Yen Chi Lun
O Teorema de Comparação de Sturm e Aplicações
CAMPINAS 2013
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Yen, Chi Lun,
Y39t YenO teorema de comparação de Sturm e aplicações / Yen Chi Lun. – Campinas, SP : [s.n.], 2013.
YenOrientador: Dimitar Kolev Dimitrov. YenCoorientador: Roberto Andreani.
YenTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Yen1. Polinômios ortogonais. 2. Sturm, Teorema de. 3. Gautschi, Conjecturas de. 4. Jacobi, Polinômios de. I. Dimitrov, Dimitar Kolev,1962-. II. Andreani,
Roberto,1961-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Sturm comparison theorem and applications Palavras-chave em inglês:
Orthogonal polynomials Sturm's theorem
Gautschi conjectures Jacobi polynomials
Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutor em Matemática Aplicada Banca examinadora:
Dimitar Kolev Dimitrov [Orientador] Sérgio Antonio Tozoni
Márcia Cristina Anderson Braz Federson Kenier Castillo Rodríguez
Valdir Antonio Menegatto
Data de defesa: 05-09-2013
Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Abstract
In this thesis we state a new formulation of the Sturm comparison Theorem and its applications to the zeros of orthogonal polynomials. Speci cally, these applications deal with the monotonicity of zeros of X1-Jacobi orthogonal polynomials, Gautschi's conjectures about inequalities of zeros of
Jacobi polynomials and the asymptotic of zeros of ultrasphricals polynomials.
Keywords: asymptotic of zeros, exceptional orthogonal polynomials X1-Jacobi, Gautschi's
conjectures, orthogonal polynomials, Sturm's Theorem comparison, zeros.
Resumo
O objetivo deste trabalho é apresentar uma nova formulação do Teorema de comparação de Sturm e suas aplicações na teoria dos zeros de polinômios ortogonais, que são: monotonicidade dos zeros dos polinômios ortogonais X1-Jacobi, desigualdades de Gautschi sobre os zeros dos polinômios
ortogonais de Jacobi e o comportamento assintótico dos zeros dos polinômios ultrasféricos.
Palavras-chave: assintótica de zeros, conjecturas de Gautschi, polinômios ortogonais, polinô-mios ortogonais X1-Jacobi, Teorema de comparação de Sturm.
Sumário
Agradecimentos xiii
Lista de Figuras xv
Lista de Tabelas xvii
Símbolos xix
Glossário xxi
1 Introdução 1
2 Preliminares 5
2.1 Teorema de Budan-Fourier . . . 5
2.2 Transformada da Equação Diferencial . . . 9
2.3 Interpretação Eletrostática e a Equação de Lamé . . . 11
3 Polinômios Ortogonais 19 3.1 Propriedades dos Polinômios Ortogonais . . . 20
3.2 Zeros dos Polinômios Ortogonais . . . 27
3.3 Polinômios Ortogonais Clássicos . . . 28
3.3.1 Polinômios Ortogonais de Jacobi . . . 28
3.3.2 Polinômios Ortogonais de Hermite . . . 29
3.3.3 Polinômios Ortogonais de Laguerre . . . 30
4 Teorema de Comparação de Sturm e Re namentos 31 4.1 Teoremas Clássicos de Sturm . . . 33
4.2 Re namentos do Teorema de Comparação de Sturm . . . 35
5 Polinômios Ortogonais X1-Jacobi 45 5.1 Propriedades Fundamentais . . . 46
5.2 Monotonicidade dos Zeros . . . 53
5.3 Interpretação Eletrostática dos Zeros . . . 57
6 Conjecturas de Gautschi 65 6.1 Lema Técnico . . . 68 6.2 Teoremas e Provas . . . 71
7 Assintótica dos Zeros dos Polinômios de Gegenbauer 77
7.1 Lemas Técnicos . . . 82 7.2 Resultado Principal . . . 84
Àqueles que perseguem as estrelas no aquário de peixes-vermelhos e àqueles que correm como Aquiles atrás da tartaruga, dedico. xi
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço aos meus pais pela criação e pela minha formação pessoal. Eles mostraram-me os valores e princípios de um ser humano. E ainda estão me conduzindo.
À minha formação acadêmica, as orientações do professor Dimitar Kolev Dimitrov foram essen-ciais. Ainda lembro da minha primeira bronca, e última até agora, do professor Dimitar. Apesar de sentir-me chateado e envergonhado no momento, senti também um laço familiar, algo de pai para lho. Sem mencionar os inúmeros estímulos de sua paixão pela pesquisa matemática e de apreço pelos laços entre os matemáticos, do presente e do passado.
