx imo o módulo da velocidade média.

ii. ´E m´ınimo o espa¸co percorrido.

b ) D eterminar a acelera¸c˜ao do ponto material no instante t = 3 s. c) D urante o intervalo de tempo de 2 a 5 s indicar:

i. O espa¸co percorrido pelo ponto material. ii. O deslocamento do ponto material.

d) E m q ue instante esteve o ponto material a maior distˆancia do ponto de partida?

(2)

e) C onstruir o gr´afico a(t) para o movimento deste ponto material no intervalo de 0 a 7 s, admitindo que entre os instantes t = 6 s e t = 7 s a acelera¸c˜ao varia linearmente com o tempo.

Exerc´ıcio 2.2: Dois estudantes realiz am a seguinte experiência num laboratório de F ´ısica: do n´ıvel do chão de uma varanda, um dos estudantes deixa cair um ob-jecto. N um piso abaixo o seu colega verifica, com um dispositivo automático para medir o tempo, que esse objecto demora 0 .15 s a percorrer o espa¸co compreendido entre a parte superior e a parte inferior da porta de uma varanda, cuja altura é de 2 m.

A ssumindo que o objecto partiu sem velocidade inicial, calcular a distˆancia entre os dois pisos.

Exerc´ıcio 2.3 : L an¸ca-se uma bola verticalmente, para cima, com uma velocidade inicial de 20 m/ s.

a) Q uanto tempo permanece a bola no ar? b) Q ual ´e a altura m´axima que a bola atinge?

c) Em que instante(s) est´a a bola a 15 m do solo?

Exerc´ıcio 2.4 : U m corpo com movimento rectil´ıneo tem uma velocidade inicial de 5 m/ s e uma acelera¸c˜ao de 2 m/ s2_{. Q ue distˆancia deve o corpo percorrer para}

que a sua velocidade m´edia atinja o valor de 15 m/ s?

Exerc´ıcio 2.5 : U m m´ovel desloca-se em linha recta com velocidade inicial vo

e acelera¸c˜ao constante a. Q uando atinge a velocidade 5vo, a acelera¸c˜ao muda de

sinal ficando a sua grandez a inalter´avel.

a) Q ual a velocidade do m´ovel no instante em que volta a passar pelo ponto de partida?

b) Q ual o espa¸co percorrido, at´e voltar a passar pelo ponto de partida?

Exerc´ıcio 2.6 : Duas part´ıculas partem do repouso, sobre uma mesma recta, movendo-se em sentidos opostos, animadas de acelera¸cões com módulos iguais e constantes, encontrando-se ao fim de 10 s. Q ual o incremento a dar à acelera¸cão de uma delas para que se encontrem ao fim de 5 segundos?

(3)

Exerc´ıcio 2.7: Uma part´ıcula move-se no plano XOY segundo a lei: ~r= 3t2ˆı − (8 t + 1) ˆ

Determine:

a) O vector deslocamento, entre os instantes 1 s e 3 s. b) O vector velocidade m´edia, entre os mesmos instantes. c) O vector velocidade.

d) A equa¸c˜ao da traject´oria.

e) Os m´odulos das componentes tangencial e normal da acelera¸c˜ao.

Exerc´ıcio 2.8 : O vector posicional de uma part´ıcula no instante t ´e: ~r= tˆı + t

2ˆ+ t

2_kˆ _{(S .I.)}

Determinar:

a) A velocidade em cada instante t.

b) O m´odulo da velocidade em qualquer instante t. c) A velocidade no instante t = 0 s.

d) A velocidade ao fim de 10 s de movimento.

e) A acelera¸cão e o módulo da acelera¸cão num instante t.

f) Os m´odulos das componentes normal e tangencial da acelera¸c˜ao num in-stante t.

g) O raio de curvatura no instante t = 0 s.

Exerc´ıcio 2.9 : Uma part´ıcula descreve uma trajectória circular em torno da origem dos eixos. A sua posi¸cão é dada em cada instante pela expressão:

~r= 3 sin(2t)ˆı + 3 cos(2t)ˆ

em que ~r est´a expresso em metros e o argumento das fun¸c˜oes seno e co-seno em radianos.

a) Calcular ~v(t), ~a(t), v(t) e a(t).

