RESPOSTA NO TEMPO. y(t) r(t) h(t) δ () t. Impulso de Dirac. Degrau unitário. Rampa unitária 1 () Parábola unitária. 2 tut sen t u t.

RESPOSTA NO TEMPO

h(t)

y(t)

r(t)

( )

( ) * ( )

( ) (

)

y t

r t

h t

r

τ

h t

τ τ

d

+∞ −∞

=

=

∫

−

?

Sinusóide

Parábola unitária

Rampa unitária

Degrau unitário

Impulso de Dirac

Representação Entradas típicas

( )

t

δ

( )

u t

( )

tu t

2

1

( )

2

t u t

(

)

( )

sen

ω θ

t

+

u t

RESPOSTA NO TEMPO

h(t)

y(t)

r(t)

( )

( ) * ( )

( ) (

)

y t

r t

h t

u

τ

h t

τ τ

d

+∞ −∞

=

=

∫

−

?

( );

( )

r t

h t

integral

( )

( ) * ( )

y t

=

r t

h t

( );

( )

R s

H s

Y s

( )

=

R s H s

( )

( )

Transformada de Laplace

produto

Inversão da transformada de Laplace

RESPOSTA NO TEMPO

• SLIT: para perturbações de interesse, a transformada de Laplace da resposta vem dada por:

( )

1 1 1 0 1 1 1 0 ... , ... m m m m n n n b s b s b s b Y s m n s a s a s a − − − − + + + + = <

+ + + + função racional própria

• r – o nº de raizes distintas: ρ ρ1, 2,...,ρr • σ_i – a multiplicidade da raiz ρ_i então

:

1 r i r n σ = =

∑

Y(s) pode ser decomposta em fracções parciais na forma:

( )

(

) (

)

(

1

)

1 1 13 11 12 2 3 1 _{1 1 1} ... A A A A Y s s _{s s s} σ σ ρ _{ρ ρ ρ} = + + + + + − _{− − −}

(

) (

)

(

2

)

2 2 23 21 22 2 3 2 _{2 2 2} ... A A A A s _{s s s} σ σ ρ _{ρ ρ ρ} + + + + + + − _{− − −}

(

) (

3

)

(

)

1 2 2 3 ... r r r r r r r _{r r r} A A A A s _{s s s} σ σ ρ _{ρ ρ ρ} + + + + + = − _{− − −} 1 1

(

)

i r ik k i k _i A s σ ρ = = −

∑∑

• • • • • • para raiz ρ₁ para raiz ρ₂ para raiz ρ_r • • •

(

)

( ) ( )

(

) ( )

1

lim

!

i i k i i k ik i s i

d

A

s

Y s

k

_ds

σ σ σ ρ

ρ

σ

− − →

⎡

⎤

=

_⎣

−

_⎦

−

RESPOSTA NO TEMPO

• Revisão da transformada de Laplace …

( )

(

) (

)

(

1

)

1 1 13 11 12 2 3 1 _{1 1 1} ... A A A A Y s s _{s s s} σ σ ρ _{ρ ρ ρ} = + + + + + − _{− − −} • • • • • • • • •

1

t

e

s

ρ

ρ

−

_⎯⎯⎯

_→

+

L

( )

d

( )

tx t

X s

ds

−

⎯⎯⎯

L

→

(

1

1 !

)

1

₍

1

₎

n t n

t

e

n

_s

ρ

ρ

− −

_⎯⎯⎯

_→

−

L

₊

• • •

RESPOSTA NO TEMPO

( )

( )

_{( )}

_{( )}

2 2 3 2 d y t dy t y t x t dt + dt + =

Sistema caracterizado pela equação diferencial:

EXEMPLO:

determine a saída y(t) para a entrada x(t) = 2 u(t).

