Modelos Matemáticos da Teoria de Identificação de Sistemas

De acordo com Ljung [25], é possível dividir os modelos matemáticos utilizados na teoria de Identificação de Sistemas em três grupos: (i) modelos paramétricos lineares (i.e., modelo AutoRregressivo com Entradas Externas (ARX), modelo AutoRregressivo com MédiA móvel e Entradas externas (ARMAX), modelo de Erro de Saída (ES), e o modelo Box-Jenkins (BJ); (ii) modelos não-paramétricos (i.e., modelos de Processos, modelos de Correlação, modelos Não-Lineares); e (iii) modelos no domínio da frequência.

Neste trabalho são utilizados os modelos paramétricos lineares da teoria de Identificação de Sistemas. Destaca-se que são considerados modelos paramétricos lineares aqueles que possuem parâmetros, ou seja, coeficientes que precisam ser estimados [6]. Nos modelos há um estímulo específico de entrada com uma resposta em sua saída. Considerando uma entrada (t), uma saída será descrita por (t), da mesma forma, um estímulo de entrada (t) produz uma saída (t).

O desenvolvimento dos modelos paramétricos lineares exige também que o sistema obedeça ao Princípio da Superposição. O Princípio da Superposição garante que a resposta produzida pela aplicação simultânea de dois estímulos diferentes é igual a soma das respostas individuais aos estímulos. Ou seja, uma entrada (t) + (t), resulta em uma saída representada por (t) + (t), sendo a e b constantes reais. Uma das principais representações para estes modelos são as Funções de Transferência, as quais descrevem como uma entrada é dinamicamente transferida para a saída.

Os modelos paramétricos lineares têm, como forma geral, a seguinte estrutura

(3.1)

considerando _{como o operador de atraso, tem-se que = y(k-1), v(k) é o}

ruído branco3 e , , , e são os polinômios descritos a seguir

; ;

onde: .... , ... , ... , ... , ... são parâmetros do modelo que precisam se estimados , e , , , são as ordens dos polinômios.

Considerando o modelo geral, apresentado na equação (3.1), é possível obter diferentes modelos paramétricos lineares, conforme o esquema apresentado na Figura 3.2.

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O ruído branco ocorre quando cada valor da série apresenta média igual a zero, variância constante e não apresenta correlação serial [22].

Figura 3. 2 Classificação dos modelos paramétricos lineares de acordo com sua ordem [19].

A determinação da ordem do modelo constitui uma das etapas mais importantes na determinação do modelo paramétrico linear a ser utilizado. A ordem irá determinar o grau do polinômio assim como o número parâmetros que necessitam ser incorporados ao modelo. A quantidade de parâmetros presentes também determina o grau de dificuldade para implementação computacional do modelo. Para isso busca-se sempre um modelo de ordem baixa que possa explicar o comportamento do fenômeno que se está tentando modelar. Nos modelos paramétricos que tem como origem o modelo principal ARIMAX (Figura 3.2), possuem letras (p, d, q e r) que possuem um significado específico. A letra p, significa a ordem do modelo AR o polinômio de autorregressores, a letra d representa o número de vezes que séries precisa ser diferenciada até se tornar estacionária, o q representa por sua vez, a ordem do polinômio relativo às medias móveis e o r significa a ordem do polinômio que representa a entrada exógena.

Neste trabalho é proposta uma metodologia para encontrar a ordem p do modelo, ou seja, a ordem do polinômio autorregressivo. A necessidade de desenvolvimento desta metodologia tem como objetivo tornar a modelagem do tempo de vida de baterias via Identificação de Sistemas mais precisa e com maior velocidade na implementação dos modelos.

Nas próximas seções são apresentadas as equações dos principais modelos paramétricos lineares utilizados na literatura técnica.

3.4.1 Modelo AutoRregressivo (AR)

O modelo AutoRregressivo (AR) é tido como o modelo mais simples entre os modelos paramétricos lineares, pois são utilizadas somente as saídas do sistema, nele a saída atual é relacionada com as saídas anteriores através de um polinômio de regressores.

