Cap09
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(2) LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS. 24 de Setembro de 2005, a` s 10:48. 9 Sistemas de Part´ıculas. 9.1. E 9-3 (9-3/6 ) (a) Quais s˜ao as coordenadas do centro de massa das trˆes part´ıculas que aparecem na Fig. 9-22? (b) O que acontece com o centro de massa quando a massa da part´ıcula de cima aumenta gradualmente?. Quest˜oes. @?BA. . Q 9-2 Qual a localizac¸a˜ o do centro de massa da atmosfera da Terra? . ?.
(3). . 9.2. Problemas e Exerc´ıcios. AD%. '". "1%. @?. %. =. ) %. # # (a)ESejam e. , 3C % G) % 3C as coordenadas (em metros) das trˆeA s. =C part´ıculas cujas respectivas massas designamos por
(4) ,
(5) # e
(6) E . Ent˜ao a coordenada ? do centro de massa e´ '?FE. A ? A
(7) ? # #
(8) A
(9) # " '0: "7%DH1 "7% ( " 0: ".
(10) E ? E
(11) E "1%&I)> "1% 4 ". 4 . enquanto que a coordenada C e´. 9.2.1 O Centro de Massa C .
(12). E 9-1 (9-1/6 edic¸a˜ o). A. A
(13) # #
(14) C
(15) A
(16) #
(17) E " I0( "1%DG)> "1% 4 : " 0( " . E. C. C ". . m. E. "7%DH1 "7% 4. J. 1 . m. . (a) A que distˆancia o centro de massa do sistema TerraLua se encontra do centro da Terra? (Use os valores das massas da Terra e da Lua e da distˆancia entre os (b) A medida que a massa da part´ıcula de cima e´ audois astros que aparecem no Apˆendice C.) (b) Expresse mentada o centro de massa desloca-se em direc¸a˜ o a` quela a resposta do item (a) como uma frac¸a˜ o do raio da Terra. part´ıcula. No limite, quando a part´ıcula de cima for muito mais massiva que as outras, o centro de massa coin (a) Escolha a origem no centro da Terra. Ent˜ao a cidir´a com a posic¸a˜ o dela. distˆancia do centro de massa do sistema Terra-Lua e´ dada por .
(18)
(19)
(20) . E 9-12 K (9-9/6 ). Uma lata em forma de cilindro reto de massa L , alonde
(21) e´ a massa da Lua,
(22) e´ a massa da Terra, a tura M e densidade uniforme est´a cheia de refrigerante e´ a separac¸a˜ o m´edia entre Terra e Lua. Tais valores (Fig. 9-30). A massa total do refrigerante e´
(23) . Fazemos encontram-se no Apˆendice C. Em n´umeros temos, pequenos furos na base e na tampa da lata para drenar !" #$#&%&'(*) !" +% o conte´udo e medimos o valor de N , a distˆancia vertical entre o centro de massa e a base da lata, para v´arias ," #$# .- /10 ," #32 . situac¸o˜ es. Qual e´ o valor de N para (a) a lata cheia e ," 5 (b) a lata vazia? (c) O que acontece com N enquanto a. 4 4 m ? lata est´ a sendo esvaziada? (d) Se e ´ a altura do l´ıquido ( 78 9" 5 (b) O raio da Terra e´ 6 . m, de modo que que resta em um determinado instante, determine o va? temos lor de (em func¸a˜ o de L , M e
(24) ) no momento em que !" 5 o centro de massa se encontra o mais pr´oximo poss´ıvel ":*;( 4 4 da base da lata. : 8 !" 5. 6. . Observe que a frac¸a˜ o entre as massas e´
(25)
(26) . - /10< !"1#=2 > 1 < !" #3#. 0(1 ) -. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas. (a) Como a lata e´ uniforme seu centro de massa est´a localizado no seu centro geom´etrico, a uma distˆancia ) MO acima da sua base. O centro de massa do refrigerante est´a no seu centro geom´etrico, a uma distˆancia ? ) O acima da base da lata.) Quando a lata est´a cheia tal posic¸a˜ o coincide com MPO . Portanto o centro de massa P´agina 2 de 9.
(27) LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS. 24 de Setembro de 2005, a` s 10:48. da lata e com o refrigerante que ela cont´em est´a a uma distˆancia . L. NQ. MO. ) % .
