Agradecemos as sugestões dos colegas do MAT-UnB e dos estudantes do Cál-culo 2 que utilizaram alguma das versões desse livro, o que permitiu uma con-siderável melhoria no conteúdo e na apresentação do texto.
Sumário 1 1 Introdução 5 2 Sequências e séries 15 2.1 Limite de Sequências . . . 15 Propriedades do limite . . . 21 Sequências e funções . . . 23 Sequência de Fibonacci . . . 27 Sequências monótonas . . . 29 2.2 Séries . . . 31 Teste da divergência . . . 38 Série harmônica . . . 39 Séries telescópicas . . . 42 Séries geométricas . . . 44
Operações com séries . . . 49
Séries de potências . . . 53
Operações com séries de potências . . . 56
2.3 Testes de convergência . . . 59
Teste da cauda . . . 59
Teste da comparação . . . 61
Teste da convergência absoluta . . . 64
Teste da série alternada . . . 68
Teste da raiz . . . 71
Teste da razão . . . 75
Teste da integral . . . 79
3 Séries de potências 85
3.1 Domínio de séries de potências . . . 85
Derivada de séries de potências . . . 94
Integral de séries de potências . . . 98
Unicidade dos coeficientes . . . 104
3.2 Série de Taylor . . . 106
Série binomial . . . 111
Polinômio de Taylor . . . 114
Calculadora científica . . . 121
Exponenciais, potências e suas inversas . . . 122
Trigonométricas hiperbólicas e suas inversas . . . 124
Trigonométricas e suas inversas . . . 125
4 Equações diferenciais 127 4.1 Equação diferencial ordinária . . . 127
Sistemas de EDOs . . . 134
4.2 EDO separável . . . 139
Catenária . . . 143
4.3 EDO linear de 1ª ordem . . . 148
4.4 EDO linear de 2ª ordem . . . 155
Solução geral . . . 159
Solução da homogênea . . . 161
Solução da não-homogênea . . . 169
4.5 Coeficientes constantes . . . 174
Equação característica . . . 174
Raízes reais distintas . . . 175
Raiz real única . . . 176
Raízes complexas . . . 178
4.6 Coeficientes variáveis . . . 180
Mecânica quântica . . . 180
Oscilador harmônico . . . 181
Átomo de hidrogêneo . . . 183
Existência e unicidade de soluções . . . 185
Soluções por séries de potências . . . 189
5 Transformada de Laplace 197 5.1 Propriedades da transformada . . . 197
Linearidade da transformada . . . 198
Deslocamento . . . 205 Mudança de escala . . . 208 Derivada da transformada . . . 212 Injetividade da transformada . . . 215 5.2 Transformada inversa . . . 218 Funções racionais . . . 219
5.3 Funções definidas por partes . . . 233
5.4 Transformada de sistemas . . . 241
A Apêndice 245 A.1 Sequência monótonas . . . 245
A.2 Integral imprópria . . . 247
A.3 Exponencial complexa . . . 249
Funções com valores complexos . . . 251
A.4 Continuidade de séries de potências . . . 256
A.5 Derivada de séries de potências . . . 260
A.6 Soluções por séries de potências . . . 263
A.7 Regra de Cramer . . . 270
A.8 EDO linear de ordem superior . . . 272
Solução da homogênea . . . 273
C
A
P
Í
1
I
NTRODUÇÃO
O Cálculo é o estudo do movimento: a quantidades que se movem são dadas por funções, os limites de funções fornecem as tendências dessas des, e as derivadas de funções fornecem as taxas de variação dessas quantida-des. Já a integral é a antiderivada: dada a taxa de variação de uma quantidade, quem é a quantidade? No Cálculo 1 vimos diversos exemplos e aplicações de limites, derivada e integral de funções polinomiais, trigonométricas, expo-nenciais e suas combinações.
Derivar e calcular os limites de uma dada função é fácil, uma vez que se conheça as regras básicas. No entanto, integrar nem sempre é fácil! Ainda assim, para estudar o movimento, a integral é a ferramenta mais importante: pense na situação em que você está pilotando um veículo, seja um carro ou um foguete de posicionamento de um satélite. Você quer chegar em algum lugar, portanto está interessado na posição do veículo, no entanto você não controla a posição do veículo diretamente: você tem controle da velocidade (freios) e da aceleração do veículo. Ou seja, você tem controle das taxas de variação da quantidade, e com isso quer encontrar a quantidade: você quer integrar!
Nesse curso de Cálculo 2 vamos, num certo sentido, melhorar a integral. O primeiro passo para isso será aumentar o nosso repertório de funções: quanto mais funções tivermos, mais funções conseguiremos integrar e mais
movi-mentos poderemos descrever.
Por exemplo, a área abaixo da conhecida curva de sino de Gauss está rela-cionada ao cálculo de certas probabilidades. Como calcular a integral definida
Z b a e−x2d x =? b a e−x2
Para calculá-la usando Cálculo 1, precisamos primeiro calcular a integral in-definida obtendo uma primitiva de e−x2 (isto é, uma função cuja derivada é
e−x2). Porém essa primitiva não é nenhuma das funções do Cálculo 1, e nem mesmo nenhuma combinação delas!
Por outro lado, é muito fácil obter a derivada e a integral indefinida um polinômio de grau n
c0+ c1x + c2x2+ · · · + cnxn
uma vez que
(c0 + c1x + c2x2 + · · · + cnxn)0 = c1 + c22x + · · · + cnnxn−1 e que Z (c0 + c1x + c2x2 + · · · + cnxn ) d x = c0x + c1 x2 2 + c2 x3 3 + · · · + cn xn+1 n + 1 +C
Será que toda função pode ser dada por um polinômio?
Cada vez que derivamos um polinômio seu grau diminui por um. Assim, depois de derivar n + 1 vezes um polinômio de grau n temos que o polinômio zera. Por outro lado temos que
( cos(x))00= − cos(x) ( sen(x))00= − sen(x)
o que mostra que nenhuma das funções ex, cos(x), sen(x) é dada por um polinômio.
Mas e se considerarmos “polinômios infinitos"?
Exemplos
1) A soma de todos os termos da progressão geométrica de razão x
1 + x + x2+ · · · + xn+ · · · 1 +x +x2 · · · 0 é um polinômio infinito.
Se x é um número entre 0 e 1, a potência xnfica cada vez menor à medida que n cresce. Podemos obter o valor dessa soma infinita à partir da semelhança dos seguintes triângulos retângulos
1 +x +x2 · · · 1 x x 2 1 − x x − x2 A B C
Observe que a hipotenusa do primeiro e do segundo triângulo verde têm a mesma inclinação pois
1 − x 1 =
x − x2 x
e, como elas têm um ponto em comum, essas duas hipotenusas formam uma reta. Repetindo esse raciocínio obtemos uma reta de
C até B e, portanto, um triângulo retângulo ABC tal que AC = 1 e AB = 1 + x + x2+ · · · + xn+ · · ·
Como o triângulo ABC é semelhante ao primeiro triângulo verde, segue que AB está para AC assim como 1 está para 1 − x, de modo que
1 + x + x2+ · · · + xn+ · · · = 1 1 − x
Mais adiante veremos que essa igualdade vale para qualquer x ∈ (−1,1). Por exemplo, para x =12temos
1 +1 2+ 1 4+ · · · + µ 1 2 ¶n + · · · = 1 1 −12 = 2
2 1 +1 2 +1 4 0 · · ·
Faz sentido então falar do polinômio infinito 1+x +x2+· · ·+xn+ · · · , desde que tomemos o cuidado de considerar apenas valores de
x em (−1,1).
2) 1
1 + x é dado por um polinômio infinito? Temos que 1 1 + x = 1 1 − (−x) = 1 + (−x) + (−x)2+ (−x)3+ (−x)4+ · · · + (−x)n+ · · · = 1 − x + x2− x3+ x4− x5+ · · · + (−1)nxn+ · · · para x ∈ (−1,1). 1
1 + x2 é dado por um polinômio infinito? Temos que 1 1 + x2 = 1 1 − (−x2) = 1 + (−x2) + (−x2)2+ (−x2)3+ (−x2)4· · · + (−x2)n+ · · · = 1 − x2+ x4− x6+ x8− + · · · + (−1)nx2n+ · · ·
para −x2∈ (−1, 1), ou seja, para x ∈ (−1, 1).