Este modelo possui ordem p, ou seja, AR(p). Através da equação geral (equação (3.1)), fazendo e é um polinômio arbitrário, sua equação é dada por

(3.2) Dividindo a equação (3.2) pelo polinômio , obtém o modelo AR na forma de função de transferência

(3.3)

A representação em diagrama de blocos do modelo AR está descrita na Figura 3.3.

Figura 3. 3 Diagrama de blocos do modelo AR [19]

3.4.2 Modelo AutoRregressivo com Entradas Externas (ARX)

O modelo AutoRregressivo com Entradas Externas (ARX), análogo ao Modelo AR, relaciona a saída do sistema com suas saídas anteriores através de um polinômio de regressores. A diferença é que neste modelo é considerada a existência de uma fonte externa que influencia o comportamento do sistema, que é denominada entrada. Considerando-se de ordem (p, r), ou seja, ARX (p, r), através da equação geral

(equação 3.1), o modelo ARX é obtido fazendo e e são polinômios arbitrários, resultando em

(3.4) Dividindo a equação (3.4) por A(q), tem-se a equação do modelo ARX na forma de função de transferência

(3.5)

e ruído (não branco)

(3.6) O modelo ARX pode ser visualizado na Figura 3.4 na forma de diagrama de blocos.

Figura 3. 4 Diagrama de blocos do modelo ARX [19]

3.4.3 Modelo Médias Móveis (MA)

O modelo médias móveis possui notação MA(q), em que q refere-se a ordem do modelo. O modelo MA, também pode ser considerado como um filtro de ruído sendo obtido a partir da equação geral, (equação 3.1), fazendo e e são polinômios arbitrários

Dividindo a equação (3.7) por A(q), tem-se a equação do modelo MA na forma de função de transferência

. (3.8)

O modelo MA pode ser melhor visualizado em diagrama de blocos a partir da Figura 3.5

Figura 3. 5 Diagrama de blocos do modelo MA [22]

3.4.4 Modelo AutoRregressivo com Médias Móveis e Entradas

Externas (ARMAX)

O modelo ARMAX, possui função semelhante ao modelo ARX, também possui um polinômio de médias móveis (MA), este serve como filtro de ruído. Portanto, este modelo é dito de ordem (p, q, r), ou seja, ARMAX (p, q, r). Sua equação é obtida a partir da equação (3.1), fazendo , e , e são polinômios arbitrários, e é polinômio de médias móveis. Assim, a equação do modelo ARMAX torna-se

(3.9)

Dividindo a equação (3.9) por , o modelo ARMAX pode ser escrito na forma de função transferência:

, (3.10)

o ruído (não branco) é dado por

Podemos visualizar melhor o modelo ARMAX através do diagrama de blocos da Figura 3.6.

Figura 3. 6 Diagrama de blocos do modelo ARMAX [19]

3.4.5 Modelo de Erro de Saída

O modelo de erro de saída (ES) pode ser considerado de ordem (r), ou seja, ES(r). Este modelo é obtido a partir da equação geral (equação 3.1) fazendo e B(q) , F(q) polinômios arbitrários tem-se

. (3.12)

o ruído adicionado a saída é branco . É possível visualizar melhor o modelo Erro de Saída (ES) através do diagrama de blocos da Figura 3.7.

Figura 3. 7 Diagrama de blocos do modelo Erro de Saída [19]

3.4.6 Modelo Box-Jenkins

O modelo Box-Jenkins (BJ) pode ser considerado de ordem (q, r), sendo obtido a partir do modelo geral (equação 3.1), fazendo A(q) = 1, e os demais polinômios arbitrários, então tem-se

(3.14)

e o ruído

(3.15)

Na Figura 3.8 é apresentada uma representação em forma de diagrama de blocos do modelo BJ.