(4)

c) Calcular a express˜ao para s(t) assumindo s(0) = 0 m.

d) Calcular ~r, ~v e ~a nos instantes t = 0 s e t = 2 s. Qual o espa¸co percorrido entre estes dois instantes?

e) Desenhar uma circunferˆencia centrada nos eixos cartesianos e representar as quantidades calculadas na al´ınea anterior.

f) Calcular o ˆangulo θ descrito pelo vector ~r entre os dois instantes referidos e a partir da´ı calcular a velocidade angular ω.

Exerc´ıcio 2.10: Uma part´ıcula descreve uma trajectória circular segundo a lei s_{(t) = −t}2+ 4t + 3 (S.I.) e parte no instante t = 0 s de A deslocando-se no sentido anti-horário (ver figura 2.2). O raio da trajectória é tal que o sentido do movimento se inverte à primeira passagem por B .

Determinar:

a) O raio da traject´oria.

b) A acelera¸c˜ao do movimento na primeira vez que a part´ıcula passa por B . c) Os instantes em que a part´ıcula passa pelo ponto A.

d) A acelera¸c˜ao do movimento nas sucessivas passagens em A.

O

A B

Figura 2.2: Exerc´ıcio 2.10 .

Exerc´ıcio 2.11: Uma part´ıcula descreve um movimento cuja traject´oria ´e cir-cular, de raio 6 m, e centrada no ponto A(3; 5; 2) m. O vector ~w tem a forma

~

w= wxˆı, com wx constante > 0. No instante t = 0 s a part´ıcula encontra-se no

ponto B(3; 5 + 3√2; 2 + 3√2) m e executa 150 voltas em 30 s. a) Calcular o per´ıodo do movimento.

(5)

c) Determinar em que instantes a part´ıcula se encontra no plano XOZ , e no plano XOY.

d) Obter os vectores velocidade, ~v(t), e acelera¸c˜ao, ~a(t).

e) Escrever a expressão s(t), considerando a origem dos arcos no ponto B, e calcular o espa¸co percorrido pela part´ıcula até ao instante t = 0.15 s. f) Calcular o ângulo formado entre ~r(t = 0 s) e ~r(t = 0.15 s).

g) Determinar o ˆangulo que formariam entre si os vectores posicionais ~

r0_{(t = 0 s) e ~}_r0_{(t = 0.15 s), se tivessemos considerado um sistema de}

coor-denadas com a origem coincidente com o centro de curvatura da traject´oria.

Exerc´ıcio 2.12: Um m´ovel, A, parte do ponto P1 da figura 2.3, deslocando-se

no sentido horário com uma velocidade de módulo igual a 6 m/s, que se mantém constante durante o movimento. Decorrido 1 segundo após o in´ıcio do movimento de A, outro móvel B, inicialmente em repouso, parte do ponto O, sendo a com-ponente tangencial da sua acelera¸cão contante e igual a 2 m/s2

. O valor de R indicado na figura ´e 2/π metros.

a) Determinar o ângulo formado entre os vectores velocidade e acelera¸cão para os móveis A e B, quando estes fazem a sua passagem pelo ponto P2.

b) Calcular a distância (marcada sobre a trajectória) entre A e B quando os módulos das suas velocidades são iguais.

c) Calcular a rela¸c˜ao entre as velocidades angulares do m´ovel A nos percursos P1P3 e P3P4. 4R P₄ P₁ P₂ P₃ O R 2R 3R P₀ Figura 2.3: Exerc´ıcio 2.12.

Exerc´ıcio 2.13: Um ponto material desloca-se sobre a traject´oria [ABC D] in-dicada na figura 2.4 no sentido de A para D. O movimento ´e uniforme em AB,

(6)

uniformemente acelerado em BC e uniformemente retardado em CD. Sabendo que o ponto material demora 2 s a percorrer BP1, que a velocidade angular m´edia

em P1P2 ´e π/6 rad/s e que o ponto material chega a D com velocidade nula:

a) Calcule a acelera¸c˜ao tangencial do ponto material em BC e a acelera¸c˜ao em CD.

b) Qual o ˆangulo que a velocidade faz com a acelera¸c˜ao no ponto P2?

c) Quais os instantes em que o ponto material tem velocidade escalar in-stanânea igual à velocidade escalar média no percurso [ABCD]?