(28)
(29). L. . MPO. ) %. M ). acima da base, sobre o eixo do cilindro. (b) Consideramos ) agora a lata sozinha. O centro de massa est´a em MPO acima da base, sobre o eixo do cilindro. ? (c) A medida que decresce o centro de massa do refrigerante ) na lata primeiramente diminui, depois cresce at´e MPO novamente. (d) Quando a superf´ ıcie superior do refrigerante est´a a ? uma distˆancia acima da base da lata a massa restante
(30) R do refrigerante na lata e´
(31) R @? OSM %
(32) , onde
(33) e´ ? a massa quando a lata est´a cheia ( TM ). O centro? de) massa do refrigerante est´a apenas a uma distˆancia O da base da lata. Logo N. L. L. L MO. LTM )( LTM. ) % . MO. ) % . # . L
(34)
(35). ) %
(36) R @? O 1
(37) R @? % ' ? ) % OSM
(38) O ?
(39) OSM ? # ?U%. E 9-13 (9-10/6 ). . A falta de atrito com o gelo implica que efetivamente os patinadores e a vara formem um sistema mecanicamente isolado, i.e. sobre o qual n˜ao atuam forc¸as externas. Portanto, a posic¸a˜ o do centro de massa n˜ao pode alterar-se quando ou um, ou o outro ou ambos patinadores puxarem a vara. Suponha que o patinador de - kg encontre-se a` esquerda e que o centro de massa seja escolhido como a origem ? " . do sistema de coordenadas (i.e. ), e que seja ? a distˆ a ncia desde o centro de massa at´ e o patinador de " 4 kg. Ent˜ao temos - =" ? % Y ";? "( W 4 -c ". 4 - H" ?U% " ? W. d4 Portanto, temos , donde tiramos - " ? (*) . " -. m ?. (1). . Dois patinadores, um com - kg de massa e o outro com " 4 kg, est˜ao de p´e em um rinque de patinac¸a˜ o "no gelo segurando uma vara de massa desprez´ıvel com m de comprimento. Partindo das extremidades da vara, os patinadores se puxam ao longo da vara at´e se encontrarem. " Qual a distˆancia percorrida pelo patinador de 4 kg?. X. W. Encontramos a posic¸a˜ o mais baixa do centro de massa Note que o fato dos patinadores terminarem em contato da lata com refrigerante igualando a zero a ? derivada de N ? em relac¸a˜ o a e resolvendo em relac¸a˜ o a . A derivada implica que basta um deles puxar a vara para que AMBOS se movam em relac¸a˜ o ao gelo. Se ambos puxarem e´ dada por a vara, eles apenas chegam mais r´apido a` posic¸a˜ o fi)
(40) ? #
(41) ?U#%
(42) V N LTM nal, sobre o centro de massa. Mas basta um deles puxar )( ?Y% W ): V ?.
(43) ?Y% #
(44) LTMXW LTM a vara, que o outro ser´a necessariamente arrastado em
(45) #?F# ) L
(46) M ? WZL
(47) M # direc¸a˜ o ao centro de massa, quer queira, quer n˜ao. Voce )(.
(48) ?Y% # percebe isto? LTM #D?F# . A soluc¸a˜ o de
(49) ?. LTM
(50). ).
(51) M. [. L. ?. ]\. WZL .
(52) M
(53). #. ". e´. E 9-14 (9-11/6 ). . ). " ". Um velho Galaxy com uma massa de 4 kg est´a via0 " L_^ jando por uma estrada reta a km/h. Ele e ´ seguido por "1" 1" ? um Escort com uma massa de kg viajando a Usamos a soluc¸a˜ o positiva pois e´? positivo. Substituindo-se agora o valor de na Eq. (1) acima e km/h. Qual a velocidade do centro de massa dos dois carros? simplificando, encontramos finalmente que Sejam
(54) e e f e a massa e a velocidade do Galaxy e
(55) b M`L
(56) g \ e f g a massa e velocidade do Escort. Ent˜ao, conNP. W
(57) a L forme a Eq. (9-19), a velocidade do centro de massa e´ dada por. W. 9.2.2 A segunda lei de Newton para um sistema de part´ıculas. f . http://www.if.ufrgs.br/ jgallas.
(58) e f e
(59) g f g
(60) e
(61) g G) "1"1%&'0 "7% H "1"1%DI "7% 4 ) "1" 1" ". 4. ;). km/h. . P´agina 3 de 9.