Resolução (rever transformada de Laplace!):

equação algébrica

• determinação da transformada de Laplace de ambos os membros: ⇒ • obtenção da razão:

( )

( )

( )

Y s G s X s = (função de transferência) Solução y(t): • Y s

( )

=G s X s

( ) ( )

Y s

( )

L−1 y t

( )

( )

₍

₂

2

₎

3

2

Y s

s s

s

=

+

+

( )

2

1

A

B

C

Y s

s

s

s

=

+

+

+

+

Raízes denominador: 0; -2; -1

( )

0 lim 1 s A sY s A → = ⇔ =

(

) ( )

2 lim 2 1 s B s Y s B →− = + ⇔ =

(

) ( )

1 lim 1 2 s C s Y s C →− = + ⇔ = −

( )

(

2

)

( )

1 t 2 t y t = +e− − e− u t

RESPOSTA NO TEMPO

( )

( )

_{( )}

_{( )}

2 2 3 2 d y t dy t y t x t dt + dt + =

Sistema caracterizado pela equação diferencial:

Resolução (rever transformada de Laplace!):

• determinação da transformada de Laplace de ambos os membros:

Solução y(t):

determine a saída y(t) para a entrada x(t) = 2 u(t).

⇒ • obtenção da razão:

( )

equação algébrica

( )

( )

Y s G s X s = • Y s

( )

=G s X s

( ) ( )

(função de transferência)

( )

1

( )

Y s L− y t EXEMPLO: VARIANTE:

Considere as seguintes condições iniciais: y

( )

0 = 3; y'

( )

0 = −5 o método de resolução apresentado ESTÁ INCOMPLETO! porquê?

A T.L. é calculada com condições

iniciais nulas.

A SOLUÇÃO PASSA PELA DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL:

RESPOSTA NO TEMPO

Sistema caracterizado pela equação diferencial:

determine a saída y(t) para a entrada x(t) = 2 u(t), com

EXEMPLO:

_{( )}

_{( )}

( )

( )

2 2 3 2 d y t dy t y t x t dt + dt + =

as seguintes condições iniciais:

( )

'

( )

0 3; 0 5

y = y = −

TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL:

( )

( ) ( )

0 u d L y t sY s y dt ⎧ _{⎫ = −} ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 1ª derivada:

( )

( )

( ) ( )

2 2 2 0 0 u d L y t s Y s sy y dt ⎧ ⎫ = − − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ i 2ª derivada:

( )

( )

( )

( ) ( )

3 3 2 3 0 0 0 u d L y t s Y s s y s y y dt ⎧ ⎫ = − − − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ i ii 3ª derivada: iii generalizando:

( )

( )

( )

( )

1 1 0 0 n n n i n i u n i d L y t s Y s s y dt − − − = ⎧ ⎫ = − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

∑

( )

( ) ( )

(

( ) ( )

)

( )

( )

2

0

0

3

0

2

s Y s

−

sy

−

y

+

sY s

−

y

+

Y s

=

X s

i

( )

₂

3

( )

₂

1

( )

₂

( )

0

0

3

2

1

3

2

3

2

s

y

y

s

s

s

Y

s

X

s

s

s

s

+

+

+ +

+

+

+

+

=

+

i

RESPOSTA NO TEMPO

Sistema caracterizado pela equação diferencial:

determine a saída y(t) para a entrada x(t) = 2 u(t), com

EXEMPLO:

as seguintes condições iniciais:

( )

'

( )

0 3; 0 5 y = y = −

( )

( )

_{( )}

_{( )}

2 2 3 2 d y t dy t y t x t dt + dt + =

( )

₂

3

( )

0

₂

1

( )

0

₂

( )

3

2

1

3

2

3

2

s

y

y

s

s

s

Y

s

X

s

s

s

s

+

+

+ +

+

+

+

+

=

+

i

COMPONENTE LIVRE COMPONENTE FORÇADA

( )

3

₍

2₂ 4 2

₎

3 2 s s Y s s s s + + = + + y t

( )

= −

(

1 e−t +3e−2t

)

u t

( )

expansão em fracções parciais … •••

RESPOSTA NO TEMPO

Sistema caracterizado pela equação diferencial:

determine a saída y(t) para a entrada x(t) = 2 u(t).