π m 18 0 R = º 3 0 P₁ P₂ A B C D º 3 0 10 0 m 10 0 m Figura 2.4: Exerc´ıcio 2.13.

Exerc´ıcio 2.14: P ara determinar a velocidade de lan¸camento de uma arma, um estudante realizou a seguinte experiência: deitou-se numa rampa e disparou a arma perpendicularmente à rampa, como mostra a figura 2.5. V erificou que o projéctil tocou a rampa num ponto P à distância de 40 m do ponto de lan¸camento. Que valor calculou para a velocidade de lan¸camento da sua arma?

v_o

P

º

3 0

Figura 2.5: Exerc´ıcio 2.14.

Exerc´ıcio 2.15: Um lan¸ca projécteis está regulado para um ângulo de tiro de 45◦ _{e imprime uma velocidade inicial de módulo 6 m/s. Colocando esse lan¸ca}

proj´ecteis sobre um solo horizontal, calcule:

a) a altura máxima que poderá ter um muro, e a que distância deverá estar do ponto de lan¸camento, para que os projécteis passem por cima dele;

(7)

Exerc´ıcio 2.16: Um motociclista acrobata pretende saltar um desfiladeiro de 10 metros de largura, indo de A para B (consultar a figura 2.6). As duas margens do desfiladeiro têm um desn´ıvel de 3 metros. A margem mais baixa tem uma inclina¸cão de 30◦_{. Sabendo que a velocidade máxima conseguida pela moto na}

subida ´e de 60 k m/h, valer´a a pena tentar o salto?

A B º 3 0 1 0 m 3 m Figura 2.6: Exerc´ıcio 2.16.

Exerc´ıcio 2.17: Uma bola, que se movia horizontalmente com uma velocidade de 1.5 m/s, cai por uma escada abaixo. Os degraus da escada tˆem 20 cm de altura e 20 cm de largura. Qual ´e o primeiro degrau em que a bola bate?

Exerc´ıcio 2.18: Um indiv´ıduo vai num autom´ovel a 56.7 k m/h e deixa cair uma garrafa vazia de um metro de altura.

a) Desprezando a velocidade e a resistência do ar, a que distância (segundo a horizontal) cairá a garrafa do ponto onde foi largada?

b) No instante em que toca o solo, a que distˆancia (segundo a horizontal) se encontra a garrafa da m˜ao do indiv´ıduo?

Exerc´ıcio 2.19: Dois aviões em vôo horizontal aproximam-se de um porta--aviões parado. Um dos aviões voa a uma altura 4 vezes superior à do outro, com velocidade de módulo v. Quando passam na mesma vertical cada um deixa cair uma bomba. Qual a velocidade do avião que voa a menor altura para que as duas bombas atinjam o porta-aviões no mesmo ponto?

Exerc´ıcio 2.20: _{Um comboio desloca-se com velocidade −20ˆı (m/s). O}

(8)

pas-sageiro B desloca-se, em rela¸c˜ao a um objecto fixo do exterior, com velocidade −21ˆı − 2ˆ (m/s).

a) Calcular a velocidade do passageiro A em rela¸c˜ao ao exterior. b) Calcular a velocidade do passageiro B em rela¸c˜ao ao passageiro A.

Exerc´ıcio 2.21: Um nadador pretende atravessar um rio com 0.25 km de largura. A ´agua tem uma velocidade de 0.5 km/h e o nadador ´e capaz de nadar a uma velocidade de 1 km/h.

a) Indicar, justificando, qual a escolha mais vantajosa (menor tempo de per-curso).

i. T omar um rumo perpendicular `a corrente (nadar com o corpo perpen-dicular `a margem).

ii. T omar um rumo contra a corrente, de tal modo que chegue `a outra margem no ponto directamente oposto.

b) Qual a direçcão do movimento do nadador em rela¸cão à corrente para que atinja o ponto do rio exactamente oposto?

