NIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO
ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL
Departamento de Ciências Exatas e Engenharia
Mestrado em Modelagem Matemática
Predição do Tempo de Vida de Baterias Utilizadas em
Dispositivos Móveis: Aplicação de uma Metodologia para
Determinar a Melhor Ordem dos Modelos em
Identificação de Sistemas
Ígor Kühn
Orientador: Prof. Dr. Paulo Sérgio Sausen
Co-Orientadora: Profª. Drª Airam Sauzen
Predição do Tempo de Vida de Baterias Utilizadas em
Dispositivos Móveis: uma proposta de Modelagem a partir
da Teoria de Identificação de Sistemas
Ígor Kühn
Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em
Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado
do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ – como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática.
Dr. Paulo Sérgio Sausen
Orientador
Drª. Airam T. Z. Romcy Sausen
Co-orientadora
Ijuí, RS, Brasil 2014
Predição do Tempo de Vida de Baterias Utilizadas em
Dispositivos Móveis: uma proposta de Modelagem a partir
da Teoria de Identificação de Sistemas
Ígor Kühn
Dissertação de Mestrado apresentada em Novembro de 2014.
Comissão Examinadora
Dr. Paulo Sérgio Sausen (Orientador) - DCEEng/UNIJUÍ
Profa. Dra. Airam Teresa Zago Romcy Sausen (Co-orientadora)DCEEng/UNIJUÍ
Profa. Dra. Adriana Soares Pereira – UFSM/FW
Prof. Dr. Mateus Felzke Schonardie – DCEEng/UNIJUÍ
Epígrafe
“Veni, vidi, vici”
Júlio César
“A ciência é uma disposição de aceitar os fatos mesmo quando eles
são opostos aos desejos.”
B. F. Skinner
“O aumento do conhecimento é como uma esfera dilatando-se no
espaço: quanto maior a nossa compreensão, maior o nosso contacto
com o desconhecido.”
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, pois sem ele a vida não seria possível. Agradeço também aos meus pais pela minha primeira formação, a minha família, Daniela, Mathias e Renan, principalmente a minha esposa pelos conselhos, ajuda e paciência.
A família Corrêa, Leandro, Leila e Laura, que muitas vezes foram minha família em Ijuí.
Também ao Mestrado em Modelagem Matemática pela oportunidade de realizar mais esta importante etapa em minha formação acadêmica.
Agradeço especialmente ao Professor Orientador Paulo Sérgio Sausen que desde o início acreditou na possibilidade de realização deste desafio, e a Professora Co-orientadora Airam Teresa Sausen pela dedicação, disponibilidade, colaborações e apontamentos no trabalho, sempre relevantes e coerentes.
Também aos colegas da Turma 2012, em especial ao colega Marlon Machado, que todas às vezes necessitei ajuda, estava disponível a auxiliar.
RESUMO
Nas últimas décadas, a utilização de dispositivos portáteis, dos mais variados tipos, tem aumentado significativamente devido à proliferação no acesso à tecnologia sem fio. Estes dispositivos são alimentados por uma bateria recarregável, assim o seu uso está limitado ao tempo de duração da bateria. A bateria recarregável, que está presente nos mais diversos equipamentos como, por exemplo, notebooks, telefones celulares,
ipads,tablets, câmeras digitais é o objeto de estudo deste trabalho, pois há uma crescente
preocupação por parte dos fabricantes de dispositivos móveis em torná-la cada vez menor, mais leve e com uma capacidade cada vez maior, a fim de proporcionar maior mobilidade aos usuários. Neste contexto, é importante possuir algum método para realizar a predição do tempo de vida da bateria e assim determinar o tempo que o dispositivo poderá se manter operacional, sem a necessidade de recarga. Uma das formas é através da utilização de modelos matemáticos que descrevem o consumo de energia dos aparelhos. Portanto, o principal objetivo deste trabalho é apresentar a modelagem matemática do tempo de vida de baterias de Lithium-Ion, modelo BL-5F, presente em telefones celulares da marca Nokia a partir do uso de modelos paramétricos lineares da teoria de Identificação de Sistemas. Para a realização desta modelagem matemática é necessária a determinação da ordem dos modelos, para isto são utilizadas duas metodologias: o Método da Exaustão e o Método da AutoCorrelação e AutoCorrelação Parcial. A partir da análise dos resultados da modelagem matemática, considerando estas duas metodologias, observou-se que a metodologia da análise da autocorrelação, para a determinação da ordem dos modelos, é mais prática, possui um menor custo computacional, determinando modelos de ordem 2, do tipo ARX, para descrever o tempo de vida de baterias usadas em dispositivos móveis.
Palavras-chave: Tempo de vida de baterias; Identificação de Sistemas; Método da
ABSTRACT
Over the last decades, the use of mobile devices, the most varied types, has increased significantly due to the proliferation of access to wireless technology. These devices are powered by a rechargeable battery, so its use is limited to the battery lifetime. The rechargeable battery is present in various equipment, such as, laptops, cell phones, ipads, and digital cameras, it is the target of this work, since there is a growing concern of the mobile devices manufacturers to make it increasingly smaller, lighter and with an increased capacity to provide users one increased mobility. In this context, it is important to have a method for performing the battery lifetime prediction and thereby determine the lifetime that the device can be operational without the need for recharging. One way is using mathematical models that describe the power consumption of the devices. Therefore, the main goal of this work is the mathematical modeling of the Lithium-Ion battery lifetime, model BL-5F, found in Nokia cell phones by using linear parametric models of the System Identification theory. To perform the mathematical model is necessary to determine the models order, so two methods are used: Exhaustion Method and the Autocorrelation and Partial Autocorrelation Method. From the results analysis of the mathematical modeling considering the two methodologies it is observed that the autocorrelation method for determining the of the models order is more practical, has a lower computational cost, it determines the model of second order, ARX type, for describing the batteries lifetime used in mobile devices. Keywords: Battery lifetime; Systems Identification; Exhaustion Method and Autocorrelation and Partial Autocorrelation Method.
LISTA DE SÍMBOLOS
i (t) – corrente de descarga
k- parâmetro relacionado ao tipo de bateria do modelo analítico Cinético h1- altura da fonte de carga disponível do modelo analítico Cinético h2- altura da fonte de carga limitada do modelo analítico Cinético
α
– parâmetro que representa a capacidade da bateria no modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhulaβ – parâmetro que representa a não-linaridade da bateria no modelo analítico de
Rakhmatov-Vrudhula
C(x,t) - função concentração de espécies eletroativas do modelo de
Rakhmatov-Vrudhula
L – tempo de vida da bateria
W – comprimento do eletrólito da bateria C- capacidade da bateria
C’ – capacidade da bateria no início da operação do modelo analítico Linear I- corrente constante de descarga
- tempo de duração da corrente de descarga do modelo analítico Linear
a- parâmetro relacionado ao tipo de bateria da Lei de Peukert b- parâmetro relacionado ao tipo de bateria da Lei- de Peukert J(x,t) –fluxo de espécies eletroativas
D – constante de difusão
v
- número de elétrons envolvidos na reação eletroquímicaF- constante de Faraday
A
- área da superfície do eletrodoTX- operação de transmisão de um nó sensor RX- operação de recepção de um nó sensor
-corrente, onde k = 0,..., n, e -1 -corrente, onde k = 0,..., n, e – tempo, onde k = 0,..., n, e
N + 1 – estados da Cadeia de Markov
N – número de unidades de carga disponíveis
– probabilidade de uma unidade de carga ser consumida - probabilidade de recuperação de uma unidade de carga
T – número de unidades de carga M - número de unidades de carga
f – função do número de unidades de carga que foram consumidas
- probabilidade de i unidades de carga ser solicitadas (f) – probabilidade de recuperação de unidades de carga (f) – probabilidade de permanecer no mesmo estado
G – ganho obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante m – número médio de pacotes transmitidos
- quantidade de carga da fonte disponível – quantidade de carga da fonte limitada
i- nível da discretização da fonte de carga disponível j - nível da discretização da fonte de carga limitada t – duração da corrente inativa
Q – quantidade de unidades de carga
- probabilidade de recuperação de Q unidades de carga
C – fração da capacidade da bateria
- quantidade de carga disponível em t = 0 - quantidade de carga limitada em t = 0
u ( t ) – dados experimentais de entrada y ( t )– dados experimentais de saída
,..., – parâmetros ,...., – parâmetros
θ – vetor que contém os parâmetros do modelo φ(t) – vetor que contém os dados experimentais
- conjunto das entradas e saídas ao longo de um intervalo de tempo, onde 1≤ t ≤ N - função que relaciona os dados experimentais e os parâmetros do modelo
v (k) – ruído branco e (k) – erro do modelo
– operador de atraso, tal que y (k) = y (k-1), onde n = 1,2,3,...
