R
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esolução das atividades complementares
esolução das atividades complementares
M
M
atemática
atemática
M4 — Funções
M4 — Funções
p. p.662
2
11 Considere os pontos P(aConsidere os pontos P(a 3b, a3b, a2) e Q(12) e Q(1 a, 3b). Sea, 3b). Se P P eeQQ representam o mesmo ponto do plano,representam o mesmo ponto do plano,
então: então: a)
a) a aé é um um número número par par c) c) aab b não não é é um um número número inteiro inteiro e) e) bb33
b)
b) a aé é um um número número negativo negativo d)d)bbé um número ímparé um número ímpar
2
2 Sendo A Sendo A {{2, 0, 1} e B2, 0, 1} e B{3, 5}, escreva A {3, 5}, escreva A B e BB e BA.A.
3
3 Construa o gráfico de A Construa o gráfico de A B, sendo A B, sendo A {{1, 0} e B1, 0} e B{1, 2, 3}.{1, 2, 3}.
Resolução: Resolução: P P b b aa b b aa ( (a a , , a a ; ; QQ((1 1 , , 33bb)) S Se e P P Q, Q, eennttããoo:: a a 3 3 22 3 3 11 ) ) → → bbbb a a bb aa aa 1 1 3 3 2 2 3 3 33 11 3 3 2 2 33 → → →→ a) a) (F(Falalsasa); ); a aé é ímímpaparrr.r. b)
b) (F(Falsalsa)a); ; é é positpositivivo.o.
c) (Verdadeira); c) (Verdadeira); a a a a a a .. d) (
d) (FalFalsa)sa); ; não não é é intinteireiro.o.
e) (Fals e) (Fals bb 1010 3 3 b b a a a); b a); b 11 3 3.. Resolução: Resolução: A A {{2, 0, 1}; B2, 0, 1}; B{3, 5}{3, 5} A A BB {({(2, 3), (2, 3), (2, 5), (0, 3), (0, 5), 2, 5), (0, 3), (0, 5), (1, 3), (1, 5)}(1, 3), (1, 5)} B BA A {(3,{(3, 2), (3, 0), (3, 1), (5,2), (3, 0), (3, 1), (5, 2), (5, 0), (5, 1)}2), (5, 0), (5, 1)} Resolução: Resolução: A A {{1, 0}; B1, 0}; B{1, 2, 3}{1, 2, 3} A A BB{({(1, 1), (1, 1), (1, 2), (1, 2), (1, 3), (0, 1), (0, 2), 1, 3), (0, 1), (0, 2), (0, 3)}(0, 3)} � �22 ��11 0 0 1 1 2 2 3 3 xx 1 1 2 2 3 3 4 4 � �11 � �22 y y 0 0
5 Represente graficamente os conjuntos: a) {(x, y) V V | x3}
b) {(x, y) V V| y2}
6 Dados os conjuntos A {x M| 1x5} e B { y M| 3y6}, determine o conjunto
E{(x, y) A B | yx1}.
Resolução:
A {1, 2, 3}; B {(x, y)A Mx y1}
Pelos dados, temos:
{(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), ... A M (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), ...
(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), ...} B{(1, 0)}
Portanto, B possui um elemento.
Resolução: a) {(x, y) V Vx3} �2 �1 0 1 2 3 x 1 2 3 4 �1 �2 y 0 b) {(x, y)V V y2} �2 �3 �4 �1 0 1 2 3 x 1 2 3 �1 �2 y 0 {(4, 4)} Resolução:
Pelos dados, temos:
A {x M1 <x5}{1, 2, 3, 4}
B{y M3 y<6}{4, 5, 6}
A B {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}
E{(x, y) A B y x1}
7 Dados A {0, 1, 3, 5, 7} e B{x M | 0x100}, criou-se uma associação entre os elementos x
de A e os elementos yde B tal que:
a) y 2x 1 b) yx2 x
Em quais desses casos a associação define uma função? Qual é o conjunto imagem da função?
p. 12
8 Considere a função f: M→ Mtal que f(n) 1, se né par, e f(n)0, se né ímpar.
a) Determine o conjunto imagem de f .
b) Existe algum número natural ntal que f(n) n1?
9 Sendo f:V →Vtal que (x) x
2
=
1
,obtenha mtal que f(m 1)m1.
