CÁLCULO TEORIA DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS

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COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO FUN

CÁLCULO

TEORIA DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS

JOÃO CARLOS MOREIRA

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

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COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

CÁLCULO

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CÁLCULO

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

JOÃO CARLOS MOREIRA

Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA

(4)

EDITOR: João Carlos Moreira

DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira

DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei n^o 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

(5)

Para todos os meus alunos, com carinho.

João Carlos Moreira

(6)

Prefácio

Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Cálculo, criado em 2013, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Cálculo e suas aplicações.

A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos.

Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil.

Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, primavera de 2021.

João Carlos Moreira

(7)

Símbolos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois

pertence ao

conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x

pertencente ao conjunto A.

∃! existe um único

(∃! x^∗)(x^∗

∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y

∨ ou

(inclusivo)

x ∨ y x ou y

∨ ou

(exclusivo)

x ∨ y x ou y

¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao conjunto A

→ implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q

↔ se, e

somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q

(8)

Alfabeto grego

Maiúsculas Minúsculas Lê-se

Α α Alfa

Β β Beta

Γ γ Gama.

Δ δ Delta

Ε ε Épsilon

Ζ ζ Zeta

Η η Eta

Θ θ Teta

Ι ι Iota

Κ κ Capa

Λ 𝜆 Lambda

Μ 𝜇 Mi

Ν 𝜈 Ni

Ξ 𝜉 Csi

Ο 𝜊 Ómicron

Π 𝜋 Pi

Ρ 𝜌 Rô

Σ 𝜎 Sigma

Τ 𝜏 Tau

Υ 𝜐 Úpsilon

Φ 𝜙 Fi

Χ 𝜒 Qui

Ψ 𝜓 Psi

Ω 𝜔 Ômega

(9)

CÁLCULO

ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem Histórica 01

2 Abordagem Algébrica 05

2.1 Sistema matemático das funções polinomiais 05

2.1.1 Representação das funções polinomiais 05

2.1.2 As operações 18

2.1.3 As relações 26

2.1.4 Os axiomas 30

2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 31

2.3 Teoria do cálculo diferencial 43

2.4 Teoria do cálculo integral 59

3 Abordagem Geométrica 64

3.1 Representação das funções polinomiais 64

3.2 Cálculo de perímetro 83

3.3 Cálculo de área 87

3.4 Cálculo de volume 90

4 Abordagem Computacional 93

(10)

4.1 Representação das funções polinomiais 93

4.2 Algoritmos 94

5 Abordagem Avançada 102

5.1 Propriedades 102

5.2 Teoremas 122

5.3 Conjecturas 00

5.4 Paradoxos 00

6 Desafios 146

6.1 Abordagem histórica 00

6.2 Abordagem algébrica 00

6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00

6.2.2 Prática intuitiva 00

6.2.3 Prática formal 00

6.3 Abordagem geométrica 00

6.4 Abordagem Computacional 00

7 Referências Bibliográficas 293

(11)

ABORDAGEM HISTÓRICA

TEORIA DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS | ESCOLA DE CÁLCULO

1

Isaac Newton (1643 – 1727) foi o maior matemático inglês de sua geração. Dentre suas principais contribuições, destacamos a descoberta do cálculo diferencial.

1 A palavra cálculo deriva de calcŭlus, que no latim significa pedra pequena, semelhante à de um ábaco.

2 As origens do cálculo assim como das polinomiais, remontam as civilizações babilônicas e egípcias, notadamente em problemas envolvendo cálculos de áreas e volumes, mas sem destacar um método efetivo.

3 Cálculos de áreas e volumes envolvendo soluções de equações polinomiais de segundo e terceiro graus, apareceram pela primeira vez na Mesopotâmia. Sabemos que os povos que viviam nessa região já tinham o conhecimento do teorema de Pitágoras, conforme observado em tabletes de argila.

Fig.1. Yale Collection #7289

(12)

4 As civilizações egípcias e gregas também contribuíram com o desenvolvimento de métodos de solução para as equações polinomiais.

5 Na Grécia antiga, Leucippus (c. 480-420 a.C.), Antífon (c.

480-411 a.C.) e Demócrito (c. 460-370 a.C.) contribuíram para o desenvolvimento do método da exaustão, formalizado em cerca de 370 a.C. por Eudoxus (c. 408-355 a.C.), descoberto mais tarde, no século III, na China por Liu Hui (c. 220-280).

Esse método aproxima uma determinada área por uma sequência de áreas de regiões poligonais e antecede os conceitos de limite e integral da era moderna. Os gregos foram os primeiros a introduzir a ideia de prova, embora ainda vinculada a geometria.