A(q), B(q), C(q), D(q) e F(q) – Polinômios arbitrários
H (q) – função de transferência do sistema
E (s) – função de transferencia de e(t) no domínio de Laplace Ts – intervalo de amostragem
–tempo de vida experimental
– tempo de vida experimental médio
– perfis de descarga usados para estimação - perfis de descarga usados para validação
- correlação
(h) - covariância amostral
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 Dados utilizados para estimação dos parâmetros dos modelos, também para a
determinação da ordem dos modelos ...60
Tabela 4.2 Dados utilizados para a validação dos parâmetros dos modelos ...61
Tabela 4.3 Critérios para a identificação do tipo de modelo mais adequado ...66
Tabela 5.1 Resultados obtidos para o Modelo ARX...68
Tabela 5.2 Resultados obtidos para o Modelo ARMAX...70
Tabela 5.3 Resultados obtidos para o Modelo Erro de Saída...72
Tabela 5.4 Resultados obtidos para o Modelo Box Jenkis...74
Tabela 5.5 Modelos mais acurados...77
Tabela 5.6 Resultados obtidos para o Modelo ARX –Ordem 2 ...81
LISTA DE FIGURAS
Figura 2. 1 Esquema de células eletroquímicas ... …….20
Figura 2. 2 Efeito Recuperação ... 21
Figura 2. 3 Diferentes estados de operação da bateria ... 23
Figura 2. 4 Densidade de energia e ano de implantação comercial das tecnologias de baterias . ... 26
Figura 2. 5 Esquema básico funcional para todos os tipos de células modeladas ... 29
Figura 2. 6 Modelo de bateria utilizando uma cadeia de Markov por Chiaserini e Rao 31 Figura 2. 7 Aproximação escada de uma carga variável ... 37
Figura 2. 8 Modelo KiBaM com distribuição de duas fontes ... 39
Figura 2. 9 Modelo Cinético de distribuição de duas fontes ... 40
Figura 3. 1 Representação de um sistema ... 44
Figura 3. 2 Classificação dos modelos paramétricos lineares de acordo com sua ordem. ... 48
Figura 3. 3 Diagrama de blocos do modelo AR ... 49
Figura 3. 4 Diagrama de blocos do modelo ARX ... 50
Figura 3. 5 Diagrama de blocos do modelo MA ... 51
Figura 3. 6 Diagrama de blocos do modelo ARMAX ... 52
Figura 3. 7 Diagrama de blocos do modelo Erro de Saída ... 53
Figura 3. 8 Diagrama de blocos do modelo Box Jenkis ... 53
Figura 4. 1 Plataforma de testes do GAIC da Unijuí ... 60
Figura 4. 2 Interface do gerenciamento das descargas ... 61
Figura 4. 3 Interface toolbox MatLab ... 63
Figura 4.4 Representação do Coeficiente de correlação - força e direção...64
Figura 5. 1 Curvas do Modelo ARX de ordem 1 ... 70
Figura 5. 2 Curvas do Modelo ARX de ordem 2 ... 70
Figura 5. 3 Curvas do Modelo ARX de ordem 3 ... 70
Figura 5. 4 Curvas do Modelo ARMAX de ordem 1 ... 71
Figura 5. 5 Curvas do Modelo ARX de ordem 2 ... 71
Figura 5. 6 Curvas do Modelo OE de ordem 1 ... 73
Figura 5. 7 Curvas do Modelo OE de ordem 2 ... 73
Figura 5. 8 Curvas do Modelo OE de ordem 3 ... 73
Figura 5. 9 Curvas do Modelo BJ de ordem 1 ... 75
Figura 5. 10 Curvas do Modelo BJ de ordem 2 ... 75
Figura 5. 11 Curvas do Modelo BJ de ordem 3 ... 76
Figura 5.12 FAC (à esquerda) e FACP (à direita) da série TV e1...78
Figura 5.13 FAC (à esquerda) e FACP (à direita) da série TV e2...78
Figura 5.14 FAC (à esquerda) e FACP (à direita) da série TV e3... 78
Figura 5.15 FAC (à esquerda) e FACP (à direita) da série TV e4...79
Figura 5.16 FAC (à esquerda) e FACP (à direita) da série TV e5...79
Figura 5.17 FAC (à esquerda) e FACP (à direita) da série TV e6...79
Figura 5.18 FAC (à esquerda) e FACP (à direita) da série TV e7...80
Figura 5.19 FAC (à esquerda) e FACP (à direita) da série TV e8...80
SUMÁRIO
1 Apresentação da Dissertação ... 133 1.1 Introdução ... 13 1.2 Motivação ... 15 1.3 Objetivos ... 16 1.3.1 Objetivo Geral ... 16 1.3.2 Objetivos Específicos ... 16 1.4 Contribuições ... 17 1.5 Estrutura do Documento ... 17Capítulo 2: Revisão Bibliográfica ... 19
2.1 Introdução ... 19
2.2 Baterias ... 19
2.2.1 Composição da Bateria ... 19
2.2.2 Características e Efeitos Não Lineares ... 21
2.3 Tipos de Baterias ... 24
2.3.1 Níquel- Cádmio (Ni-Cd) ... 24
2.3.2 Níquel-Metal-Hidreto (Ni-MH) ... 24
2.3.3 Lithium-Ion (Li-Ion) ... 24
2.3.4 Alcalina Recarregável ... 25
2.3.5 Lithium-Ion Polímero (Li-Ion Po) ... 25
2.4 Principais Modelos de Predição do Tempo de Vida das Baterias ... 26
2.4.1 Modelos Eletroquímicos ... 27
2.4.2 Modelos de Circuitos Elétricos ... 28
2.4.3 Modelos Estocásticos ... 3030
2.4.4 Modelos Analíticos ... 33
2.4.4.1 Modelo Linear ... 34
2.4.4.2 Lei de Peukert ... 34
2.4.4.3 Modelo de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula ... 35
2.4.4.4 Modelo Cinético ... 38
2.4.5 Modelos Híbridos ... 40
Capítulo 3 – Identificação de Sistemas ... 43
3.1 Introdução ... 43
3.2 Conceitos Gerais ... 43
3.3 Modelagem através de uma série de dados ... 45
3.4 Modelos Matemáticos da Teoria de Identificação de Sistemas ... 46
3.4.1 Modelo AutoRregressivo (AR) ... 49
3.4.2 Modelo AutoRregressivo com Entradas Externas (ARX) ... 49
3.4.3 Modelo Médias Móveis (MA)...50
3.4.4 Modelo AutoRregressivo com Médias Móveis e Entradas Externas (ARMAX)... ... 511
3.4.5 Modelo de Erro de Saída ... 522
3.4.6 Modelo Box-Jenkins ... 53
3.5 Etapas da Identificação de Sistemas ... 54
3.6 Critérios para a escolha das estruturas de modelo ... 54
3.7 Estimação de parâmetros ... 55
3.8 Validação do Modelo Matemático ... 56
Capítulo 4 – Metodologia para a Determinação da Ordem de Modelos Paramétricos Lineares ... 58
4.1 Introdução……...………. 58
4.2 Plataforma de testes ... 57
4.3 Matlab ……….62
4.4 Toolbox Ident ... 62
4.5 Escolha da Ordem do Modelo ... 64
4.6 Determinação da ordem dos modelos pelo Método por Exaustão ... 65
4.7 Determinação da ordem dos modelos através da Análise da Função de autocorrelação (FAC) e Função da autocorrelação Parcial (FACP) ...65
Capítulo 5 -Modelagem Matemática e Análise dos Resultados ...68
5.1Introdução ………68
5.2 Modelagem Matemática considerando o Método da Exaustão ... 68
5.2.1 Modelo ARX…….……….…...69
5.2.3 Modelo Erro de Saída ...73
5.2.4 Modelo Box-Jenkis...75
5.3 Modelagem Matemática considerando o Método da Função de Autocorrelação e da Função de Autocorrelação parcial ...78
5.3.1 Modelo ARX ...82
5.3.2 Modelo ARMAX...83
Capítulo 6 - Conclusões...84
1 Apresentação da Dissertação
1.1
Introdução
Em pouco mais de 200 anos, a sociedade foi radicalmente transformada. Depois de alguns milhares de anos vivendo sem um volume considerável de energia artificialmente concentrada e distribuída, a tecnologia permitiu, após a chamada Revolução Industrial que fosse possível a cada ser humano o acesso e manipulação de fontes de suprimento energético. Uma das inovações mais importantes foi aquela que permite o armazenamento dessas cargas. A partir da utilização de baterias, a energia adquiriu uma mobilidade capaz de facilitar o acesso de cada cidadão aos mais variados serviços.