Não posso esquecer a grande companheira de longa data, Vanessa Gonçalves Paschoa Ferraz. Trilhamos esse caminho de matemática desde a época de graduação até o doutorado.
O apoio do grupo de pesquisa em Polinômios Ortogonais e Similares foi indispensável na minha formação acadêmica. Agradeço aos professores Alagacone Sri Ranga, Cleonice Fátima Bracciali, Eliana Xavier Linhares de Andrade e Fernando Rodrigo Rafaeli pelas orientações e apoio durante todo esse período. O grupo é minha outra família.
Aos meus amigos, Daniella Porto, Diego Jacinto Fiorotto, Eliel José Camargo dos Santos, Gis-laine Mara Melega, Hector Flores Callisaya, Heron Martins Félix, Michelli Maldonado Carretero, Mirela Vanina de Mello e Willian Diego Oliveira, adorei a companhia de vocês durante esse per-curso acadêmico. Nossas conversas e risadas foram uma outra terapia. Vocês acrescentaram mais alegria a todo esse tempo.
Agradeço ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientí ca da UNICAMP. Em especial ao meu co-orientador professor Roberto Andreani e ao professor Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira por auxiliar na parte burocrática e pelo apoio.
Finalmente, meu agradecimento à CAPES pelo apoio nanceiro.
Lista de Figuras
2.1 Ilustração de sistema de cargas. Linhas vermelhas simbolizam as cargas xas e as
azuis simbolizam as cargas livres. Neste caso, m = 4 e n = 6. . . 11
5.1 Monotonicidade dos zeros em relação a α no caso n = β = 5. . . 57
5.2 Monotonicidade dos zeros em relação a β no caso n = 5 e α = 1. . . 57
5.3 Sistema de 3 cargas xas e 5 cargas livres. . . 58
5.4 Sistema de 3 cargas xas e 5 cargas livres. . . 60
5.5 Função exp(−L(x)) para n = 2, α = 2 e β = 9. Os zeros são bx1 = 0.5573 e b x2 = 1.7943. . . 62
5.6 Função exp(−L(x)) para n = 2, α = 2 e β = 9. Os zeros são bx1 = 0.5573 e b x2 = 1.7943. . . 63
6.1 A suposta região onde vale a desigualdade (6.0.4) ca ao lado esquerdo da união da curva Bn, parte da reta vertical α = −1, parte da reta β = −α − 1 e a curva Cn. . . 66
6.2 A suposta região onde vale a desigualdade (6.0.4) quando n é su cientemente grande, denotemos por faixa S. . . 67
6.3 Ω é formado pelas regiões coloridas, tirando os pontos (−1/2, −1/2), (−1/2, 1/2), (1/2, −1/2) e (1/2, 1/2). . . 67
6.4 A região Ω1 para o polinômio de Jacobi de grau n = 5, 50. . . 72
6.5 A faixa S1. . . 74
7.1 Exemplo do maior zero do polinômio ortogonal de Gegenbauer de grau 5. . . 81
Lista de Tabelas
2.1 Ilustra os sinais da sequência de Fourier de P (x) nos respectivos pontos, caso c seja zero de P . . . 7 2.2 Mostra os sinais da sequência de Fourier de P (x) nos respectivos pontos, caso c não
seja zero de P . . . 8
Símbolos
R Conjunto de números reais. Sd Esfera unitária de dimensão d.
Ck Classe de funções que têm derivadas contínuas até ordem k.
NPI Número de zeros reais do polinômio P no intervalo I.
sign(∗) Sinal da expressão.
span{∗} Subespaço gerado pelo conjunto de vetores.
Πn O espaço vetorial dos polinômios algébricos de grau no máximo n.
Π O espaço vetorial de todos os polinômios algébricos. δn,m Delta de Kronecker.
Pn(α,β) Polinômio de Jacobi.
Cn(λ) Polinômio de Gegenbauer.
Hn Polinômio de Hermite.
L(α)n Polinômio de Laguerre.
Jα Função de Bessel de primeira espécie.
b
Pn(α,β) Polinômio X1-Jacobi.
x(α,β)n,k Zero do n-ésimo polinômio de Jacobi.
xn,k(λ) Zero do n-ésimo polinômio de Gegenbauer.
hn,k Zero do n-ésimo polinômio de Hermite.
jk(α) Zero da função de Bessel de primeira espécie. b
xn,k(α, β) Zero do n-ésimo polinômio X1-Jacobi.
Glossário
Polinômio algébrico Polinômio com todos os seus coe cientes reais.
Propriedade assintótica Ou comportamento assintótico. É o comportamento a ser observado em uma função quando seu argumento tende ao in nito.