(62) LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS. 24 de Setembro de 2005, a` s 10:48. Note que as duas velocidades est˜ao no mesmo sentido, verticalmente. A que distˆancia do canh˜ao o outro fragde modo que ambos termos no numerador tem o mesmo mento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e sinal. As unidades usadas n˜ao s˜ao do Sistema Interna- a resistˆencia do ar possa ser desprezada? cional. Precisamos determinar as coordenadas do ponto de explos˜ao e a velocidade do fragmento que n˜ao cai reto para baixo. Tais dados s˜ao as condic¸o˜ es iniciais para E 9-19 (9-18/6 ) um problema de movimento de proj´eteis, para determi01" Ricardo, de massa igual a kg, e Carmelita, que e´ mais nar onde o segundo fragmento aterrisa. leve, est˜ao passeando no Lago Titicaca em uma canoa de Consideremos primeiramente o movimento do proj´etil " kg. Quando a canoa est´a em repouso na a´ gua calma, original, at´e o instante da explos˜ao. Tomemos como orieles trocam de lugares, que est˜ao distantes m e posi- gem o ponto de disparo, com o eixo ? tomado horizontal cionados simetricamente em relac¸a˜ o ao centro da canoa. e o eixo vertical, positivo para cima. A componente C Durante a troca, Ricardo percebe que a canoa se move fSn$oWqp7r e e´ zero no " C da velocidade e´ dada por fl m 4 cm em relac¸a˜ o a um tronco de a´ rvore submerso e cal- instante de tempo rc TfSnso Op fSnSOtp % sen utn , onde fSn cula a massa de Carmelita. Qual a massa de Carmelita? e´ a velocidade inicial e utn e´ o aˆ ngulo de disparo. As Chamemos de LZh e L as massas de Ricardo e Car- coordenadas do ponto mais alto s˜ao melita. Suponhamos que o centro de massa do sistema formado pelas duas pessoas (suposto mais perto de Ri? cardo) esteja a uma distˆancia do meio da canoa de comprimento i e massa
(63) . Neste caso i LZh a ) W. ? b.
(64) ? . L. i a ) . ?. df nwv rx. yf { n zD|7} u n&~ r H% # f n sen utn Dz |7} utn p I) "1%=# " k " k /( 0 sen. Dz |1}. ? b . t>*. m. e A Como n˜ao existe forc¸a externa, esta equac¸a˜ o permane# # p7r. f t o r W n C ce igualmente v´alida ap´os a troca de lugares, uma vez A # que as posic¸o˜ es de ambos s˜ao sim´etricas em relac¸a˜ o ao # f n meio do barco. A diferenc¸a e´ que o centro de massa do # sen utn. p sistema formado pelas duas pessoas mudou de lado no A I) "1%H# );? # " k - barco, ou seja, sofreu uma variac¸a˜ o de . Para deter# /( 0 sen ?. m minar o valor de , basta usar a observac¸a˜ o relacionada ao tronco de a´ rvore submerso, que andou uma distˆancia J´a que nenhuma forc¸a horizontal atua no sistema, a componente horizontal do momento e´ conservada. Uma vez )S? " "( . d4 cm. 4 m que um dos fragmentos tem velocidade zero ap´os a ex? ": ) plos˜ao, o momento do outro fragmento tem que ser igual Portanto, usando. na equac¸a˜ o acima obtemos a ao momento do proj´etil originalmente disparado. massa de Carmelita: A componente horizontal da velocidade do proj´etil ori ) ?Y% ? ginal e´ fSn zD|7} utn . Chamemos de L a massa do proj´etil LZh ijO W W
(65) ) ? LZ. inicial e de (n a velocidade do fragmento que se move ijO horizontalmente ap´os a explos˜ao. Assim sendo, temos 0 ":I ) "(*) % '1"1%DI"(*) % O W W - 0 ) "(*) kg. L O. Lf n{zD|7} u n. ). n . ). E 9-20 (9-15/6 ). uma vez que a massa do fragmento em quest˜ao e´ LdO . Isto significa que n. ). f n{zD|7} u n. Um proj´etil e´ disparado por um canh˜ao com uma );" "7velok ):I);"7% " k );" m/s. O aˆ ngulo do disparo e´ em cidade inicial de. m/s zD|7} relac¸a˜ o a` horizontal. Quando chega ao ponto mais alto da trajet´oria, o proj´etil explode em dois fragmentos Agora considere um proj´etil lanc¸ado horizontalmente no " ) " de massas iguais (Fig. 9-33). Um dos fragmentos, cu- instante 9 com velocidade de m/s a partir do r. @? % Ht>* - 1% ja velocidade imediatamente ap´os a explos˜ao e´ zero, cai ponto com coordenadas n 3C n. m. Sua http://www.if.ufrgs.br/ jgallas. P´agina 4 de 9.