Percebe-se a importância de um artifício tecnológico capaz de armazenar a energia, também é possível perceber o quão importante é conhecer a duração destas fontes geradoras e armazenadoras. Entre estes dispositivos, as mais comumente encontradas são as baterias elétricas. Certamente, não é difícil visualizar a sua utilização, entretanto, há uma questão que permeia o seu grau de utilidade à sociedade moderna: seu tempo de vida. O que se coloca em questão é o reconhecimento e controle do processo de autonomia energética que cada tipo de bateria é capaz de fornecer, ou seja, qual a sua capacidade operacional.
Em termos comerciais, existe a necessidade de que os fabricantes conheçam as suas potencialidades de fornecimento de energia, neste sentido, para a colocação de um produto no mercado é preciso dar, ao consumidor, uma ideia de autonomia energética. Em linhas gerais, pode-se constatar que quanto maior a autonomia energética, maior a disposição do consumidor na aquisição do produto (sem considerar aqui as questões de preço e custos).
O modo de obtenção da informação referente à autonomia energética fornecida por um determinado dispositivo é o tema desta dissertação. Considerando que não há ainda um método efetivo de reversão/reciclagem das baterias, o “teste” para a obtenção do tempo de vida das baterias acabaria, por si, consumindo o produto (o que inviabilizaria sua comercialização). Obviamente, a forma de obtenção desta informação não exige o exercício de esgotamento de todas as baterias.
Aliando instrumentos matemáticos e estatísticos, o esforço de pesquisadores interessados pelo tema é o de apresentar o comportamento das baterias, em termos de
previsão do seu tempo de vida, a partir da modelagem matemática. Desta forma, é possível, a partir da determinação de uma amostra, conhecer o comportamento dessas baterias estipulando estimadores. A partir da construção dos estimadores, o pesquisador pode obter parâmetros. Ou seja, é possível identificar a autonomia energética possibilitada pelos instrumentos de geração e armazenagem de energia. Essa é uma informação importante em termos comerciais, pois permite que o produtor forneça a real capacidade do dispositivo e o consumidor tenha acesso a estas informações.
O conhecimento do comportamento das baterias em relação a determinadas circunstâncias permite que sejam evitados a produção de elementos com defeitos – ou que não atendam a demanda do consumidor – e, principalmente, que novas tecnologias possam ser desenvolvidas a partir das observações realizadas.
A importância que se tem dado ao assunto permitiu, em termos acadêmicos, o desenvolvimento e a análise de diferentes modelos matemáticos que descrevem o comportamento das baterias. Todos os modelos procuram perceber como ocorre a transformação energética na bateria em análise, entretanto, apresentam características distintas quanto ao processo de seleção das variáveis e construção dos modelos.
A teoria de Identificação de Sistemas é uma das formas para a formulação de um modelo matemático capaz de descrever o comportamento do tempo de vida das baterias. Portanto, o principal objetivo deste trabalho é apresentar a modelagem matemática do tempo de vida de baterias de Lithium-Ion, modelo BL-5F, presente em telefones celulares da marca Nokia a partir do uso de modelos paramétricos lineares da teoria de Identificação de Sistemas. Para a realização desta modelagem matemática é necessária a determinação da ordem dos modelos, para isto são utilizadas duas metodologias: o Método da Exaustão e o Método da AutoCorrelação e AutoCorrelação Parcial. Neste trabalho também são apresentadas as etapas de formulação do modelo, assim como são discutidos os elementos que compõem esta formulação.
Convém salientar ainda que o trabalho em si, faz parte de uma pesquisa mais ampla que envolve, além dos orientadores, diversos alunos e bolsistas de Iniciação Científica que vem, ao longo do desenvolvimento do trabalho de pesquisa, dedicando esforços em compreender cada vez melhor e de forma mais complexa o funcionamento das baterias, bem como identificar os modelos mais adequados à predição do tempo de vida de baterias.
Este trabalho tem como principais referencias três dissertações. A primeira é ROMIO, Leugim C., "Modelagem Matemática do Tempo de Vida de Baterias
Utilizando a Teoria de Identificação de Sistemas" conjuntamente com a dissertação de M. V. Machado. “Modelagem matemática do tempo de vida de baterias utilizando modelos autorregressivos”. Estes dois trabalhos fizeram uso da Modelagem Via Identificação de Sistemas no problema de predição do tempo de vida de baterias, para isso foram utilizados modelos paramétricos lineares presente nesta forma de modelagem e que também foram utilizados nesta dissertação. Um terceiro trabalho realizado por MOREIRA, Cícero J.Mattuela., “Identificação de Modelos Lineares para Dinâmica de Eletromassas MEMS utilizando critérios da Modelagem Caixa Preta”, onde utilizou-se a metodologia da analise de autocorrelação e autocorrelação parcial para determinação da melhor ordem de modelos matemáticos aplicados a nanoestruturas.
A ideia da presente dissertação foi utilizar como referencia os dois primeiros trabalhos citados utilizando os modelos matemáticos para predição do tempo de vida de baterias e para determinar a melhor ordem destes modelos, foi utilizada a metodologia presente no terceiro trabalho citado.
1.2
Motivação
A ampla utilização dos dispositivos móveis atualmente, e sua tendência a uma utilização cada vez mais abrangente, indica a importância da necessidade de analisar e reconhecer o processo de autonomia energética desses dispositivos. A facilidade de acesso a essas tecnologias passa por uma redução de custos dos produtos, assim como pelo atendimento das exigências de conforto do consumidor, tais como, quantidade de horas de autonomia do aparelho, peso do aparelho, entre outras.
Sendo assim, dada à importância dessa informação, espera-se que o trabalho possa identificar elementos que contribuam para a modelagem matemática do comportamento de baterias, indicando aspectos importantes nesta discussão, que melhorem a acurácia dos modelos utilizados atualmente e, ao fim, sejam capazes de permitir o desenvolvimento de um produto mais adequado às exigências do mundo atual.
