PRÁTICAS DE LABORATÓRIO

TRATAMENTO E APRESENTAÇÃO DE DADOS

EXPERIMENTAIS

M. Ribeiro da Silva

Instituto Superior Técnico

Departamento de Física

Índice

Introdução 1

1.0 - Tratamento de dados experimentais e erros associados 2

1.1 - Erros das medições 2

1.2 - Distribuição normal dos erros 5

1.2.1 - Erros e média aritmética 5

1.2.2 - Média, média quadrática, erro provável de uma medição 7

1.2.3 - Erro máximo (majorante) de uma medição 8

1.3 - Erros das medições e precisão dos instrumentos de medida 13

2.0 - Registo das observações e apresentação dos dados 13

2.1 - Registos das observações, cálculos e algarismos significativos 13

2.2 - Representação gráfica dos resultados 15

2.2.1 - Normas para gráficos 16

2.2.2 - Tipos de papel para gráficos 17

2.2.3 - Barras de erro e rectângulo de precisão 18

2.2.4 - Limite superior do erro de uma recta ajustada a pontos - método gráfico 18 2.2.5 - Ajuste de uma recta a pontos experimentais - método analítico 20

3.0 - Instrumentos de medida 21

3.1 - Nónios lineares e circulares 21

3.2 - Multímetro analógico 23

3.2.1 - Descrição do funcionamento 23

3.2.2 - Controles e precisão de operação 24

3.3 - Multímetro digital 25

3.3.1 - Descrição do funcionamento 25

3.3.2 - Medição de valores eficazes (RMS) 26

3.3.3 - Controles e precisão de operação 27

3.4 - Osciloscópio 28

3.4.1 - Funcionamento do tubo de raios catódicos (CRT) 29 3.4.2 - Sumário das funções, modos de operação e controles 30

3.4.2.1 - Banda passante e tempo de subida do sinal 31

3.4.2.2 - Controles e modos de operação 32

INTRODUÇÃO

A física, um dos mais importantes ramos do conhecimento humano desenvolveu-se como uma ciência fundamen-talmente ligada à experimentação.

O primeiro passo para o estabelecimento das leis da física é a observação. A observação científi ca não é no entanto uma tarefa fácil. Para o esclarecimento das leis de um determinado fenómeno físico é necessário saber distinguir os seus elementos principais e, se possível, modifi car as condições em que se desenvolve o fenómeno isto é, passar da simples observação para a experiência controlada. Torna-se assim fundamental encontrar características quantitativas do fenómeno (que possam ser medidas) e estabelecer de que maneira, e com que aparelhos, mediremos estas determi-nadas características. Só depois podemos estabelecer leis quantitativas que demonstrem como se modifi cará um dos parâmetros medidos em função da variação dos outros parâmetros.

Na sua defi nição mais abrangente, a experiência é uma parte necessária em qualquer processo do conhecimento científi co que, na generalidade, se pode considerar como dividido em três partes fundamentais:

1. Conhecimento - estudo primário do fenómeno através da observação;

2. Generalização - construção da hipótese que ligará os resultados individuais obtidos na observação, tanto entre eles com outros resultados e leis já anteriormente conhecidas (na física fundamentalmente quantita- tivas). Durante esta parte do processo do conhecimento serão eliminados os factores de interferência de maneira a salientar o verdadeiramente essencial no fenómeno em estudo. Nesta altura são frequentemen- te necessários dados complementares para a obtenção dos quais terão de ser feitas novas observações ou lançadas novas experiências;

3. Verifi cação da veracidade da hipótese - experimentação em condições reais, considerando todos os fac- tores secundários anteriormente eliminados. No caso de a resposta ser positiva esta verifi cação eleva a hipótese à categoria de teoria e as relações por ela estabelecidas à categoria de leis.

Será contudo errado considerar que com a verifi cação da hipótese pela experiência termina o processo do conheci-mento científi co de um determinado fenómeno. Passado algum tempo é possível que novas observações, novas expe-riências apareçam em contradição com a teoria anteriormente desenvolvida e obriguem a uma revisão do conjunto dos factos conhecidos, seguindo novos pontos de vista. Este mecanismo possibilita o aparecimento, numa dada fase do desenvolvimento científi co, de uma teoria mais completa que por seu turno será substituída por outra mais avançada e assim sucessivamente. O processo do conhecimento desenvolve-se continuamente.

Daqui se pode concluir que embora a experiência não seja o único meio ao alcance da investigação científi ca o seu papel é decisivo, sobretudo como fonte e critério de veracidade. O experimentador tem por isso uma grande responsa-bilidade não só na correcta obtenção dos resultados mas também na própria interpretação da experiência.

O trabalho experimental deverá ser organizado de tal maneira que não só não permita erros como não permita diferentes interpretações dos resultados obtidos.

Mas a experimentação em física não esgota todas as suas possibilidades no conhecimento científi co, pode também estender a sua infl uência a outros campos da actividade humana.

O desenvolvimento da física é completamente determinado pelo desenvolvimento das técnicas e tecnologias do seu tempo mas o contrário também é verdadeiro: o desenvolvimento de técnicas e tecnologias avançadas, por sua vez, é só possível numa base de desenvolvimento das ciências exactas e, por conseguinte, da física. Efectivamente, toda uma série de tecnologias avançadas foram criadas em resultado do desenvolvimento de diferentes domínios da física como, por exemplo, a energia atómica, o laser e a microelectrónica. Neste processo da penetração da física na tecnologia à experimentação está atribuído o papel de árbitro ao possibilitar a verifi cação, em condições reais, da aplicabilidade das teorias a casos concretos.

Convêm ainda salientar que a experimentação física também têm actualmente uma importância fundamental em Convêm ainda salientar que a experimentação física também têm actualmente uma importância fundamental em mui-Convêm ainda salientar que a experimentação física

1.0 TRATAMENTO DE DADOS EXPERIMENTAIS

E ERROS ASSOCIADOS

No início de um curso de engenharia os trabalhos práticos de física tem uma fi nalidade dupla: primeiro, dar ao estu-dante a possibilidade de manipular aparelhos e instalações básicas de um laboratório enquanto adquire conhecimentos básicos de medições em física; segundo, dar a possibilidade de um conhecimento mais profundo e ao mesmo tempo prático de certos fenómenos e leis da natureza expostos nos cursos teóricos. Os trabalhos do segundo tipo, embora tenham uma componente de medição, serão mais dedicados à discussão e estudo dos fenómenos físicos envolvidos.

Medir uma grandeza qualquer signifi ca determinar quantas vezes uma grandeza semelhante, a unidade de medida, “cabe” nela. A medição directa de uma determinada grandeza em física é relativamente rara (um comprimento com uma régua ou uma tensão com um voltímetro, p.e.). Na grande maioria dos casos não é a grandeza a determinar que será directamente medida mas sim um conjunto de outras grandezas com ela relacionadas por relações e fórmulas conhecidas, derivadas das leis físicas do fenómeno estudado. A aplicação a essas fórmulas dos valores medidos per-mitirá então calcular o valor da grandeza a determinar. Por exemplo, a aceleração da força da gravidade poderá ser determinada através de uma formula onde fi gurem o comprimento de um pêndulo e período de oscilação a partir das conhecidas fórmulas do pêndulo; a velocidade da luz poderá ser determinada pela diferença de fase entre dois raios laser, o emitido e o refl ectido.

1.1 ERROS DAS MEDIÇÕES

Os aparelhos de medida, por mais sofi sticados que sejam, nunca terão uma precisão absoluta. Por outro lado os nossos órgãos dos sentidos são imperfeitos e as suas capacidades variam de pessoa para pessoa. Estes dois factores combinados levam a que todas as medições só poderão ser feitas com um certo grau fi nito de precisãoas medições só poderão ser feitas com um certo grau fi nito de precisão. Por isso os resultados das medições fornecem-nos não o verdadeiro valor da grandeza a medir, mas somente um valor mais ou menos aproximado.

