Aula 1, Experiência 1 Circuitos CA e Caos

Notas de aula: www.fap.if.usp.br/~hbarbosa

LabFlex: www.dfn.if.usp.br/curso/LabFlex

Aula 1, Experiência 1

Circuitos CA e Caos

Prof. Henrique Barbosa hbarbosa@if.usp.br Ramal: 6647

Alguns recados da disciplina



Plantão de dúvidas de análise

 _{Toda quinta-feira, das 13:00 às 15:00 em uma sala de}

laboratório



Critérios de aprovação

 _{3 experimentos + 1 projeto da turma}

 _{Média dos experimentos + nota do projeto + participação}

individual

 _{Ver site para detalhes como as notas são calculadas}



Cada aula teórica  tarefas mínimas para serem entregues

 _{Síntese a ser entregue até a segunda-feira (10:00) anterior à}

próxima aula

 _{Não serão tolerados atrasos}  _{Não há re-entrega de sínteses}

Objetivos



Estudar circuitos elétricos em corrente alternada com a

finalidade de explorar fenômenos caóticos



Aprender algumas técnicas avançadas de

processamento de sinais e análise de dados



4 aulas



_{Noções de CA, filtro RC e Análise de Fourier}



Ressonância de um circuito RLC simples



_{Funções caóticas: mapa logístico}



_{Caos em circuito RLD}

Tensões e Correntes Alternadas



Tensão alternada: qualquer tensão que varia no tempo



Na prática trabalhamos com tensões harmônicas

simples



Veremos no lab4 que qualquer tensão dependente do

tempo é uma superposição de tensões harmônicas

simples



Aquelas descritas por uma função harmônica simples de

freqüência bem definida, ou seja:

 

t



V

cos





t





₀



V

_P

f







2

p PP

V

V



2

2

P ef

V

V



f

T



1

V

_P

é a tensão máxima ou

tensão de pico

ou amplitude,



é a

freqüência angular

e



₀

é a

fase da tensão alternada no

instante t=0



Em um circuito de corrente

alternada a tensão e

corrente não estão

necessariamente em fase:

 

t



V

sin





t





₀



V

_P



i(t)



i

₀

sin

 



t







2





T

T





 

T

defasagem 3 T 0  Tempo Ampl it u d e Período T = 1/f tensão corrente X

i(t)

V(t)

A fase

T

Em um resistor ôhmico simples, a

relação entre tensão e corrente é:

cte

i

V

R

P P





Exemplo 1: Resistor Ôhmico

X

i(t)

V(t)

)

cos(

)

(

)

(

)

cos(

)

(

t

Ri

t

i

R

t

V

t

i

t

i

P P











Em um capacitor ideal, a capacitância é dada pela razão entre

carga acumulada e tensão elétrica, ou seja:

Além disso, carga e corrente estão relacionados

Portanto:

 

 

)

2

/

cos(

)

sin(

)

(

)

cos(

























t

CV

t

CV

t

i

C

t

q

t

V

t

V

p p P

 

q

(t

)

dt

d

t

i



Exemplo 2: Capacitor Ideal

   

C

t

q

t

V

t

V

t

q

C







)

(

)

(

a corrente está adiantada de



/2 em relação à tensão aplicada ao

capacitor

(Atenção: a defasagem de



/2 é entre a corrente e a

tensão diretamente sobre o capacitor e não quaisquer outras).

Exemplo 3: circuito RC



Capacitor e resistor em série a uma

fonte de tensão













malha i

V

l

d

E





0

0

C

t

q

t

i

R

t

V

t

V

t

V

t

V

_e

(

)



_R

(

)



_C

(

)



_e

(

)





(

)



(

)

dt

t

dq

t

i

(

)

(

)

sendo



)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

V

t

dt

t

dV

RC

t

V

C

t

q

dt

t

dq

R

t

V

_e









_e





C



_C

RC

t

V

dt

t

dV

V

_e

1

C

(

)

_C

(

)

com

₀

1

0











Exemplo 3: circuito RC



Se a tensão de entrada for harmônica



Podemos resolver a e.d. Na sua

forma complexa e tomar a parte real

da solução

V

_e

(t)

=

1

w

0

dV

_C

(t)

dt

+

V

C

(t)

Þ

ˆ

V

_e

(t)

=

1

w

0

d ˆ

V

_C

(t)

dt

+

ˆ

V

_C

(t)

 

t j e e e e e e

e

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V













)

(

ˆ

com

)]

(

ˆ

Re[

)

(

cos

)

(

j

b

a

C

ˆ





_j

_

_

₁

 j

e

C

C

ˆ



e

j



cos





j

sen



2 2

b

a

C





a

b

tg





 

j t j t

e

j

e

dt

d

_

_

_





j t



j t

e

j

dt

e

 



1

Integrais e derivadas nesta notação são apenas

multiplicações e divisões

Exemplo 3: circuito RC



A solução mais geral para a tensão

no capacitor é



Substituindo na e.d.