Exerc´ıcio 2.22: O piloto de um avião deseja alcan¸car um ponto a 200 km a Este do lugar onde se encontra. Sopra vento de Noroeste com velocidade de módulo 30 km/h. Calcular a velocidade do avião em rela¸cão ao ar, se o avião demorar 40 minutos a chegar ao seu destino, com velocidade constante.

Exerc´ıcio 2.23: As 12 horas o barco A está a 10 km a Este e a 20 km a Norte de` um certo ponto, navegando a 40 km/h numa direçcão 30◦ _{Este da linha Sul-Norte.}

No mesmo instante o barco B está a 50 km a Este e a 40 km a Norte do mesmo ponto e navega a 20 km/h na direçcão 30◦ _{Oeste da linha Sul-Norte.}

a) Determinar a velocidade do barco B relativamente ao barco A.

b) Se os barcos continuarem em movimento, com as velocidades acima men-cionadas, quando se encontrarão à menor distância um do outro e qual é essa distância?

Exerc´ıcio 2.24: Um elevador sobe um prédio com velocidade constante de módulo 4.9 m/s. Em dado instante a lâmpada do tecto desprende-se e vai es-tilha¸car-se contra o chão do elevador, que tem 4.9 m de altura.

(9)

a) Calcular o tempo de queda da lˆampada do ponto de vista de um observador viajando no elevador.

b) Analisar como um observador solid´ario com o edif´ıcio veria o acontecimento. c) Verifique para este caso a validade das transforma¸c˜oes de G alileu.

Exerc´ıcio 2.25: Dois carros viajam, um atrás do outro, numa estrada recta, ambos a 60 km/h e a 25 m de distância um do outro. O condutor do carro de tr´_{as decide ultrapassar o outro e fá-lo com acelera¸cão de módulo 20 × 10}3

km/h2

até atingir a velocidade de 90 km/h; continua então com esta velocidade até se encontrar a 25 m à frente do outro carro.

a) Que distância percorre, ao longo da estrada, o carro que faz a ultrapassagem, desde o in´ıcio até ao fim desta opera¸cão?

b) Se no sentido oposto se deslocasse um carro a 80 km/h, qual seria, no in´ıcio da manobra de ultrapassagem, a m´ınima distância poss´ıvel entre o terceiro carro e o carro que pretende ultrapassar para não haver colisão?

Exerc´ıcio 2.26: Do cimo de uma torre lan¸ca-se uma pedra A verticalmente e para cima, com velocidade de m´odulo 14.7 m/s. Dois segundos depois, deixa-se cair, do mesmo ponto, uma pedra B. (Desprezar a resistˆencia do ar, e considerar g= 9.8 m/s2

).

a) Calcular a acelera¸c˜ao de A em rela¸c˜ao a B.

b) Determinar a velocidade escalar de B relativamente a A em fun¸cão do tempo (vBA(t)) e representá-la graficamente. Com base nessa fun¸cão caracterizar

o movimento que a pedra B descreve em rela¸c˜ao a A, a partir do instante t= 0 s.

c) Calcular a distˆancia entre A e B, em fun¸c˜ao do tempo, a partir do instante t= 2 s. Determinar o instante em que uma pedra ultrapassa a outra.

Exerc´ıcio 2.27: Um observador encontra-se sobre uma vagonete que se move com movimento rectil´ıneo uniforme, num plano horizontal, com uma velocidade cujo módulo é de 2 m/s (ver figura 2.7). Uma pedra é lan¸cada de um ponto, que no sistema S0 _{solidário com a vagonete, tem as coordenadas (0; 0). A velocidade}

inicial da pedra, no sistema S0_{, tem a direçcão do eixo Y}0 _{e o seu módulo é de}

14.7 m/s. Relativamente ao sistema S, o lan¸camento ´e feito do ponto (−3; 0) m. a) Calcular a velocidade inicial da pedra em rela¸c˜ao ao sistema fixo S.

