Capítulo 2: Revisão Bibliográfica
2.4 Principais Modelos de Predição do Tempo de Vida das Baterias
2.4.3 Modelos Estocásticos
Os modelos estocásticos descrevem a bateria em um nível mais elevado de abstração. A descarga e o efeito de recuperação são descritos como processos estocásticos, a partir de cadeias de Markov. Um modelo estocástico, em geral, apresenta a bateria por um número finito de unidades de carga, constantes ou variáveis [1,12]. O comportamento de descarga, neste caso, é modelado usando um processo estocástico transiente no tempo discreto. Conforme o processo evolui ao longo do tempo (o qual é dividido em uma sequência de intervalos iguais), o estado da bateria é controlado pelo número de unidades de carga restantes.
Em cada intervalo de tempo, a corrente média de descarga é medida e usada para determinar o número de unidades de carga consumidas. Se esta média não é zero, o número de unidades drenadas é obtido de uma tabela de pesquisa, que contém dados das taxas de capacidades. No entanto, se no intervalo a bateria não sofreu descarga, então ela recupera certo número de unidades de carga. O número exato de unidades recuperadas é modelado utilizando uma função exponencial decrescente de densidade de probabilidade a qual está baseada no estado de carga da bateria e nos coeficientes, que dependem da bateria específica, assim como das características de descarga. A seguir são descritos dois modelos estocásticos de bateria para dispositivos portáteis [4].
No primeiro modelo, a bateria é descrita por uma cadeia de Markov no tempo discreto com N+1 estados, numerados de 0 a N (Figura 6). O número do estado corresponde à quantidade de energia requerida para transmitir um pacote simples, onde
N é o número de unidades de carga diretamente disponíveis, com base no uso contínuo.
Neste modelo, a cada passo de tempo, uma unidade é consumida com probabilidade a1
= q ou recuperada com probabilidade a0 = 1 - q. A bateria é considerada vazia quando a
difusão chega a 0 ou quando um número máximo T de unidades de carga for consumido. O número T de unidades de carga é igual à capacidade teórica da bateria (T > N).
Figura 2. 6 Modelo de bateria utilizando uma cadeia de Markov por Chiaserini e Rao [38]
O segundo modelo, é uma versão ampliada do primeiro. Novamente, tem-se uma cadeia de Markov no tempo discreto com N+1 estados. Porém, neste segundo modelo, mais de uma unidade de carga pode ser consumida em um passo do tempo, com um máximo de M unidades de carga (M ≤ N). Desta forma, há possibilidade de que um maior consumo de energia possa ser modelado. Outro aspecto relevante é que há uma probabilidade diferente de zero de permanecer no mesmo estado, isso significa que nenhum consumo ou recuperação acontece durante um passo de tempo [13,14].
Além destes dois modelos, outros foram descritos com aperfeiçoamentos dos apresentados anteriormente. Para melhorar o modelo, a probabilidade de recuperação foi feita dependente do estado de carga da bateria. Neste caso foi considerado que quanto menos unidades de carga estão disponíveis, menor será a probabilidade de recuperar uma unidade de carga. O número fase ( f ) é uma função do número de unidades de carga consumidas. Da mesma forma, quanto mais unidades de carga são consumidas, maior o número fase, diminuindo a probabilidade de recuperação. Com probabilidade
qi, considera-se que i unidades de carga são requisitadas em um intervalo de tempo.
Durante períodos ociosos, a bateria pode recuperar unidades de carga com probabilidade
pj( f ), ou permanecer no mesmo estado com probabilidade ri( f ). A recuperação é então
definida por
, (2.2) onde: e dependem do comportamento de recuperação da bateria [13,14]. Podem-se modelar diferentes cargas configurando apropriadamente as probabilidades de transição. Entretanto, não se pode controlar a ordem em que as transições são tomadas.
Portanto, é impossível para o modelo fixar padrões de carga e calcular seu impacto no tempo de vida da bateria.
A propriedade principal investigada por Chiasserini e Rao é o ganho (G) obtido por uma descarga pulsante em relação a uma constante [13,14]. Este ganho é definido como
(2.3)
onde: m é o número médio de pacotes transmitidos. G é calculado como função do número médio de pacotes que chegam em um dado intervalo de tempo, para diferentes
N variando de 3 a 50. O ganho aumenta quando a carga é reduzida, devido a maior
probabilidade de recuperar.
O modelo final é utilizado para modelar uma bateria de Li-Ion. N é configurado para aproximadamente estados e são usadas 3 fases, o que resulta em uma cadeia de Markov com aproximadamente estados. O modelo é analisado através de cálculos numéricos, dessa forma, os resultados são comparados com o modelo eletroquímico de Doyle et. al [15]. Em ambos os modelos, o ganho obtido de descargas pulsadas comparado a descargas constantes, é calculado para diferentes correntes de descarga. Os ganhos aumentam para taxas de descarga menores e densidades de correntes altas. O último é, principalmente, devido ao fato que as densidades de corrente estão próximas dos limites específicos da bateria. Quando a densidade de corrente está acima deste limite, a capacidade da bateria decai rapidamente e, portanto, o ganho obtido por descargas pulsantes aumenta.
Os resultados do modelo estocástico possuem um erro em torno de 4% quando comparado ao modelo eletroquímico, com um desvio médio de 1%. Estes resultados demonstram que o modelo estocástico possui boa qualidade na descrição do comportamento da bateria sobre descargas pulsantes.
Além destes modelos, Chiasserini e Rao [15, 16, 17] também propuseram um modelo estocástico de bateria com base no Modelo Analítico Cinético de Manwell e Mcgowan [16] (Modelo KiBaM). Este modelo é utilizado para modelar baterias de Ni- MH, ao invés de baterias de chumbo-ácido, para qual o modelo KiBaM foi originalmente proposto. Para modelar bateria de Ni-MH, o modelo sofreu algumas modificações, no termo correspondente ao fluxo de carga da fonte de carga limitada
para fonte de carga disponível foi adicionado um fator extra. Deixando a recuperação mais lenta quando menos carga estiver à esquerda da bateria. Também foi adicionada a possibilidade de não ocorrência de recuperação durante períodos ociosos.
O comportamento da bateria é representado por uma cadeia de Markov no tempo discreto transiente. Os estados da cadeia de Markov são marcados com três parâmetros (i, j, t). Os parâmetros i e j são os níveis discretizados da carga disponível e da carga limitada respectivamente e t é o tempo da corrente ociosa, este é o número de passos no tempo tomado desde a última vez que a corrente foi drenada da bateria.
No modelo de bateria de Ni-MH a carga limitada e disponível são discretizadas em e unidades de carga, respectivamente. Esta configuração resulta em uma cadeia de Markov muito grande para ser calculada como um todo. Deste modo, nenhuma solução analítica, para o modelo, pode ser definida. Para obter o tempo de vida da bateria vários processos de descarga da bateria são simulados com modelo.
As simulações mostram que os modelos estocásticos são bastante acurados, especialmente o modelo KiBaM Modificado, uma vez que foi encontrado um erro máximo de 2,65% para as simulações [1, 2].