Eletrostática É o ramo da eletricidade que estuda as propriedades e o comportamento de cargas elétricas em repouso, ou que estuda os fenômenos de equilíbrio de cargas elétricas.
Capítulo 1
Introdução
A mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original.
Albert Einstein
Sejam
y00(x) + f (x)y(x) = 0 (1.0.1)
e
Y00(x) + F (x)Y (x) = 0 (1.0.2)
duas equações diferenciais de segunda ordem na forma de Sturm-Liouville com f(x) < F (x) no intervalo de comparação (a, b). A partir desta informação, o que podemos a rmar sobre o comportamento dos zeros das soluções y e Y ? O Teorema de comparação de Sturm nos garante que Y troca de sinal pelo menos uma vez entre zeros consecutivos de y em (a, b). Em outras palavras, o grá co de Y oscila mais do que o de y no intervalo de comparação. Por exemplo, sejam
y00(x) + y(x) = 0 (1.0.3)
e
Y00(x) + 16Y (x) = 0 (1.0.4)
equações diferenciais. Sabemos que y(x) = sin(x) e Y (x) = sin(4x) são, respectivamente, soluções das Equações (1.0.3) e (1.0.4). É evidente que o grá co da solução Y oscila mais que o de y em qualquer intervalo da reta real. Este é um exemplo clássico que ilustra bem o Teorema de comparação de Sturm. Uma consequência desse teorema é o resultado sobre os zeros da solução de uma equação diferencial parametrizada que enunciamos a seguir. Seja a equação diferencial
y00(x; τ ) + f (x; τ )y(x; τ ) = 0
com x ∈ (a, b), τ ∈ (c, d), f ∈ C (a, b) × (c, d) e y(x; τ) uma função contínua de τ ∈ (c, d) possuindo n zeros distintos em (a, b). Observe que os zeros de y(x; τ) são funções contínuas de τ. Se ∂f(x; τ)/∂τ > 0 e y(x; τ) satisfaz certas condições de contorno, então por um corolário do
Teorema de comparação de Sturm, que apresentaremos mais adiante neste trabalho, os zeros de y(x; τ ) são funções decrescentes ou crescentes de τ, dependendo do tipo da condição de contorno. Apesar da a rmação do Teorema de comparação de Sturm ser simples e, à primeira vista, muito natural, ele possui várias aplicações na análise do comportamento dos zeros de diversas funções especiais. Ilustraremos com um simples exemplo. Na Subseção 3.3.1, sabemos que a função
un(x; α, β) = (1 − x)(1+α)/2(1 + x)(1+β)/2Pn(α,β)(x),
com P(α,β)
n (x)o n-ésimo polinômio de Jacobi, é a solução da equação diferencial
u00n(x; α, β) + fn(x; α, β)un(x; α, β) = 0,
onde a derivada refere-se a x e fn(x; α, β) = 1 − α2 4(1 − x)2 + 1 − β2 4(1 + x)2 + n(n + α + β + 1) + (1 + α)(1 + β)/2 1 − x2 .
Observe que, dados α, β > −1 xos e x ∈ (−1, 1), por simples cálculos, temos fn(x; α, β) <
fn+1(x; α, β). Sejam x (α,β)
n,k , k = 1, ..., n são os zeros de ordem crescente de P (α,β)
n (x). Em outras
palavras,
x(α,β)n,1 < x(α,β)n,2 < · · · < x(α,β)n,n−1 < x(α,β)n,n . Então pelo Teorema de comparação de Sturm, P(α,β)
n+1 (x) muda de sinal pelo menos uma vez em
(−1, x(α,β)n,1 ), (x(α,β)n,1 , x(α,β)n,2 ), . . . , (x(α,β)n,n−1, x(α,β)n,n ), (x(α,β)n,n , 1), ou seja,
−1 < x(α,β)n+1,1< x(α,β)n,1 < x(α,β)n+1,2 < x(α,β)n,2 < · · · < x(α,β)n,n < x(α,β)n+1,n+1 < 1. E assim provamos o entrelaçamento dos zeros dos polinômios ortogonais de Jacobi.
Observe que a principal hipótese do Teorema de comparação de Sturm é f < F que, no exemplo anterior, corresponde a fn(x; α, β) < fn+1(x; α, β). Em outras palavras, f − F tem sinal constante
no intervalo de comparação (a, b). Se, agora, existe η ∈ (a, b) tal que f − F < 0 em (a, η) e f − F > 0 em (η, b), que relação podemos a rmar sobre os zeros das soluções y e Y das Equações diferenciais (1.0.1) e (1.0.2)? Nesse trabalho, formularemos uma nova versão do teorema com esta nova hipótese.