(10)

b) Como descreve o movimento da pedra, um observador do sistema fixo S? c) Como descreve o movimento da pedra o observador que se encontra sobre a

vagonete?

d) Calcular a velocidade da pedra relativamente a S0_{, no instante em que volta}

a atingir o ch˜ao da vagonete.

e) Determinar a distˆancia da pedra ao ponto O0 _{no instante em que a sua}

velocidade relativamente a S0 _{´e nula.}

X X' Y O' O Y' Figura 2.7: Exerc´ıcio 2.27.

(11)

2.1 Solu¸

c˜

oes da cinem´

atica

Solu¸c˜ao 2.1:

a) _{i. |v}m´edia|m´ax ima, t ∈ [2 s; 3 s].

ii. |∆e|m´ın imo, t ∈ [6 s; 7 s].

b) a(3) = −5 m/s2 . c) _{i. ∆e = |x(4) − x(2)| + |x(5) − x(4)| = 12.5 m.} ii. ∆x = x(5) − x(2) = 7.5 m. d) t = 4 s. e) t ∈ [0 s; 1 s]: a = 10 m/s2 t ∈ [1 s; 2 s]: a = 0 m/s2 t ∈ [2 s; 5 s]: a = −5 m/s2 t ∈ [5 s; 6 s]: a = 0 m/s2 t ∈ [6 s; 7 s]: a = −10t + 70 (m/s2)

Solu¸cão 2.2: A distância entre os dois pisos é igual a 10.1 m.

Solu¸c˜ao 2.3:

a) ∆t = 4.1 s.

b) hm´ax ima= ym´ax imo = 20.4 m.

c) t = 0.99 s ∨ t = 3.09 s.

Solu¸c˜ao 2.4: Deve percorrer 150 m.

Solu¸c˜ao 2.5:

a) v = −7vo.

b) ∆e = 49 vo2

a .

Solu¸c˜ao 2.6: ∆a = 6a.

(12)

a) ∆~r = ~r(3) − ~r(1) = 24ˆı− 16ˆ (m). b) ~vmédia= ∆~_∆tr = 12ˆı − 8ˆ (m/s). c) ~v = 6tˆı − 8ˆ (m/s). d) 64x = 3 + 3y2_{+ 6y.} e) |an| = 48 √ 36 t2_{+ 6 4} (m/s 2 ) |at| =√ 36 t 36 t2_{+ 6 4} (m/s 2 ) Solu¸cão 2.8: a) ~v(t) = ˆı +1₂ + 2tˆˆ k (m/s). b) |~v(t)| = 54 + 4t 2 _m/s. c) ~v(0) = ˆı + 1₂ˆ (m/s). d) ~v(10) = ˆı + 1₂ˆ + 20ˆk (m/s). e) ~a(t) = 2ˆk (m/s2 ); |~a(t)| = 2 m/s2_. f) |at| = 4t 5 4+ 4t 2 (m/s 2 ) |an| = √ 5 5 4+ 4t 2 (m/s 2 ) g) ρ(0) = 62.5 cm. Solu¸cão 2.9: a) ~v(t) = 6 cos (2t) ˆı − 6 sin (2t) ˆ (m/s) ~a(t) = −12 sin (2t)ˆı− 12 cos (2t) ˆ (m/s2)

v(t) = 6 m/s a(t) = 12 m/s2 b) |at| = 0 m/s 2 |an| = 12 m/s2 c) s(t) = 6t (m). d) ~r(0) = 3ˆ (m) ~r(2) = −2.27ˆı− 1.96ˆ (m) ~v(0) = 6ˆı (m/s) ~v(2) = −3.92ˆı+ 4.54ˆ (m/s)

(13)