(66) LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS #. 24 de Setembro de 2005, a` s 10:48 ). coordenada C e´ dada por " C C nWpr O , e quando ele aterrisa temos . O ?tempo at´e a aterrisagem e´. C ) e a coordenada do ponto de aterrisagem rj S n O p C e´ ?. ?. n. :n&r . ?. n. . t . (n. \. ) p. ) " \. C n. (d) Como os sacos est˜ao conectados pela corda, que passa pela roldana, suas acelerac¸o˜ es tem a mesma magnitude mas sentidos opostos. SeA e´ a acelerac¸a˜ o de
(67) # , ent˜ao Wc e´ a acelerac¸a˜ o de
(68) . A acelerac¸a˜ o do centro de massa e´ X. ):H - 7% /( 0. - . m. A .
(69). Wc
(70) A . % .
(71) #
(72) #.
(73) # W
(74) A . ]. A.
(75)
(76) #. . Aplicando a segunda lei de Newton para cada saco temos . A que distˆancia o proj´etil cairia se n˜ao tivesse havido explos˜ao?. A. A pW! W
(77)
(78) # pW!.
(79) #
(80). saco leve saco pesado . Subtraindo a primeira da segunda e rearranjando temos E 9-21 (9-17/6 ). .
(81) # W
(82) A . A.
(83).
(84) # p. . Dois sacos idˆenticos de ac¸u´ car s˜ao ligados por uma corda de massa desprez´ıvel que passa por " uma roldana sem Portanto, substituindo na equac¸a˜ o para , vemos que atrito, de massa desprez´ıvel, com - mm de diˆametro.
(85) A %=# # W
(86) Os dois sacos est˜ao no mesmo " n´" ıvel e cada um possui
(87) A
(88) % #p . # originalmente uma massa de g. (a) Determine a - ) " 0 "1%=# '/( 01% "( "( #; posic¸a˜ o horizontal do centro de massa do sistema. (b) W,4 );" 01" .- );"1% #. m/s Suponha que g de ac¸u´ car s˜ao transferidos de um saco 4 para o outro, mas os sacos s˜ao mantidos nas posic¸o˜ es originais. Determine a nova posic¸a˜ o horizontal do cen- A acelerac¸a˜ o e´ para baixo. tro de massa. (c) Os dois sacos s˜ao liberados. Em que direc¸a˜ o se move o centro de massa? (d) Qual e´ a sua E 9-22 (9-19/6 ) ) " acelerac¸a˜ o? Um cachorro de - kg est´a em um bote de kg que se encontra a m da margem (que fica a ` esquerda na Fig. 9(a) Escolha o centro do sistema de coordenadas co)> ? mo sendo o centro da roldana, com o eixo horizontal 34a). Ele anda 4 m no barco, em direc¸a˜ o a` margem, e de depois p´ara. O atrito entre o bote e a a´ gua e´ desprez´ıvel. e para a direita e com o eixo C para baixo. O centro ? " massa est´a a meio caminho entre os sacos, em. e A que distˆancia da margem est´a o cachorro depois da caminhada? (Sugest˜ao: Veja a Fig. 9-34b. O cachorro . , onde e ´ a distˆ a ncia vertical desde o centro da C se move para a esquerda; o bote se desloca para a diroldana at´e qualquer um dos sacos. ) " (b) Suponha g transferidas do saco da esquerda0 " para reita; e o centro de massa do sistema cachorro+barco? o saco da?YAdireita.) O saco da esquerda tem massa 4 g e Ser´a que ele se move?) - ) " ? mm. O saco a ` direita tem massa est´a em. W ? ) ? Escolha o eixo como sendo horizontal, com a ori g e est´a em #. mm. A coordenada do centro gem na margem, e apontanto para a direita na Fig. 9? de massa e´ ent˜ao 34a. Seja
(89) a massa do bote e G sua coordenada ini?. .