3) Vimos que ex não é um polinômio finito, pois (ex)0= ex. Será que é um polinômio infinito? Fazendo
ex = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + · · ·
grau n. Fazendo x = 0, temos
e0 = c0 + c10 + c202 + c303 + c404 + · · · ∥
1 = c0
de modo que c0= 1 é o coeficiente da potência de grau 0. Deri-vando termo a termo temos que
(ex)0 = c1 + c22x + c33x2 + c44x3 + · · · Usando então que
(ex)0 = c1 + c22x2 + c33x2 + c44x3 + · · · ∥
ex = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + · · ·
e igualando os coeficientes das potências de mesmo grau, temos que c1= c0= 1 =⇒ c1= 1 c22 = c1= 1 =⇒ c2= 1 2 c33 = c2=1 2 =⇒ c3= 1 3! c44 = c3= 1 3! =⇒ c4= 1 4! Segue que, em geral
cn= 1 n! de modo que ex = 1 + x + 1 2!x 2 + 1 3!x 3 + 1 4!x 4 + · · ·
Veremos mais adiante que isso pode ser feito rigorosamente e que a igualdade acima vale para todo x ∈ R. Observe que
(ex)0 = ( 1 + x + 1 2!x 2 + 1 3!x 3 + 1 4!x 4 + · · · )0 = 1 + 1 2!2x + 1 3!3x 2 + 1 4!4x 3 + · · · = 1 + x + 1 2!x 2 + 1 3!x 3 + · · · = ex
4) Já comentamos que a área abaixo da conhecida curva de sino de
Gauss, dada por
Z b
a
e−x2d x
está relacionada ao cálculo de certas probabilidades.
Podemos calcular essa integral usando o polinômio infinito para ex e fazendo e−x2 = 1 + (−x2) + 1 2!(−x 2 )2 + 1 3!(−x 2 )3 + · · · = 1 − x2 + 1 2!x 4 − 1 3!x 6 + · · · para x ∈ (−∞,∞), de modo que
R e−x2d x = x − x3 3 + 1 2! x5 5 − 1 3! x7 7 + · · · +C para todo x ∈ R.
5) Vimos que sen(x) não é um polinômio finito, pois ( sen(x))00 = − sen(x). Será que é um polinômio infinito? Fazendo
temos que sen0(x) = c1 + c22x + c33x2 + c44x3 + · · · sen00(x) = c22 + c33 · 2x + c44 · 3x2 + c55 · 4x3 + · · · Fazendo x = 0, temos sen(0) = c0 + c10 + c202 + c303 + · · · ∥ 0 = c0 sen0(0) = c1 + c220 + c3302 + c4403 + · · · 1 = c1
de onde concluímos que c0= 0 e c1= 1. Usando que
sen00(x) = c22 + c33 · 2x + c44 · 3x2 + c55 · 4x3 + · · · ∥
− sen(x) = −c0 − c1x − c2x2 − c3x3 + · · · e igualando os coeficientes das potências de mesmo grau, temos que c22 = −c0= 0 =⇒ c2= 0 c33 · 2 = −c1= −1 =⇒ c3= −1 3! c44 · 3 = −c2= 0 =⇒ c4= 0 c55 · 4 = −c3= 1 3! =⇒ c5= 1 5! Segue que sen(x) = x − 1 3!x 3 + 1 5!x 5 − 1 7!x 7 + 1 9!x 9 + · · · Veremos mais adiante que isso pode ser feito rigorosamente e que a igualdade acima vale para todo x ∈ R.
Usando que cos(x) = sen0(x) podemos facilmente escrever cos(x) como um polinômio infinito
cos(x) = (x − 1 3!x 3 + 1 5!x 5 − 1 7!x 7 + · · · )0 = 1 − 1 3!3x 2 + 1 5!5x 4 − 1 7!7x 6 + · · · = 1 − 1 2!x 2 + 1 4!x 4 − 1 6!x 6 + · · · para todo x ∈ R.
Sabemos que cos(x) é uma função par e sen(x) é uma função ímpar, isto é
cos(−x) = cos(x) e sen(−x) = − sen(x)
Observe que no polinômio infinito para cos(x) aparecem apenas potências pares e no polinômio infinito para sen(x) aparecem ape-nas potências ímpares. Coincidência?
C
A P Í2
S
EQUÊNCIAS E SÉRIES
2.1
L
IMITE DE
S
EQUÊNCIAS
O limite de sequências expressa a ideia de aproximações sucessivas, que é uma das ideias fundamentais do Cálculo 2. Por exemplo, podemos aproxi-mar a área de uma circunferência de raio 1 pela área an do polígono regular
de n lados inscrito nessa circunferência: quanto maior o número n de lados, mais próximo a área anfica da área da circunferência.
Mais geralmente, uma sequência é uma lista ordenada e infinita de núme-ros reais
a0, a1, a2, a3, . . . , an, . . .
Denominamos a0 de 0-ésimo termo da sequência, a1de 1-ésimo termo da sequência, a2de 2-ésimo termo da sequência e assim por diante. Numa
po-sição genérica n, aparece an, o n-ésimo termo da sequência, denominado
termo geral da sequência. Muita vezes, denotamos à sequência acima
sim-plesmente pelo seu termo geral an. Podemos visualizar uma sequência como
uma progressão infinita de pontos da reta real.
a3 a2 a0 a1 an
0
Uma sequência anpode começar em n = 0, n = 1, n = 2, etc: em geral não
nos interessa os valores dos primeiros termos de uma sequência an mas sim
seu valor limite: o valor do qual a sequência an se aproxima a medida que
n cresce para o infinito. Para isso, olhamos a sequência ancomo uma função
a(n) que para cada natural n associa o valor real a(n) = ane definimos o limite
da sequência usando a mesma definição do limite no infinito de funções reais lim
n→∞an= limn→∞a(n)
como ilustrado na figura abaixo, onde limn→∞an= a.
n+1 n−1 n ... ... 7 6 5 4 3 2 1 0 ... ... a an ...
Exemplos
1) Considere uma corda de um instrumento musical vibrando presa
a duas extremidades. No primeiro harmônico dessa corda, o pri-meiro nó ocorre apenas na outra extremidade. No segundo harmô-nico dessa uma corda, o primeiro nó ocorre na metade da corda. No terceiro harmônico dessa uma corda, o primeiro nó ocorre em um terço da corda, e assim em diante.
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
Isso dá origem à sequência harmônica
an= 1 n Claramente, temos lim n→∞ 1 n = 0
2) an= n, é a sequência dos números naturais
0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .
bn= 2n, é a sequência dos números pares
0, 2, 4, 6, . . . , 2n, . . .
cn= 2n + 1, é a sequência dos números ímpares
1, 3, 5, 7, . . . , 2n + 1,... Claramente, temos lim n→∞an= limn→∞bn= limn→∞cn= ∞ 3) an= (−1)né a sequência alternada 1, −1,1,−1,...,(−1)n, . . . 1 −1 0 Observe que a2n= 1 e a2n+1= −1
Temos que limn→∞an não existe, uma vez que a sequência
alter-nada não se aproxima de nenhum valor à medida que n cresce para o infinito.
4) Seja ana área do polígono regular de n lados inscrito na
circun-ferência de raio 1, n ≥ 3. Podemos calcular a área an se notarmos
que ela consiste de n triângulos com lados iguais de comprimento 1 e ângulo 2π/n entre eles.
2π
n
π n
É fácil ver que cada um desses triângulos tem altura cos(π/n) e base 2 sen(π/n) de modo que sua área é
cos(π/n) sen(π/n) = sen(2π/n) 2
onde usamos a fórmula da soma de arcos de seno. Somando a área desses n triângulos obtemos a área do polígono, dada por
an= n
sen(2π/n) 2 Intuitivamente, devemos ter
lim
n→∞an= π
pois essa é a área da circunferência de raio 1. Porém, como mostrar isso rigorosamente?