1.3 Objetivos
Apresentada a contextualização geral de desenvolvimento, esta seção dedica-se a apresentar o objetivo geral e os objetivos específicos deste trabalho.
1.3.1 Objetivo Geral
Este trabalho tem como objetivo geral realizar a modelagem matemática através da utilização da Teoria de Identificação de Sistemas do tempo de vida de baterias, e aplicar/desenvolver uma metodologia para determinar a melhor ordem desses modelos, que possa ser empregada ao problema da predição do tempo de vida de baterias que alimentam dispositivos móveis.
1.3.2 Objetivos Específicos
Para atingir o Objetivo Geral, os seguintes Objetivos Específicos são destacados: Apresentar a revisão bibliográfica dos diferentes modelos matemáticos
encontrados na literatura que descrevem a descarga de uma bateria;
Realizar uma revisão bibliográfica das estruturas de modelos matemáticos paramétricos lineares presentes na teoria da Identificação de Sistemas; Obter os dados experimentais do sistema a ser modelado a partir de uma
plataforma de testes;
Definir duas metodologias para determinar a ordem dos modelos presentes na teoria de Identificação de Sistemas;
Aplicar as metodologias definidas para a determinação da melhor ordem dos modelos paramétricos lineares utilizados da teoria de Identificação de Sistemas;
Implementar computacionalmente, as estruturas de modelos (i.e., modelos paramétricos lineares), utilizando a ferramenta computacional MatLab, o conjunto de dados experimentais e a ordem determinada;
Validar os modelos implementados a partir da comparação dos dados simulados pelo modelo, com os dados experimentais;
Identificar o modelo paramétrico linear acurado, prático e de baixo custo computacional para ser utilizado pelo usuário.
1.4
Contribuições
Dentro da ampla gama de assuntos envolvidos na predição do tempo de vida das baterias dos dispositivos móveis, esta dissertação pretende representar as seguintes contribuições:
Determinação de uma metodologia para definir a melhor ordem para as estruturas de modelos paramétricos lineares presentes na Teoria de Identificação dos Sistemas;
Modelagem matemática da predição do tempo de vida de bateria utilizadas em dispositivos móveis, a partir da Teoria de Identificação dos Sistemas.
1.5
Estrutura do Documento
Para a apresentação do tema e das discussões propostas nesta dissertação, ela está estruturada em 6 (seis) capítulos, além desta introdução, descritos a seguir.
No Capítulo 2 são apresentadas as principais características de funcionamento das baterias e dos fenômenos que envolvem a predição da sua vida útil (i.e., nível de
cutoff, efeito da taxa de capacidade, e efeito de recuperação). São descritos também os
principais modelos matemáticos utilizados atualmente para a descrição do comportamento e predição do tempo de vida útil das baterias utilizadas em dispositivos móveis.
No Capítulo 3 são apresentados os conceitos gerais da teoria de Identificação de Sistemas, as características do processo de modelagem a partir de uma série de dados, a descrição dos modelos matemáticos da teoria de Identificação de Sistemas, as etapas necessárias para a realização da modelagem matemática da teoria de Identificação de Sistemas, alguns critérios para a escolha das estruturas dos modelos presente na
Identificação de Sistemas e, por fim as características e o processo de estimação de parâmetros dos modelos.
No Capítulo 4 é descrita a plataforma de testes, na qual ocorre a coleta dos dados experimentais, também são apresentados o toolbox Ident presente na ferramenta computacional Matlab e utilizado neste trabalho para a modelagem matemática do tempo de vida de baterias considerando o uso da teoria de Identificação de Sistemas, critérios para a escolha da ordem do modelo, assim como a metodologia desenvolvida para a aplicação do Método da Exaustão e o Método da Função de AutoCorrelação e Função de AutoCorrelação Parcial.
No Capítulo 5 são apresentados os principais resultados da pesquisa desenvolvida, ou seja, a modelagem matemática do tempo de vida das baterias de Li-Íon através da teoria de Identificação de Sistemas, considerando a ordem dos modelos determinada pelo Método da Exaustão e pelo Método da Função de AutoCorrelação e da Função de AutoCorrelação Parcial.
No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões e possibilidades de trabalhos futuros.
Capítulo 2: Revisão Bibliográfica
2.1 Introdução
Neste capítulo são apresentados os conceitos básicos que envolvem os modelos de baterias utilizados em dispositivos móveis. É apresentada também uma revisão bibliográfica referente aos tipos de baterias utilizadas nestes dispositivos, assim como dos principais modelos matemáticos presentes na literatura técnica, usadas para a predição do tempo de vida das baterias em dispositivos móveis.
Neste capítulo, além da introdução, mais três seções são apresentadas. Na Seção 2.2, são apresentados os conceitos básicos referentes ao funcionamento das baterias, do mesmo modo que a descrição de suas propriedades e dos efeitos não lineares presentes neste processo. Na Seção 2.3, são apresentados os tipos de baterias mais utilizadas na atualidade. Por fim, na Seção 2.4, são apresentados os principais modelos matemáticos encontrados na literatura especializada que buscam descrever e apurar o comportamento destes dispositivos.
2.2 Baterias
O desenvolvimento da tecnologia aplicada às baterias foi elemento fundamental para a popularização da utilização do telefone móvel na sociedade atual, da mesma maneira que parece indispensável à evolução da trajetória tecnológica que permitirá um avanço ainda maior na tecnologia em análise. Com o objetivo de compreender o funcionamento deste dispositivo, é necessário que se conheça algumas características de baterias, tais como, propriedades, efeitos, composições e funções. A seguir serão apresentadas e discutidas tais características de forma detalhada
2.2.1 Composição da Bateria
Segundo Jongerden e Haverkort [1], uma bateria é formada por uma ou mais células eletroquímicas conectadas em série, paralelo ou em uma combinação de ambos. Nestas células, a energia química armazenada é convertida em energia elétrica por uma reação eletroquímica. Na Figura 2.1 é apresentado o desenho esquemático de uma célula
eletroquímica. Ela é formada por dois eletrodos1 (chamados de ânodo, que possui polaridade negativa, e cátodo, com polaridade positiva) e um eletrólito2, que separa os dois eletrodos.
Figura 2. 1 Esquema de células eletroquímicas [1]
Durante o processo de descarga, considerado o momento em que a bateria fornece energia ao sistema, uma reação de oxidação ocorre no ânodo. Nesta reação um redutor libera M elétrons ao circuito. Completando a reação de redução, o cátodo recebe os M elétrons em troca de um oxidante.
A descrição abaixo representa a reação ocorrida
(2.1)
As reações eletroquímicas na bateria produzem duas importantes propriedades: a Tensão (expressa em volts “V”) e a Capacidade (expressa em Àmpere –Hora “Ah”). O produto destas duas quantidades é a medida de energia armazenada na bateria. Considerando uma bateria ideal, a tensão é constante durante a descarga e, uma queda repentina a zero, ocorre quando ela fica descarregada [1].
Neste caso, a capacidade ideal é constante para todo o processo de descarga e toda a energia armazenada é utilizada. Por outro lado, em um caso real, existem alguns efeitos não lineares que estão presentes no processo de descarga e que devem ser considerados. Ou seja, durante um processo de descarga real, a tensão da bateria vai diminuindo e a capacidade efetiva é, também, reduzida para altas correntes. Este efeito é denominado de Efeito de Taxa de Capacidade [1, 2]. Há também o chamado Efeito de
Recuperação (apresentado na Figura 2.2) [1, 2], que ocorre em momentos em que há uma descarga muito baixa, nestes casos a bateria recupera uma pequena parte da sua
1
Condutor metálico por onde uma corrente elétrica entra ou sai de um sistema [1].
2
Condutor de eletricidade (sólido ou liquido), no qual o transporte de cargas elétricas se realiza por meio de íons [1].
capacidade perdida durante os períodos de descargas altas, aumentando assim seu tempo de vida.