(90). Aw?YA
(91) ? # #
(92) A
(93) # 0 "1%& ) - % - ) "1%D ) - % 4 W );" .- ; ) ". 4. ?. cial. Seja
(94) a massa do cachorro e sua coordenada inicial. A coordenada inicial do centro de massa e´ ent˜ao. ". mm. ?{ . ) . A coordenada C ainda e´ . O centro de massa est´a a mm do saco mais leve, ao longo da linha que une os dois corpos. (c) Quando soltos, o saco mais pesado move-se para baixo e o saco mais leve move-se para cima, de modo que o centro de massa, que deve permanecer mais perto do saco mais pesado, move-se para baixo. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas.
(95) ? G
(96) .
(97) ?
(98) . V. Agora o cachorro caminha uma distˆancia para a esquerda do bote. ? Como a diferenc¸a entre a coordenada ? final do bote final do cachorro e´ ? ?e a coordenada V V W. , ou seja , a coordenada final do centro de massa pode tamb´em ser escrita como ? .
(99) ?
(100) .
(101).
(102) ? . P´agina 5 de 9.
(103) LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS. 24 de Setembro de 2005, a` s 10:48.
(104) ? .
(105) V
(106) ?
(107)
(108) . Poder´ıamos tamb´em deixar a resposta em km/h:
(109). f.
(110). H " "7%D= *) %. f . 0 ". ). 4 km/h. . Como nenhuma forc¸a horizontal externa atua no sistema bote-cachorro, a velocidade do centro de massa n˜ao Perceba a importˆancia de fornecer as unidades ao dar pode mudar. Como o bote e o cachorro estavam inicial- sua resposta. Este u´ ltimo valor n˜ao est´a no SI, claro. mente em repouso, a velocidade do centro de massa e´ zero. O centro de massa permance na mesma posic¸a˜ o E 9-25 (9-20/6 ) ? e, portanto, as duas express˜oes acima para devem 0( Com que velocidade deve viajar um Volkswagen de ser iguais. Isto significa que kg (a) para linear que um Ca); ter " o mesmo momento ? J ? km/h e (b) para ter a dillac de - kg viajando a. .
(111) ? G
(112) ?
(113) ?
(114) V
(115) ? mesma energia cin´etica?. . (a) O momento ser´a o mesmo se
(116) 9 f donde tiramos que. ? Isolando-se obtemos ? .
(117) ? G .
(118) ? W
(119)
(120) I);"7%DI 1% - %&' 7%. );" q-.
(121) V G);"7%DI)( % 4 W. ?. f "10. 4. m.
(122). . ?. . E ´ estritamente neObserve que usamos I. cess´ario fazer-se isto? Se n˜ao for, qual a vantagem de se faze-lo?... Al´em de uma escolha conveniente dos pontos de referˆencia, perceba que um? passo ? crucialV neste exerc´ıcio . foi estabelecer o fato que W ..
(123) . f . ); - " 0( . H 1%. - / .
(124) f ,. km/h. . ). (b) Desconsiderando o fator # O , igualdade de energia # cin´atica implica termos
(125) 9 f
(126) f , ou seja, f . \.
(127)
(128) . ); - " 0( . f;Z. \. = 7%. );0: 01. km/h. . E 9-26 ( na 6 ) Qual o momento um "( / /1linear )>de /7< !"el´ 1e+ tron viajando a uma velocidade de (. m/s)?. 9.2.3 O Momento Linear. . Como a velocidade do el´etron n˜ao e´ de modo algum pequena comparada com a velocidade da luz, faz-se E 9-23 ( na 6 ) necess´ario aqui usar a equac¸a˜ o relativistica para o moQual : "1" " o momento linear de 0 0 um autom´ovel que pesa mento linear, conforme dada pela Eq. 9-24: N e est´a viajando a km/h?
(129) . A “moral” deste problema e´ cuidar com as unidades empregadas: .
(130) f . 1" " ". 010 ,". /( 0. 1 " ". . Ww sE A I/(J ,"> &% I)( /< ," +&%. E. 1 1) 0(. f. . kg m/s . . na direc¸a˜ o do movimento. E 9-24 (9-21/6 ). 0 ". . f.
(131) f .