Uma boa medida é aquela em que se atinge a maior precisão permitida pelo aparelho ou instalação de medida utilizados. A precisão duma medida depende dos instrumentos utilizados e dos próprios métodos de medição e, nestas condições tentar ultrapassar este limite de precisão seria um gasto de tempo verdadeiramente inútil. Num bom laboratório de física não é difícil atingir precisões da ordem dos 0,1%, mas já nas técnicas de engenharia são aceites precisões da ordem de 1-4 % para muitos trabalhos. Em alguns casos pode ser obtida uma precisão muito mais elevada: ao pesar um corpo com uma massa de cerca de 200 gr numa boa balança de laboratório é corrente atingir-se um erro de 0,1 mg, isto é, uma precisão de 0,00005%. Noutros casos 5% é já um bom resultado, por exemplo medir uma temperatura de um líquido que se encontra a 10°C com um vulgar termómetro de álcool (valor da menor divisão da escala = 0,5°C).

Daqui podemos concluir que mesmo antes de iniciar uma medição é conveniente identifi car os limites de precisão identifi car os limites de precisão que poderão ser obtidos com os instrumentos utilizados

que poderão ser obtidos com os instrumentos utilizados.

Se ao longo de uma experiência for necessário medir grandezas diferentes com aparelhos de medida de níveis de precisão diferentes então a precisão fi nal pode ser limitada pelos valores obtidos com o aparelho de menor precisão. Por exemplo, em medições calorimétricas a determinação da massa de água e do calorímetro pode ser feita por pesa-gem com uma precisão de ≈ 0,0001%. Contudo, neste caso, podemo-nos limitar a uma pesapesa-gem muito menos precisa (por exemplo 0,1%) uma vez que a medição da temperatura do calorímetro só poderá ser feita com uma precisão da ordem de 1 a 2%.

Uma maneira de aumentar a precisão do resultado fi nal será efectuar as medições físicas não uma vez, mas várias vezes para as mesmas condições experimentaispara as mesmas condições experimentais. Com efeito, nas medições e leituras cometemos sempre erros, mais ou menos importantes. Estes erros, segundo a sua origem, são classifi cados em dois grupos: os erros sistemáticos e os erros aleatórios.

Erros sistemáticos - são o resultado de causas permanentes como o estado defi ciente ou má calibragem dos apa-relhos de medida, incorrecção do próprio método de medida ou falhas regulares no processo de observação por parte do próprio experimentador. Regra geral dão sempre o mesmo resultado e é evidente que, sem mudar de método ou de aparelho, o aumento do número de observações por um mesmo observador não conduz à diminuição destes erros.

É possível evitá-los (ou pelo menos diminuir a sua infl uência) através de uma aproximação crítica do método de medida, da verifi cação do bom funcionamento dos aparelhos de medida e do cumprimento rigoroso das regras de execução dos trabalhos.

Erros aleatórios - acidentais, impossíveis de prever, podem ser devidos quer à imperfeição dos nossos órgãos dos sentidos (imprecisão das leituras que involuntariamente o experimentador possa introduzir no trabalho) quer a fl utuações de estabilidade no funcionamento dos próprios aparelhos de medida.

Os erros aleatórios obedecem às leis da probabilidade. Isto signifi ca que se numa qualquer medição o resultado obtido foi superior ao verdadeiro valor então numa qualquer medição seguinte teremos a mesma probabilidade de obter um resultado inferior ao verdadeiro. É evidente que neste caso a repetição da mesma medição diminui a infl uência dos erros aleatórios pois não existe argumento para que se possa considerar o desvio do valor verdadeiro mais provável para um lado do que para outro. Assim a média aritmética de um grande número de resultados é sem dúvida muito mais próxima do verdadeiro valor da grandeza medida do que a medição única.

A teoria das probabilidades permite calcular o erro provável do resultado médio (média) através dos desvios de medições individuais em relação ao valor médio.

Apresentamos em seguida um resumo de regras úteis para a determinação da precisão do resultado obtidos (erro provável).

Sejam por exemplo NNN , N11, N, N ,…, N22,…, N,…, N os resultados de k - medições individuais de uma determinada grandeza. Então o kkkk os resultados de k - medições individuais de uma determinada grandeza. Então o

valor da média aritmética, N,

N N N= N NN NN NN NN NN NN NN N1111++++++ 2222_k++++++⋅⋅⋅ +Nk _(1.1) representa o valor mais próximo do verdadeiro valor da grandeza medida. Os desvios ∆N

representa o valor mais próximo do verdadeiro valor da grandeza medida. Os desvios ∆N

representa o valor mais próximo do verdadeiro valor da grandeza medida. Os desvios ∆NN de cada medição indivi-ii

dual em relação a este valor médio, isto é, as grandezas N-N1

N-N1

N-N = ∆N = ∆N = ∆NN , N-N11 , N-N = ∆N , N-N22 = ∆N = ∆NN , … , 22

defi nem os erros absolutos de cada medições individual, em relação ao valor médio. Estes erros podem ter sinais dife-rentes mas, de momento, só nos interessam os seus valores numéricos absolutos.

A média aritmética dos valores numéricos de erros individuais - |∆N A média aritmética dos valores numéricos de erros individuais - |∆N

A média aritmética dos valores numéricos de erros individuais - |∆ | - tem o nome de erro médio absoluto de uma medição isolada, ∆N NN NN N k = NNNNNNNNNNNNNNNN11111111++++++++++++ NNNNNNNNNNNNNNNN22222222++++++++++++⋅⋅⋅ + _(1.2) As relações ∆N As relações ∆N

As relações ∆ ₁ /N₁, ∆N, ∆N, ∆NN /N_{2 2} /N/N , … são defi nidas como o erro relativo de uma medição isolada (os erros relativos são ₂₂ frequentemente expressos em percentagem), e fi nalmente a razão entre o erro médio absoluto ∆N

frequentemente expressos em percentagem), e fi nalmente a razão entre o erro médio absoluto ∆N

frequentemente expressos em percentagem), e fi nalmente a razão entre o erro médio absoluto ∆ e o valor médio da N e o valor médio da N grandeza medida, N, chama-se erro médio relativo da medição, E,

∆N / N = ± E ∆N / N = ± E

Como já foi referido, os resultados fi nais de um trabalho experimental só raramente se obtém através da medição directa da grandeza física a determinar. Na grande maioria dos casos este valor fi nal é determinado através de uma função em que entram as várias grandezas físicas medidas. Nesta situação os diferentes erros individuais “actuam entre si”. Estamos na situação de “propagação de erros” e o erro fi nal pode ser de determinação complexa.

Por exemplo, na determinação da gravidade terrestre pelo método das oscilações do pêndulo mede-se o período das oscilações simples, T, e o comprimento do fi o de suspensão, l, sendo o valor da aceleração g determinado como uma função destes dois argumentos, combinados na fórmula

g l

T = π2₂. 

O erro de g será então uma combinação nem evidente e nem simples dos erros de π, l e l e l T. Generalizando vemos assim a necessidade de estabelecer regras que nos auxiliem na determinação dos erros a atribuir a funções elementares de uma variável.

Apresentámos exemplos de determinação de alguns casos particulares de erros absolutos e relativos de funções de uma variável:

1.- Função exponencial

Suponhamos a função N = An_{, onde A representa o valor medido e n - um número inteiro e designemos por ∆A - um número inteiro e designemos por ∆A - um número inteiro e designemos por ∆ o}

erro absoluto da grandeza A. Então o erro absoluto da grandeza medida N será ∆N = (A +

∆N = (A +

∆ ∆ A)∆ A)∆ n _{- A}n

Desenvolvendo a expressão e desprezando os termos em ∆A Desenvolvendo a expressão e desprezando os termos em ∆A

Desenvolvendo a expressão e desprezando os termos em ∆ com expoente igual ou superior a dois (uma vez que na generalidade ∆A

na generalidade ∆A

na generalidade ∆ << A) obtemos a seguinte expressão para o erro absoluto de N ∆N = n . A

∆N = n . A

∆ n-1_{∆ A∆ A∆ (1.4)}

O erro relativo E da grandeza E da grandeza E N será expresso porN será expresso porN

E== ∆∆_NNNN ==n A∆∆_{A (1.5)}

isto é, o erro relativo de uma função exponencial será igual ao erro relativo do argumento (valor medido) multiplicado pelo expoente da função.