Resolução:
A {0, 1, 3, 5, 7}
B{x M0< x<100} {0, 1, 2, 3, 4, ..., 100}
Com os dados, devemos ter: a) y 2x1 Se x0 → y 1B b) yx2 x Se x0 → y 0 B Se x1 → y 2 B Se x3 → y 12B Se x5 → y 30B Se x7 → y 56B
Portanto, yx2 x define uma função, e sua imagem é Im(f){0, 2, 12, 30, 56}.
{0, 2, 6, 12, 30, 56} Resolução: f(0) 1; f(1) 0 f(2) 1; f(3) 0 f(4) 1; f(5) 0 .. . a) Im(f){0, 1} b) f(n)n 1 Para n 0 → f(0)011
Resposta: a) Im(f) {0, 1}; b) Sim, para n 0.
{0, 1}
sim, zero
2
Resolução:
Pelo enunciado, temos: f: V→V f (x) x f (m m Substituindo , temos: f 1 2 → 1 ) 1 x ((m 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 ) m m → m m → m m → m
11 Dadas as funções f e gde Vem V, indicadas por f(x) 3x eg(x) = x b,
3 e sabendo que f(1) g(4) = 1
2, determineb.
12 Uma função f: V→V é dada por f(x) axb, f(1) 1 e f(1)3. Calcule f(2).
13 Determine o domínio da função f tal que:
a)f(x) x x 1 3 b) (x) x x 2 1 Resolução: f x x f x x (x) , x 1 Se f(x) , então: x 1 1 1 1 ( ) x x x x 1 1 1 1 1 1 1 2 → (x ) ( ) (x ) ( ) → (x ) (x 1)2 2 1 2 1 4 0 0 2 2 → → x x x x → x → x 19 6 Resolução: f x x b g (x) ; g(x) 3 Sabendo que f(1) (4) 3 1 2,, então: 3 1 4 3 1 2 1 2 4 3 4 19 6 b → b → b Resolução: f(x)axb f(1) ab 1 f(1) a b3
Resolvendo o sistema a , temos:
b a b 1 3 2b 2 → b 1. Substituindobem ab 1, temos: a 2. Portanto, f(x) 2x 1. f(2) 41 → f(2) 3 {xV| x3} {x V | x 2 e x 1} Resolução:
a)Para f(x) , devemos ter:
x x 1 3 x30 → x3 D(f){xVx 3} b)Para x x f(x) , devemos ter: 2 1 x> 2 e x 1 D(f){xVx > 2 e x1} 3
p. 17
14 O gráfico ao lado mostra a arrecadação de uma cidade com um tipo de imposto durante alguns anos. É correto afirmar que:
a) a arrecadação em 2003 foi de 55,6 milhões de reais. b) a maior arrecadação foi em 2006.
c) a arrecadação cresceu de 2001 até 2004.
d) a arrecadação nos dois últimos anos foram as maiores de todas.
e) as menores arrecadações se deram em 2000 e em 2001.
15 A figura mostra o gráfico de uma função f . Determine:
a) seu domínio.
b) xpara o qual f(x) é máximo.
c) os valores de xpara os quais f(x) 1.
16 Considere a função f , cujo gráfico se vê na figura. Determine:
a) o domínio e a imagem da função f .
b) xtal que f(x) 0.
Resolução:
a) (Verdadeira); a ordenada de 2003 é 55,6. b) (Falsa); a maior arrecadação foi em 2004.
c) (Falsa); a arrecadação cresceu entre 2000 e 2001, entre 2002 e 2004 e entre 2005 e 2006. d) (Falsa); as arrecadações nos dois últimos anos foram menores que em 2004.
e) (Falsa); as menores arrecadações ocorreram em 2000 e 2002.
D(f) {xV|3x3}
3
2 e 1
Resolução:
a) A projeção do gráfico sobre o eixo x ocorre no
intervalo [ 3, 3 ].
D(f){xV3<x<3}
b) No gráfico, para o maior valor de y, y4, temos x3.
Portanto, f(x) é máximo para x3.
c) f(x)1 para x 2 e para x1. a) D(f){xV|1x6}; Im(f) {yV|1y4} 1, 1 2, 3 2 Resolução:
a) A projeção do gráfico sobre o eixo x ocorre no
intervalo [ 1, 6 [.
D(f){xV1<x<6}
A projeção do gráfico sobre o eixo y ocorre no
intervalo [ 1, 4 [.
Im(f){yV1<y<4}
b) f(x) 0 nos pontos em que o gráfico corta o eixo x.
Logo, x 1, x 1 x . 2
3 2 e
12 9 �8 �5�4 �2 4 5 7 x � 2 15
é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
p. 20 18 Dadas f(x)2x 3 e g(x)3x 2, obtenha: a) f g(x) b) g f(x) c) f f(x) d) g g(x) 19 Sendo f(x) x2 1, calcule f (2x3).