(132). H "1"1%D= *)8 !" I0 "7%D'1 "1"1%. %. ( 7. m/s. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas. . kg m/s. . Sem o fator relativ´ıstico ter´ıamos achado U¡. EwA. I/(J ¢ !" . )(*;" - !" Y#3#. Chamando de
(133) e f a massa e a velocidade do car
(134) 8 ro, e de e f a “sua” massa e velocidade temos, grac¸as ou seja, um valor. a` conservac¸a˜ o do momento linear, E. A. 1 /:t8 ," U#. Suponha que sua massa e´ de kg. Com que velocidade teria que correr para ter o mesmo momento linear "1" 1 ) que um autom´ovel de kg viajando a km/h?. '": /1/1% # W. O . W. %DG)> /7 ," + %. kg m/s . '"( / /7% # %. vezes menor:. F¡ . P´agina 6 de 9.
(135) LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS. 9.2.4 Conservac¸a˜ o do Momento Linear. 24 de Setembro de 2005, a` s 10:48. de onde tiramos a velocidade final do carrinho: f . E 9-33 (9-27/6 ). f. " ".
(136). ¤¦.
(137) %.
(138) G)> 1%D -c. /7%. ( Um homem de kg, de p´e em uma superf´ı"(cie 1/. m/s S" de atrito desprez´ıvel, d´a um chute em uma pedra de : /1kg, " fa :* )> zendo com que ela adquira uma velocidade de m/s. A velocidade da carrinho aumenta por W. 4 4 Qual a velocidade do homem depois do chute? m/s. Para reduzir sua velocidade o homem faz com que o carrinho puxe-o para tr´as, de modo que o carrinho seja Como nenhuma forc¸a com componente horizontal atua impulsionada para a frente, aumentando sua velocidade. no sistema homem-pedra, o momento total e´ conservado. Como tanto o homem como a pedra est˜ao em repouso no in´ıcio, o momento total e´ zero antes bem como E 9-38 (9-33/6 ) depois do chute, ou seja O u´ ltimo est´agio de um foguete est´a viajando com uma S 1" "
(139) Q£ f £
(140) ¤ f ¤ " velocidade de m/s. Este u´ ltimo est´agio e´ feito de duas partes presas por uma trava: um tanque de com ) / " onde o sub´ındice refere-se a` pedra e o sub´ındice N bust´ıvel com uma massa de kg" e uma c´apsula de refere-se ao homem. Desta express˜ao vemos que instrumentos com uma massa de - kg. Quando a tra'":*;"1%&'( / "7%
(141) Q£ f £ va e´ acionada, uma mola comprimida faz com que as ¤ "1" f W
(142) ¤. W duas /:" partes se separem com uma velocidade relativa de "( "1)7 m/s. (a) Qual a velocidade das duas partes depois. W m/s que elas se separam? Suponha que todas as velocidaonde o sinal negativo indica que o homem move-se no des tˆem a mesma direc¸a˜ o. (b) Calcule a energia cin´etica sentido oposto ao da pedra. Note que o sentido da pedra total das duas partes antes e depois de se separarem e foi implicitamente tomado como positivo. Note ainda explique a diferenc¸a (se houver). que a raz˜ao das massas coincide com a raz˜ao dos pesos. (a) Suponha que nenhuma forc¸a externa atue no sitema composto pelas duas partes no u´ ltimo est´agio. O moE 9-36 (9-29/6 ) mento total do sistema e´ conservado. Seja
(143) § a massa do tanque e
(144) a massa da c´apsula. Inicialmente ambas Um homem / de )(kg est´a viajando em um carrinho, cuja massa e´ kg, a m/s. Ele salta para fora do carrinho est˜ao viajando com a mesma velocidade f . Ap´os a trava
(145) P§ tem uma velocidade f § enquanto que de modo a ficar com velocidade horizontal zero. Qual a ser acionada,
(146) tem uma velocidade f . Conservac¸a˜ o do momento variac¸a˜ o resultante na velocidade do carrinho? NOTA: na 4 edic¸a˜ o do livro (bem como em algumas fornece-nos
(147) §
(148) % edic¸o˜ es anteriores) esqueceram-se de fornecer a massa
(149) f¨
(150) § f § f do carrinho, no enunciado deste exerc´ıcio. Al´em disto, traduziram chart como sendo “carroc¸a”, termo que Ap´os a trava ser solta, a c´apsula (que tem menos massa) tamb´em aparece nas edic¸o˜ es mais antigas do livro. O viaja com maior velocidade e podemos escrever enunciado na 6 edic¸a˜ o est´a correto. Dificilmente uma carroc¸a poderia ter METADE da massa do passageiro, f ©f § f Rsª« n˜ao e´ mesmo? . O momento linear total do sistema homem-carrinho e´ conservado pois n˜ao atuam forc¸as externas com componentes horizontais no sistema. Chamemos de
(151) a massa do carrinho, f a sua velocidade inicial, e f sua velocidade final (ap´os o homem haver pulado fora). Seja
(152) ¤ a massa do homem. Sua velocidade inicial e´ a mesma do carrinho e sua velocidade final e´ zero. Portanto a conservac¸a˜ o do momento nos fornece
(153) ¤¥.