5) Nesse exemplo vamos ver a importância de se ter uma noção
ri-gorosa de limite de sequências. Considere a hipotenusa de um tri-ângulo rettri-ângulo de catetos com comprimento 1. Essa hipotenusa tem, portanto, comprimentop2.
p 2
1
1
Vamos tentar aproximar sucessivamente o comprimento dessa hi-potenusa com o comprimento cnde “escadas” que vão do começo
ao fim da hipotenusa, com cada vez mais degraus
c0 c1 c2 c3 c4
Pelo desenho, temos a impressão de que, quanto maior n, mais próximo o comprimento das escadas ficam do comprimento da hi-potenusa. Mas, de fato, é isso que está acontecendo?
Não! Observe que o comprimento de cada escada é sempre o mesmo cn= 2 para todo n. (Por quê?) Segue que cné uma
sequên-cias constante e
lim
n→∞cn= 2
Em geral, quando não houver risco de mal entendidos, o limite de anserá
denotado simplesmente por
lim an= a
ficando subentendido que n → ∞. Outra notação, que será menos utilizada, é
an→ a
Observe que, para o limite de uma sequência, não importa onde a sequên-cia começa mas sim onde a sequênsequên-cia “termina”: os valores de an quando n
tende ao infinito. Em particular, se lim an= a então
lim an+1= a e lim an−1= a
pois quando n tende ao infinito, ambos n − 1 e n + 1 também tendem ao infi-nito.
P
ROPRIEDADES DO LIMITE
Todas as propriedades válidas para limite no infinito de funções reais também são válidas para limite de sequências. Em particular, valem as regras do limite da soma, produto e quociente.
Proposição 2.1
Sejam lim ane lim bnexistem , então
(S) lim an+ bn = lim an+ lim bn
(P) lim anbn = lim anlim bn
(Q) liman
bn =
lim an
lim bn
, se lim bn6= 0
Valem também a monotonicidade e o teorema do sanduíche.
Proposição 2.2
Temos que
(A) Se an≤ bn, então lim an≤ lim bn.
(B) Se an≤ cn≤ bne lim an= lim bn= c, então lim cn= c.
Dizemos que uma sequência é limitada se ela não se afasta indefinida-mente da origem, mais precisaindefinida-mente, se existe um R > 0 tal que |an| < R para
direita da origem seu limite é infinito, e se uma sequência se afasta indefi-nidamente para a esquerda da origem seu limite é menos infinito. Temos as sequintes propriedades.
Proposição 2.3
Temos que
(A) Se ané limitada e lim bn= ∞, então lim
an
bn = 0.
(B) Se lim an= 0 e an> 0, então lim
1
an = ∞.
(C) Se lim an= ∞ e an≤ bn, então lim bn= ∞.
Exemplo
Vamos considerar a sequência an=
10n
n! e perceber que, para obter
seu limite, só importa o que acontece para n grande. Temos que
a0= 1 < a1= 10 < a2= 100
2! = 50 < a3= 1000
3! = 166, 6 . . . Por outro lado, para n > 10 temos que
an= 10n n! = 10 n · 10 n − 1· · · 10 11 | {z } cada fator≤1 ·10 10 10! ≤ 10 n · 1 · · · 1 · 1010 10! = 10 n 1010 10!
de onde segue que
0 ≤ an≤
10
n
1010 10!
Como 10/n → 0, e 1010/10! é uma constante, segue do teorema do Sanduíche que
S
EQUÊNCIAS E FUNÇÕES
Vimos que que podemos considerar uma sequência ancomo uma função
finida nos naturais n = 0,1,2,3,.... No Cálculo 1 estudamos funções f (x) de-finidas para x num intervalo. Veremos que em algumas situações podemos usar limite de funções do Cálculo 1 para calcular limite de sequências.
Dizemos que L é o limite de f (x) quando x tende para a e denotamos lim
x→af (x) = L
quando para toda sequência xncom xn6= a e lim xn= a temos
lim f (xn) = L
como ilustrado na figura abaixo.
x1 x1 x2 x3 a L f f (x1) f (x2) f (x3)
Observe que nessa definição podemos ter a = ±∞ ou L = ±∞ ou ambos.
Proposição 2.4
(A) Se lim xn= a então
lim f (xn) = lim x→af (x)
(B) Se, além disso, f (x) é contínua em x = a, então lim f (xn) = f (lim xn)
Prova:
O item (A) é consequência da definição de limite de funções. Para o item (B), se f é contínua em a, temos que
lim
x→af (x) = f (a).
Pelo item (A) temos então que lim f (xn) = lim
x→af (x) = f (a) = f (lim xn)
onde trocamos a por lim xn, uma vez que a = lim xn.
Proposição 2.5
(A) Se an= f (n) então
lim an= lim x→∞f (x)
desde que esse último limite exista.
(B) Se, além disso, bn= g (n) e limx→∞g (x) existe, então
liman bn = limx→∞ f (x) g (x)= limx→∞ f0(x) g0(x) desde que esse último limite exista e que tenhamos
Prova:
O item (A) é consequência da definição de limite de funções, uma vez que
n é uma sequência que tende ao infinito.
O item (B) é consequência do item (A) e da Regra de L’Hospital.
Uma maneira mais prática de escrever a regra de L’Hospital para sequên-cias é liman bn = lim(an) 0 (bn)0
onde (an)0 e (bn)0 denotam as derivadas em relação a n, lembrando que a
regra se aplica desde que tenhamos
lim an= lim bn= 0 ou lim an= lim bn= ±∞
Exemplos
1) Considere a sequência an= cos(2πn). Sabemos que
an= cos(2πn) = 1
para todo n, de modo que essa sequência é constante e lim an= 1
Será que podemos afirmar que
lim cos(2πn)= lim?
x→∞ cos(2πx)
Não, pois o limite à direita não existe! Só podemos usar uma fun-ção real f (x) para calcular o limite de uma sequência anquando o
limite da função real existe: se o limite da função real não existe, nada podemos dizer sobre a sequência.
2) Vimos que a área do polígono regular de n lados inscrito na
cir-cunferência de raio 1 é dada por
an= n sen(2π/n) 2 Temos que lim an = lim n→∞n sen(2π/n) 2 = lim n→∞ sen(π2/n) 2/n fazendo x = 2/n → 0 = lim x→0 sen(πx) x indeterminação 0/0, L’Hospital = lim x→0 π cos(πx) 1 = π cos(0) = π Isso prova que lim an= π.
3) Escrevendo ex= exp(x) temos que n p e = en1 = expµ 1 n ¶ de modo que limpn e = limexpµ 1 n ¶ = exp µ lim1 n ¶ = exp(0) = 1
onde podemos passamos o limite para dentro de exp(x) pois essa é uma função contínua.
4) Temos que lim n en = lim (n)0 (en)0= lim 1 en = 0,
uma vez que
5) Temos que lim log³ n n + 1 ´ = log ³ lim n n + 1 ´ = log(1) = 0
onde passamos o limite para dentro de log(x) pois essa é uma fun-ção contínua e usamos que
lim n n + 1= lim (n)0 (n + 1)0= lim 1 1= 1. pois lim n = ∞ = limn + 1.
S
EQUÊNCIA DE
F
IBONACCI
Agora consideramos um exemplo bastante curioso, a denominada sequência
de Fibonacci dada por anda seguinte maneira: seus dois primeiros passos são
iguais a um, ou seja, a1= a2= 1. Para obtermos os demais passos, utilizamos a seguinte fórmula
an+2= an+1+ an
Os 10 primeiros passos dessa sequência são apresentados na seguinte lista 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
Essa sequência claramente possui limite infinito. Entretanto é possível mos-trar que a sequência das razões de Fibonacci
1 1, 2 1, 3 2, 5 3, 8 5, 13 8 , 21 13, 34 21, 55 34, . . . dada pelas razões
rn=
an+1 an
é de fato convergente e determinar o seu limite. Vamos aqui supor que rn→ φ
e determinar que éφ. Em primeiro lugar observamos que
rn+1=an+2 an+1 = an+1+ an an+1 = 1 + an an+1 = 1 + a1 n+1 an = 1 + 1 rn , o que mostra que
rn+1= 1 + 1
rn
Pelas regras da soma e do quociente, segue que lim rn+1= 1 + 1
lim rn
Por outro lado, se n → ∞, então n + 1 → ∞, de modo que lim rn+1= lim rn= φ
de modo que
φ = 1 +1 φ
Multiplicando a igualdade acima porφ, temos que esse limite é solução da seguinte equação quadrática
φ2
− φ − 1 = 0 cuja única solução positiva é
φ = 1 +
p 5 2
denominada razão áurea. Esse número mágico, conhecido desde a antigui-dade, é obtido geometricamente dividindo-se um dado segmento em dois pe-daços, de modo que a proporção do todoφ sobre a maior das partes 1 coincida com a proporção entre a maior das partes 1 e a menor das partesφ − 1, como ilustrado na figura abaixo.