6 Os métodos algébricos proposto por Al-Khowarizmi, descritos em al-jabr w´al Muqabala, contribuíram significativamente para o desenvolvimento de algoritmos para a descoberta da solução geral de equações polinomiais de primeiro e segundo graus. Foi nesse período que as palavras álgebra e algoritmo surgiram.

7 O próximo passo, foi desenvolver um algoritmo para a solução geral das equações polinomiais de terceiro e quarto graus. No entanto, essa tarefa não foi nada fácil. Os babilônicos, egípcios, gregos e árabes conseguiram resolver algumas equações polinomiais de terceiro grau, muito particulares. Vários matemáticos como Wang Xiatong (580- 640), Omar Khayyam (1048-1131), Leonardo de Pisa (1170- 1240), Luca Pacioli (1415-1492), contribuíram para resolver as equações polinomiais de terceiro e quarto graus.

(13)

8 Scipione Del Ferro (1465-1526), Nicolo Tartaglia (1500-1557), Girolamo Cardano (1501-1576) e Ludovico Ferrari (1522-1565), deram contribuições efetivas para se obter a solução geral das equações polinomiais de terceiro e quarto graus.

9 Rafael Bombelli (1526-1572), François Viète (1540-1603), Albert Girard (1595-1632) e René Descartes (1596-1650) contribuíram para a descoberta da solução geral, incluindo as complexas, das equações polinomiais.

10 Em paralelo, Isaac Newton (1643 – 1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) criam de forma independente a teoria do cálculo diferencial e integral.

11 Leonhard Euler (1707-1783) em 1742 enunciou que uma expressão polinomial com coeficientes reais pode ser fatorada como um produto de fatores lineares e fatores quadráticos, mas não conseguiu uma prova completa deste fato. Euler provou que toda função polinomial de grau 𝑛 ≤ 6, possui exatamente 𝑛 raízes complexas.

12 Em 1746, Jean d’Alembert (1717-1783) pesquisando um método para integrar uma função racional com coeficientes reais (o hoje denominado Método das Frações Parciais), encontra uma demonstração difícil do TFA e que continha um erro que só em 1851 seria corrigido, por Victor Alexandre Puiseux (1820-1883). Devido a tal demonstração, na literatura francesa, o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) é chamado Teorema de d’Alembert.

(14)

13 O Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) é considerado por muitos o início da álgebra moderna.

14 Car Friedrich Gauss (1777-1855), em sua tese de doutorado de 1799, apresenta uma prova do TFA que é considerada por muitos realmente a primeira. O argumento principal usado, que difere das demais provas, era o fato de que era sempre suposta a existência das raízes e em seguida deduzia-se algumas de suas propriedades. Outras demonstrações surgiram mais tarde, incluindo a do próprio Gauss.

15 Paolo Ruffini (1765-1822), Niels Abel (1802-1829) e Évariste Galois (1811-1832), foram grandes colaboradores para provar que não há uma solução geral através de radicais para as equações de grau cinco e superiores. Nestes casos, torna-se necessário recorrermos a métodos numéricos para encontrarmos as soluções.

16 Atualmente, supercomputadores utilizam algoritmos para encontrar soluções de equações polinomiais com alta precisão.

Dúvidas, críticas ou sugestões?

(15)

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), foi um matemático alemão. Dentre suas contribuições, destacamos a descoberta do cálculo diferencial e integral e trabalhos sobre a álgebra do pensamento.

2.1 Sistema Matemático das funções polinomiais 2.1.1 Representação algébrica das funções polinomiais

Definição 1. A expressão algébrica

∑ 𝑎_𝑖𝑥^𝑖

𝑚

𝑖=0

= 𝑎₀+ 𝑎₁𝑥 + ⋯ + 𝑎_𝑚𝑥^𝑚

é chamada de polinomial com coeficientes 𝑎₀, 𝑎₁, ⋯ , 𝑎_𝑚 e variável 𝑥. Os monômios 𝑎0, 𝑎₁𝑥, ⋯ , 𝑎_𝑚𝑥^𝑚, são chamados de termos da polinomial. Adotamos, por convenção que

(𝑥⁰= 1).

O termo 𝑎0 é chamado de termo constante da polinomial.

