Sistemas de Primeira Ordem
• Seja um sistema de Primeira Ordem:
( ) 1 ( ) 1 o i E s E s = RCs+ FT
• Diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem genérico :
• A relação entrada-saída é:
Resposta ao degrau unitário de um sistema de
primeira ordem
• Seja a FT de um sistema de primeira ordem:
• Para um degrau unitário na entrada:
• Expandindo em frações parciais:
1 ( )
R s
s =
Resposta ao degrau unitário de um sistema de
primeira ordem
• Tomando a Transformada Inversa de Laplace:
T = constante de tempo do sistema.
Resposta ao degrau unitário de um sistema de
primeira ordem
• Para t = T, o valor de c(t) é 0,632, ou seja, o valor da resposta alcança 63,2% de seu valor final:
• A inclinação da reta tangente em t = 0 é:
em t = 0 é:
A saída alcançaria o valor final
Resposta ao degrau unitário de um sistema de
primeira ordem
Resposta à rampa unitária de sistemas de
primeira ordem
• Seja a FT de um sistema de primeira ordem:
• Para a rampa unitária na entrada:
2 1 ( ) R s s =
• Expandindo em frações parciais:
• Tomando a Transformada Inversa de Laplace:
Resposta à rampa unitária de sistemas de
primeira ordem
Resposta ao impulso unitário de sistemas de
primeira ordem
• Seja a FT de um sistema de primeira ordem:
• Para o impulso unitário na entrada:
( ) 1
R s =
Sistemas de segunda ordem
• Considere o sistema composto de um circuito RLC série:
• Sabemos que este sistema pode ser descrito por uma equação diferencial de segunda ordem, do tipo:
2 2 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) d y t R dy t y t u t dt + L dt + LC = LC
Sistemas de segunda ordem
• Equação característica e pólos do sistema:
– Considerando condições iniciais nulas, a função de transferência do sistema é dada por:
2 2 2 2
1
( )
( )
1
( )
2
n n nY s
LC
H s
R
U s
s
s
s
s
ω
=
=
=
+ ζ ω + ω
+
+
• Onde:• Equação característica → denominador de H(s)
2
( )
2
n nU s
s
s
s
s
L
LC
+ ζ ω + ω
+
+
n ns
s
s
=
+
ζ
ω
+
ω
2∆
(
)
22
LC
n1
=
ω
L
C
R
2
=
ζ
freqüência natural não amortecida.
Sistemas de segunda ordem
• Pólos do sistema são definidos como as raízes da equação característica:
2
2
n n0
s
+ ζ ω + ω =
s
2 2 2 22
4
ζ
4
− ζ ω ±
ω − ω
1 2pólos do sistema de 2ª ordem
n n n n
s
s
2 2
= −ζ ω + ω
ζ −1
= −ζ ω − ω
ζ −1
2 2 2 1,22
4
4
2
n n ns
=
− ζ ω ±
ζ
ω − ω
Sistemas de segunda ordem
• Diagrama de blocos
• ωn ≥ 0 ⇒ raízes reais (distintas ou iguais) ou complexas dependendo do valor de ζ. 2 2 2
2
)
(
)
(
n n ns
s
s
R
s
Y
ω
+
ω
ζ
+
ω
Sistemas de segunda ordem – resposta
ao degrau
•
Resposta ao degrau:
s
s
R
(
)
=
1
2 2 22
)
(
)
(
n n ns
s
s
R
s
Y
ω
+
ω
ζ
+
ω
=
2 2 2 2 22
2
1
2
1
)
(
n n n n n ns
s
s
s
s
s
s
s
Y
ω
+
ω
ζ
+
ω
ζ
+
−
=
ω
+
ω
ζ
+
ω
=
1
−
ζ
ω
±
ω
ζ
−
=
2 2 , 1 n ns
Sistemas de segunda ordem – resposta
ao degrau
• Caso 1
(
ζ
=
0
)
→ sistema não amortecido2 2 2 2 2
2
2
1
2
1
)
(
n n n n n ns
s
s
s
s
s
s
s
Y
ω
+
ω
ζ
+
ω
ζ
+
−
=
ω
+
ω
ζ
+
ω
=
2 2 2 2 21
1
( )
2
n n n ns
Y s
s s
s
s
s
ω
=
=
−
+ ζ ω + ω
+ ω
(
)
1 2 2cos
n ns
t
s
−
=
ω
+ ω
L
[
]
1( )
( ) 1 cos
nY s
y t
ω
t
−=
= −
L
→
Oscilação não-amortecida
Sistemas de segunda ordem – resposta
ao degrau
• Caso 2 → sistema sub-amortecido
– Sejam os pólos do sistema:
(
0
< <
ζ
1
)
1
−
ζ
ω
±
ω
ζ
−
=
2 2 , 1 n ns
0
1
2−
<
ζ
−
1
<
0
s
1,2=
−
ζ
ω
n±
j
ω
n1
−
ζ
2ζ
s
1,2=
−
ζ
ω
n±
j
ω
n1
−
ζ
1,2 n ds
= −ζ ω ± ω
j
pólos complexos distintos, complexos conjugados entre si.