Figura 2. 2 Efeito Recuperação [1]
Algumas características e efeitos não lineares, que ocorrem em uma bateria, são descritos detalhadamente na seção a seguir.
2.2.2 Características e Efeitos Não Lineares
Considerando as características reais de utilização das baterias, a compreensão da modelagem da predição do tempo de vida dos dispositivos exige a análise detalhada de duas características importantes do processo, o nível de cutoff e o tempo de vida.
O nível de cutoff é definido como o limite mínimo de carga (capacidade) em que a bateria pode gerar tensão suficiente para manter o dispositivo em funcionamento [3]. Quando este valor é atingido, a bateria não é mais capaz de fornecer energia ao dispositivo móvel. Sendo assim, não ocorrem mais reações eletroquímicas capazes de fornecer energia ao sistema.
Reconhecido o nível de cutoff de uma bateria, é possível definir o tempo de vida da mesma. O tempo de vida é definido como o tempo que ela demora para atingir o nível de cutoff, ou seja, o tempo que ela é capaz de fornecer energia para o aparelho [3].
Considerando as duas características descritas (nível cutoff e o tempo de vida), é possível descrever os dois efeitos não-lineares que ocorrem no processo de geração de reações químicas que fornecem energia ao sistema: o efeito recuperação e o efeito taxa de capacidade [3,4].
O efeito recuperação compreende o processo de reorganização dos elétrons no eletrólito, também é chamado de processo de relaxação, ocorre durante o tempo em que a descarga elétrica é reduzida significativamente, ou seja, quando houver pouca ou nenhuma energia sendo drenada da bateria. Este processo de reorganização gera um aumento na capacidade efetiva da bateria, e consequentemente do seu tempo de vida, antes que a mesma atinja o nível de Cutoff.
Na Figura 2.3 é apresentado os diferentes estados da bateria. Inicialmente (Figura 2.3 A), é possível identificar uma ilustração da bateria completamente carregada, observa-se que a concentração das espécies eletroativas é constante durante todo o comprimento do eletrólito (w). Durante uma descarga, as reações eletroquímicas reduzem as espécies eletroativas próximas ao eletrodo (Figura 2.3 (B)). No instante em que ocorre uma redução significativa na corrente de descarga, a bateria passa por um momento de relaxação, possibilitando a reorganização dos elétrons uniformemente, reequilibrando o sistema (Figura 2.2 (C)). Aumenta, então, a concentração de espécies eletroativas nas proximidades de eletrodo até o gradiente de concentração ficar nulo, assim a capacidade efetiva da bateria também é aumentada (Figura 2.2 (D)), caracterizando o efeito de recuperação. Observa-se, no entanto, que esta quantidade de espécies eletroativas será menor que a concentração inicial. Por fim, quando a bateria atinge o nível de cutoff, as reações eletroquímicas cessam, e a bateria é considerada descarregada (Figura 2.3 (E)) [3,7].
Figura 2. 3 Diferentes estados de operação da bateria [3,7]
O segundo efeito não linear a ser considerado é o efeito da taxa de capacidade. A análise do efeito taxa de capacidade compreende a relação entre a condição de capacidade atual da bateria (tempo 0) e a intensidade da corrente de descarga. Desta forma, percebe-se que em altas correntes de descarga, a capacidade efetiva da bateria é baixa, pois não há tempo para que as espécies eletroativas se organizem no eletrólito ocorrendo o efeito de recuperação, assim menos carga é utilizada pelo sistema e por consequência o tempo de vida é menor. Porém, em cargas alternadas, e em períodos sem corrente, a capacidade efetiva é aumentada, pois quando a corrente de descarga passa de alta para baixa, os elétrons se reorganizam no eletrólito, elevando a quantidade de carga na superfície do eletrodo, assim, aumentando a capacidade efetiva da bateria e o tempo de vida, ainda que essa capacidade não possa mais ultrapassar ou igualar a capacidade inicial [1,3, 4, 5].
Convém ainda salientar que os efeitos descritos ocorrem em todas as baterias, variando em relação à intensidade de ocorrência de acordo com o tipo de bateria [5], neste sentido a discussão da próxima seção apresenta os tipos de baterias.
2.3 Tipos de Baterias
Ao longo do tempo, o desenvolvimento das baterias tem apresentado uma série de elementos importantes, no sentido do aprimoramento do seu funcionamento, inclusive em termos de aumento da vida útil de cada um dos tipos. Nesta seção, serão descritas as principais tecnologias de baterias desenvolvidas nas últimas décadas para atender a demanda de dispositivos portáteis, assim como suas principais características de funcionamento [4,7].
2.3.1 Níquel-Cádmio (Ni-Cd)
Esta tecnologia tem sido utilizada com muito sucesso, por várias décadas, no desenvolvimento de baterias recarregáveis para dispositivos portáteis. Uma das vantagens é o baixo custo, além de altas taxas de descarga. Apesar disto, ela vem perdendo espaço nos últimos anos, principalmente, devido à baixa densidade de energia e também à toxicidade [2,4].
2.3.2 Níquel-Metal-Hidreto (Ni-MH)
Estas baterias têm sido comumente utilizadas nos últimos anos para alimentação de notebooks, possuindo aproximadamente duas vezes a densidade de energia de uma bateria de Ni-Cd. Por outro lado, observa-se que possuem um ciclo de vida curto, são mais caras e ineficientes para altas taxas de descarga.
2.3.3 Lithium-Ion (Li-Ion)
Em relação às baterias de Li-Ion, destaca-se que elas possuem uma densidade de energia significativamente superior a seu ciclo de vida, fato que explica a atual intensificação do uso deste tipo de bateria. Possuem o ciclo de vida duas vezes maior do que a de uma bateria de Ni-MH e três vezes maior do que a de Ni-Cd. Estas baterias são mais sensíveis às características da corrente de descarga e, também, mais caras que as de Ni-MH. Apesar do custo relativamente maior, e dos perigos em relação a um
manuseio inadequado, elas são as baterias mais comumente utilizadas em notebooks, PDA´s e celulares, devido ao seu tempo de vida.
2.3.4 Alcalina Recarregável
As baterias alcalinas têm sido utilizadas por muitos anos. As primeiras baterias alcalinas eram descartáveis, mais recentemente a tecnologia recarregável conseguiu espaço comercial. Esta tecnologia foi desenvolvida por ser uma alternativa de baixo custo, porém, a densidade de energia e o ciclo de vida são comprometidos. A densidade de energia inicial de uma bateria alcalina recarregável é superior a de uma Ni-Cd, entretanto, após 10 ciclos, há uma redução de 50% nesta densidade, e após 50 ciclos, observa-se uma redução de 75% [4,7].
2.3.5 Lithium-Ion Polímero (Li-Ion Po)
Trata-se de uma das tecnologias mais recentes, em termos de baterias para dispositivos móveis. Esta nova tecnologia permite desenvolver baterias ultrafinas (espessura inferior a 1mm), que contribuem de maneira significativa na portabilidade e conforto de qualquer dispositivo móvel. Espera-se com esta tecnologia, atender a próxima geração de computadores e dispositivos portáteis. Excepcionalmente, são esperadas melhorias na densidade de energia em relação às baterias Li-Ion, do mesmo modo que na segurança. Considerando aspectos relacionados aos custos de produção, esta ainda representa uma tecnologia cara. Além da necessidade de aperfeiçoamentos em relação à fabricação, os problemas no gerenciamento térmico ainda podem ser considerados falhos, pois necessitam de correção para total aceitação no mercado consumidor [2,4].
Na Figura 2.4, é apresentado um gráfico com a densidade de energia e o ano de implantação comercial das principais tecnologias de baterias.
Figura 2. 4 Densidade de energia e ano de implantação comercial das tecnologias de baterias [9, 12].