No caso da raiz de potência n de uma função teremos

N A N nnA N N nnA A N nA n N A N nA n N=nA NN+ NN n N= A + N A N= A + N==nnA NN++ NN nn N nA n N= A + N nA n N A N nA n N= A + N nA n N=====nnnnnnnnnnnnnnA eee NNNNNNNNNN+++++∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆NNN =NNNNNNN=======nnnnnnnnnnnnnnAAAAAA++++++++∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆AAAAAA (1.4a) Elevando à potência n ambos os termos da expressão anterior obtemos

A A n

(

N N

)

(

NNN+ NNN

)

(

NN+∆∆∆NN

)

nn AA ∆∆∆AA

(

∆

)

∆

(

N N

)

(

NN ∆NN

)

∆

(

N ∆∆N = +

)

= += += +AAAA ∆∆AAAA e desprezando as potências de ∆N e desprezando as potências de ∆N

e desprezando as potências de ∆ de ordem superior temosN de ordem superior temosN

Nn nNn N A A Nn n n Nn+nNNn NN= N +n = Nnn++nNNnn NN== Nn n n N +n = Nn n n Nnn+++++++nNNNNNNNNNNNNNNNNnn−111∆∆∆∆∆∆NNNNN ANNNNNNNNN ANN=======AAAA++∆∆∆∆∆∆AAAAAA e consequentemente o erro absoluto

∆N A ∆ nN A A A A nA n n A An A A = =

= ₋₁ = e o correspondente erro relativooo E== ∆∆∆∆_NNNN == 1_n∆∆∆∆ (1.5a)_AA

2.- Funções trigonométricas

Consideremos a expressão N = sin N = sin N α , em que α representa um valor medido de uma grandeza física. Como é resultado de uma medição o valor do ângulo α está sujeito a erro e então teremos

N + ∆ N + ∆

N + ∆N + ∆ = sin (NN = sin (N α + ∆α + ∆α + ∆ ) (1.6) onde ∆α

onde ∆α

onde ∆ representa o erro absoluto da medida do ângulo α. Desenvolvendo em série a expressão e considerando como anteriormente que o erro ∆α

como anteriormente que o erro ∆α

obtemos

N + ∆ N + ∆

N + ∆N + ∆ = sin NN = sin N α + cos α . ∆α . ∆α . ∆

e logo ∆N

e logo ∆N

e logo ∆ = cos N = cos N α . ∆α . ∆α . ∆ (erro absoluto) (1.7) e ainda E = ∆E = ∆E = ∆N/N = ∆N/NN/N = ctg N/N = ctg α . α (erro relativo) (1.8) De maneira análoga é possível calcular os erros absoluto e relativo para as outras funções trigonométricas.

3. - Funções compostas

Vejamos agora o caso de uma função complexa qualquer. Na generalidade, os erros das medições são sufi cientemente pequenos quando comparados com as grandezas medidas e por este facto podem ser desprezados as suas potências de ordem superior à unidade (quadrados, cubos, etc.). Esta simplifi cação permite utilizar o cálculo diferencial na deter-minação dos erros de medição.

Por exemplo, seja o valor N resultado da medição de uma única grandeza N resultado da medição de uma única grandeza N x relacionada com x relacionada com x N por uma relação N por uma relação N funcional:

N = f(x) (1.9)

Suponhamos também que o erro médio absoluto da medição de x é ±x é ±x dx ; este erro produz um erro correspondente de dx ; este erro produz um erro correspondente de dx ± N na grandeza a determinar. AssimN na grandeza a determinar. AssimN

N ± dN = f( N ± dN = f(

N ± dN = f x ± dx) (1.10)

Decompondo a expressão (1.10) em série de Taylor obtemos N dN f N dN f N d x dxx dxx d df dx d fdx N d± = N dN f± N f= N dN f N d± = N dN f N d

( )

( )

x dxx dxx dx dxx dx dx dx d±±±± x⋅⋅⋅⋅ ( )( )xx ±

( )

( )

dxdx ⋅⋅⋅d fd f ±±±⋅⋅⋅ ! ⋅⋅⋅⋅ ( )( )( )( )xxxxxx ±±±± 2 _{d fd f}22 2 ⋅ ₂ ± ⋅ ± 2

e desprezando os termos em dx com expoente superior à unidade simplifi camosdx com expoente superior à unidade simplifi camosdx N dN f N dN f N d x dxx dxx d df dx N d± = N dN f± N f= N dN f N d± = N dN f N d

( )

( )

x dx dx dx d± ( )( )xx

Tendo em conta a expressão (1.9) obteremos para o valor do erro absoluto:

dN= ±dx df_dx( )( )xx _(1.11)

Generalizando: o erro absoluto duma função (composta) é igual ao erro do argumento multiplicado pela derivada dessa mesma função. O erro relativo dessa mesma medição será determinado pela expressão

E= ±dN_N E= _{f x}dx

_{( )}

df_dx f x

( )

f x ⋅

ou ainda ( )( )xx _(1.12)

No ponto (1.2.3) estudaremos o caso mais geral de funções compostas por várias variáveis independentes do tipo f(f(fx_i), com i = 1,2,...,n .

1.2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL DOS ERROS

1.2.1 ERROS E MÉDIA ARITMÉTICA

Ao considerar os erros acidentais, inevitáveis na prática laboratorial, como um caso particular dos acontecimentos aleatórios, Gauss formulou a lei da distribuição normal dos erros partindo dos postulados:

1º - em observações de igual confi ança o valor mais provável é a média aritmética; 2º - a probabilidade de se cometer um erro x é função x é função x f (x) desse mesmo erro;

3º - a probabilidade de se cometer um erro muito grande é muito pequena e o sinais positivo ou negativo do erro são igualmente prováveis.

4º - a probabilidade de se cometer um erro entre x e (x e (x x+dx) é dada pela expressão f (x).dx.

Considerando estes postulados a quantidade de erros com um determinado valor para uma dada grandeza deverá ser uma função decrescente e simétrica do valor do erro aleatório:

∆n n ∆ ∆ ∆n n ∆ ∆ f x ∆ ∆ f x ∆ ∆ ∆x n h n eeee h xh x ∆∆xxxx ∆ = ⋅ ∆ ∆ ∆ ∆n n ∆ ∆ = ⋅ ∆ ∆n n ∆ ∆

( )

∆ ∆

( )

∆ ∆ f xf x

( )

∆ ∆ f x ∆ ∆

( )

∆ ∆ f x ∆ ∆ ⋅∆ = ∆ ⋅∆ = ∆ ⋅∆x nx n ⋅= ⋅ ⋅⋅ee− ⋅− ⋅h xh xh xh x2 22 2⋅ xx _(1.13)

onde x - é valor do erro, ∆x - é valor do erro, ∆x - é valor do erro, ∆n - é valor do erro, ∆ = (n . f (x) . ∆xn ) . ∆x) . ∆ ) - quantidade de medições para as quais o valor do erro está contido no intervalo {[x, x+dx} e n - quantidade global de experiências realizadas. A curva y = f (x) é designada por curva de Gauss ou curva da distribuição normal dos erros. O parâmetro “h” é defi nido como a “medida da precisão”. A curva de Gauss é geralmente normalizada de modo a que se cumpra a condição

f x d x

( )

f x

( )

f x d xd x =

( )

( )

−∞ +∞

∫

_{1 (1.14)}

Na Fig.1.1 estão representadas curvas de Gauss para diferentes valores do parâmetro h. Quanto maior for a precisão da medida mais rapidamente decresce o valor da função com o crescimento de x (ou, em termos práticos, tanto menor x (ou, em termos práticos, tanto menor x é o número de medidas com grandes erros)

Suponhamos que foram feitas n medições de uma certa grandeza A₀ e que foram obtidos os valores N₁, N, N, N , N₂₂, N, N , … . ₃₃ Então o erro das medições individuais será

x A N x1 A0 N x1 A0 x A 1 2 0 x2 A0 x A 2 = − x =A − x11=A00− x1 A0 x =A − x1 A0 x A = − x =A − x22=A00− x2 A0 x =A − x2 A0 x A ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅ (1.15)