0 1 φ
A razão áureaφ é então qualquer uma destas duas proporções idênticas e sa-tisfaz φ 1 = 1 φ − 1
S
EQUÊNCIAS MONÓTONAS
Intuitivamente um a sequência é monótona se ela vai sempre para a direita ou sempre para a esquerda. Mais precisamente, an é monótona quando é
crescente a1≤ a2≤ a3≤ · · · ≤ an≤ an+1≤ · · · a1 a2 a3 an ou quando é decrescente · · · ≤ an+1≤ an≤ · · · ≤ a3≤ a2≤ a1 a1 a2 a3 an Exemplos
1) As sequências an=1ne bn= n são monótonas.
Quando uma sequência é monótona e limitada, existe uma constante po-sitiva R que limita todos os valores da sequência por cima
a1≤ a2≤ a3≤ · · · ≤ R
a1 a2 a3 an R
ou tal que −R limita todos os valores da sequência por baixo −R ≤ · · · ≤ a3≤ a2≤ a1 a1 a2 a3 an −R Exemplos
1) A sequência an=1né monótona e limitada.
2) A sequência bn= n é monótona porém não é limitada.
A seguinte proposição, demonstrada no apêndice, nos dá um critério in-direto para saber se uma sequência monótona tem ou não limite.
Proposição 2.6
Seja anuma sequência monótona. Então
(A) Se ané limitada, então lim an= a, para algum a ∈ R, e
2.2
S
ÉRIES
As séries expressam a ideia de somas com infinitas parcelas, que é uma das ideias fundamentais do Cálculo 2. Por exemplo, uma maneira de aproximar a área de uma circunferência de raio 1 usando apenas a área de triângulos é começar com a área a0do triângulo inscrito, a essa área somar a área a1de três triângulos apoiados nos lados do triângulo anterior, a essas duas áreas somar a área a2 de seis triângulos apoiados nos lados dos triângulos anteriores, e assim em diante.
a0 a1 a2
a0 a0+ a1 a0+ a1+ a2
Quanto maior n, mais próximo a soma a0+ a1+ a2+ . . . + an fica da área da
circunferência. Assim, a soma das infinitas parcelas a0+ a1+ a2+ · · · + an+ · · ·
seria a área da circunferência: mas o que é uma soma de infinitas parcelas? Mais geralmente, dada uma sequência an, queremos analisar a soma dos
seus infinitos termos
a0+ a1+ a2+ · · · + an+ · · ·
denominada de série de an. Para isso, a partir da lista horizontal original
denominada agora sequência das parcelas da série de an, consideramos a
se-guinte lista vertical
s0 = a0 s1 = a0+ a1 s2 = a0+ a1+ a2 .. . sm = a0+ a1+ a2+ · · · + am .. .
denominada sequência das somas parciais da série de an, cujo termo geral sm
é denominado m-ésima soma parcial de an.
a0 +a1 +a2 0 · · · s0 s1 s2 sm−1 sm +am · · · A série de ané definida pelo limite das somas parciais de an
lim
m→∞sm= a0+ a1+ a2+ · · · + an+ · · ·
Observe que fazemos essa soma infinita de modo seriado: somando primeiro
a0, depois somando a1, depois somando a2e assim em diante, por isso damos a essa soma infinita o nome de série. Muitas vezes, será conveniente utilizar-mos a seguinte notação de somatório.
Notação
1) A m-ésima soma parcial de ané denotada por
sm= m
X
n=0
2) A série de ané denotada por ∞ X n=0 an= lim m→∞ m X n=0 an= a0+ a1+ a2+ · · · + an+ · · ·
Temos as seguintes definições básicas sobre séries numéricas.
Definições
Dizemos que a série numérica
1) Converge: Quando lim sm= s ∈ R e escrevemos
∞ X
n=0
an= s
2) Diverge: Quando lim sm não existe ou quando lim sm = ±∞.
Nesse último caso escrevemos ∞ X
n=0
an= ±∞
e dizemos que a série diverge para ±∞.
Exemplos 1) A série ∞ X n=0 1 2n = 1 + 1 2+ 1 4+ · · · + 1 2n+ · · ·
é a soma de todos os termos da progressão geométrica de razão 1 2. 1 +1 2 +1 4 0 · · ·
A sequência das suas parcelas é dada por 1,1 2, 1 4, ··· , 1 2n, ···
enquanto a sequência das suas somas parciais é dada por
s0 = 1 s1 = 1 + 1 2 s2 = 1 + 1 2+ 1 4 .. . sm = 1 + 1 2+ 1 4+ · · · + 1 2m .. .
É possível observar geometricamente que
sm= 2 − 1 2m 2 1 +1 2 +1 4 0 · · · −1 4
o que será provado mais adiante. Segue que lim sm= 2
de modo que a série ∞ X n=0 1 2n = 1 + 1 2+ 1 4+ 1 8+ · · · = 2. converge. 2) Considere a série ∞ X n=1 1 = 1 + 1 + 1 + ··· + 1 + ···
A sequência das suas parcelas é dada por 1, 1, 1, ··· ,1,···
enquanto a sequência das suas somas parciais é dada por
s1 = 1 s2 = 1 + 1 s3 = 1 + 1 + 1 .. . sm = m vezes z }| { 1 + 1 + 1 + ··· + 1 .. . Segue que lim sm= lim m = ∞
de modo que a série ∞ X
n=1
1 = 1 + 1 + 1 + ··· + 1 + ··· = ∞.
3) Considere a série
∞ X
n=0
(−1)n= 1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n+ · · ·
A sequência das suas parcelas é dada por 1, −1,1,−1,··· ,(−1)n, ···
enquanto a sequência das suas somas parciais é dada por
s0 = 1 s1 = 1 − 1 = 0 s2 = 1 − 1 + 1 = 1 s2 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 .. . sm = ½ 1, m par 0, m ímpar .. .
Segue que lim smnão existe, de modo que a série
∞ X
n=0
(−1)n= 1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n+ · · ·
apenas diverge.
Uma maneira de visualizar uma sérieP∞
n=0ané visualizar a sequência das
parcelas ancomo uma função de n, e observar que o valor de cada parcela an
pode ser visualizado como a área de um retângulo de altura ane base 1. Assim,
... n 5 4 3 2 1 0 ... a n ... a0 a1 a2 a3 a4 a5 ... 6 n+1 Se a sérieP∞
n=0anconverge, é intuitivo que as parcelas anda soma se
tor-nam cada vez menores. De fato, temos o seguinte resultado.
Proposição 2.7 ∞ X n=0 anconverge =⇒ lim an= 0 Prova:
Como a série converge, temos que lim sm = s ∈ R. Temos que as somas
parciais são dadas por
sn−1 = a0+ a1+ a2+ · · · + an−1
sn = a0+ a1+ a2+ · · · + an−1+ an
Subtraindo, obtemos que
an= sn− sn−1
de modo que
uma vez que
lim sn= s = lim sn−1
T
ESTE DA DIVERGÊNCIA
Lendo o resultado anterior anterior de uma outra maneira temos o seguinte critério para divergência de uma série numérica.
Proposição 2.8: Teste da divergência
lim an 6= 0 =⇒ ∞ X n=0 andiverge = 0 =⇒ inconclusivo Prova:
Se a série convergisse, pelo resultado anterior, deveríamos ter lim an= 0.
Logo, se lim an6= 0, a série não pode convergir e portanto a série diverge.
Quando lim an= 0, tanto a série pode convergir, como no caso da série
geométrica de razão12, quanto a série pode divergir, como no caso da série harmônica, que será analisada na próxima seção.