Considerando a Figura 2.4 percebe-se que, ao longo dos anos, a preocupação dos profissionais envolvidos na fabricação das baterias é de conseguir desenvolver baterias com uma densidade de energia cada vez maior, dadas as necessidades de tempo de duração e conforto exigidas pelos usuários das novas tecnologias móveis.
Dessa forma, outro esforço desenvolvido na área da ciência é o de estimar o tempo de vida útil das baterias, utilizando para isso modelos matemáticos que também evoluem ao longo dos anos. A próxima seção do trabalho é dedicada à apresentação dos principais modelos matemáticos encontrados na literatura que são utilizados para modelar o comportamento das baterias dos dispositivos móveis.
2.4 Principais Modelos de Predição do Tempo de Vida das Baterias
O estudo e a organização de modelos capazes de representar a realidade que ocorre nas baterias dos dispositivos móveis passam pela verificação de diversos modelos matemáticos. Esta seção é dedicada à apresentação dos principais modelos, presentes na literatura, utilizados na predição do tempo de vida de baterias. Serão evidenciadas suas características, eventuais vantagens e limitações.
2.4.1 Modelos Eletroquímicos
Os modelos eletroquímicos usam equações diferenciais não lineares complexas para descrever os processos químicos que ocorrem nas células das baterias. Estes modelos exigem uma descrição detalhada das características da bateria, deixando-os altamente complexos e de difíceis implementação, uma vez que dependem de um grande número de parâmetros. Um dos modelos eletroquímicos mais conhecidos é o desenvolvido por Doyle, Fuller e Newmann [4]. Ele é composto por um sistema de seis Equações Diferencias Parciais (EDP´s) não lineares utilizado pelo software Fortran
Dualfoil que calcula, a partir do ajuste de 50 parâmetros, a mudança das propriedades da
bateria ao longo do tempo. Não há custo específico para a utilização dessa ferramenta, visto que ela está disponível de forma gratuita para download na rede mundial de computadores. A principal dificuldade na utilização deste modelo refere-se à definição do perfil da bateria pelo usuário. Há a necessidade de um conhecimento muito detalhado da bateria que se pretende modelar. A principal vantagem deste modelo é seu alto nível de acurácia, sendo assim, frequentemente utilizado para comparação com outros modelos, em substituição à utilização de dados experimentais [1,4,8].
2.4.2 Modelos de Circuitos Elétricos
Modelos de circuitos elétricos ou, simplesmente modelos elétricos, descrevem a bateria na forma de circuito utilizando a combinação de componentes elétricos (fontes, resistores, capacitores e indutores). Estes modelos podem considerar os efeitos não lineares presentes na bateria (efeito taxa de capacidade e efeito de recuperação). A sua simulação é de fácil compreensão sendo realizada em simuladores de circuito. Eles têm sido utilizados para analisar diferentes tipos de baterias [1,8].
Em Schneider [2] é descrito um circuito PSpice desenvolvido por Hageman [9]. Este circuito foi utilizado para simular baterias de níquel-cádmio, chumbo-ácido e alcalinas. Apesar de serem menos acurados do que os modelos eletroquímicos, os modelos elétricos ainda podem ser considerados acurados, uma vez que podem captar o efeito não linear de recuperação, o erro médio destes modelos é menor que 5% [10].
Os diferentes tipos de baterias são representados, no modelo de circuito elétrico pela mesma estrutura de circuitos [1,2,8]. Esta estrutura de representação é composta por:
- um capacitor que representa a capacidade da bateria;
- uma taxa de descarga normalizadora que determina a perda da capacidade em altas correntes de descarga;
- um circuito que é utilizado para descarregar a capacidade da bateria; - uma tabela de pesquisa que compara a tensão versus estado da carga; - um resistor que representa a resistência da bateria.
Na Figura 2.5, são representados os circuitos básicos usados para modelar uma célula arbitrária. A adaptação do modelo de célula arbitrária para um modelo de célula específica exige que algumas modificações sejam realizadas. Entre as vantagens que podem ser consideradas, está o fato de que o modelo pode ser considerado mais simples do que o eletroquímico e de ser computacionalmente mais rápido, entretanto, ainda há a necessidade de tratamento de uma grande quantidade de dados [1].
Figura 2. 5 Esquema básico funcional para todos os tipos de células modeladas [1]
Em Porciúncula [10], são apresentadas a aplicação e a avaliação de modelos elétricos objetivando a obtenção de um modelo elétrico que realiza a predição do tempo de vida de baterias com acurácia, seja de fácil implementação e simples de utilizar pelo usuário. Dois modelos elétricos são utilizados, o primeiro denominado modelo elétrico
Battery, presente na ferramenta computacional Matlab; e o segundo denominado
modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I de uma bateria, que é considerado um modelo elétrico de alta acurácia da literatura técnica.
A avaliação dos modelos ocorreu seguindo a seguinte metodologia: primeiramente os resultados das simulações do modelo elétrico Battery são comparados com os dados experimentais obtidos de uma plataforma de teste, para uma bateria de Lithium-Íon, modelo BL5F, usada em telefones celulares; em um segundo momento o modelo elétrico Battery e o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I de uma bateria são comparados considerando uma bateria Lithium-Íon Polímero, modelo PL-383562.
A partir dos resultados das simulações Porciúncula [10] observou que o modelo elétrico Battery é um modelo acurado, de fácil implementação e simples de utilizar, pois não houve a necessidade de testes experimentais para a obtenção dos parâmetros da
bateria simulada. Destaca-se que este fato representa uma significativa vantagem do modelo Battery no que se refere à simplicidade do processo de calibração do modelo.
2.4.3 Modelos Estocásticos
Os modelos estocásticos descrevem a bateria em um nível mais elevado de abstração. A descarga e o efeito de recuperação são descritos como processos estocásticos, a partir de cadeias de Markov. Um modelo estocástico, em geral, apresenta a bateria por um número finito de unidades de carga, constantes ou variáveis [1,12]. O comportamento de descarga, neste caso, é modelado usando um processo estocástico transiente no tempo discreto. Conforme o processo evolui ao longo do tempo (o qual é dividido em uma sequência de intervalos iguais), o estado da bateria é controlado pelo número de unidades de carga restantes.
Em cada intervalo de tempo, a corrente média de descarga é medida e usada para determinar o número de unidades de carga consumidas. Se esta média não é zero, o número de unidades drenadas é obtido de uma tabela de pesquisa, que contém dados das taxas de capacidades. No entanto, se no intervalo a bateria não sofreu descarga, então ela recupera certo número de unidades de carga. O número exato de unidades recuperadas é modelado utilizando uma função exponencial decrescente de densidade de probabilidade a qual está baseada no estado de carga da bateria e nos coeficientes, que dependem da bateria específica, assim como das características de descarga. A seguir são descritos dois modelos estocásticos de bateria para dispositivos portáteis [4].
No primeiro modelo, a bateria é descrita por uma cadeia de Markov no tempo discreto com N+1 estados, numerados de 0 a N (Figura 6). O número do estado corresponde à quantidade de energia requerida para transmitir um pacote simples, onde
N é o número de unidades de carga diretamente disponíveis, com base no uso contínuo.
Neste modelo, a cada passo de tempo, uma unidade é consumida com probabilidade a1
= q ou recuperada com probabilidade a0 = 1 - q. A bateria é considerada vazia quando a
difusão chega a 0 ou quando um número máximo T de unidades de carga for consumido. O número T de unidades de carga é igual à capacidade teórica da bateria (T > N).