A probabilidade de aparecimento de erros com um valor compreendido entre x₁ e (x₁+dx₁) é igual à relação entre o número de medidas efectuadas com esse mesmo erro e a quantidade total de medidas, isto é,

P y dx h eee dxdxd h x e h x d e d 1 P y1 P y= ⋅11 dxdx11 ee h xh x22 12 dd 1 P y= ⋅ P y= ⋅11 11=== _π ⋅⋅⋅eeeeeeee− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅h xh xh xh x ⋅dddddddd (1.16 ) A teoria das probabilidades permite afi rmar que a probabilidade de aparecimento simultâneo de acontecimentos inde-pendentes é igual ao produto das probabilidades destes acontecimentos. Assim a probabilidade de aparecimento de um

y 0 x h >₁ h >₂ h ₃ P₁ dx₁ h ₂ h ₁ h ₃

conjunto de medidas com as probabilidades x1, x2, x3, … pode ser escrita sob a forma P= h n eee h dx ddx dd            ⋅⋅ee ⋅⋅ddx dx d⋅ −

(

)

e

(

)

d e

(

(

(

x x xx x x xxnn

)

)

)

d e n d e

(

)

d e n d e d e d ⋅ee

(

)

⋅dd ⋅e

(

(

(

(

x x xx x x ⋅⋅⋅x x xx x x+ + ++ + ++ + ++ + +⋅⋅⋅++

)

)

)

)

⋅d π 2

(

)

1

(

)

e

(

)

d e 1 d e

(

)

d e

(

(

(

(

(

(

x x xx x xx x xx x x12 2

)

)

)

)

)

)

d e

(

)

d e 2 d e

(

)

d e

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

x x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x x+ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + +2222 3

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

d e

(

)

d e 3 d e

(

)

d e

(

(

(

(

(

(

(

(

+ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + + +3222 +++ 222

)

)

)

)

)

)

)

)

d 1 x d1 x dx d x dx d x dxx dx x dx x dx d x dx x dx dx dx dx dxx dx dxx dxx dx dx dx dx dx dxx dx222222⋅⋅ xxxxx333333⋅⋅⋅⋅dd ddddddxddxn (1.17)

O valor mais provável da grandeza medida (identifi cado pela letra A) pode ser determinado a partir das relações anteriores. Não é demais salientar que este valor não é igual ao valor exacto A0, mas sim representa o valor mais provável

(ou seja o mais próximo do verdadeiro) calculado através dos resultados das medições. A este valor A corresponde o valor máximo da probabilidade P e por conseguinte o menor valor da soma

x x x xxxnn xxxii i n 1 x1 x x x2 x2 x x x2 x x x2 x32 2 2 1 + + + x +x +x + x x x x x2 x x +x +x + x x2 x x +++x22+++x22₃22₃+++⋅⋅⋅ ++++xxxxxxnn2222==== xxxxxxii =

∑

x

∑

x xnn

∑

xii xn xi x

∑

x xn xi x x

Para a determinar o valor de A exprimimos o somatório de através de A e n1, n2, …, tendo em conta a equação

(1.17) e substituindo ao mesmo tempo o valor desconhecido de A0 por A. Obtemos assim

z A xxxii AAA ii i n

( )

z A

( )

z A =======

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxiiiiiiiiiiiiiiiiii =======

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

(

(

(

(

(

(

(

(

AAA NAAAAAAAAAAAAAAA NAAAAAA−−−−NNNNiiiiiiiiiiiiiiiiii

)

)

)

)

)

)

)

)

= 2

∑

2

∑

∑

x

∑

A

∑

xx2

∑

AA

∑

x

∑

A 2 1 (1.18 )

e o valor de A será escolhido de maneira a obtermos um mínimo para a função z(A), o que acontece quando se verifi ca a condição dz dA A N n i n _i =

(

(

(

A NA N− ii

)

)

)

=

(

−

)

= A N− =

(

A NA N−

)

= A N− === AA=== =

∑

=

∑

− = − 2

∑

1 ======00      e assie assimm    ====== (1.19)

A teoria de Gauss permite assim confi rmar o postulado da média aritmética: “o valor mais provável da grandeza A₀, calculado a partir de séries de valores medidos N₁, N, N, N , N₂₂, N, N , … é a média aritmética destes valores”.₃₃

E ainda: “o valor médio aritmético de uma grandeza distingue-se dos outros tipos de valores médios pelo facto de ser mínima a soma dos quadrados dos seus erros”.

1.2.2 MÉDIA, MÉDIA QUADRÁTICA, ERRO PROVÁVEL DE UMA MEDIÇÃO

Na teoria gaussiana do erro a precisão de uma medida é completamente determinada pela “medida da precisão, h”. Este valor pode ser calculado se for construída a curva y = f (x). Contudo na teoria dos erros é normal caracterizar a precisão de uma medida através de uma das três seguintes

gran-dezas: erro médio ρ, erro médio quadrático (desvio padrão) σ e erro provável da medição η. Evidentemente cada uma destas grandezas pode ser expressa através de h.

Por defi nição o erro médio ρ é igual a (ver Fig.1.2) ρ = ±

∑

= x n i i n 1

e, utilizando a expressão (1.14) obtemos imediatamente ρ π π π π = ⋅ ⋅ = π ⋅ π π π ∞ − ⋅

∫

2 = ⋅2 = ⋅ 1 0 2 2 x h e⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅eeeeee− ⋅− ⋅ dddxddddxxx======== h π h π π − ⋅− ⋅h xh x π 2 2 h x2 2 e h x d e− ⋅ d e− ⋅− ⋅h x d e− ⋅ d (1.20) O erro médio quadrático ou desvio padrão - σ é defi nido pela σσ é defi nido pela expressão x y 0 ρ σ η −η

σ π ρ =

∑

x = ⋅∞

_∫

⋅ − = = ⋅ ni x h e h x dx h 2 2 0 2 1 2 1 25 2 2 , _(1.21)

Finalmente o erro provável (η) de uma medida individual é defi nido como o valor que divide n erros aleatórios de n medições em duas partes iguais: uma metade das medições tem erros menores que h e a outra metade - maiores que h. Isto signifi ca que h é igual à abcissa da curva de Gauss para a qual a área delimitada pela curva e compreendida entreos limites ± h é igual a metade da área total

h _{eee dxdxd} h h x e h x d e d π _η η η ⋅ e d = ⋅ e dx= ⋅ ee dxdx= ⋅ ee dxd = ⋅ ee− dd = − +

∫

⋅

_∫

= ⋅ h xh x2 22 2 =1 2        e assie assimmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm ηηηηηηηη ================0 6745 10000000000,,,,,,,,,,,6745674567456745          112 ================0 60 60 60 60 60 67450 60 60 6,,,,,,,,, 774577777777777777777777 ⋅σ (1.22)

Chamamos a atenção para o facto de nas fórmulas (1.15) x_i aparecer como a diferença entre a i-nésima medida e o valor verdadeiro da grandeza a medir. No entanto o valor calculado da diferença é-lhe sempre próximo mas nunca igual pois representa a diferença entre um valor médio A e o valor medido da grandeza. Este facto leva a que no denominador da fórmula (1.19) o denominador n seja substituído por (n-1) e desta maneira obtemos

σ = ± −

∑

x n i 2 1 1.23)

Da Fig(1.2) podemos tirar algum sentido físico para as grandezas ρ, σ e σ e σ η.

As ordenadas correspondentes a estes pontos defi nem duas áreas iguais, dentro da curva de Gauss, correspondentes ao erro provável ±η e não iguais para ρ e σ. A parte tracejada indica qual a fracção do total das medidas que apresenta valores afastando-se da média aritmética num valor de x, com x<η.

Esta área indica qual a probabilidade α de um erro de medição menor ou igual a η (ou ρ ou σ). Tendo em conta a normalização da curva de Gauss este valor é sempre inferior a 1.

Ao valor desta probabilidade, α, é dado o nome de coefi ciente de fi abilidade. Para uma quantidade de medições elevada:

erro provável η = 0,5 erro médio aritmético ρ = 0,57 erro quadrático médio σ = 0,68.