ω
d:
frequência natural amortecidad n
Sistemas de segunda ordem – resposta
ao degrau
2 2 2 2 22
2
1
2
1
)
(
n n n n n ns
s
s
s
s
s
s
s
Y
ω
+
ω
ζ
+
ω
ζ
+
−
=
ω
+
ω
ζ
+
ω
=
(
)
2 2(
)
2 21
)
(
n ns
s
s
s
s
Y
ω
+
ω
ζ
+
ω
ζ
−
ω
+
ω
ζ
+
ω
ζ
+
−
=
(
)
2 2(
)
2 2 d n d ns
s
s
+
ζ
ω
+
ω
+
ζ
ω
+
ω
Sistemas de segunda ordem – resposta
ao degrau
• Sendo:(
)
2 2 2(
)
2 2 1 ( ) 1 n d n d n d s Y s s s sω
ζ
ζ
+ ζ ω = − − + ζ ω + ω − + ζ ω + ω 21
d nω
=
ω
−
ζ
ζ
[
]
ω
ζ
−
1
ζ
+
ω
−
=
=
−ζ ω 2 −Y
s
y
t
e
t
t
d d t ncos
sen
1
)
(
)
(
1L
Exemplo
•
Encontre a resposta ao degrau unitário para o sistema
descrito pela função de transferência:
2
( )
2
12
( )
2
5
C s
s
R s
s
s
+
=
+ +
•
Solução:
•
Para um degrau na entrada,
( )
2
5
R s
s
+ +
s
(
2)
2
12
( )
2
5
s
C s
s
s
s
+
=
+ +
1
( )
R s
s
=
Exemplo - Solução
•
Decompondo em frações parciais:
(
2)
22
1 2
( )
2
5
2
5
s
A
B s
C
C s
s
s
s
s
s
s
+
+
=
=
+
+
+
+
+
(
)
(
(
)
(
)
)
2 2 22
5
2
1 2
2
5
2
5
A s
s
B s
C
s
s
s
s
s
s
s
s
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
(
)
2(
)
2
s
+
1 2
=
A
+
B
s
+
2
A
+
C
s
+
5
A
Exemplo - Solução
5
A
=
1 2
(
)
2(
)
2
s
+
1 2
=
A
+
B
s
+
2
A
+
C
s
+
5
A
1 2
5
A
=
5
1 2
2
2
0
A
A
C
A
B
=
+
=
+
=
5
1 4
5
1 2
5
C
B
= −
= −
Exemplo - Solução
(
2)
21 2
1 4
2
1 2
1 2
1
5
5
( )
5
2
5
2
5
s
s
C s
s
s
s
s
s
s
+
+
=
=
−
+
+
+
+
1 4
(
)
2 21 4
1 2
1
1 2
1 2
( )
5
5
1
2
s
C s
s
s
+
=
−
+
+
(
)
2 22
1
1 2
1
1 2
1 2
( )
5
5
1
2
s
C s
s
s
+ +
=
−
+
+
Exemplo - Solução
(
)
2 2(
)
2 22
1 2
1
1 2
1
1 2
( )
5
5
1
2
1
2
s
C s
s
s
s
+
=
−
+
+
+
+
+
(
)
2 2(
)
2 21 2
1
1 2
1
1
2
( )
5
5
1
2
1 2
1
2
s
C s
s
s
s
+
=
−
+
+
+
+
+
1 2
1 2
1
( )
c o s 2
s e n 2
5
5
1 2
t tc t
=
−
e
−t
+
e
−t
Sistemas de segunda ordem – resposta
ao degrau
• Caso 3 → sistema Criticamente amortecido
– Seja FT:
(
ζ
=
1
)
(
)
2 2 2 2 2( )
( )
2
n n n n nY s
R s
s
s
s
ω
ω
ω
=
=
+ ζ ω + ω
+
2ω
( )
(
)
2 2 n nY s
s
ω
s
ω
=
+
(
t
)
e
t
y
(
)
=
1
−
−ωnt1
+
ω
nSistemas de segunda ordem – resposta
ao degrau
• Caso 4 → sistema Superamortecido
– Sejam os pólos do sistema:
(
ζ
>
1
)
2 2 2( )
( )
2
n n nY s
R s
s
s
ω
=
+ ζ ω + ω
– Resposta ao degrau unitário:
1
−
ζ
ω
±
ω
ζ
−
=
2 2 , 1 n ns
⇒
pólos reais e distintos.