ABORDAGEM ALGÉBRICA

TEORIA DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS | ESCOLA DE CÁLCULO

2

(16)

Definição 1.1. A expressão algébrica

∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛∙ 𝑥₁^𝑖¹∙ 𝑥₂^𝑖²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖^𝑛

𝑚_𝑛

𝑖_𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0

é chamada de polinomial com coeficientes 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛 e variáveis 𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ , 𝑥_𝑛. Os monômios 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛∙ 𝑥₁^𝑖¹∙ 𝑥₂^𝑖²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖^𝑛, são chamados de termos da polinomial. Adotamos, por convenção que

(∀𝑗)(∀𝑛)(𝑛 ∈ ℕ)(𝑗 ∈ {1, … , 𝑛})(𝑥_𝑗⁰= 1).

O termo 𝑎00⋯0 é chamado de termo constante da polinomial.

Definição 2.1. Uma relação 𝑓 ⊆ ℝ^𝑛× ℝ é chamada de função polinomial de n variáveis reais a valores reais, se existir uma polinomial

∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎𝑖₁𝑖₂⋯𝑖_𝑛𝑥1𝑖₁∙ 𝑥2𝑖₂∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛𝑖_𝑛 𝑚_𝑛

𝑖_𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0

com coeficientes 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛∈ ℝ tal que:

𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) , ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎𝑖₁𝑖₂⋯𝑖_𝑛𝑥1𝑖₁∙ 𝑥2𝑖₂∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛𝑖_𝑛 𝑚_𝑛

𝑖_𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0

) : (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ^𝑛}.

Definição 2. Uma relação 𝑓 ⊆ ℝ × ℝ é chamada de função polinomial de uma variável real a valores reais, se existir uma polinomial ∑^𝑚_𝑖=0𝑎_𝑖𝑥^𝑖 com coeficientes 𝑎𝑖 ∈ ℝ tal que:

𝑓 = {(𝑥, ∑ 𝑎_𝑖𝑥^𝑖

𝑚

𝑖=0

) : 𝑥 ∈ ℝ}.

Escólio. O conjunto de todas as funções polinomiais de uma variável real a valores reais é denotado por ℝ[𝑥].

(17)

Escólio. O conjunto de todas as funções polinomiais de n variáveis reais a valores reais é denotado por ℝ[{𝑥1, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛}]

ou ℝ[𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛].

Exemplo 1. 𝑓 = {(𝑥, ∑^𝑚_𝑖=0𝑎_𝑖𝑥^𝑖): 𝑥 ∈ ℝ} é uma representação algébrica de uma função polinomial 𝑓 ∈ ℝ[𝑥].

Exemplo 2. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦), ∑^𝑚_𝑖=0¹ ∑^𝑚_𝑗=0² 𝑎_𝑖𝑗∙ 𝑥^𝑖∙ 𝑦^𝑗) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ²} é uma representação algébrica de uma função polinomial 𝑓 ∈ ℝ[𝑥, 𝑦].

Exemplo 3. ^{𝑓 = {((}^{𝑥, 𝑦, 𝑧}^{), ∑} ^∑ ^∑ ^𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑚₃ 𝑘=0 𝑚₂

𝑗=0 ∙ 𝑥^𝑖

𝑚₁

𝑖=0 ∙ 𝑦^𝑗∙ 𝑧^𝑘) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ²} é uma representação algébrica de uma função polinomial 𝑓 ∈ ℝ[𝑥, 𝑦, 𝑧].

Exemplo 4.

𝑓 = {((𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) , ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛𝑥₁^𝑖¹∙ 𝑥₂^𝑖²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖^𝑛

𝑚𝑛

𝑖_𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0

) : (𝑥1, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ∈ ℝ^𝑛}

é uma representação algébrica de uma função polinomial 𝑓 ∈ ℝ[𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛].

Definição 3. O grau de uma função polinomial não nula 𝑓 = {(𝑥, ∑^𝑚_𝑖=0𝑎_𝑖∙ 𝑥^𝑖) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }, denotado por 𝜕(𝑓), é o maior número inteiro não negativo tal que

(𝜕(𝑓) ∈ {0,1, ⋯ , 𝑚}) ∧ (𝑎_𝜕(𝑓)≠ 0).

Neste caso, 𝑎_𝜕(𝑓)∙ 𝑥^𝜕(𝑓) é chamado de termo principal de 𝑓.

Convenção. Se (∀𝑖)(𝑎𝑖 = 0), então 𝑓 será chamada de função polinomial nula e 𝜕(𝑓) = −∞.