Devemos salientar que o acima exposto é verdadeiro se o número de medições for sufi cientemente elevado uma vez que de n medições calculamos, não valores exactos mas sim, σ_n, ρ_n e η_n e o coefi ciente α para estes valores diminui com a diminuição de n.

1.2.3 ERRO MÁXIMO (MAJORANTE) DE UMA MEDIÇÃO

Como alternativa à determinação do erro pelos processos anteriores podemos ainda utilizar o conceito de erro máximo ou majorante no caso de funções de mais de uma variável. Para isso é calculado o erro máximo na medição da grandeza N(N(N x,y,z) considerando que todos os erros na determinação dos valores de x, y e z modifi cam o valor de N num mesmo sentido.

Alguns exemplos :

1.- Erro máximo absoluto e relativo para os valores de uma soma (ou diferença) de duas grandezas medidas N = A ± B . Suponhamos que o erro absoluto da grandeza A é ∆A é ∆A é ∆ e que o erro absoluto da grandeza B é ∆B é ∆B é ∆ . Então

N ± ∆ N ± ∆

N ± ∆N ± ∆ = (NN = (N A ± ∆A ± ∆A ± ∆ ) ± (B ± ∆B ± ∆B ± ∆ ) . (1.24) O sinal dos erros ∆A

O sinal dos erros ∆A

sejam os maiores. No cálculo da soma de duas grandezas medidas, A e B, o erro será máximo (majorado) se o erro da grandeza A e o erro da grandeza B forem do mesmo sinal (no caso da diferença das grandezas A e B o erro será máximo se o sinal dos seus erros for de sentido contrário). Em ambos os casos o erro máximo absoluto ∆N

se o sinal dos seus erros for de sentido contrário). Em ambos os casos o erro máximo absoluto ∆N

se o sinal dos seus erros for de sentido contrário). Em ambos os casos o erro máximo absoluto ∆ da grandeza N da grandeza N N será N será N igual à soma dos erros absolutos das medidas das grandezas A e B :

± ∆N ± ∆N

± ∆ = ± (∆N = ± (∆N = ± (∆A = ± (∆ + ∆BA + ∆B + ∆ ) (1.25) Os erros relativos (E) das medições serão expressos através das fórmulas:

para a soma E== _NN == AA_{A B}A+ BBB A B+ A B ∆N ∆ ∆N ∆AA ∆∆B_{B (1.26)} para a diferença E= A_{A B}B A B− A B ∆A ∆B ∆AAA+∆BBB ∆AA+∆B_{B (1.27)}

De notar que num cálculo em que o resultado seja dependente da diferença de duas grandezas medidas o erro relativo da medição será tanto maior quanto mais próximo estiverem os valores das grandezas medidas.

2.- Erro máximo absoluto e erro relativo para os valores do produto (ou quociente) de duas grandezas N = A.B (ou N = A/B). Se A for medido com o erro ± ∆A for medido com o erro ± ∆A for medido com o erro ± ∆ e B com o erro ± ∆B com o erro ± ∆B com o erro ± ∆ então

N ± ∆ N ± ∆

N ± ∆N ± ∆ = (NN = (N A ± ∆A ± ∆A ± ∆ ).(B ± ∆B± ∆ ) = A.B ± A.∆B ± ∆B .∆B .∆ ± B.∆A .∆A .∆ ± ∆A± ∆A± ∆ .∆B.∆B.∆ (1.28) Uma vez que ∆A

Uma vez que ∆A

Uma vez que ∆ e ∆Be ∆Be ∆ são pequenos em relação aos valores de A e B o produto ∆Ao produto ∆Ao produto ∆ .∆B .∆B .∆ pode ser desprezado como grandeza de 2ª ordem, [(∆A

grandeza de 2ª ordem, [(∆A

grandeza de 2ª ordem, [(∆ .∆B.∆B.∆ ) « A,B] e assim ∆N = A

∆N = A

∆ .∆B .∆B .∆ + B.∆A.∆A.∆ (1.29)

Como anteriormente, devemos ter em conta o caso mais desfavorável, isto é, quando ambos os erros tiverem o mesmo sinal. Deste modo o erro máximo absoluto de um produto é igual à soma do produto do erro absoluto do pri-meiro multiplicador pelo segundo multiplicador e do erro do segundo multiplicador pelo pripri-meiro. Daqui obtemos para o erro relativo

E== _NN = ⋅= A B B AA BA B B A⋅ _{A B}++B A⋅ _AA _BB A B⋅ A B == ++ ∆N ∆ ∆N A B∆ ∆ A BA BA B⋅∆ + ∆ A BA B⋅∆ +B AB A∆∆ ∆∆ ∆ (1.30) O erro relativo do produto é igual à soma dos erros relativos dos multiplicadores.

Analogamente, se N = A/B então N N A_B A_B B B AB B A ± = N± N = N N A_BBA±_± A_BA_B =

(

(

(

AAAAAA++ AAAAAA

)

)

)

(

(

BB BB

)

)

B − B B

( )

B B

( )

B B B = ± ⋅B A ± ⋅B A ∆ N ∆N N N N± N = N ∆N N± N = N N AA_{BB ∆}∆∆_∆BBAA

(

(

(

(

AAAA ∆∆∆∆∆∆∆∆AA ⋅ +AA

)

)

)

)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(

(

(

(

(

(

(

(

BBBBBBBBBBBB+++++++++∆∆∆∆∆∆∆∆BBBBBBBBBBBB

)

)

)

)

)

)

)

)

( )

∆

( )

B

( )

B B ∆B B

( )

B B B ∆ B A∆ B A 2 B2 B B B2 ± ⋅ ±± ⋅ ±A B ± ⋅A B ± ⋅ B ∆ A B∆ A B 2 _(1.31)

Novamente são desprezados os termos de ordem superior dos erros (quadrados e produtos) e consideramos o caso mais desfavorável isto é, quando o erro do numerador e o erro do denominador tem sinais contrários. Assim

∆N B AB A∆∆∆∆∆ A BA B∆∆∆∆∆ B

= B AB AB AB A⋅⋅⋅∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ +++₂A BA B⋅∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ _(1.32)

O erro máximo absoluto de um quociente é igual à soma dos produtos do erro absoluto do numerador pelo deno-minador e do erro absoluto do denodeno-minador pelo numerador, dividida pelo quadrado do denodeno-minador. O erro relativo de um quociente é igual à soma dos erros relativos do numerador e do denominador. Efectivamente

E _NN _A A B B A B A A BB = = = ∆∆∆∆∆N BN = ⋅ ⋅B A BA B B AA BA BA BA BA BA B⋅⋅⋅∆∆∆∆∆ ++++₂B A = +B AB A⋅∆∆ = ∆∆ +∆ (1.33) NOTAR BEM - É necessário ter sempre em conta que a utilização automática destas regras pode conduzir

a erros de cálculo nos casos em que a grandeza medida entra mais do que uma vez na fórmula de cálculo do resultado.

Por exemplo, consideremos a expressão N=(N=(N A+B)/B)/B)/ à qual podem ser automaticamente aplicadas as fórmulas anteriores, considerando o quociente da divisão de duas grandezas: C = (C = (C A+B) e B.

Então ∆N B C= B CB CB CB CB C⋅⋅⋅∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ _B+++2C BC BC BC B⋅∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

mas como ∆C = ∆A+∆B

teremos assim ∆N B A B A BB ∆∆∆BB ∆∆∆ ∆ B B A ∆ B A∆ ∆ ∆ B B = BBBBBBBBBBBBBB⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(

(

(

(

(

(

(

(

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆AAAAAAAAAAAAAA+++++++∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆BBBBBBBBBB

)

)

)

)

)

)

)

)

+++++₂

(

(

(

(

(

AAAAAA BAAA BA+++++BB

)

)

)

)

)

⋅∆∆∆∆BBBB= B AB AB AB A⋅⋅⋅∆∆∆∆ +++

(

(

(

AAAAAA₂++ BBBBB ⋅B

)

)

)

B 2

(

(

(

(

AAAA_B2 22BBBB

)

)

)

)

(1.34)

Por outro lado, é evidente que

∆N = (B.∆A+A.∆B) /B2 _(1.35)

pois N pode ser representado por N pode ser representado por N N=(A/B) +1.