~a(0) =_−12ˆ (m/s2₎ ~a(2) = +9.08ˆı + 7.84ˆ (m/s2) ∆s = s(2)_{− s(0) = 12 m.} e) Gráfico. f) θ = 4 rad; ω = 2 rad/s. Solu¸cão 2.10: a) R = 8 π m. b) ~a =_{−2ˆt (m/s}2). c) t = 0 s t = 2 +√4 + 16n s, com n_{∈ N} 0 d) ~a =_−2ˆt+ π₂ (4 + 16n) ˆn (m/s2). Solu¸cão 2.11: a) T = 0.2 s. b) ~r = 3ˆı + 5 + 6 cos 10πt +π₄  + 2 + 6 sin 10πt +ˆ π₄ k (m).ˆ c) X OZ : t1= 2nπ+2.94 10π ; t2= 2nπ+1.7 7 10π X OY : t1= 2nπ+5.16_10π ; t2= 2nπ+2.7 0_10π , com n_{∈ N} 0 d) ~v = 60π − sin 10πt + π 4 ˆ + cos 10πt + π 4 k (m/s).ˆ ~a =−600π2 _{cos 10πt +}π 4  + sin 10πt +ˆ π 4 ˆk (m/s 2 ). e) s(t) = 60πt m ∆s = s(0.15)_{− s(0) = 28.3 m} f) θ = 45.6◦_. g) α = 3₂π rad. Solu¸cão 2.12: a) θA= π 2 θB= 83.9◦ b) ∆s = 21 m.

(14)

c) ω13 ω34 = 4 3. Solu¸cão 2.13: a) BC : at= 5 m/s 2 CD : a =−9.5 m /s2 b ) θ = 7 9.8◦_. c ) 1 1 .6 s e 1 9.4 s a p ó s o in ´ıc io d o m o v im e n to n o p o n to A. Solu¸cão 2.14: | ~vo| = 1 7 .2 m / s. Solu¸cão 2.15 : a ) hm á x im a = 0 .92 m d = 1 .84 m b ) d = 3 .6 8 m .

Solu¸c˜ao 2.16 : V a le a p e n a te n ta r o sa lto p o rq u e ∆y = 3 .4 m > 3 m q u a n d o ∆x = 1 0 m .

Solu¸c˜ao 2.17 : A b o la b a te n o 3◦ _{d e g ra u .}

Solu¸c˜ao 2.18 :

a ) ∆x = 7 .1 m .

b ) ∆x = 0 m p o rq u e , a o d e sp re z a r a re sistê n c ia a o a r, a v e lo c id a d e d o a u -to m ó v e l e a d a c o m p o n e n te h o riz o n ta l d a v e lo c id a d e d a g a rra fa sã o ig u a is (a 5 6 .7 k m / h ).

Solu¸cão 2.19 : O a v iã o q u e v o a m a is b a ix o n e c e ssita d e te r u m a v e lo c id a d e d e m ó d u lo 2 v.

Solu¸c˜ao 2.20 :

a ) ~vA(t) = −1 9ˆı + 2 ˆ (m / s).

(15)

Solu¸c˜ao 2.21:

a) T omar um rumo perpendicular à corrente. b) θ =2 3π. Solu¸cão 2.22: v(t)av= 279. 6 km/h. θ = 4.35◦_{, a N orte da direçcão OE .} Solu¸cão 2.23 : a) ~vB− ~vA = −30ˆı− 10 √ 3ˆ (km/h). b) t = 13.3 h. dm´ın ima= 2.68 km. Solu¸cão 2.24: a) t = 1 s. b) Análise. c) Verifi ca¸cão.

Solu¸cão 2.25: a) d = 195 m. b) dm´ın ima= 388.3 m. Solu¸cão 2.26: a) 0 < t < 2 s ~aA B = −9.8ˆ (m/s 2 ) t ≥ 2 s ~aA B = 0 b) 0 < t < 2 s ~vB A = (−14.7 + 9.8t) ˆ (m/s) t ≥ 2 s ~vB A = 4.9ˆ (m/s) c) to= 4 s. Solu¸cão 2.27: a) ~vp s(t) = 2ˆı + 14.7ˆ (m/s)

(16)

b) M ovimento de um proj´ectil, com componente vertical e horizontal. c) M ovimento de um proj´ectil vertical.

d) ~vps0 = −14.7ˆ0 (m/s)