(18)

Exemplo 6. Para 𝑎0 ≠ 0, a forma geral das funções polinomiais de grau zero é:

𝑓 = {(𝑥, 𝑎0) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 𝑎₀) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑎₀) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ }

⋮

𝑓 = {((𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛), 𝑎₀) ∶ (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) ∈ ℝ^𝑛 }

Exemplo 5. Funções polinomiais de grau −∞:

𝑓 = {(𝑥, 0) ∶ 𝑥 ∈ ℝ } 𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 0) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 0) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ }

⋮

𝑓 = {((𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛), 0) ∶ (𝑥1, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) ∈ ℝ^𝑛 }

Definição 3.1. O grau de uma função polinomial não nula

𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) , ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎𝑖₁𝑖₂⋯𝑖_𝑛𝑥1𝑖₁∙ 𝑥2𝑖₂∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛𝑖_𝑛 𝑚_𝑛

𝑖_𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0

) : (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ^𝑛},

denotado por 𝜕(𝑓), é o maior número inteiro não negativo tal que (∃(𝑙₁, 𝑙₂, … , 𝑙_𝑛)) ((𝑎_𝑙₁_𝑙₂_⋯𝑙_𝑛≠ 0) ∧ (∑^𝑛_𝑗=1𝑙_𝑗= 𝜕(𝑓))). Neste caso,

𝑎𝑙₁𝑙₂⋯𝑙_𝑛𝑥1𝑙1∙ 𝑥2𝑙2∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛𝑙𝑛 é chamado de termo principal de 𝑓.

Convenção. Se (∀(𝑖₁, 𝑖₂, … , 𝑖_𝑛))(𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛 = 0), então 𝑓 será chamada de função polinomial nula e 𝜕(𝑓) = −∞.

Exemplo 7. Algumas funções polinomiais de grau zero:

𝑓 = {(𝑥, 1) ∶ 𝑥 ∈ ℝ } 𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 2) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 3) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ }

⋮

𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛), 𝑛) ∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ^𝑛 }

(19)

Exemplo 8. Forma geral das funções polinomiais de grau um:

((𝑎1≠ 0) ∧ (𝑓 = {(𝑥, ∑ 𝑎_𝑖∙ 𝑥^𝑖

1

𝑖=0

) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }))

((

∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗)²

1

𝑗=0 1

𝑖+𝑗=1𝑖=0

≠ 0 ) ∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥₂), ∑ ∑ 𝑎_𝑖𝑗∙ (𝑥₁)^𝑖∙ (𝑥₂)^𝑗

1

𝑗=0 1

𝑖+𝑗≤1𝑖=0

)

∶ (𝑥₁, 𝑥₂) ∈ ℝ² }))

(

∑ ∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗𝑘)²

1

𝑘=0 1

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=1 1

𝑖=0

≠ 0

∧ )

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃), ∑ ∑ ∑ 𝑎_𝑖𝑗𝑘∙ (𝑥₁)^𝑖∙ (𝑥₂)^𝑗

1

𝑘=0 1

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘≤1 1

𝑖=0

∙ (𝑥₃)^𝑘 )

∶ (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) ∈ ℝ³ })

⋮

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²

1

𝑖𝑛=0 1

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=1 1

𝑖1=0

≠ 0 )

∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛), ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛∙ (𝑥1)^𝑖¹∙ (𝑥2)^𝑖²

1

𝑖𝑛=0 1

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2⋯+𝑖𝑛≤1 1

𝑖1=0

∙ ⋯ ∙ (𝑥𝑛)^𝑖^𝑛 )

∶ (𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛) ∈ ℝ^𝑛 })

Exemplo 9. Algumas funções polinomiais de grau um:

𝑓 = {(𝑥, 1 + 2𝑥) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 1 + 2𝑥 + 2𝑦) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ }

⋮

𝑓 = {((𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛), 1 + ∑ 2𝑥𝑖 𝑛

𝑖=1

) ∶ (𝑥1, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) ∈ ℝ^𝑛 }

(20)

Exemplo 10. Forma geral das funções polinomiais de grau dois:

((𝑎2≠ 0) ∧ (𝑓 = {(𝑥, ∑ 𝑎_𝑖∙ 𝑥^𝑖

2

𝑖=0

) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }))

((

∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗)²

2

𝑗=0 2

𝑖=0 𝑖+𝑗=2

≠ 0 ) ∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥₂), ∑ ∑ 𝑎_𝑖𝑗∙ (𝑥₁)^𝑖∙ (𝑥₂)^𝑗

2

𝑗=0 2

𝑖=0

𝑖+𝑗≤2 )

∶ (𝑥₁, 𝑥₂) ∈ ℝ² }))

(

∑ ∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗𝑘)²

2

𝑘=0 2

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=2 2

𝑖=0

≠ 0 )

∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃), ∑ ∑ ∑ 𝑎_𝑖𝑗𝑘∙ (𝑥₁)^𝑖∙ (𝑥₂)^𝑗

2

𝑘=0 2

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘≤2 2

𝑖=0

∙ (𝑥₃)^𝑘 )

∶ (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) ∈ ℝ³ })

⋮

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑎_{𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛})²

2

𝑖𝑛=0 2

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=2 2

𝑖1=0

≠ 0 )

∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛), ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑛∙ (𝑥1)^𝑖¹∙ (𝑥2)^𝑖²

2

𝑖𝑛=0 2

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2⋯+𝑖𝑛≤2 2

𝑖1=0

∙ ⋯ ∙ (𝑥𝑛)^𝑖^𝑛 )

∶ (𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛) ∈ ℝ^𝑛 })

Exemplo 11. Algumas funções polinomiais de grau dois:

𝑓 = {(𝑥, 1 + 2𝑥 + 3𝑥²) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥²+ 3𝑦²) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 3𝑥²+ 3𝑦²+ 3𝑧²) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ }

⋮

𝑓 = {((𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛), 1 + ∑^𝑛_𝑖=12𝑥_𝑖+∑^𝑛_𝑖=13𝑥_𝑖²) ∶ (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛) ∈ ℝ^𝑛 }.

(21)

Exemplo 12. Forma geral das funções polinomiais de grau três:

((𝑎₃≠ 0) ∧ (𝑓 = {(𝑥, ∑ 𝑎_𝑖∙ 𝑥^𝑖

3

𝑖=0

) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }))

((

∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗)²

3

𝑗=0 3

𝑖=0 𝑖+𝑗=3

≠ 0 ) ∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥₂), ∑ ∑ 𝑎_𝑖𝑗∙ (𝑥₁)^𝑖∙ (𝑥₂)^𝑗

3

𝑗=0 3

𝑖=0

𝑖+𝑗≤3 )

∶ (𝑥₁, 𝑥₂) ∈ ℝ² }))

(

∑ ∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗𝑘)²

3

𝑘=0 3

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=3 3

𝑖=0

≠ 0 )

∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃), ∑ ∑ ∑ 𝑎_𝑖𝑗𝑘∙ (𝑥₁)^𝑖∙ (𝑥₂)^𝑗

3

𝑘=0 3

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘≤3 3

𝑖=0

∙ (𝑥₃)^𝑘 )

∶ (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) ∈ ℝ³ })

⋮

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛)²

3

𝑖𝑛=0 3

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=3 3

𝑖1=0

≠ 0 )

∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ , 𝑥_𝑛), ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛∙ (𝑥₁)^𝑖¹∙ (𝑥₂)^𝑖²

3

𝑖𝑛=0 3

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2⋯+𝑖𝑛≤3 3

𝑖1=0

∙ ⋯ ∙ (𝑥_𝑛)^𝑖^𝑛 )

∶ (𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ 𝑥_𝑛) ∈ ℝ^𝑛 })

Exemplo 13. Algumas funções polinomiais de grau três:

𝑓 = {(𝑥, 1 + 2𝑥 + 3𝑥²+ 4𝑥³) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥²+ 3𝑦²+ 4𝑥³+ 4𝑦³) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 3𝑥²+ 3𝑦²+ 3𝑧²+ 4𝑥³+ 4𝑦³+ 4𝑧³) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ }

⋮

𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛), 1 + ∑^𝑛_𝑖=12𝑥𝑖+∑𝑛 3𝑥𝑖2

𝑖=1 + ∑𝑛 4𝑥𝑖3

𝑖=1 ) ∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ^𝑛 }.

(22)

Exemplo 14. Forma geral das funções polinomiais de grau quatro:

((𝑎₄≠ 0) ∧ (𝑓 = {(𝑥, ∑ 𝑎_𝑖∙ 𝑥^𝑖

4

𝑖=0

) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }))

((

∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗)²

4

𝑗=0 4

𝑖+𝑗=4𝑖=0

≠ 0 ) ∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥₂), ∑ ∑ 𝑎_𝑖𝑗∙ (𝑥₁)^𝑖∙ (𝑥₂)^𝑗

4

𝑗=0 4

𝑖+𝑗≤4𝑖=0 )

∶ (𝑥₁, 𝑥₂) ∈ ℝ² }))

(

∑ ∑ ∑(𝑎_𝑖𝑗𝑘)²

4

𝑘=0 4

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘=4 4

𝑖=0

≠ 0 )

∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃), ∑ ∑ ∑ 𝑎_𝑖𝑗𝑘∙ (𝑥₁)^𝑖∙ (𝑥₂)^𝑗

4

𝑘=0 4

𝑗=0 𝑖+𝑗+𝑘≤4 4

𝑖=0

∙ (𝑥₃)^𝑘 )

∶ (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) ∈ ℝ³ })

⋮

(

∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑎_𝑖

1𝑖2⋯𝑖𝑛)²

4

𝑖𝑛=0 4

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2+⋯+𝑖𝑛=4 4

𝑖1=0

≠ 0 )

∧

( 𝑓 =

{(

(𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ , 𝑥_𝑛), ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛∙ (𝑥₁)^𝑖¹∙ (𝑥₂)^𝑖²

4

𝑖𝑛=0 4

𝑖2=0 𝑖1+𝑖2⋯+𝑖𝑛≤4 4

𝑖1=0

∙ ⋯ ∙ (𝑥_𝑛)^𝑖^𝑛 )

∶ (𝑥₁, 𝑥₂, ⋯ 𝑥_𝑛) ∈ ℝ^𝑛 })

Exemplo 15. Algumas funções polinomiais de grau quatro:

𝑓 = {(𝑥, 1 + 2𝑥 + 3𝑥²+ 4𝑥³+ 5𝑥⁴) ∶ 𝑥 ∈ ℝ }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 1 + 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥²+ 3𝑦²+ 4𝑥³+ 4𝑦³+ 5𝑥⁴+ 5𝑦⁴) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² }

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 1 + ∑ 2𝑥_𝑖+ 3𝑥_𝑖²+ 4𝑥_𝑖³

3

𝑖=1

+ 5𝑥_𝑖⁴) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ }

⋮

𝑓 = {((𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛), 1 + ∑𝑛 2𝑥𝑖+ 3𝑥𝑖2+ 4𝑥𝑖3

𝑖=1 + 5𝑥𝑖4) ∶ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ^𝑛 }.

(23)

Exemplo 16. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 𝑥 − 1) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² } é uma função polinomial 𝑓 ∈ ℝ[𝑥, 𝑦], de duas variáveis reais a valores reais e de grau um.

Exemplo 17. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 2𝑥𝑦 + 3𝑦 − 2𝑧) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ } é uma função polinomial 𝑓 ∈ ℝ[𝑥, 𝑦, 𝑧], de três variáveis reais a valores reais e de grau dois.

Exemplo 18. 𝑓={((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤), 2𝑥³𝑦𝑧)∶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)∈ ℝ⁴ } é uma função polinomial 𝑓 ∈ ℝ[𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤], de quatro variáveis reais a valores reais e de grau cinco.

Exemplo 19. 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤), 𝑥⁶𝑦⁵𝑧⁴+ 𝑤³) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ ℝ⁴ } é uma função polinomial 𝑓 ∈ ℝ[𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤], de quatro variáveis reais a valores reais e de grau quinze.

Definição 4. O domínio de uma função polinomial 𝑓 ⊆ ℝ × ℝ de uma variável real a valores reais, denotado por 𝐷(𝑓), é o conjunto de todos os elementos do espaço ℝ que se relacionam através de uma polinomial com um único elemento do conjunto dos números reais; em linguagem formal:

𝐷(𝑓) = {𝑥: ((∃! 𝑦)(𝑦 ∈ ℝ)((𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓))}.

Neste caso,

(𝑦 = ∑ 𝑎_𝑖

𝑚

𝑖=0

∙ 𝑥^𝑖)

(24)

Definição 4.1. O domínio de uma função polinomial 𝑓 ⊆ ℝ^𝑛× ℝ de n variáveis reais a valores reais, denotado por 𝐷(𝑓), é o conjunto de todos os elementos do espaço ℝ^𝑛 que se relacionam através de uma polinomial com um único elemento do conjunto dos números reais; em linguagem formal:

𝐷(𝑓) = {𝑥: ((∃! 𝑦)(𝑦 ∈ ℝ)((𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓))}. Neste caso,

(𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, … , 𝑥_𝑛)) ∧ (𝑦 = ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛𝑥₁^𝑖¹∙ 𝑥₂^𝑖²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖^𝑛

𝑚_𝑛

𝑖_𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0

).

Exemplo 21. O domínio da função polinomial 𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 2𝑥³𝑦 + 𝑥𝑦²− 2) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈𝐷(𝑓) } é 𝐷(𝑓) = ℝ², pois

(∀(𝑥, 𝑦))(∃! 𝑧)(𝑧 ∈ℝ)(𝑧 = 2𝑥³𝑦 + 𝑥𝑦²− 2).