20 Obtenha mde modo que f(f(m)) 1, sendo f(x)42x.
Crescente: 8, 15 2 , [ 5, 4], [ 2, 4] e [5, 7 ]] Decrescente: 15 2 , 5 , [ 4, 2], [4, 5] Resolução:
No gráfico, a função é crescente nos intervalos:
8 15
2 5 4 2
, , , , [ , 4] e [5, 7], e decres
[ ] ccente nos intervalos:
15 2 , [ , ] 5 4 2 , ee [4, 5]. f g(x) 6x 1 g f(x)6x7 f f(x) 4x9 g g(x) 9x8 Resolução: f(x)2x3; g(x)3x 2 a) f g(x) f(g(x))2 ∙ (3x 2)36x1 b) g f(x)g(f(x))3 ∙ (2x3)26x 7 c) f f(x)f(f(x))2 ∙ (2x 3)3 4x9 d) g g(x) g(g(x))3 ∙ (3x2) 29x8 f(2x3) 4x2 12x8 Resolução: f(x)x2 1 f (2x3)(2x 3)2 14x2 12x91 → f (2x 3) 4x2 12x8 5 4 Resolução: f(x)42x f(m)42m f(f(m))42 ∙ (4 2m)4m4 Como f(f(m)) 1, então: 4m41 →m 5 4.
21 Uma função f de Mem Mé tal que f(0) 2, f(2) 4 e f(4) 9. Obtenha f(f(f(0))).
22 Determine g(x), sabendo que f(g(x)) 2x 4 e f(x)x1.
23 Determine g(x), sabendo que g(f(x)) 2x2 4x1 e f(x) x1.
24 Dadas f(x)5x a e g(x)2x1, obtenha apara que se tenha f(g(x)) g(f(x)).
25 Dadaf(x) 2 x 5 3 ,obtenha f 1(x), admitindo que f é bijetora. p. 24 9 Resolução: f(f(f(0)))f(f(2)) f(4) 9 g(x) 2x3 Resolução: f(g(x))2x4; f(x)x1 f(g(x))g(x) 1 Então: g(x) 12x4 → g(x)2x 3 g(x) 2x2 3 Resolução: g(f(x))2x2 4x 1; f(x)x1 g(f(x))g(x1) 2x2 4x 1 Seja x 1u → xu1. Substituindo, g(u) 2 ∙ (u1)2 4 ∙ (u 1) 1 g(u) 2 ∙ (u2 2u1)4u41 g(u) 2u2 3 → g(x)2x2 3 4 Resolução: f(x)5xa; g(x) 2x 1 f(g(x))g(f(x)) f(2x1)g(5xa) → 5 ∙ (2x1)a2 ∙ (5xa)1 → 10x5a10x2a1 → a4 f (x) 3x 5 2 1 Resolução: f x x y x x y x y x y y ( ) 2 5 3 2 5 3 2 5 3 3 2 5 3 5 2 → → → 33 5 2 3 5 2 1 x f x (x)
a) (x) x 1 c)f(x) 3 x 1 b) (x) 2 x 3 d)f(x) x x 1 1 f (x) 1 x 1 f (x) 2x 3 x 1 f (x) x 1 2 6x 8 f (x) x 1 1 x 1 Resolução: a f x y x x y xy y x f x x ) ( ) (x) f (x) b 1 1 1 1 1 1 1 → → )) f(x) (2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 x y x x y x y x xy xy → → → ) 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 x y x x x x x x y → f c) f(x) ( ) xx x y y x y x x x y x 1 3 1 1 3 1 1 9 6 2 2 → (3 y ) 2 2 1 2 6 8 6 8 1 1 1 1 x f x x d f x x x y x x (x) ) ( ) → → x y y xy x y xy y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1 (x ) 1 1 1 1 1 x f x x (x)
27 Considere a função bijetora f: V→Vdada por f(x) 3 x
2
5 .Calculef 1 3
2
(
)
.28 Dada f: V→V, bijetora, tal que f(x) 4 x 2
3 , calcule f 1(f(7)). Resolução: f(x) (7) 4 2 3 4 7 2 3 7 26 3 4 2 3 4 x f f y x x y → → → ( ) 2 3 3 4 2 3 2 4 3 2 4 1 1 x y y x f (x) x Então, f (f (77)) 26 3 . f 1 3 f 1 f 26 3 2 4 7 7