0 0

₁

ˆ

ˆ

ˆ









_{ } 

j

V

V

e

V

e

V

j

e

V

_e j t _C j t _C j t _C e











t j C C

t

V

e

V

ˆ

(

)



ˆ

 t j e C

e

j

V

t

V







0

1

)

(

ˆ

seja

ou





Exemplo 3: circuito RC



Trabalhando um pouco essa

solução



Podemos escrever

t j e C

e

j

V

t

V







0

1

)

(

ˆ





 



































 0 2 0

arctan

e

1

com

)

(

ˆ











  e C t j C C

V

V

e

V

t

V

 















V

t

V

t

t

V

_C

(

)

Re

ˆ

_C

(

)

_C

cos

que

modo

de



Sinal de entrada = V

_e



_{Sinal de saída = V}

_s



Se pensarmos em termos de quadrupolos:

0 0

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

1

ˆ

)

(

ˆ









j

V

V

G

j

V

t

V

entrada saida e C













O ganho relaciona o sinal de saída com o sinal de entrada... Ou

seja, resume o funcionamento do

quadrupolo.

Impedância de um elemento



A solução da equação diferencial no espaço complexo e

posterior uso da parte real como solução física do

problema sugere a criação de um análogo à lei de Ohm

nesse formalismo.

A impedância complexa de um elemento X é definida como sendo a

razão entre a tensão e corrente complexas neste elemento, ou seja:



ˆ

Z



V (t)

_ˆ

ˆ

i (t)

   ₁ 0 0 0

ˆ

     



_jj _tt

e

i

e

V

Z

Usando a definição das tensões e correntes

complexas, deduzimos que:





V

0

i

₀

e

j₀₁ j

e

Z

₀



Z₀ é a impedância REAL do elemento X  é a diferença de fase entre a tensão e corrente causada pelo elemento X

A impedância NÃO varia com o tempo. É uma grandeza característica do elemento X



Da definição de impedância complexa:



Podemos escrever também que:



Define-se resistência (R) de um bipolo como sendo:



E reatância deste bipolo (X)



ˆ

Z



Z

₀

e

j



ˆ

Z



Z

₀

cos

 





jZ

₀

sin

 





R



Z

₀

cos

 





X



Z

₀

sin

 



Resistência e Reatância



As grandes vantagens deste formalismo são:



_{Operações envolvendo tensão e corrente são simples}

 Multiplicações e divisões de exponenciais



_{Associações de bipolos tornam-se simples}

 Como resistores comuns, mas realizadas com grandezas complexas

Z₁ ^ Z₂ ^ Z ^  ˆ Z  Z ˆ ₁  Z ˆ ₂





Z₁ ^ Z^₂ Z ^  1 ˆ Z  1 ˆ Z ₁  1 ˆ Z ₂







Seja uma tensão e corrente complexas, temos:



Mas sabemos que R = V/i, ou seja, a corrente e

tensão estão sempre em fase. Assim:



ˆ

Z



V (t)

_ˆ

ˆ

i (t)



ˆ

Z



Z

₀

e

j



R

R

i(t)

V(t)





Z

0



R





0







Por conta disto que resistores Ôhmicos são muito utilizados em

laboratório para medir correntes



Sabemos (do começo da aula) que



Se a corrente complexa for dada por:



Fica fácil demonstrar que



A impedância de um capacitor vale:



V (t)



1

C



i(t)dt



ˆ

i (t)



i

₀

e

jt t j

e

i

C

j

t

V





0

)

(

ˆ

_

_



ˆ

Z



V (t)

_ˆ

ˆ

i (t)

   j



C i0e jt i₀e jt    j



C C

i(t)

V(t)

Aplicação 2: Capacitor



Ou seja



Mas lembrando que:



Comparando as duas

expressões temos que:



ˆ

Z

 

j



C



ˆ

Z



Z

₀

cos

 





jZ

₀

sin

 







 



2  Z₀  1



C

Aplicação 2: Capacitor

Conclui-se naturalmente que a tensão elétrica está defasada de π/2 em relação à corrente



Seja o circuito ao lado:



A tensão no capacitor é:



A tensão de entrada é:



E o “ganho” no circuito é dado por:

C C

i

Z

V

ˆ



ˆ



ˆ



ˆ

V

_e



Z

ˆ

_total



i

ˆ

_

₍

_Z

ˆ

_R

_

_Z

ˆ

_C

₎

_

_i

ˆ

 ˆ G  V ˆ S ˆ V _e   Z ˆ C i ˆ ( ˆ Z _R  Z ˆ _C)i ˆ    j



C (R  j



C)

Aplicação 3: circuito RC

0 1 1





j   Mesma solução encontrada resolvendo a eq. diferencial.... MUITO MAIS FÁCIL!