Exemplo 22. O domínio da função polinomial 𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 2𝑥³𝑦𝑧) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈𝐷(𝑓)}

é 𝐷(𝑓) = ℝ³, pois

(∀(𝑥, 𝑦, 𝑧))(∃! 𝑤)(𝑤 ∈ℝ)(𝑤 = 2𝑥³𝑦𝑧). Exemplo 20. O domínio da função polinomial

𝑓 = {( 𝑥, 2𝑥³+ 𝑥 − 1) ∶ 𝑥 ∈𝐷(𝑓) } é 𝐷(𝑓) = ℝ, pois

(∀𝑥)(∃! 𝑦)(𝑦 ∈ℝ)(𝑦 = 2𝑥³+ 𝑥 − 1).

(25)

Exemplo 23. O domínio da função polinomial

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤), 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²+ 𝑤²) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ ℝ⁴ } é 𝐷(𝑓) = ℝ⁴, pois

(∀(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤))(∃! 𝑎)(𝑎 ∈ℝ⁺)(𝑎 = 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧²+ 𝑤²).

Exemplo 24. Determine o domínio e a imagem da função polinomial

𝑓 = {(𝑥, 2𝑥 − 1) ∶ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)}.

Definição 5.1. A imagem de uma função polinomial 𝑓 ⊆ ℝ^𝑛× ℝ de n variáveis reais a valores reais, denotado por 𝐼𝑚(𝑓), é o conjunto de todos os elementos reais que se relacionam com algum elemento do domínio de 𝑓; em linguagem formal:

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦:(∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐷(𝑓))((𝑥, 𝑦)∈ 𝑓)}. Neste caso,

(𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)) ∧ (𝑦 = ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛𝑥1𝑖₁∙ 𝑥2𝑖₂∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛𝑖_𝑛 𝑚𝑛

𝑖_𝑛=0 𝑚2

𝑖₂=0 𝑚1

𝑖₁=0

).

Definição 5. A imagem de uma função polinomial 𝑓 ⊆ ℝ × ℝ de uma variável real a valores reais, denotado por 𝐼𝑚(𝑓), é o conjunto de todos os elementos reais que se relacionam com algum elemento do domínio de 𝑓; em linguagem formal:

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦:(∃𝑥)(𝑥 ∈ 𝐷(𝑓))((𝑥, 𝑦)∈ 𝑓)}. Neste caso,

(𝑦 = ∑ 𝑎_𝑖

𝑚

𝑖=0

∙ 𝑥^𝑖)

(26)

𝑓 = {((𝑥, 𝑦), 2𝑥𝑦 + 2) ∶ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷(𝑓)}.

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑥²𝑦²𝑧²) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷(𝑓)}.

⊢

𝐷(𝑓) =ℝ

(∀𝑦)(∃𝑥)(𝑥 ∈ℝ)(𝑦 = 2𝑥 − 1) (𝑦 = 2𝑥 − 1) ↔ (2𝑥 = 𝑦 + 1) ↔ (𝑥 =𝑦 + 1

2 ).

∴ 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.

∎

⊢

𝐷(𝑓) =ℝ²

(∀𝑧)(∃(𝑥, 𝑦))((𝑥, 𝑦)∈ℝ²)(𝑧 = 2𝑥𝑦 + 2) (𝑧 = 2𝑥𝑦 + 2) ↔

𝑦=1(𝑧 = 2𝑥 + 2) ↔ (𝑥 =𝑧 − 2 2 ) (∀𝑧) (∃(^{𝑧 − 2}

2 , 1)) (𝑧 = 𝑓(^{𝑧 − 2} 2 , 1))

∴ 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.

∎

(27)

𝑓 = {((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤), 2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 4𝑤) ∶ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝐷(𝑓)}.

⊢

𝐷(𝑓) =ℝ³

(∀𝑤)(∃(𝑥, 𝑦, 𝑧))((𝑥, 𝑦, 𝑧)∈ℝ³)(𝑤 = 𝑥²𝑦²𝑧²) (𝑤 = 𝑥²𝑦²𝑧²) ↔

𝑦=1 𝑧=1

(𝑤 = 𝑥²) ↔

𝑤≥0(𝑥 = ±√𝑤) (∀𝑤)(𝑤 ≥ 0) (∃(√^{𝑤, 1,1})) (𝑤 = 𝑓(√^{𝑤, 1,1}))

∴ 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ⁺.