Exemplos
1)
∞ X
n=1
o limite de suas parcelas é lim 1 6= 0.
2)
∞ X
n=0
(−1)n= 1 − 1 + 1 − 1 + · · · diverge, pelo Teste da Divergência, pois o limite de suas parcelas é lim(−1)n6= 0.
Observe que nos exemplos acima pudemos concluir que as séries em questão divergem sem olhar para suas somas parciais: olhamos apenas para o termo geral e, como ele não tende a zero, a série diverge. Porém, o Teste da Divergência é inconclusivo quando as parcelas tendem a zero.
S
ÉRIE HARMÔNICA
A série harmônica é dada pela soma dos termos da sequência harmônica ∞ X n=1 1 n = 1 + 1 2+ 1 3+ 1 4+ 1 5+ · · · + 1 n+ · · · ... 1 ... 2 3 4 5 6 7 8
A sequência das suas parcelas é dada por 1,1 2, 1 3, 1 4, 1 5, ··· , 1 n, ···
enquanto a sequência das suas somas parciais é dada por s1 = 1 s2 = 1 + 1 2 s3 = 1 + 1 2+ 1 3 .. . sm = 1 + 1 2+ 1 3+ · · · + 1 m .. . Suas parcelas são tais que
lim1
n = 0
mas, ainda assim, vale o seguinte resultado.
Proposição 2.9
A série harmônica diverge, mais precisamente ∞ X n=1 1 n = ∞ Prova:
Vamos dar uma idéia da demonstração: uma maneira mais rigorosa de provar isso será vista mais adiante. A idéia é organizar os termos da soma
infinita da série da seguinte maneira (veja figura abaixo) ∞ X n=1 1 n = 1 ≥ 1 2 +1 2 ≥ 1 2 +1 3+ 1 4 ≥ 1 4+ 1 4= 1 2 +1 5+ 1 6+ 1 7+ 1 8 ≥ 1 8+ 1 8+ 1 8+ 1 8= 1 2 +1 9+ 1 10+ 1 11+ · · · + 1 16 ≥ 1 16+ 1 16+ 1 16+ · · · + 1 16= 1 2 + · · ·
de modo que, somando um número suficiente de termos, as somas parci-ais da série crescem de meio em meio e assim tendem ao infinito. Segue que a série harmônica diverge para o infinito.
... 1 ... 2 1 4 1 4 1 2 1 8 1 2 1 8 1 8 1 8 3 4 5 6 7 8
S
ÉRIES TELESCÓPICAS
Uma série∞ X
n=0
ané denominada telescópica quando seu termo geral é da forma
an= rn− rn+1
A sequência das suas parcelas é dada por
r0− r1, r1− r2, r2− r3, ··· ,rn− rn+1, ···
Nesse tipo de série, há o cancelamento da segunda parte de cada termo com a primeira parte do termo seguinte, de modo que nas somas parciais so-bram apenas a primeira parte do primeiro termo e a segunda parte do último termo. s0 = r0− r1 s1 = (r0−r1) + (r1− r2) = r0− r2 s2 = (r0−r1) + (r1−r2) + (r2− r3) = r0− r3 .. . sm = (r0−r1) + (r1−r2) + (r2−r3) + ··· + (rm− rm+1) = r0− rm+1 .. . Temos então que
∞ X
n=0
an= r0− lim rm+1
quando esse limite existe. As séries telescópicas são um dos raros casos onde conseguimos determinar o valor da série, quando ela converge.
Exemplos 1) A série ∞ X n=2 1 n(n − 1)= 1 2 · 1+ 1 3 · 2+ 1 4 · 3+ 1 5 · 4+ · · · converge ou diverge? Temos que lim 1 n(n − 1)= 0
soma parcial é dada por sm= 1 2+ 1 6+ · · · + 1 m(m − 1)
Uma vez que o termo geral se decompõe em duas partes (verifique!) 1 n(n − 1)= 1 n − 1− 1 n
segue que em cada soma parcial
sm = µ 1 − 1 2 ¶ + µ 1 2− 1 3 ¶ + µ 1 3− · · · − 1 m − 1 ! + Ã 1 m − 1− 1 m ! = 1 − 1 m
sobram apenas a primeira parte do primeiro termo e a segunda parte do último termo. Segue que
lim sm= lim 1 −
1
m = 1
de modo que a série converge e, mais ainda, que ∞ X n=2 1 n(n − 1)= 1 2) A série ∞ X n=1 log³ n n + 1 ´ = logµ 1 2 ¶ + logµ 2 3 ¶ + logµ 3 4 ¶ + logµ 4 5 ¶ + · · · converge ou diverge? Temos que lim log ³ n n + 1 ´ = 0
soma parcial é dada por sm= log µ 1 2 ¶ + logµ 2 3 ¶ + · · · + log ³ m m + 1 ´
Uma vez que o termo geral se decompõe em duas partes log
³ n
n + 1
´
= log(n) − log(n + 1) segue que em cada soma parcial
sm = ¡log(1) −log(2)¢ + ¡ log(2) − log(3)¢ + ¡ log(3) − ··· · · · −log(m)¢ + ¡
log(m) − log(m + 1)¢ = − log(m + 1)
sobra apenas a segunda parte do último termo. Segue que lim sm= lim − log(m + 1) = −∞
de modo que ∞ X n=1 log ³ n n + 1 ´ = −∞
S
ÉRIES GEOMÉTRICAS
A soma de todos os termos da progressão geométrica de razão x fornece a série ∞
X
n=0
xn= 1 + x + x2+ · · · + xn+ · · ·
conhecida como série geométrica de razão x. A sequência das suas parcelas é dada por
enquanto a sequência das suas somas parciais é dada por s0 = 1 s1 = 1 + x s2 = 1 + x + x2 .. . sm = 1 + x + x2+ · · · + xm .. .
Para que valores da razão x a série converge?
Primeiro vamos investigar para que valores de x as parcelas tendem a zero.
Proposição 2.10
Temos que
|x| < 1 =⇒ lim xn= 0 |x| ≥ 1 =⇒ lim xn6= 0
Prova:
Se x = 0 então xn= 0 para todo n e então lim xn= 0. Logo, podemos supor que x 6= 0. Temos que
|xn| = |x|n = elog |x|n = en log |x| Segue que lim n→∞|x n | = lim n→∞e n log |x|= 0, |x| < 1 1, |x| = 1 ∞, |x| > 1
uma vez que log |x| < 0, |x| < 1 log |x| = 0, |x| = 1 log |x| > 0, |x| > 1 O resultado segue, pois
lim n→∞|x n | = 0 se e só se lim n→∞x n = 0
Agora vamos determinas para quais razões x a série geométrica converge.
Proposição 2.11 Temos que |x| < 1 =⇒ ∞ X n=0 xn= 1 1 − x |x| ≥ 1 =⇒ ∞ X n=0 xndiverge Prova:
Se |x| ≥ 1, temos que lim xn6= 0, de modo queP∞
n=0xndiverge, pelo Teste
da Divergência.
Se |x| < 1, temos que lim xn= 0, de modo que o Teste da Divergência é inconclusivo. Consideramos então as somas parciais
e observamos que
xsm= x + x2+ x3+ · · · + xm+1
se parece muito com sm. De fato, subtraindo um do outro,
(1 − x)sm= 1 − xm+1
Como 1 − x 6= 0, podemos isolar sme obter
sm=1 − x m+1
1 − x Pelas regras de limite, segue que
lim sm=
1 1 − x. onde usamos que lim xm+1= 0. Isso mostra que
∞ X
n=0
xn= 1
1 − x quando |x| < 1, como queríamos.
As séries geométricas são mais um dos raros casos onde conseguimos de-terminar o valor da série, quando ela converge.