(154) % f .
(155) f . http://www.if.ufrgs.br/ jgallas. onde f Rsª« e´ a velocidade relativa. Substituindo esta express˜ao na equac¸a˜ o da conservac¸a˜ o do momento obtemos
(156) § .
(157) % ¨ f.
(158) §f §
(159). f .
(160) f Rsª« . de modo que f .
(161) § .
(162) % f W
(163) f Rsª«
(164) §
(165) . P´agina 7 de 9.
(166) LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS. Como a componente vertical do momento deve conservar-se, temos com as convenc¸o˜ es acima, que.
(167) § Rsª«
(168) P§
(169) f. fW S "1". 24 de Setembro de 2005, a` s 10:48. W. );/1" . - ".
(170) f sen u A W I/("7%. - ". );/ ". m/s. f Rsª«. );/ " . /(". 01) " ". m/s. .
(171) . (b) A energia cin´etica total antes da soltura da trava e´ ¬ . A. % # #
(172) §
(173) f A I) / " - "7D% G; "1"1% # #. 1 )7 !" n. J. . A energia cin´etica total ap´os a soltura da trava e´ A A
(174) § f § # #
(175) f # # P A I) / "1%&G );/ "7% # #. ¬ . A 1 )7 - ," n. J. #E. f zD|7} u. A. A. E# '1"1%. do pedac¸o maior e´ - k. z&|1} 4. 4 m/s . ?. no sentido negativo do eixo . O aˆ ngulo entre o vetor velocidade do pedac¸o maior e qualquer um dos pedac¸os menores e´ 0 " k. #. )
(176) AS f zD|7} u. Consequentemente, a velocidade T. A. . onde f e´ a velocidade dos pedac¸os menores. PortanA # e, como toA devemos/1"1necessariamente ter que u ¯. u k A k , temos que u ? u # ©4 - . u u #. Conservac¸a˜ o da componente do momento produz . A velocidade final da c´apsula e´ f df §. ".
(177) f sen u #. W!4. - k. - k . H - "7%D'07);"1"1% #. . 9.2.5 Sistemas de Massa Vari´avel: Um Foguete. A energia cin´etica total aumentou levemente. Isto devese a` convers˜ao da energia potencial el´astica armazenada E 9-48 (9-41/6 ) na trava (mola comprimida) em energia cin´etica das par- Uma sonda espacial de " /1" kg, viajando para J´upiter " tes do foguete. com uma velocidade 0 de m/s em relac¸a˜ o ao Sol, acio" na o) motor, ejetando kg de gases com uma velocidade de - m/s em relac¸a˜ o a` sonda. Supondo que os gases E 9-39 (9-39/6 ) s˜ao ejetados no sentido oposto ao do movimento inicial Uma caldeira explode, partindo-se em trˆes pedac¸os. da sonda, qual a sua velocidade final? Dois pedac¸os, de massas iguais, s˜ao arremessados em Ignore a forc¸a gravitacional de J´upiter e use a Eq. (9trajet´orias perpendiculares entre si, com a mesma velo " e´ a cidade de m/s. O terceiro pedac¸o tem uma massa 47) do livro texto. Se f e´ a velocidade inicial, L e´ a massa final, trˆes vezes a de um dos outros pedac¸os. Qual o m´odulo, massa inicial, f e´ velocidade final, L direc¸a˜ o e sentido de sua velocidade logo ap´os a ex- e ° e´ a velocidade do g´as de exaust˜ao, ent˜ao plos˜ao? f df . . Suponha que n˜ao haja forc¸a externa atuando, de modo que o momento linear do sistema de trˆes pec¸as seja conservado. Como o momentum antes da explos˜ao era zero, ele tamb´em o e´ ap´os a explos˜ao. Isto significa que o vetor velocidade dos trˆes pedac¸os est˜ao todos num mesmo plano. Escolha um sistema de coordenadas XY, com o eixo vertical sendo o eixo C , positivo para cima. A partir da origem deste diagrama, desenhe na direc¸a˜ o negativa do eixo X o vetor