(
) (
)
2 2 21
( )
1
1
n n n n nY s
s
s
s
ω
=
+ ζ ω + ω ζ −
+ ζ ω − ω ζ −
Sistemas de segunda ordem – resposta
ao degrau
• Determinando-se a transformada inversa, obtêm-se:
−
−
ζ
ω
+
=
− − 2 1 2 2 11
2
1
)
(
s
e
s
e
t
y
t s t s n Onde:(
)
ns
1=
ζ
+
ζ
2−
1
ω
(
)
ns
1=
ζ
−
ζ
2−
1
ω
Exercícios
1) Um circuito RLC, como mostrado na figura abaixo, tem R=1kΩ, L = 20H, C=20µF.
a) Obter a equação diferencial do sistema sendo u (tensão) a entrada e i (corrente) a saída.
b) Qual a freqüência natural do circuito?
c) O sistema é superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido? d) Qual a frequência de oscilação amortecida
e) Calcule a resposta ao degrau unitário considerando a tensão no capacitor como saída do sistema.
Curva de resposta ao degrau unitário para um sistema
de Segunda Ordem
Definições de especificações de regime transitório
• Tempo de atraso, td • Tempo de subida, tr: r d t π β ω − = ω = ω −ζ 2 1 d n ωd = ωn 1−ζ d n arc tgω
β
ζω
= • Tempo de pico, tp p dt
π
ω
=
Definições de especificações de regime transitório
• Máxima ultrapassagem (%) Mp( )
( )
2 1 ( ) (%) p 100 100 p c t c M e c ζ π ζ − − − ∞ = × = ∞ • Tempo de acomodação, ts 4 critério de 2% s n t ζω = → 3 critério de 5% s n t ζω = →Exercícios
2) Seja o sistema abaixo:
a) Calcule a FT do sistema em malha fechada. a) Calcule a FT do sistema em malha fechada.
b) Calcule a freqüência natural não amortecida, freqüência natural amortecida, fator de amortecimento.
c) Quais os pólos do sistema em malha fechada?
d) Calcule a resposta ao degrau unitário do sistema em malha fechada. e) Calcule o tempo de atraso, tempo de subida, tempo de pico, valor da
máxima ultrapassagem e o tempo de acomodação pelo critério de 2% e 5%.
f) Simule o sistema e verifique a resposta ao degrau unitário. Compare a resposta com os valores calculados nos itens anteriores.
Exercícios
2) Repita o exercício anterior para o sistemas representados a seguir: a)
Resposta ao impulso
• Para uma entrada em impulso unitário, a correspondente Transformada de Laplace é unitária, ou seja, R(s) = 1
• Caso 1 → sistema sub-amortecido
2 2 2
( )
( )
2
n n nY s
R s
s
s
ω
=
+ ζ ω + ω
2 2 2( )
2
n n nY s
s
s
ω
=
+ ζ ω + ω
(
0
< <
ζ
1
)
Resposta ao impulso
• Caso 2