O erro introduzido pelo primeiro processo de cálculo é devido ao facto de termos considerado diferentes o sinal do erro absoluto da medição que é repetido no numerador e no denominador da fórmula de B, analogamente ao que é feito para o cálculo do erro do quociente de duas grandezas independentes. Neste caso é evidente que o erro absoluto ∆B no denominador e no numerador teria de ser considerado com o mesmo sinal.

Assim, no caso de repetição de algumas grandezas nas fórmulas é necessário calcular o erro máximo médio da medição em cada caso individual.

Como método geral para o cálculo do erro majorante ∆N Como método geral para o cálculo do erro majorante ∆N

Como método geral para o cálculo do erro majorante ∆ de uma função defi nida por N de uma função defi nida por N n parâmetros mensuráveis, N=f(x_i) com i=1,...n podemos aplicar a fórmula geral de propagação de erros, derivada do cálculo diferencial:

dN dx N x dx xN dxn xNn = ± ⋅ ∂ ∂ +++ dxdx ⋅⋅⋅ ∂ ∂ + ⋅⋅⋅ ++++ dxdxnn⋅⋅⋅⋅ ∂ ∂         1 1 ++ 22⋅⋅ 2          ∆ ∆ ∆NN ∆xx ∆N ∆x ∆ ∆ ∆N ∆x ∆ ∆ i N xi i n = ⋅ = ⋅ N= x ⋅ N x ∆N ∆x ∆ = ∆ ⋅ ∆N ∆x ∆ ∆ ∆N ∆x ∆ = ∆ ⋅ ∆N ∆x ∆ = ∆ ii⋅ ∆N ∆x ∆ = ∆ ⋅ ∆N ∆x ∆ ∆ ∂ ∂  ∆ ∆ ∆ ∆ ∆N ∆x ∆ ∆ ∆N ∆x ∆ ∆  N x  N x ∆N ∆x ∆ ∆  ∆N ∆x ∆ ∆ ∆N ∆x ∆ _∆ ∆N ∆x ∆ ∆ ∆N ∆x ∆ = ∆ ⋅ ∆N ∆x ∆ _∆ ∆N ∆x ∆ = ∆ ⋅ ∆N ∆x ∆ ∆ ∆N ∆x ∆ ∆ ∆N ∆x ∆ _∆ ∆N ∆x ∆ ∆ ∆N ∆x ∆ ∆  N x  N _ x N x  N x ∆N ∆x ∆ ∆  ∆N ∆x ∆ _∆ ∆N ∆x ∆ ∆  ∆N ∆x ∆ ∆       =

∑

∆

∑

∆ ∆ ∆ ∆N ∆x ∆

∑

∆ ∆N ∆x ∆NN

∑

∑

∆xx ∆N ∆x ∆

∑

∆ ∆N ∆x ∆ ∆ ∆N ∆x ∆ = ∆ ⋅ ∆N ∆x ∆

∑

∆ ∆N ∆x ∆ = ∆ ⋅ ∆N ∆x ∆ ∆ 1 (1.36)

Ao calcular o erro máximo é necessário ter em conta que, se a grandeza a defi nir for determinada por medidas de uma série de outras grandezas então, o erro calculado fi ca na prática fortemente majorado pois a probabilidade que os erros de todas as grandezas medidas tenham um sinal tal que torne máximo o erro do resultado é tanto menor, quanto maior for a quantidade de grandezas medidas. Por outro lado, se tanto a quantidade de grandezas medidas como o nú-mero de medições forem muito pequenas então a utilização das fórmulas baseadas na distribuição de Gauss dará uma precisão do resultado demasiado optimista. Neste caso é usual utilizar de fórmulas derivadas de outras distribuições estatísticas (Fisher-Student, p.e.) de derivação mais complexa.

Valor médio aritmético de uma grandeza

N0 = N NN NN NN NN NN NN NN NN N111111++++ 222222++++NNNNNNNNN_n33+⋅⋅⋅+NNNNNNNNNn

Erro médio absoluto de uma medição

_ρ

n i i n N NN NNii n = N= =_∆N∆NN=

∑

= NN −NN =∆ = = N= =∆NN= = N= 1NN00 NN

Erro relativo de uma medida isolada

E= ∆N∆N_NN

Erro médio quadrático de uma medição

σ_n i n n =

(

i

)

(

N Ni

)

(

NNN −NNN

)

(

NN −NN

)

=

∑

(

(

(

(

NNNN00 NNNN

)

)

)

)

2 1

Erro provável de uma medição.

Relação entre σ e

σ

σ ρ

e

: σ

_n

= 1,25 ρ

_η

para n > 30

η_n i n n = ⋅

(

(

(

(

NNNNN NNNNNiiiiii

)

)

)

)

− N N

(

NN −NN

)

=

∑

0 =0 ⋅ = 6745⋅ = 6745⋅ = ⋅

(

(

(

(

NNNN00 NNNN

)

)

)

)

2 1 ,

Erro quadrático médio da média aritmética

_σ σ

N i n n n n 0 2 1 = = = =

(

(

(

(

(

(

NNNNNNNNN0000 NNNNNNNNNiiiiii

)

)

)

)

)

)

− N N

(

NN −NN

)

(

)

n n

(

)

n n 1

(

(

−−1

)

)

=

∑

Erro absoluto de uma função de uma só variável

dN= ± dx df⋅ _dx

( )

( )

xx

Erro relativo de uma função de uma só variável

E dN

N f xdx dfdx

= =

= =

_{( )}

f x

( )

f x ⋅

( )

( )

xx

Erro médio quadrático de uma função de várias

variáveis independentes

σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ = ∂∂∂ ⋅σσσσσ σσσσσσσσσσσσσσσσσσ  + ∂∂ ⋅σ             + ⋅⋅⋅ f σ f σ σ ∂∂f σ x f ∂f ∂ y x σy x_ σy x_ y x_ + y x + _∂ y x _∂ y x _ y x _{ y} y x _y y 2 2

Erro máximo de uma função de várias variáveis

independentes

∆Nmax= ∂f∂f∂fxdx+ ∂f∂∂ffydy+ ⋅⋅⋅

Coefi ciente de fi abilidade para ρ, σ e

σ

σ η

e

no caso de um grande número de medições :

α α α ρ η σ = 0,57 = 0,50 = 0,68                  Tabela 1 - Compilação de fórmulas de erros e valores médios de medições

Tabela 2 - Fórmulas para o erro absoluto e relativo para diferentes funções Operação matemática Erro

absoluto ± relativo (%)

Funções de uma só variável N An N A= N A N A N n A N n A N A N= A N A N A N= A N

( )

A N

( )

A N si A N si A N A N n A N A N A N= A N

( )

A N

( )

A N A N co A N A N s A N A N tg A N t= N tg Ag A

( )

( )

N ctg=

( )

( )

AA ± _nAn 1− _∆A∆AA ± 1 1 1− nAAAAAn ∆∆AAAAA ± cos A

( )

( )

( )

AAAA ⋅ ∆⋅∆AAAAA ± sin A

( )

( )

( )

AAAA ⋅ ∆⋅∆AAAAA ±

( )

cos∆A∆A∆2

( )

( )

A ±

( )

sin ∆A ∆A ∆

( )

A

( )

2 n A A ⋅ ∆A∆A 1 n⋅ ∆AAA ∆A tg A

( )

( )

AAAA ⋅ ∆⋅ ∆AAAAA 2 ⋅

( )

2

( )

∆A∆A∆2

( )

A

( )

sin 2 ⋅

( )

2

( )

∆A∆A∆2

( )

A

( )

sin Funções de mais de uma variável - erro máximo

N A B C= + + N A= + + N A B C= + +B C + ⋅⋅⋅ N A B= − N A= − N A N A B= ⋅ N A= ⋅ N A N A B C= ⋅ N A= ⋅ N A B CB C⋅ N A= _B ±