(178) P , correspondente ao momento da part´ıcula mais pesada. Os dois outros momentos s˜ao re-A presentados por vetores
(179) ® apontando num aˆ ngulo u no primeiro quadrante e u # no quarto quadrante, de moA / "7k # do que u (condic¸a˜ o do problema). u. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas. Neste problema temos L . 01" ":" kg. Portanto. f . " -³. ) - . L L "1/ ". °¦±². "1/ " b ±² a ":". "1/ ". kg e L . "10. m/s. W. . E 9-49 (9-43/6 ) Um foguete em repouso no espac¸o, em uma regi˜ao em que)(a forc ¸ a gravitacional 1e´ 0:desprez´ ıvel, tem uma massa " ´ 8" ´ de -1kg, da qual kg s˜ao combust´ ıvel. 01" O consumo de combust´ıvel do motor e´ de 4 kg/s e a P´agina 8 de 9.
(180) LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS. 24 de Setembro de 2005, a` s 10:48 (*)1. velocidade de escapamento) dos km/s. O " gases e´ de motor e´ acionado durante - s. (a) Determine o empuxo do foguete. (b) Qual e´ a massa do foguete depois E 9-56 (9-47/6 ) que o motor e´ desligado? (c) Qual e´ a velocidade final Duas longas barcac¸as est˜ao viajando na mesma direc¸a˜ o do foguete? e no mesmo sentido" em a´ guas tranq¨uilas; uma com km/h, a outro com velocidade (a) Como se ve no texto logo abaixo da Eq. 9-46, o uma) " velocidade de de km/h. Quando est˜ ao passando uma pela outra, empuxo do foguete e´ dado por µ d6¥° , onde 6 e´ a taxa oper´ a rios jogam carv˜ a o da mais lenta para a mais r´apida, de consumo de combust´ıvel e ° e´ a velocidade0 do " "1" " gas a ` raz˜ a o de kg por minuto; veja a Fig. 9-38. Qual E exaustado. kg e (*)1 !No " presente problema temos 6¶ 4 a forc¸a adicional que deve ser fornecida pelos motores °. m/s, de modo que E das duas barcac¸as para que continuem a viajar com as 0 "7%D': )7 ," % - !" 5 N µ ]6¥°P. 4. mesmas velocidades? Suponha que a transferˆencia de carv˜ao se d´a perpendicularmente a` direc¸a˜ o de movimen(b) A massa do combust´ıvel ejetado e´ dada por to da barcac¸a mais lenta e que a forc¸a de atrito entre as L k 6¢·<r , onde ·<r e´ o intervalo de tempo da quei- embarcac¸o˜ es e a a´ gua n˜ao depende do seu peso. ma de combust´ıvel. Portanto L. *);" !" ´. 0 "7%DI) - "7% 4. k . kg. . 9.2.6 Sistemas de Part´ıculas: Variac¸o˜ es na Energia Cin´etica. A massa do foguete ap´os a queima e´ L. dL. W¸L. I)> - -. k . W. *);"7%j ," ´. - ," ´. kg. . E 9-60 (9-55/6 ). Uma mulher de -1- kg se agacha e depois salta para cima (c) Como a velocidade inicial e´ zero, a velocidade final na vertical. Na posic¸a˜ o agachada, seu centro de massa " e´ dada por seus p´es deixam o est´a 4 cm acima do piso; quando /1" ch˜ a o, o centro de massa est´ a cm acima do piso; no t);" L ponto mais alto do salto, est´ a cm acima do piso. (a) f. °¦±² L Qual a forc ¸ a m´ e dia exercida sobre a mulher pelo piso, )( -1- ," ´ E b I(*)1 !" % enquanto h´a contato entre ambos? (b) Qual a velocida. ±² a 1 - ," ´ de m´axima atingida pela mulher? E. )( "10 ,". m/s. . http://www.if.ufrgs.br/ jgallas. . P´agina 9 de 9.
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