Figura 2. 6 Modelo de bateria utilizando uma cadeia de Markov por Chiaserini e Rao [38]
O segundo modelo, é uma versão ampliada do primeiro. Novamente, tem-se uma cadeia de Markov no tempo discreto com N+1 estados. Porém, neste segundo modelo, mais de uma unidade de carga pode ser consumida em um passo do tempo, com um máximo de M unidades de carga (M ≤ N). Desta forma, há possibilidade de que um maior consumo de energia possa ser modelado. Outro aspecto relevante é que há uma probabilidade diferente de zero de permanecer no mesmo estado, isso significa que nenhum consumo ou recuperação acontece durante um passo de tempo [13,14].
Além destes dois modelos, outros foram descritos com aperfeiçoamentos dos apresentados anteriormente. Para melhorar o modelo, a probabilidade de recuperação foi feita dependente do estado de carga da bateria. Neste caso foi considerado que quanto menos unidades de carga estão disponíveis, menor será a probabilidade de recuperar uma unidade de carga. O número fase ( f ) é uma função do número de unidades de carga consumidas. Da mesma forma, quanto mais unidades de carga são consumidas, maior o número fase, diminuindo a probabilidade de recuperação. Com probabilidade
qi, considera-se que i unidades de carga são requisitadas em um intervalo de tempo.
Durante períodos ociosos, a bateria pode recuperar unidades de carga com probabilidade
pj( f ), ou permanecer no mesmo estado com probabilidade ri( f ). A recuperação é então
definida por
, (2.2) onde: e dependem do comportamento de recuperação da bateria [13,14]. Podem-se modelar diferentes cargas configurando apropriadamente as probabilidades de transição. Entretanto, não se pode controlar a ordem em que as transições são tomadas.
Portanto, é impossível para o modelo fixar padrões de carga e calcular seu impacto no tempo de vida da bateria.
A propriedade principal investigada por Chiasserini e Rao é o ganho (G) obtido por uma descarga pulsante em relação a uma constante [13,14]. Este ganho é definido como
(2.3)
onde: m é o número médio de pacotes transmitidos. G é calculado como função do número médio de pacotes que chegam em um dado intervalo de tempo, para diferentes
N variando de 3 a 50. O ganho aumenta quando a carga é reduzida, devido a maior
probabilidade de recuperar.
O modelo final é utilizado para modelar uma bateria de Li-Ion. N é configurado para aproximadamente estados e são usadas 3 fases, o que resulta em uma cadeia de Markov com aproximadamente estados. O modelo é analisado através de cálculos numéricos, dessa forma, os resultados são comparados com o modelo eletroquímico de Doyle et. al [15]. Em ambos os modelos, o ganho obtido de descargas pulsadas comparado a descargas constantes, é calculado para diferentes correntes de descarga. Os ganhos aumentam para taxas de descarga menores e densidades de correntes altas. O último é, principalmente, devido ao fato que as densidades de corrente estão próximas dos limites específicos da bateria. Quando a densidade de corrente está acima deste limite, a capacidade da bateria decai rapidamente e, portanto, o ganho obtido por descargas pulsantes aumenta.
Os resultados do modelo estocástico possuem um erro em torno de 4% quando comparado ao modelo eletroquímico, com um desvio médio de 1%. Estes resultados demonstram que o modelo estocástico possui boa qualidade na descrição do comportamento da bateria sobre descargas pulsantes.
Além destes modelos, Chiasserini e Rao [15, 16, 17] também propuseram um modelo estocástico de bateria com base no Modelo Analítico Cinético de Manwell e Mcgowan [16] (Modelo KiBaM). Este modelo é utilizado para modelar baterias de Ni-MH, ao invés de baterias de chumbo-ácido, para qual o modelo KiBaM foi originalmente proposto. Para modelar bateria de Ni-MH, o modelo sofreu algumas modificações, no termo correspondente ao fluxo de carga da fonte de carga limitada
para fonte de carga disponível foi adicionado um fator extra. Deixando a recuperação mais lenta quando menos carga estiver à esquerda da bateria. Também foi adicionada a possibilidade de não ocorrência de recuperação durante períodos ociosos.
O comportamento da bateria é representado por uma cadeia de Markov no tempo discreto transiente. Os estados da cadeia de Markov são marcados com três parâmetros (i, j, t). Os parâmetros i e j são os níveis discretizados da carga disponível e da carga limitada respectivamente e t é o tempo da corrente ociosa, este é o número de passos no tempo tomado desde a última vez que a corrente foi drenada da bateria.
No modelo de bateria de Ni-MH a carga limitada e disponível são discretizadas em e unidades de carga, respectivamente. Esta configuração resulta em uma cadeia de Markov muito grande para ser calculada como um todo. Deste modo, nenhuma solução analítica, para o modelo, pode ser definida. Para obter o tempo de vida da bateria vários processos de descarga da bateria são simulados com modelo.
As simulações mostram que os modelos estocásticos são bastante acurados, especialmente o modelo KiBaM Modificado, uma vez que foi encontrado um erro máximo de 2,65% para as simulações [1, 2].
2.4.4 Modelos Analíticos
Os modelos analíticos, assim como os estocásticos, descrevem a bateria de uma maneira abstrata, em que suas principais características são modeladas utilizando um conjunto pequeno de equações [1]. Os modelos analíticos são modelos eletroquímicos simplificados que podem capturar os efeitos não lineares da bateria (i.e., efeito de taxa de capacidade e efeito recuperação) e prever o seu tempo de vida com uma ordem reduzida de equações. Os modelos são, neste caso, mais fáceis de implementar quando comparados aos modelos eletroquímicos e elétricos. Alguns modelos existentes são o Modelo Linear [1, 2, 20], a Lei de Peukert [1,2,7,20], o modelo de difusão de Rakhmatov e Vrudula [1,2,7,20] e o Modelo Cinético [34,35], os quais serão descritos a seguir.
2.4.4.1 Modelo Linear
O modelo mais simples, para predição do tempo de vida de baterias, é o modelo Linear. Nele, a bateria é tratada como um recipiente linear de corrente. Deste modo, pode-se calcular a capacidade (C) restante de uma bateria com a equação:
(2.4)
onde: é a capacidade inicial, I é a corrente de descarga constante durante a operação, e é o tempo de duração. Assim, a capacidade remanescente será calculada sempre que a taxa de descarga mudar. Em relação aos modelos analíticos, este é o menos acurado, uma vez que não consegue capturar os efeitos não lineares, já descritos anteriormente.
2.4.4.2 Lei de Peukert
A Lei de Peukert é um modelo simples de predição do tempo de vida de baterias, que descreve parte das suas propriedades não lineares. É um modelo analítico intermediário, uma vez que captura apenas a relação não linear entre o tempo de vida da bateria e a taxa de descarga, não modelando o efeito de recuperação. Pela Lei de Peukert, o tempo de vida (L) de uma bateria, pode ser aproximado por
(2.5)
onde: I é a corrente de descarga, e a e b são parâmetros que precisam ser estimados a partir de dados experimentais. Teoricamente, considera-se a igual à capacidade da bateria e b é considerado igual a 1. Entretanto, na prática a possui um valor próximo ao da capacidade da bateria, e b é um número superior a 1. Para a maioria das baterias, b possui valores entre 1,2 e 1,7. Os resultados obtidos utilizando a Lei de Peukert para predição do tempo de vida de baterias são considerados bons para cargas constantes e contínuas. No entanto, quando as cargas são variáveis, o modelo apresenta resultados menos satisfatórios [7].
2.4.4.3 Modelo de Difusão de
Rakhmatov e Vrudhula
Rakhmatov e Vrudhula [1,11,16] desenvolveram um modelo baseado na difusão de íons no eletrólito, denominado na literatura de modelo de difusão de Rakhmatov e Vrudhula (i.e., modelo RV). Este modelo descreve a evolução da concentração de espécies eletroativas no eletrólito para predizer o tempo de vida da bateria submetida a uma determinada carga.