(

+

)

±

(

+

)

±

(

(

(

∆ +∆ ++ ++

)

)

)

±

(

+

)

± ∆ +∆ ±

(

+

)

±

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

∆∆AA+∆∆BB++++∆∆ ++++

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

±

(

+

)

± ∆ +∆ ±

(

+

)

± A+ B ±

(

+

)

± ∆ +∆ ±

(

+

)

±

(

(

(

(

(

(

+ ++++ CC++++L

)

)

)

)

)

)

±

(

+

)

±

(

+

)

±

(

(

∆ +∆

)

)

±

(

+

)

± ∆ +∆ ±

(

+

)

±

(

(

(

(

(

(

∆∆AA+∆∆BB

)

)

)

)

)

)

±

(

+

)

± ∆ +∆ ±

(

+

)

± A+ B ±

(

+

)

± ∆ +∆ ±

(

+

)

± + ±

(

+

)

±

(

+

)

±

(

(

B A+

)

)

±

(

+

)

± B A+ ±

(

+

)

±

(

(

(

(

∆ +A B∆

)

)

)

)

±

(

+

)

± ∆ + ∆ ±

(

+

)

±

(

(

(

(

B AB A∆ + ∆

)

)

)

)

±

(

+

)

± B A+ ±

(

+

)

± ∆ + ∆ ±

(

+

)

± B A+ ±

(

+

)

±

(

(

(

(

∆ +A BA B∆

)

)

)

)

±

(

+

)

±

(

+

)

±

(

(

(

BC + ++

)

)

)

±

(

+

)

± BC + ±

(

+

)

±

(

(

(

(

(

(

(

(

∆ + C B∆ AB C

)

)

)

)

)

)

)

)

±

(

+

)

± ∆ + ∆ ±

(

+

)

±

(

(

(

(

BCBC∆ + ∆

)

)

)

)

±

(

+

)

± BC + ±

(

+

)

± ∆ + ∆ ±

(

+

)

± BC + ±

(

+

)

±

(

(

(

(

∆A AA A+ ∆

)

)

)

)

±

(

+

)

± A A+ ±

(

+

)

± ∆ + ∆ ±

(

+

)

± A A+ ±

(

+

)

±

(

(

(

(

(

(

∆ + C BC B∆ ∆

)

)

)

)

)

)

± A B B A B ∆ + ∆ ∆ + ∆ A B∆ ∆ A B B A∆ B A∆ 2 ∆A ∆B ∆ ∆A ∆B ∆ ∆ C A B C+ + A+ B+ A B ∆A ∆B ∆ +∆ + ∆A ∆B ∆ ∆ + + + A B+ + A B + L L ∆A ∆B ∆A ∆B ∆ ∆ A B ∆A ∆B ∆ +∆ ∆A ∆B ∆ ∆ A B− A B ∆ ∆ ∆A ∆ ∆ ∆ A B ∆ ∆B ∆ ∆ B +           ∆ ∆ ∆ ∆A ∆ ∆ ∆ A B ∆ ∆B ∆ ∆ B CC + + + +           ∆ ∆ ∆A ∆ ∆ ∆ A B ∆ ∆B ∆ ∆ B +           Funções de mais de uma variável - erro médio quadrático

N A B C= + + N A= + + N A B C= + +B C + ⋅⋅⋅ N A B= − N A= − N A N A B C= ⋅ N A= ⋅ N A B CB C⋅ N A= _B ± + ± σ +σ + + ± σ +σ ± σσ_AA+σσ_BB++σσ ++ ± σ +σ ± _A+ _B ± σ +σ ± 2 + 2 ++ _CC++ ± 2 + 2 ± σ_σ2 +σ_σ2 ± σ +σ ± 2 + 2 ± σ +σ ± + ₊₊ 22 _++L ± + ± σ +σ ± σ +σ ± σσ_AA+σσ_BB ± σ +σ ± _A+ _B ± σ +σ ± 2 + 2 ± 2 + 2 ± σ_σ2 +σ_σ2 ± σ +σ ± 2 + 2 ± σ +σ ± + ±

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

BCσσσσσσσσσσσAAAAAAAAAAAAA

)

)

)

)

)

)

)

) (

)

)

) (

222+++++++

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

ACACACACACACACACACσσσσσσσσσσσBBBBBBBBBBBBB

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

222+

(

(

(

(

(

(

(

ABσC

)

)

)

)

)

)

)

2 ± + ± + ± σA _{+ }_ __ ⋅σ ± A + ± + _B B BA 2 2 2 ± ₂ + ₂ ± _{2 +  2}  B 2 _B2 2 2 σ_A σ_B σ σ_A σ_B σ σ _B A B C 2 2 σ2 σ2 σ ₊σ ₊ 2 ₊ σ +σ + + σ_AA++σ_BB++σσ ++ σ_A σ_B σ +σ + + σ_A σ_B σ22 +₊σ22 +_{+ BB}+₊ σ2 σ2 σ +σ + + σ2 σ2 σ ₊σ ₊ 22 ₊ + + A B+ + A B + L L σ_A σ_B σ_A σ_B σ σ A B 2 2 σ2 σ2 σ σ σ +σ σ σ σ_A σ_B σ +σ σ_A σ_B σ22 ₊σ22 σ2 σ2 σ +σ σ2 σ2 σ σ A B− A B σ_A σ_B σ σ_A σ_B σ σ _C A B C 2 σ2 σ σ σ 2 A2 B A B 2 2 2 2 + + + + A ₊ B ₊ A B 2 + ₂ + σ_A σ_B σ_A σ_B σ σ A B 2 σ2 σ σ σ 2 A2 B A B 2 2 + A ₊ B A B ctg A

( )

⋅ ∆A

1.3 ERRO DAS MEDIÇÕES E PRECISÃO DOS INSTRUMENTOS DE MEDIDA

A repetição de medições para a eliminação dos erros aleatórios só tem sentido se os erros aleatórios de medições individuais forem superiores ao erro introduzido pelo próprio aparelho de medida.

A precisão do aparelho de medida (se a sua utilização não introduzir novos erros) é basicamente determinada pelas características da sua construção e pela graduação da escala. Como regra geral, a precisão do mecanismo do aparelho de medida é inferior à precisão da leitura feitas nas suas escalas. A precisão do aparelho de medida pode tanto ser indicada no próprio aparelho como nas instrucções técnicas que o acompanham.

Alguns exemplos:

a) Ao medir um comprimento com uma régua não é difícil avaliar à vista alguns décimos de milímetro mas uma régua vulgar nunca é construida com uma precisão tão elevada. Mesmo que repetíssemos as medições muitas vezes a precisão do resultado obtido não pode ser melhor que a precisão com que foi fabricada a régua. Por outro lado, mes-mo que as divisões correspondentes aos milímetros fossem gravadas com extrema precisão (digames-mos 0,001 mm) este facto não se refl ectiria na medição efectuada pelo observador. Neste caso o factor limitativo seria a acuidade visual do experimentador e a precisão da medição com a régua será determinada pela precisão de leitura visual que, como regra, não ultrapassa no melhor dos casos 0,1 do valor da menor divisão da escala.

b) Ao medir uma resistência de algumas centenas de Ohms com um ohmímetro digital de precisão (resolução de 0,01 Ω, p.e.) as diferenças entre os valores de cada medição podem atingir alguns Ohms devido aos erros aleatórios das medições (maus contactos das pontas de prova, fl utuações da corrente de prova, etc.). Neste caso a medição deverá ser repetida o número de vezes sufi ciente de maneira a permitir que o erro médio absoluto se aproxime do limite de precisão do aparelho de medida (0,01 Ω).

Como regra, ao efectuar as medições deverá fazer-se o possível para que a precisão das medições se aproxime da precisão nominal do aparelho de medida. Se medições sucessivas indicarem, ou o mesmo valor ou valores tão pouco diferentes que a sua dispersão seja inferior à precisão nominal do aparelho de medida, então no cálculo da precisão do resultado em lugar do erro absoluto dos diferentes valores medidos devemos escrever o valor da precisão do aparelho de medida.