∎

⊢

𝐷(𝑓) =ℝ⁴

(∀𝑘)(∃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤))((𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)∈ℝ⁴)(𝑘 = 2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 4𝑤) (𝑘 = 2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 4𝑤) ↔

𝑦=0 𝑧=0 𝑤=0

(𝑘 = 2𝑥) ↔ (𝑥 =𝑘 2)

(∀𝑘) (∃(^𝑘

2, 0,0,0)) (𝑘 = 𝑓(^𝑘

2, 0,0,0))

∴ 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.

∎

(28)

Algoritmo. A imagem de uma função polinomial de uma variável real a valores reais é dada por:

𝐼𝑚(𝑓) = {

{0}, se 𝜕(𝑓) = −∞

{𝑎₀}, se 𝜕(𝑓) = 0 ℝ, se 𝜕(𝑓) é impar (−∞, 𝑓(𝑥_𝑚𝑎𝑥^𝑔 )], se 𝜕(𝑓) = 𝑚 é par e 𝑎𝑚 < 0 [𝑓(𝑥_𝑚𝑖𝑛^𝑔 ), +∞), se 𝜕(𝑓) = 𝑚 é par e 𝑎_𝑚> 0 onde 𝑥_𝑚𝑎𝑥^𝑔 e 𝑥_𝑚𝑖𝑛^𝑔 são os pontos de máximo e mínimo globais de 𝑓, respectivamente.

Desafio. Apresente um algoritmo para determinar a imagem de uma função polinomial de várias variáveis reais a valores reais.

2.1.2 As operações

Definição 6. A operação de adição sobre ℝ[𝑥] é uma operação binária, denotada por

+ ∶ ℝ[𝑥] × ℝ[𝑥] → ℝ[𝑥],

que a cada par ordenado (𝑓 , 𝑔) de funções polinomiais associa a função polinomial 𝑓 + 𝑔 definida por

𝑓 + 𝑔 ≝ {(𝑥 , (𝑓 + 𝑔)(𝑥)): 𝑥 ∈ ℝ},

e chamada de soma de 𝑓 e 𝑔. As funções 𝑓 e 𝑔 são chamadas de parcelas da soma de 𝑓 e 𝑔.

(29)

Definição 6.1. A operação de adição sobre ℝ[{𝑥1, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛}] é uma operação binária, denotada por

+ ∶ ℝ[{𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛}] × ℝ[{𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛}] → ℝ[{𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛}], que a cada par ordenado (𝑓 , 𝑔) de funções polinomiais associa a função polinomial 𝑓 + 𝑔 definida por

𝑓 + 𝑔 ≝ {((𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) , (𝑓 + 𝑔)(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)): (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ∈ ℝ^𝑛}, e chamada de soma de 𝑓 e 𝑔. As funções 𝑓 e 𝑔 são chamadas de parcelas da soma de 𝑓 e 𝑔.

Escólio. Sem perda de generalidade, podemos supor que

𝜕(𝑓) = 𝜕(𝑔). Neste caso,

𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑎𝑖₁𝑖₂⋯𝑖_𝑛𝑥1𝑖₁∙ 𝑥2𝑖₂∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛𝑖_𝑛 𝑚_𝑛

𝑖_𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0

e

𝑔(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = ∑ ∑ ⋯ ∑ 𝑏𝑖₁𝑖₂⋯𝑖_𝑛𝑥1𝑖₁∙ 𝑥2𝑖₂∙ ⋯ ∙ 𝑥𝑛𝑖_𝑛 𝑚_𝑛

𝑖_𝑛=0 𝑚₂

𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0

então:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥1, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) = ∑ ∑ ⋯ ∑ (𝑎𝑖₁𝑖₂⋯𝑖_𝑛+ 𝑏_𝑖₁_𝑖₂_⋯𝑖_𝑛) ∙ 𝑥1 𝑖₁

∙ 𝑥₂^𝑖²∙ ⋯ ∙ 𝑥_𝑛^𝑖^𝑛

𝑚_𝑛 𝑖_𝑛=0 𝑚₂ 𝑖₂=0 𝑚₁

𝑖₁=0 .

Escólio. Sem perda de generalidade, podemos supor que

𝜕(𝑓) = 𝜕(𝑔). Neste caso,

𝑓(𝑥) = ∑𝑎𝑖 𝑚 𝑖=0

∙ 𝑥^𝑖 e

𝑔(𝑥) = ∑𝑏𝑖 𝑚 𝑖=0

∙ 𝑥^𝑖 então:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = ∑^𝑚_𝑖=0(𝑎𝑖+ 𝑏𝑖)∙ 𝑥^𝑖.