A Figura 2.3, apresentada anteriormente, é uma versão simplificada de operação da bateria, com base no modelo de difusão. A concentração de espécies eletroativas no tempo t e na distância é denotada por . Quando a bateria está completamente carregada a concentração inicial, i.e., condição inicial, de espécies eletroativas é constante em todo o comprimento w do eletrólito, logo
(2.6) onde: . A bateria é considerada descarregada quando atinge um valor inferior ao nível de cutoff. A evolução da concentração é descrita pelas leis de Fick
(2.7)
onde: é o fluxo de espécies eletroativas, no tempo e distante do eletrodo, e é a constante de difusão. O fluxo na superfície do eletrodo ( ) é proporcional a corrente ( ). O fluxo, no outro lado da região de difusão ( ), é igual a zero. Tendo como condições de contorno
(2.8) onde: é a área da superfície do eletrodo, é a constante de Faraday, e é o número de elétrons envolvido na reação eletroquímica na superfície do eletrodo. É possível obter uma solução analítica para este conjunto de Equações Diferenciais Parciais (EDPs), utilizando as condições iniciais e de contorno, descritas acima, por meio de transformadas de Laplace e sua inversa, chegando a
, (2.9)
Dividindo a equação (2.9) pela condição inicial C* e considerando
(2.10) a fração de decaimento da concentração de espécies eletroativas na fronteira , a equação (2.9) torna-se (2.11) Considerando (2.12)
o parâmetro que está relacionado ao comportamento não-linear da bateria, e
(2.13) o parâmetro que está relacionado com a capacidade da bateria, e o tempo de vida da bateria, a partir da equação (2.11) obtém-se a seguinte expressão geral
(2.14)
que relaciona o tempo de vida da bateria, para um perfil de carga , onde os parâmetros α e β necessitam ser estimados.
A partir do modelo RV é possível calcular o tempo de vida de baterias utilizadas para fornecer energia a dispositivos móveis, usando cargas constantes ou cargas variáveis. Considerando uma corrente de descarga constante na equação (2.14), então após a resolução das integrais, obtém-se a seguinte equação
(2.15)
que relaciona o tempo de vida da bateria, para um perfil de descarga constate.
A seguir considera-se uma taxa de descarga variante no tempo, aproximada por uma carga constante por partes, conforme a Figura 2.7, também chamada de função de n degraus [12], dada por
(2.16)
onde: Ik é a carga constante; é uma função degrau, com
Figura 2. 7 Aproximação escada de uma carga variável [7,16]
Substituindo a equação (2.16) na equação (2.14), obtém-se
(2.18)
Por fim, resolvendo a integral à esquerda da equação (2.18) analiticamente, e a integral à direita pela tabela de integrais [11], encontra-se a relação entre o tempo de vida da bateria e a carga variável aproximada por uma função de degraus no intervalo , dada por
(2.18) onde: (2.19)
Dessa forma, é possível identificar, a partir do modelo RV, o tempo de vida de uma bateria de um dispositivo móvel utilizando tanto descargas constantes, quanto descargas variáveis.
Em Schneider [2], foi realizada uma análise comparativa destes três modelos analíticos utilizados para a predição do tempo de vida de baterias: o modelo Linear, a Lei de Peukert e o modelo RV. Os resultados das simulações, diferentemente de
trabalhos anteriores, foram comparados com resultados obtidos em uma plataforma de testes. A partir destes resultados foi possível chegar à conclusão que, o modelo Linear apresentou o menor desempenho com um erro próximo a 30%, erro este que segundo a bibliografia especializada corresponde a um nível baixo de precisão. Os modelos RV e a Lei de Peukert apresentaram desempenhos semelhantes em relação ao erro, apresentando diferença apenas em relação ao comportamento quanto ao perfil de descarga correntes altas. Enquanto o modelo RV apresenta um melhor desempenho para perfis de descarga com correntes altas, a Lei de Peukert apresentou um melhor desempenho para perfis de descarga com correntes baixas. Os testes foram realizados somente com correntes de descarga constantes.
No trabalho de Oliveira[20], foi também utilizado os três modelos citados anteriormente, estes foram implementados computacionalmente e realizado as simulações. Foram utilizadas duas metodologias para estimação dos parâmetros. A primeira foi a metodologia proposta por Rakhmatov e Vrudhula [1,11,16] e a segunda foi proposta por Gauss, ambas foram simuladas computacionalmente e seus resultados validados. Através destas metodologias foi possível determinar o número mínimo de curvas necessárias para estimar os parâmetros dos modelos matemáticos.
Em relação ao desempenho dos três modelos utilizados, os resultados confirmam os resultados de trabalhos anteriores, em que o modelo RV apresentou o melhor desempenho entre os modelos testados. Neste trabalho foram utilizadas descargas de correntes constantes e também descargas variáveis.
A partir destes resultados pode-se afirmar que os efeitos não lineares presentes no processo de descarga das baterias são fatores relevantes e que devem receber uma atenção especial no momento de escolha do modelo matemático para predição do tempo de vida de baterias que alimentam dispositivos móveis.
2.4.4.4 Modelo Cinético
Outro modelo analítico que pode ser utilizado para calcular o tempo de vida de baterias é o modelo Kinetic Battery Model (i.e., Modelo KiBaM) de Manwell e Mc Gowan [1,16]. Nele, a carga da bateria é distribuída sobre duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada. Pode-se observar, na Figura 2.8, uma representação esquemática do Modelo KiBaM.
Figura 2. 8 Modelo KiBaM com distribuição de duas fontes [16]
Observa-se que uma fração da capacidade total é distribuída na fonte de carga disponível e uma fração – na fonte de carga limitada. A fonte de carga disponível fornece elétrons diretamente à corrente ( ), enquanto a fonte de carga limitada disponibiliza elétrons somente a fonte de carga disponível. O parâmetro é a razão de fluxo de carga entre as fontes. As alturas das duas fontes são dadas por
(2.20) A variação de carga, nas fontes, é dada pelo sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) (2.21)
com as seguintes condições iniciais
(2.22)
onde: C é a capacidade total da bateria. A bateria é considerada descarregada quando não há mais carga na fonte de carga disponível.
Quando uma corrente de descarga é aplicada à bateria, a carga disponível reduz e a diferença de altura entre as fontes aumenta. Quando a corrente é removida, um fluxo de carga da fonte de carga limitada passa para a fonte de carga disponível. Este ajuste
ocorre até que e fiquem novamente iguais. Assim, durante períodos de inatividade,
uma maior quantidade de carga torna-se disponível e a bateria alcança um tempo de vida maior do que quando uma corrente de descarga é aplicada continuamente. Desta maneira, o efeito de recuperação é levado em conta no modelo. Também, a taxa de capacidade efetiva é considerada, pois para correntes de descarga altas, a carga disponível será drenada mais rápido, e haverá menos tempo para a carga limitada fluir em direção à carga disponível. Com isso, mais carga ficará na fonte de carga limitada, sem ser utilizada, e a capacidade efetiva da bateria será reduzida.
Assim como o modelo RV, o modelo KiBaM pode ser resolvido com transformadas de Laplace e sua inversa.
2.4.5 Modelos Híbridos
Existe ainda uma nova classe de modelos para predição do tempo de vida de baterias, estes modelos são chamados modelos híbridos. Esta nova classe de modelos pode reunir vantagens de dois ou mais modelos, buscando reduzir as desvantagens específicas. Foi desenvolvido recentemente um modelo híbrido a partir da conexão de um modelo elétrico, denominado modelo para Predizer Runtime e Característica V-I de uma bateria, e um modelo analítico, o modelo cinético KiBaM [35]. O modelo KiBaM é capaz de capturar os efeitos não lineares da bateria, e o modelo elétrico pode capturar as características dinâmicas da bateria e resposta da tensão, fazendo isto de forma acurada.
Uma descrição detalhada das equações do modelo híbrido pode ser encontrada em [35,36].
Pode-se observar, na Figura 2.9, a representação do modelo híbrido.