Exemplos 1) Temos que ∞ X n=0 1 2n = 1 + 1 2+ 1 4+ 1 8+ · · · + 1 2n+ · · ·
é a série geométrica de razão 1/2, portanto ∞ X n=0 1 2n = ∞ X n=0 µ 1 2 ¶n = 1 1 −12 = 2 2 1 +1 2 +1 4 0 · · · 2) Temos que ∞ X n=0 (−1)n 3n = 1 − 1 3+ 1 9− 1 27+ · · · + (−1)n 3n + · · ·
é a série geométrica de razão −1/3, portanto ∞ X n=0 (−1)n 3n = ∞ X n=0 µ −1 3 ¶n = 1 1 −¡−13¢ = 3 4 1 −1 3 0 +1 9 · · · 3 4
3) Temos que
∞ X
n=0
2n= 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n+ · · ·
é a série geométrica de razão 2, portanto diverge, uma vez que |2| ≥ 1. 4) Temos que ∞ X n=0 (−1)n= 1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n+ · · ·
é a série geométrica de razão −1, portanto diverge, uma vez que | − 1| = 1 ≥ 1.
O
PERAÇÕES COM SÉRIES
Quando as séries são convergentes, a soma de duas séries e o produto de uma série por uma constante sempre podem ser escritas como uma nova série.
Proposição 2.12 Se ∞ X n=0 ane ∞ X n=0 bnconvergem, então (S) ∞ X n=0 (an± bn) converge e ∞ X n=0 (an± bn) = ∞ X n=0 an± ∞ X n=0 bn
(C) ∞ X n=0 c anconverge e ∞ X n=0 c an= c µ ∞ X n=0 an ¶
onde c é uma constante.
Prova: Como ∞ X n=0 ane ∞ X n=0
bnconvergem, temos que
lim m→∞ m X n=0 an= ∞ X n=0 an lim m→∞ m X n=0 bn= ∞ X n=0 bn
são números reais. (S) Temos que
m
X
n=0
(an+ bn) = (a0+ b0) + (a1+ b1) + (a2+ b2) + ··· + (am+ bm)
= (a0+ a1+ a2+ · · · + am) + (b0+ b1+ b2+ · · · + bm) = m X n=0 an+ m X n=0 bn
Usando a regra do limite da soma, segue que ∞ X n=0 (an+ bn) = lim m→∞ m X n=0 (an+ bn) = lim m→∞ m X n=0 an+ lim m→∞ m X n=0 bn = ∞ X n=0 an+ ∞ X n=0 bn
Para ∞ X n=0 (an− bn), a prova é a mesma. (C) Temos que m X n=0
c an = ca0+ ca1+ ca2+ · · · + cam
= c(a0+ a1+ a2+ · · · + am) = c m X n=0 an
Usando a regra do limite do produto, segue que ∞ X n=0 c an = lim m→∞ m X n=0 c an = c lim m→∞ m X n=0 an = c ∞ X n=0 an Exemplos
1) Combinando duas séries geométricas que convergem temos
∞ X n=0 µ 1 2n− (−1)n 3n ¶ (S) = ∞ X n=0 µ 1 2 ¶n − ∞ X n=0 µ −1 3 ¶n = 2 −3 4= 5 4
2) A seguinte série se parece com uma geométrica de razão12 ∞ X n=0 1 2n+1 = 1 2+ 1 4+ 1 8+ · · · (C ) = 1 2 µ 1 +1 2+ 1 4+ · · · ¶ = 1 22 = 1 logo ela converge para 1. De outro modo
∞ X n=0 1 2n+1 = ∞ X n=0 1 2 1 2n (C ) = 1 2 µ ∞ X n=0 1 2n ¶ = = 1 22 = 1
3) A seguinte série se parece com uma geométrica de razão 13, mas começa dois termos adiante
∞ X n=2 1 3n = 1 9+ 1 27+ 1 81+ · · · (C ) = 1 9 µ 1 +1 3+ 1 9+ · · · ¶ = 1 9 3 2= 1 6
logo ela converge para16. De outro modo ∞ X n=2 1 3n = ∞ X n=0 1 3n+2 = ∞ X n=0 1 32 1 3n (C ) = 1 32 µ ∞ X n=0 1 3n ¶ = = 1 9 3 2= 1 6
S
ÉRIES DE POTÊNCIAS
Agora podemos definir rigorosamente um polinômio infinito como a série de potências
c0+ c1x + c2x2+ · · · + cnxn+ · · ·
Mais precisamente, fixando um valor para x, consideramos as parcelas
c0, c1x, c2x2, . . . , cnxn, . . . e as somas parciais s0 = c0 s1 = c0+ c1x s2 = c0+ c1x + c2x2 .. . sm = c0+ c1x + c2x2+ · · · + cmxm .. .
Assim, uma série de potências é o somatório infinito de potências ∞
X
n=0
com infinitos coeficientes
c0, c1, c2, . . . , cn
Para cada valor fixado de x obtemos uma série numérica: dizemos que a série de potências converge em x quando essa série numérica converge. Em
x = 0 a série de potências converge para seu coeficiente constante (de grau
zero) uma vez que ∞ X
n=0
cn0n= c0+ c10 + c202+ · · · + cn0n+ · · · = c0
Em quais outros valores de x a série de potências converge?
Exemplos
1) Todo polinômio é uma série de potências. Por exemplo, o
polinô-mio
1 − x + 7x3 de grau 3 é uma série de potênciasP∞
n=0anxn, com coeficientes
da-dos por
a0= 1, a1= −1, a2= 0, a3= 7 e an= 0 para n > 3.
Mais geralmente, um polinômio
b0+ b1x + ··· + bkxk
de grau k é uma série de potências P∞
n=0anxn, com coeficientes
dados por
a0= b0, a1= b1, . . . , ak= bk e an= 0 para n > k.
2) A série geométrica de razão x pode ser vista como uma série de
potências ∞ X n=0 xn= 1 + x + x2+ · · · + xn+ · · · com coeficientes 1, 1, 1, . . . , 1, . . .
Já vimos que a série geométrica converge se, e só se, x ∈ (−1,1).
3) Considere a série de potências
∞ X n=1 1 nx n = x +1 2x 2 +1 3x 3 + · · · + 1 nx n + · · · com coeficientes 0, 1,1 2, 1 3, . . . , 1 n, . . .
Note que o termo constante é nulo e por isso c0= 0. Para que valo-res de x ela converge?
Por exemplo, para x = 1 obtemos a série harmônica ∞ X n=1 1 n = 1 + 1 2+ 1 3+ · · · + 1 n+ · · · que diverge.
4) Na introdução vimos a seguinte série de potências
∞ X n=0 1 n!x n = 1 + x +1 2x 2+1 6x 3+ · · · + 1 n!x n + · · · com coeficientes 1, 1,1 2, 1 6, . . . , 1 n!, . . .
Para que valores de x ela converge?
Por exemplo, para x = 1 obtemos a série numérica ∞ X n=0 1 n!= 1 + 1 + 1 2+ 1 6+ · · · + 1 n!+ · · · ela converge?
cada valor de x fixado. Portanto, precisamos de mais ferramentas para decidir quando uma série numérica converge ou diverge.
OPERAÇÕES COM SÉRIES DE POTÊNCIAS
Assim como os polinômios, a soma de duas séries de potências é uma série de potência, assim como o produto de uma série de potências por uma potência também é uma série de potências.
Proposição 2.13
Se, para x, a séries ∞ X n=0 cnxne ∞ X n=0 dnxnconvergem, então (S) ∞ X n=0 cnxn+ ∞ X n=0 dnxn= ∞ X n=0 (cn+ dn)xn (P) xk ∞ X n=0 cnxn= ∞ X n=0 cnxn+k Prova: Temos que ∞ X n=0 cnxn+ ∞ X n=0 dnxn= ∞ X n=0 (cnxn+ dnxn) = ∞ X n=0 (cn+ dn)xn e também que xk ∞ X n=0 cnxn= ∞ X n=0 xkcnxn= ∞ X n=0 cnxn+k
É importante observar que, para escrever a soma de duas séries de potên-cias como uma única série de potênpotên-cias, devemos observar se os limites dos
somatórios são os mesmos e se podemos colocar xn em evidência, como na demonstração acima. Por exemplo, considere a seguinte expressão
x3 ∞ X n=0 1 n!x n + ∞ X n=1 1 nx n
A expressão pode ser escrita como ∞ X n=0 1 n!x n+3+X∞ n=1 1 nx n
Se somarmos essas duas séries de potências, obtemos ∞ X n=0 µ 1 n!x n+3+1 nx n¶ (2.1) e não conseguimos escrever a expressão acima como uma série de potências, uma vez que não podemos colocar xn+3em evidência, pois aparece apenas na primeira parcela dentro dos parênteses, e também não podemos colocar xn em evidência, pois aparece apenas na segunda parcela dentros do parênteses. O que devemos fazer, antes de tentarmos somar as duas séries de potências, é reescrevermos a primeira série
∞ X n=0 1 n!x n+3
de modo que o fator xn+3seja substituido pelo o fator xn. Isso pode ser feito através de uma substituição no índice do somatório. Definimos m = n + 3, de modo n = m −3. Quando n = 0, temos que m = 3, e quando n → ∞, temos que
m → ∞. Efetuando essa substituição na série acima obtemos que
∞ X n=0 1 n!x n+3= X∞ m=3 1 (m − 3)!x m (2.2)
Substituindo a expressão 2.2 na expressão 2.1, obtemos a expressão ∞ X m=3 1 (m − 3)!x m + ∞ X n=1 1 nx n
Se tentarmos somar as duas séries de potências, encontramos agora dois obs-táculos. Primeiro as letras usadas como índices dos somatório são diferentes.