2 - REGISTO DAS OBSERVAÇÕES E APRESENTAÇÃO DE DADOS

2.1 - REGISTO DAS OBSERVAÇÕES, CÁLCULOS E ALGARISMOS

SIGNIFICATIVOS

De uma maneira geral, no registo de observações (relatório) devem ser inscritos:

- a indicação da medida ou experiência a efectuar e o método e/ou fórmulas necessárias; - o(s) nome(s) do(s) operador(es) ( ou alunos) que realizam a experiência e a data;

- se conveniente, a lista de aparelhos de medida que terão de ser empregues com a indicação da sua precisão de medida nominal;

- se a experiência o permitir devem ser intoduzidos no relatório esquemas da montagem e/ou esquemas simplifi cados das ligações eléctricas necessárias às medições;

unidades bem identifi cadas. Sempre que possível as medições devem ser expostas sob a forma de tabelas que incluirão as unidades de medida, factores de escala e precisão do aparelho ou método com que foram obtidas.

Antes de começar os cálculos convém refl ectir sobre a sua estrutura e que tipo de resultados parciais, se necessário, será fundamental conservar. Em geral, convém dispor os resultados parciais e fi nais sob a forma de tabelas de modo a fa-cilitar a sua inspecção e verifi cação posterior mesmo por pessoas que não tenham directamente realizado o trabalho.

Devido à capacidade de cálculo das máquinas de calcular actuais a quantidade de dígitos disponíveis depois de qualquer cálculo pode facilmente atingir 9 unidades ou mais. É óbvio que na grande maioria dos cálculos em engenharia, e mesmo na física, nem todos este dígitos tem signifi cado real. Assim, é necessário estabelecer critérios e regras que permitam a eliminação dos algarismos não signifi cativos, que só vão difi cultar a leitura dos resultados da experiência e compreensão dos cálculos.

De uma maneira geral podemos considerar 3 casos na aproximação dos resultados obtidos nos cálculos:

1º - basta conhecer a ordem de grandeza dos resultados (isto signifi ca uma aproximação de 50 - 100%). Esta situa-ção é típica daqueles casos de engenharia em que se tomam, por exemplo, factores de segurança duas, três, ou mais vezes maiores que o valor calculado.

2º - basta conhecer o resultado com uma aproximação de 1 - 10%. Neste grupo está incluída a grande maioria dos cálculos técnicos e mesmo físicos.

3º - cálculos de precisão 0,5% ou mesmo superior. Neste caso estão normalmente incluídas as medidas efectuadas num bom laboratório de física e medidas de calibragem de instrumentação, típicas em laboratórios de controlo de qualidade e certifi cação.

Mas atenção, os resultados de uma medida tem fraco valor prático enquanto não soubermos qual o erro que lhe está associado.

Será também o valor do erro, calculado ou esperado, que nos permitirá determinar, na generalidade, a quantidade de algarismos signifi cativos a apresentar num resultado. É claro que será inútil apresentar um resultado com 9 algarismos se a precisão for de 1%, valor que só garante 3 algarismos signifi cativos.

São geralmente aceites dois critérios para a determinação dos algarismos signifi cativos:

1º - o resultado numérico é dado com 1 algarismo signifi cativo a mais além dos exactos, ou seja o penúltimo algaris-mo é correcto mas o últialgaris-mo pode estar errado em várias unidades. Por exemplo, o resultado 137,43 signifi ca que o valor numérico exacto está entre 137,4 e 137,5. Este método é usado em física e, de uma maneira geral, nas ciências exactas.

2º - o resultado é dado com tantos algarismos signifi cativos quantos o rigor do cálculo permite, isto é, o último alga-rismo signifi cativo é provavelmente correcto com a aproximação de 1/2 unidade (arredondamento). Neste caso, os cálculos tem de ser levados a mais uma casa decimal além daquela esperada para o resultado. Por exemplo, o resultado 86 signifi ca um valor entre 85,5 e 86,5 e o resultado 86,0 signifi ca um valor entre 85,95 e 86,05. Notar bem a importância dos zeros à direita que podem representar valores exactos ou, pelo menos, signifi cativos. Este método é geralmente usado em engenharia.

Ao escrever números de valor muito elevado ou muito baixo mas de precisão média ou reduzida convém utilizar uma representação com potências de 10, por exemplo 25 600 00 deverá escrever-se 256.105 _{ou melhor ainda 2,56.10}7_.

Por último, nos arredondamentos dos resultados numéricos deverá usar-se a regra do arredondamento para o dígito imediatamente inferior ou superior conforme o valor a arredondar seja inferior a 5 ou igual ou superior a 5, respecti-vamente p.e. 86,93 arredonda para 86,9 e 86,96 arredonda para 87,0.

Regras práticas para a fi xação dos algarismos signifi cativos:

a) quando se apresenta um erro provável duma medição ou cálculo basta conservar um algarismo signifi cativo ou no máximo dois, depois do arredondamento (p.e., o mesmo erro pode ser representado por ±0,3 ou 0,28).

b) nos valores médios calculados ou nos valores fi nais encontrados conservam-se tantos algarismos signifi cativos quantos os correspondentes ao último algarismo signifi cativo do erro. Assim se a máquina de calcular apresentar o valor 225,638427 e o erro for ± 0,28 deve-se apresentar apenas o valor (225,64 ± 0,28) como resultado.

c) nos cálculos efectuados à mão deve-se conservar apenas o número de algarismos signifi cativos sufi ciente para apre-sentar o resultado com a aproximação de uma unidade no último algarismo signifi cativo. Por exemplo, para somar (3,30±0,25) com (74,2873±0,0017) tomaremos os valores 3,30 e 74,30; o erro fi nal será calculado separadamente, com o auxílio de regras próprias (ver § 1.2.3).

Nas multiplicações e divisões manuais, como regra prática podemos aceitar que, se a precisão esperada for: 10% ou mais se tome 3 algarismos signifi cativos

entre 10% e 1% se tome 4 algarismos signifi cativos entre 1% e 0,1% se tome 5 algarismos signifi cativos etc.

d) nos cálculos encadeados feitos com máquina de calcular não é necessário proceder a arredondamentos entre cada cálculo, e mesmo entre cálculos diferentes, desde que os valores intermédios sejam conservados em memória. No entanto, se tivermos de passar para o papel algum resultado intermédio, as convenções anteriores são para seguir. NOTA - No caso de termos de indicar unidades de medida para um valor sujeito a erro devemos adoptar a seguinte

convenção de escrita:

( 5,34 ± 0,02 ) cm/s ou, no caso de potências, ( 5,34 ± 0,02 ).10-2 _m/s

isto é, no caso de existirem, as unidades abrangem ambos os valores, o calculado e o respectivo erro.

2.2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS RESULTADOS

A experiência foi feita, registaram-se valores de grandezas físicas, mas nada disto terá valor se não conseguirmos “mostrar” o que aconteceu, se não conseguirmos tirar conclusões daquilo que medimos. Normalmente as conclusões, sejam elas de natureza quantitativa ou somente qualitativa, implicam o estabelecimento de relações entre as variações de uma ou mais grandezas - a “causa” - e a correspondente modifi cação de um valor, medido ou calculado, - o “efei-to”. Esta relação pode e é muitas vezes apresentada sob a forma de tabela numérica de duas (ou mais) variáveis: y - o “efeito” função de x - a “causa”.

Uma boa representação gráfi ca dos valores experimentais (resultado de uma medição directa ou do cálculo) não só evidencia os aspectos particulares da dependência das grandezas permitindo uma análise rápida (e relativamente precisa) como, em muitos casos, é a melhor hipótese que se apresenta ao investigador para solucionar o problema.

Algumas das vantagens de um gráfi co :

- apresenta conjuntos extensos de dados de uma maneira compacta, num só “golpe de vista”;

- mostra rápida e claramente a maior ou menor concordância dos resultados com o esperado e sugere ao mesmo tempo o tipo de função que melhor representa o fenómeno físico;

- é um método rápido e fácil para obtenção de resultados intermédios por interpolação entre dois pontos medidos ou de resultados fora do domínio medido, por extrapolação.