Qual a interpretação de um ganho complexo ??

G j

e

G

G

ˆ



₀ 

A parte real do ganho muda a amplitude do sinal:

                 c G G G







arctan ] ˆ Re[ ] ˆ Im[ arctan

E a parte imaginária introduz uma fase





2 * 0

1

1

ˆ

ˆ

C

G

G

G











(( Ganho ))

 ˆ G  1 1 j





_C ) cos( ) ( ) cos( ) ( 0 G e s e e t G V t V t V t V







  

Joseph Fourier(1768-1830)

 Aos 12 anos foi estudar no Ecole Royale Militaire of Auxerre

 Aos 14 anos concluiu os estudos dos 6 volumes do Bézout's Cours de

mathematique

 Aos 15 ganhou um prêmio por seus estudos do livro Bossut's

Méchanique en général

 Aos 19 entrou no mosteiro beneditino de St. Benoit-sur-Loire para virar padre, mas continuou estudando matemática e abandonou a batina aos 21

 Aos 22 tornou-se professor na Ecole of Auxerre

 Quanto completou 26, foi fundada a Ecole Normale em Paris e

Fourier estava na primeira turma. Teve como professor o Lagrange.

 Aos 27 foi indicado para uma cadeira da Ecole Centrale des Travaux

(dir. Carnot e Monge) => Ecole Polytechnique

Joseph Fourier(1768-1830)

 Aos 29 substituiu Lagrange na cadeira de análise e mecânica

 Aos 30 assumiu o posto de conselheiro científico no exército de

Napoleão que invadiria o Egito. Monge e Malus também estavam na equipe.

 Durante sua estada no Cairo trabalhou como administrador, criando instituições de educação. Também fez explorações arqueológicas.

 Aos 31 retornou a Paris, mas a contra gosto foi nomeado por

Napoleão prefeito de Grenoble. Trabalhou então na drenagem dos pântanos da Borgonha e na rodovia ligando Grenoble a Torino.

 Foi durante este tempo em Grenoble que ele fez seu trabalho

científico mais importante: Sobre a propagação de color em corpos

sólidos.

 Fourier introduziu séries infinitas de funções para resolver a equação de transferência de calor em uma placa de metal.

 Só haviam soluções particulares para fontes de calor senoidal. A idéia foi modelar uma fonte de calor complicada como uma

combinação linear de senos e cossenos.

 Objeções da banca (não aprovou o trabalho):

 Laplace e Lagrange não aceitaram a derivação teórica

 Biot, Poisson e Laplace reclamaram que ele não citou o paper de 1804 de Biot (que hoje sabemos estar errado)

 Em 1811 o prêmio anual do Instituto de Ciências de Paris iria para quem resolvesse a equação de transporte de calor e Fourier

submeteu o tratado de 1807.

 O comitê formado por Lagrange, Laplace, Malus, Hauy e Legendre deram o prêmio para Fourier pois só havia +1 concorrente:

 ... the manner in which the author arrives at these equations is not

exempt of difficulties and that his analysis to integrate them still leaves something to be desired on the score of generality and even rigour.

Série de Fourier (1807)



Funções trigonométricas podem ser combinadas de tal

forma a representar qualquer função matemática



As constantes a

_n

e b

_n

podem ser obtidas a partir de:

Séries de Fourier









n n n

nx

b

nx

a

a

x

f

(

cos(

)

sin(

))

2

)

(

0







 



f

x

nx

dx

a

_n

1

(

)

cos(

)







 



f

x

nx

dx

b

_n

1

(

)

sin(

)

Hoje em dia, usamos formalismos mais

abrangentes:

As constantes a

_n

e b

_n

da expressão tradicional

podem ser obtidas como:

Séries de Fourier



  



n jnx n

e

c

x

f

(

)



 



 



f

x

e

dx

c

_n

(

)

jnx

2

1

Use a fórmula de Euler e substitua na expressão anterior ejx = cos x+ j sin x

,...