EXEMPLO (RESUMO):

_{( )}

_{( )}

( )

( )

2 2 3 2 d y t dy t y t x t dt + dt + =

( )

'

( )

0 3; 0 5 y = y = − • CONDIÇÕES INICIAIS:

• CONDIÇÕES INICIAIS NULAS

( )

₍

₂ 2

₎

3 2 Y s s s s = + +

( )

(

)

2 2 3 4 2 3 2 s s Y s s s s + + = + +

( )

(

2

)

( )

1 t 3 t y t = −e− + e− u t

( )

(

2

)

( )

1 t 2 t y t = +e− − e− u t

RESPOSTA NO TEMPO

Estudo da evolução de um sinal sem o explicitar completamente …

QUESTÃO:

Teorema do valor inicial:

Admitindo que y(t) e têm transformada de Laplace e que

existe,

então:

( )

d y t dt lims→∞sY s

( )

( )

( )

0

lim

lim

s t→ +

y t

→∞

sY s

=

Teorema do valor

final

:

Admitindo que y(t) e têm transformada de Laplace e que sY(s) não tem

pólos no eixo imiginário nem no semiplano complexo direito, então:

( )

d y t dt

( )

( )

0

lim

lim

t→∞

y t

=

s→

sY s

EXEMPLO:

( )

3

₍

2₂ 4 2

₎

3 2 s s Y s s s s + + = + +

( )

(

)

( )

2 1 t 3 t y t = −e− + e− u t

( )

0

lim

3;

t→ +

y t

=

lim

( )

1

t→∞

y t

=

RESPOSTA NO TEMPO

N(s) R 1 1 s +a ••• 1 k s +a 2 _{1 1} 1 s +b s +c • • • 2 1 k k s +b s+c Y com a₁, ..., a_k, b₁, ..., b_k, c₁, ..., c_k ∈ℜ

SISTEMA DE 1ª ORDEM

( )

( )

1

1

1

;

0

Y s

_a

a

R s

=

s

+

a

=

+

τ

s

τ

=

a

>

1

.

τ

−

•

Pólo: -a ou

• Mapa de pólos-zeros:

×

jω σ 1 τ −

RESPOSTA NO TEMPO

SISTEMA DE 1ª ORDEM

( )

( )

1

1

1

Y s

_a

R s

=

s

+

a

=

+

τ

s

τ

=

a

( )

( )

1

1t

( )

at

y t

ae

u t

e

τ

u t

τ

− −

=

=

τ

1 τ

•

Valor inicial:

( )

( )

0

lim

lim

s t

y t

sY s

+ _→∞ →

=

( )

0

1

lim

lim

1

s t

s

y t

s

τ

τ

+ _→∞ →

=

+

=

•

Valor final:

( )

0

lim

lim

0

1

t s

s

y t

s

τ

→∞

=

→

+

=

( )

( )

0

lim

lim

t→∞

y t

=

s→

sY s

•

Valor inicial da 1ª derivada:

( )

₂ 0

1

lim

t

d

y t

dt

τ

+ →

−

=

RESPOSTA IMPULSIONAL:

RESPOSTA NO TEMPO

SISTEMA DE 1ª ORDEM

( )

( )

1 1 ; Y s R s = +τs

( )

1 1 Y s sτ s τ = ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

1 R s s = ⇒ RESPOSTA AO DEGRAU:

( )

1

( )

t y t = −⎛⎜ e−τ ⎞⎟u t ⎝ ⎠ •••

•

Valor inicial:

( )

( )

0

lim

lim

s t

y t

sY s

+ _→∞ →

=

( )

0

1

lim

lim

0

1

s t

y t

s

τ

τ

+ _→∞ →

=

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

⎝

⎠

•

Valor final:

( )

0

1

lim

lim

1

1

t

y t

s

s

τ

τ

→∞

=

→

⎛

⎞

=

+

⎜

⎟

⎝

⎠

( )

( )

0

lim

lim

t→∞

y t

=

s→

sY s

•

1ª derivada:

( )

1

t

d

y t

e

dt

τ

τ

−

=

( )

0

1

lim

t

d

y t

dt

τ

+ →

=

sempre > 0

Na origem:

RESPOSTA NO TEMPO

SISTEMA DE 1ª ORDEM

( )

( )

1 1 ; Y s R s = +τs

( )

1 R s s = ⇒

( )

1 1 Y s sτ s τ = ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

1

( )

t y t = −⎛⎜ e−τ ⎞⎟u t ⎝ ⎠ RESPOSTA AO DEGRAU:

•

Valor inicial:

0.

•

Valor final:

1.

•

1ª derivada:

_{> 0; na origem:}

_{1/ .}

τ

4 3 2 y(t) t 1 1−e− = 63.2% 2 1−e− =86.5% 3 1−e− =95% 4 1−e− = 98.2%

τ

τ

τ

τ

•

Tempo de estabelecimento (a 5%) t

_s

:

RESPOSTA NO TEMPO

SISTEMA DE 1ª ORDEM

( )

( )

1 1 ; Y s R s = +τs

( )

2 1 R s s = ⇒

( )

2 1 1 1 Y s s s τ τ = ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

t

( )

y t

= − +

⎛

⎜

t

τ τ

e

−τ

⎞

⎟

u t

⎝

⎠

RESPOSTA À RAMPA: •••

•

1ª derivada:

sempre > 0.

( )

1

t

d

y t

e

dt

τ −

= −

•

2ª derivada:

sempre > 0. 2 2

1

( )

t

d

y t

e

dt

τ

τ

−

=

RESPOSTA NO TEMPO

SISTEMA DE 1ª ORDEM

( )

( )

Y s _a R s = s+a

( )

3 1 R s s = ⇒

( )

(

)

3 1 ; Y s s s a = +

( )

2 2 2

( )

2

t

t

y t

=

⎛

⎜

τ

− +

τ

t

−

τ

e

−τ

⎞

⎟

u t

⎝

⎠

1 a τ = RESPOSTA À PARÁBOLA: •••

•

1ª derivada:

sempre > 0.

( )

t

( )

y t = − +⎛⎜t τ τe−τ ⎞⎟u t ⎝ ⎠

•

2ª derivada:

sempre > 0.

( )

1

( )

t y t = −⎛⎜ e−τ ⎞⎟u t ⎝ ⎠

RESPOSTA NO TEMPO

r(t)

y(t)

DIRAC RAMPA DEGRAU PARÁBOLA

( )

( )

D r t =u t

( )

y t •

( )

1

( )

t D y t = −⎛⎜ e−τ ⎞⎟u t ⎝ ⎠

( )

( )

1 t D y t e τ u t τ • ₋ =

( )

1

t

( )

I

y t

e u t

τ

τ

−

=

( )

2

( )

1 t I y t e τ u t τ • − ₋ =

( )

( )

R r t = tu t

( )

( )

t R y t = − +⎛⎜t τ τe−τ ⎞⎟u t ⎝ ⎠

( )

1

( )

t R y t e τ u t • ⎛ ₋ ⎞ = −_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

( )

( )

I r t =δ t

Aumento da ordem da derivação

( )

2

( )

2 p t r t = u t

( )

( )

t P y t t τ τe τ u t • ⎛ ₋ ⎞ = − +_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

( )

2 2 2

( )

2 t P t y t =⎛⎜τ τ− + −t τ e−τ ⎞⎟u t ⎝ ⎠

( )

( )

;

1

Y s

_a

a

R s

=

s

+

a

=

τ

SISTEMA DE 1ª ORDEM