Como a letra usada para o índice do somatório é indiferente, podemos tro-car uma delas, de modo que as duas letras voltem a coincidir. Como estamos acostumados com a letra n, vamos volar a utilizar essa letra no primeiro so-matório, de modo que a expressão acima se torna igual a
∞ X n=3 1 (n − 3)!x n + ∞ X n=1 1 nx n
O segundo obstáculo é que os limites dos somatórios não são os mesmos. Para isso, podemos separar as primeiras parcelas da série cujo limite inferiror co-meça antes, nesse caso a segunda série na expressão acima, de modo que
∞ X n=3 1 (n − 3)!x n + x +1 2x 2 + ∞ X n=3 1 nx n
Podemos então transformar a expressão acima na série de potências
x +1 2x 2 + ∞ X n=3 µ 1 (n − 3)!+ 1 n ¶ xn
cujos coeficientes são
c0= 0, c1= 1, c2= 1 2, cn= 1 (n − 3)!+ 1 n para n ≥ 3. Exemplo Temos que x3 ∞ X n=0 1 n!x n = ∞ X n=0 1 n!x 3 xn = ∞ X n=0 1 n!x n+3 = ∞ X m=3 1 (m − 3)!x m = ∞ X n=3 1 (n − 3)!x n
Ou seja, temos que x3 µ 1 + x +1 2x 2 + 1 3!x 3 + · · · ¶ = x3+ x4+1 2x 5 + 1 3!x 6 + · · ·
2.3
T
ESTES DE CONVERGÊNCIA
Vamos desenvolver critérios indiretos que, em algumas situações, vão nos per-mitir decidir se uma dada série numérica converge ou diverge sem precisar-mos manipular suas somas parciais. O lado ruim desses critérios indiretos é que não vamos saber o valor para o qual série converge ou diverge, mas ape-nas se ela converge ou diverge.
T
ESTE DA CAUDA
Temos que ∞ X n=0 an = a0+ a1+ · · · + an+ · · · = (a0+ a1+ · · · + ak−1) + (ak+ ak+1+ · · · + an+ · · · ) = (a0+ a1+ · · · + ak−1) + ∞ X n=k anonde a primeira soma é finita e a segunda soma é infinita. Essa segunda soma é a k-ésima cauda da série
∞ X n=0 an, dada por ∞ X n=k an= ak+ ak+1+ · · · + an+ · · ·
... n k+1 k ... 1 0 ... a n ... a0 a1 ak ak+1 ... ... k−1 ak−1
Proposição 2.14: Teste da Cauda
A cauda ∞ X n=k anconverge ⇐⇒ a série ∞ X n=0 anconverge A cauda ∞ X n=k andiverge ⇐⇒ a série ∞ X n=0 andiverge Prova:
Para m ≥ k, temos que a soma parcial da série ∞ X n=0 anfica m X n=0 an = a0+ a1+ a2+ · · · + am = (a0+ a1+ a2+ · · · + ak−1) + (ak+ ak+1+ · · · + am) = k−1 X n=0 an+ m X n=k an
Uma vez que
k−1X n=0
an= a0+ a1+ a2+ · · · + ak−1
é uma quantidade finita que não depende de m, o resultado segue.
T
ESTE DA COMPARAÇÃO
Temos que a série∞ X
n=0
|an| é tal que suas somas parciais sm formam uma
sequência crescente
s0 = |a0|
s1 = |a0| + |a1|
s2 = |a0| + |a1| + |a2| ..
.
sm = |a0| + |a1| + |a2| + · · · + |am|
sm+1 = |a0| + |a1| + |a2| + · · · + |am| + |am+1|
.. .
Neste caso, o limite lim sm sempre existe e temos então apenas duas
possibi-lidades
Propriedades
1) Converge: se o limite lim sm é finito e, nesse caso, escrevemos
∞ X
n=0
|an| < ∞
2) Diverge pro infinito: se o limite lim sm é infinito e, nesse caso,
escrevemos
∞ X
n=0
A mesma análise acima também vale para as caudas, de modo que sempre podemos escrever ∞ X n=k |an| ≤ ∞.
Proposição 2.15: Teste da comparação
Se 0 ≤ |an| ≤ |bn| para n ≥ k então ∞ X n=k |an| ≤ ∞ X n=k |bn| de modo que ∞ X n=k |an| = ∞ =⇒ ∞ X n=k |bn| = ∞ ∞ X n=k |bn| < ∞ =⇒ ∞ X n=k |an| < ∞
|bn| |b0| |b1| |b2| ... n 2 1 0 ... |an| ... |a0| |a1| |a2| ... n+1 Prova: Se 0 ≤ |an| ≤ |bn| para n ≥ k então m X n=k |an| ≤ m X n=k |bn|
Pela monotonicidade do limite de sequências, segue que ∞ X n=k |an| ≤ ∞ X n=k |bn| Se ∞ X n=k
|an| = ∞ então a desigualdade acima “empurra” a outra cauda
para que ∞ X n=k |bn| = ∞. Se ∞ X n=k
|bn| < ∞ então a desigualdade acima “empurra” a outra cauda
para que ∞ X
n=k
Exemplo
A série 2-harmônica é a série dada por ∞ X n=1 1 n2= 1 + 1 4+ 1 9+ 1 16+ 1 25· · · + 1 n2+ · · · Ela converge ou diverge?
Observe que ela tem termos positivos, e também que seu termo geral é tal que
1
n2< 1
n(n − 1)
para todo n ≥ 2. Por comparação, segue que ∞ X n=2 1 n2≤ ∞ X n=2 1 n2− n = 1 < ∞
Pelo Teste da cauda, segue que a série ∞ X
n=1
1
n2 converge. Assim, enquanto a série harmônica
∞ X n=1 1 n diverge, a série 2-harmônica ∞ X n=1 1 n2 converge.
T
ESTE DA CONVERGÊNCIA ABSOLUTA
Vamos ver a seguir que a convergência da série dos valores absolutos implica na convergência da série original.
Proposição 2.16
Se
∞ X
n=0
|an| = |a0| + |a1| + |a2| + · · · < ∞
então ∞ X n=0 an= a0+ a1+ a2+ · · · converge. ... ... a0 a1 a2 a 3 a4 |a2| |a3| |a4| a5 Prova:
Separamos as partes positiva e negativa de an, escrevendo
an= bn+ cn onde bn= ½ an, an≥ 0 0, an< 0
... b0 b1 b5 e cn= ½ 0, an≥ 0 an, an< 0 ... c2 c 3 c4 Temos que 0 ≤ bn= |bn| ≤ |an| e também que 0 ≤ −cn= |cn| ≤ |an|.
Pelo teste da comparação, segue que ∞ X n=0 bn≤ ∞ X n=0 |an| < ∞ e também que ∞ X n=0 −cn≤ ∞ X n=0 |an| < ∞.
Pela regra da multiplicação por constantes, temos que (−1) ∞ X n=0 −cn= ∞ X n=0 cn
converge. Pela regra da soma, segue que ∞ X n=0 bn+ ∞ X n=0 cn = ∞ X n=0 bn+ cn = ∞ X n=0 an converge.