2

,

1

,

0

com

,







c

c

_

n

a

_{n n n}







,

com



0

,

1

,

2

,...



j

c

c

_

n

b

_{n n n}

Exemplo: Onda Quadrada

 



_











_



5

)

5

sin(

3

)

3

sin(

)

sin(

4

0

t

t

t

V

t

V









De volta ao circuito RC



Se o sinal de entrada for quadrado, como resolvemos a

equação diferencial?



Substituindo









n t j e n e C C e n

e

v

t

V

t

V

dt

t

V

d

t

V





ˆ

(

)

,

mas

ˆ

(

)

)

(

ˆ

1

)

(

ˆ

0











n t j C n C C C n t j e n n n

V

t

V

t

v

e

dt

t

V

d

e

v

 



ˆ

(

)

,

e

fazendo

ˆ

(

)

ˆ

)

(

ˆ

1

0

































n t j C n n n t j e n n n

j

v

e

e

v

 





_ˆ

1

0

De volta ao circuito RC



Esta equação pode ser desmembrada em um sistema

de equações diferenciais:



Cuja solução é:

1,2,...

n

,

ˆ

1

0



















C j t n n t j e n n n

j

v

e

e

v

 





1,2,...

n

,

1

ˆ

0











_n e n C n

j

v

v

) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( 2 2 2 2 1 1 1 1 t V t V t V t V t V t V V N C N N S N C S C S entrada              







R C



C R G G i i i i , , , ,









 

O que o circuito faz no sinal?

) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 N N N C N N N N S N C S C S Saida t G V t G V t G V t G V t G V t G V V                          



Vamos estudar o filtro

RC:



Objetivos:

 _{Obter experimentalmente o ganho (}G₀ e Φ_{G) em função da}

freqüência (ω) e comparar com a previsão teórica.

 _{Estudar o comportamento deste circuito para um sinal de}

entrada quadrado.

Para esta aula

Para isto é preciso conhecer R e C.

canal 1 canal 2 referência 5V menu interativo varredura (horizontal) gatilho (trigger) 300V terra

A ponta de prova tem atenuador que pode ser alterado (muda também a impedância)

acoplamento AC, DC ou terra

Duty cycle ADJust

Frequency

ADJust Amplitude_ADJust 50% 25% intervalo de frequências Executa parâmetro atenuador

Gerador de audio

IMPORTANTE! RESISTOR CAPACITOR

Cuidados Experimentais



Instrumentos de medida:



Osciloscópio

 Canal 1: Ve  Canal 2: Vc



_{Cuidado com ruídos}

 Estimar incertezas na tensão e

corrente a partir do nível de ruído



_{Não confundir freqüência}

temporal (f) com freqüência

angular (



)

CH1 CH2

Tarefas 1

Montar um circuito RC com freqüência de corte ~500Hz.

Usando um sinal de entrada senoidal e V

_saida

=V

_C

fazer:



Gráfico de G

₀

em função de





_{Comparar com o esperado teoricamente}



Fazer ajustes necessários e tratamento estatístico



Gráfico de



_G

em função de





Comparar com o esperado teoricamente para o capacitor



_{Fazer ajustes necessários e tratamento estatístico}



Lembre-se de medir valores



<<



_c

até



>>



_c

para

poder fazer um bom ajuste. Vejam tutorial no meu site!

Tarefas 2

Usando o mesmo circuito mas agora com uma onda

quadrada na entrada, faça:



Meça V

_C

e V

_e

no osciloscópio e salve os dados no

pendrive para 3 freqüências diferentes tais que:

  _<< _{c (pelo menos 3 vezes)}   _{~ 2} _c

  >> _c (pelo menos 30 vezes)



Mostrar numericamente que V

_C

(t) pode ser obtido através

da aplicação do ganho e fase para cada freqüência que

compõe onda quadrada de entrada



Compare a sua previsão “teórica” com a medida

experimental de V

_C

(t).

 _{Discuta o efeito da escolha do número de termos na série de}

Tarefas 3



Para o caso



>>



_c

e onda de entrada quadrada, mostre

com os dados obtidos que o sinal de saída é proporcional a

integral do sinal de entrada

 _{Neste caso, como a entrada é um sinal quadrado, significa que}

a saída será um triângulo, certo?

 _{Deduza a afirmação acima e mostre que as “inclinações”}

medidas e teóricas da onda triângular na saída são compatíveis

1. Síntese para dia 14/MARÇO as 10hs

2. O lab estará aberto qui/sex depois do carnaval

3. Usem o plantão de dúvidas para discutir a análise

de dados com o prof. Suaide