Quando a série dos valores absolutos converge, dizemos que a série ori-ginal converge absolutamente. O resultado acima mostra que toda série que converge absolutamente de fato converge. Mas existem séries que conver-gem, mas não convergem absolutamente.
Exemplos 1) Temos que ∞ X n=1 (−1)n n2 converge absolutamente, uma vez que
∞ X n=1 ¯ ¯ ¯ ¯ (−1)n n2 ¯ ¯ ¯ ¯= ∞ X n=1 1 n2< ∞.
2) Vamos ver a seguir que a série harmônica alternada
∞ X
n=1
(−1)n
n
que ∞ X n=1 ¯ ¯ ¯ ¯ (−1)n n ¯ ¯ ¯ ¯= ∞ X n=1 1 n = ∞.
Uma série que converge, mas não converge absolutamente, é chamada de série condicionalmente convergente.
T
ESTE DA SÉRIE ALTERNADA
A proposição a seguir, denominada teste da série alternada, afirma que são sempre convergentes as séries cujos termos alternam o sinal e cujo valor ab-soluto desses termos decresce para zero.
Proposição 2.17
Se an= |(−1)nan| é decrescente e lim an= 0, então
∞ X n=0 (−1)nan= a0− a1+ a2− a3+ · · · converge. Prova: Considere
s2k= a0− a1+ a2− a3+ · · · − a2k−3+ a2k−2− a2k−1+ a2k
Como an> 0 e an− an+1> 0 para todo n, temos que s2k > 0. Temos
tam-bém que
de modo que
0 < s2k< s2k−2< · · · < s2< s0
Segue que s2k é uma sequência decrescente e limitada, de modo que existe s tal que
lim s2k= s. Além disso, temos que
s2k+1= s2k− a2k+1 de modo que
lim s2k+1= lim s2k− lim a2k+1= s
uma vez que, pelo teorema do sanduíche, lim a2k+1= 0, já que 0 < a2k+1<
ak. Como a sequência dos smcom m par e com m ímpar convergem para
o mesmo s, não é difícil mostrar que a lim sm = s, mostrando que a série
converge.
Exemplos
1) Temos que a série harmônica alternada
∞ X
n=1
(−1)n1
n
converge, uma vez que é uma série alternada e que ¯ ¯ ¯ ¯(−1) n1 n ¯ ¯ ¯ ¯= 1 n
decresce para zero. Mas não converge absolutamente, uma vez que ∞ X n=1 ¯ ¯ ¯ ¯(−1) n1 n ¯ ¯ ¯ ¯= ∞ X n=1 1 n = ∞
somar primeiro as parcelas positivas e depois as parcelas negativas? A soma de suas parcelas positivas é dada por
1 2+ 1 4+ · · · + 1 2n+ · · · = ∞ X n=1 1 2n
Como podemos colocar o fator 12em evidência, segue que 1 2+ 1 4+ · · · + 1 2n+ · · · = 1 2 ∞ X n=1 1 n = ∞
pois apareceu 12 vezes a série harmônica, que diverge para o infi-nito. Por que isso aconteceu? Porque, apesar da série harmônica alternada convergir, ela não converge absolutamente. Sua conver-gência depende da ordem que somamos os termos. Se somarmos alternadamente as parcelas positivas e negativas, a série converge pois há cancelamentos. Se somarmos primeiro as parcelas positi-vas e depois as parcelas negatipositi-vas, a série diverge. É por essa razão que, nesse caso, dizemos que a ´serie converge condicionalmente, pois a convergência depende da ordem que as parcelas são soma-das. 3) Temos que ∞ X n=2 (−1)n 1 n log(n)
converge, uma vez que é uma série alternada e que ¯ ¯ ¯ ¯(−1) n 1 n log(n) ¯ ¯ ¯ ¯= 1 n log(n)
decresce para zero. Mas não converge absolutamente, uma vez que ∞ X n=2 ¯ ¯ ¯ ¯(−1) n 1 n log(n) ¯ ¯ ¯ ¯= ∞ X n=2 1 n log(n)= ∞
4) Temos que ∞ X n=1 (−1)nn + 1 n
não converge, pois apesar de ser uma série alternada e de ¯ ¯ ¯ ¯(−1) nn + 1 n ¯ ¯ ¯ ¯= n + 1 n
ser decrescente, este não decresce pra zero, portanto o Teste da sé-rie alternada não se aplica. Porém, como o termo geral não tende a zero, a série diverge pelo Teste da divergência.
T
ESTE DA RAIZ
Se tomamos o termo geral xn de uma série geométrica com razão x e extraí-mos a raiz n-ésima do seu módulo, obteextraí-mos de volta o módulo da razão
n p
|xn| = |x|
Como a convergência de uma série de uma série geométrica depende do mó-dulo de sua razão ser menor ou maior que um, definimos para uma série nu-mérica qualquer o módulo de sua razão no infinito pelo seguinte limite
lim
n→∞
n p
|an|
e obtemos o seguinte resultado.
Temos que limpn |an| < 1 =⇒ ∞ X n=0 anconverge > 1 =⇒ ∞ X n=0 andiverge = 1 =⇒ inconclusivo Prova:
A idéia é comparar a série dos módulos com uma série geométrica. 1) Se limpn |an| < 1, então n
p
|an| fica abaixo de 1 para n grande e,
por-tanto, abaixo de algum x < 1 positivo para n maior que algum k, isto é
n p
|an| < x < 1 para n ≥ k
Elevando ambos os lados a n-ésima potência temos |an| < xn para n ≥ k
e então as caudas das respectivas séries satifazem ∞ X n=k |an| < ∞ X n=k xn ≤ ∞ X n=0 xn= 1 1 − x < ∞
onde a série geométrica converge pois sua razão satisfaz 0 < x < 1. Pelo Teste da cauda, segue que
∞ X
n=0
|an| < ∞. Pelo Teste da convergência
absoluta, segue que ∞ X
n=0
anconverge.
2) Se limpn |an| > 1, então, existe k, tal que
n p
|an| > 1 para n ≥ k
Elevando ambos os lados a n-ésima potência, temos |an| > 1 para n ≥ k
o que mostra que lim |an| 6= 0 e, portanto, que lim an6= 0. Pelo Teste da
divergência, segue que ∞ X
n=0
andiverge.
3) Para mostrar que o caso limpn |an| = 1 é inconclusivo, vamos dar um
exemplo em que essa conta é satisfeita mas a série diverge e dar um outro exemplo em que essa conta é satisfeita mas a série converge. A série harmônica
∞ X
n=1
1
n diverge e é tal que
lim n s ¯ ¯ ¯ ¯ 1 n ¯ ¯ ¯ ¯= lim 1 n p n = 1 A série 2-harmônica ∞ X n=1 1
n2converge e é tal que
limn s ¯ ¯ ¯ ¯ 1 n2 ¯ ¯ ¯ ¯= lim 1 (pn n)2 = 1
Exemplos 1) ∞ X n=0 n2 2n converge?
Pelo Teste da raiz
lim n s ¯ ¯ ¯ ¯ n2 2n ¯ ¯ ¯ ¯= (limpnn)2 2 = 1 2< 1 segue então que a série converge.
2) ∞ X n=1 (−3)n n3 converge? Pelo Teste da raiz
lim n s ¯ ¯ ¯ ¯ (−3)n n3 ¯ ¯ ¯ ¯= 3 (limpn n)3= 3 > 1 segue então que a série diverge.
3) Para quais valores de x a série de potências
∞ X n=1 1 nx n converge? O Teste da raiz permite que testemos diversos valores de x ao mesmo tempo: pelo Teste da raiz
lim n s ¯ ¯ ¯ ¯ 1 nx n ¯ ¯ ¯ ¯= |x| n p n= |x|
segue então que a série converge se |x| < 1, e diverge se |x| > 1. Para |x| = 1, isto é, para x = 1 ou x = −1 o teste da raiz não se aplica e te-mos que substituir esses valores diretamente na série de potências.
Para x = 1 a série de potências fica ∞ X n=1 1 n(1) n = ∞ X n=1 1 n