Conforme o título desta tese deste trabalho, propomo-nos a fazer uma breve apresentação, porém com mais detalhes e rigor, sobre o Teorema de comparação de Sturm, seus re namentos e aplicações. Em síntese,
O Capítulo 2 contém resultados auxiliares que utilizaremos no decorrer deste trabalho, tais como o Teorema de Budan-Fourier e a Regra de sinais de Descartes, vide [28]. Neste mesmo capítulo, introduziremos noções sobre interpretação eletrostática, vide [26, 34].
O Capítulo 3 contém os resultados elementares da teoria de polinômios ortogonais, são re-sultados conhecidos cujas principais referências bibliográ cas são [3, 34].
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 No Capítulo 4, apresentaremos os resultados relacionados ao Teorema de comparação de Sturm, seus re namentos e suas respectivas demonstrações. A principal referência bibliográ- ca é [29].
No Capítulo 5, introduziremos a nova classe de polinômios ortogonais denominada classe dos polinômios ortogonais X1-Jacobi ou polinômios excepcionais de Jacobi. Apresentaremos as
propriedades elementares sobre essa nova classe de polinômios e faremos a primeira aplicação do re namento do Teorema de comparação de Sturm: estabelecer a monotonicidade dos zeros desses polinômios.
No Capítulo 6, faremos a segunda aplicação do teorema, fornecendo uma solução parcial das desigualdades de Gautschi que também são conhecidas como conjecturas de Gautschi. No Capítulo 7, faremos a nossa última aplicação, estabelecendo o comportamento assintótico
Capítulo 2
Preliminares
A fé e as demonstrações matemáticas são duas coisas inconciliáveis.
Fiodor Dostoievski
Neste capítulo, apresentaremos algumas de nições e resultados técnicos que serão de grande utilidade no decorrer deste trabalho.
2.1 Teorema de Budan-Fourier
De nição 2.1.1. Seja a0, a1, ..., an uma lista de números reais. De namos V (a0, ... , an) como o
número de variações de sinais da sequência reduzida que se obtém ignorando-se os termos nulos. Por de nição, V (a0) = 0 e
V (a0, ... , an) =
V (a1, ... , an) + 1 se a0a1 < 0,
V (a1, ... , an) se a0a1 > 0.
De acordo com a De nição 2.1.1, temos que
V (5, 6, 0, 2) = V (5, 6, 2) = 0 e V (−1, 0, 5, −6, 0, 2) = V (−1, 5, −6, 2) = 3.
De nição 2.1.2. Sejam P um polinômio algébrico de grau n e I um intervalo nito ou in -nito, aberto, semi-aberto ou fechado. NPI denota o número de zeros de P em I, contando suas
multiplicidades, e
VP(x) := V
P (x), P0(x), ..., P(n)(x). (2.1.1) A sequência P (x), P0(x), ..., P(n)(x)é conhecida como sequência de Fourier da função P .
Nesta seção, apresentaremos o Teorema de Budan-Fourier, a ferramenta que estabelece a cota superior do número de zeros de um polinômio algébrico em determinado intervalo da reta real. Para este propósito, vamos precisar do seguinte lema cuja a rmação diz que antes de qualquer raiz c da equação f(x) = 0, a função f e sua derivada têm sinais opostos antes da raiz e mesmo sinal depois da raiz.
Lema 2.1.3. Seja f uma função com derivadas contínuas até ordem k em uma vizinhança U do ponto c. Suponhamos que
f (c) = f0(c) = · · · = f(k−1)(c) = 0 e f(k)(c) 6= 0. Então, para todo ε > 0 su cientemente pequeno, temos
f (c + ε)f0(c + ε) > 0 e f(c − ε)f0(c − ε) < 0.
Demonstração. A demonstração é baseada na fórmula de Taylor. Para todo h su cientemente pequeno tal que c − h, c + h ∈ U, temos
f (c + h) = f (c) +f 0(c) 1! h + f00 2! h 2 + · · · + f (k−1)(c) (k − 1)! h k−1 + f (k)(c + θh) k! h k , onde θ ∈ (0, 1). Analogamente, f0(c + h) = f0(c) +f 00(c) 1! h + · · · + f(k−1)(c) (k − 2)! h k−2+f(k)(c + θ1h) (k − 1)! h k−1,
onde θ1 ∈ (0, 1). Como f(j)(c) = 0para j = 0, . . . , k − 1, então
f (c + h) f0(c + h) = f(k)(c + θh) f(k)(c + θ 1h) h k.
Mas, f(k)(c) 6= 0. Como f(k)(x) é uma função contínua, existe uma vizinhança U
1 de c tal que
f(k)(x) 6= 0 para todo x ∈ U
1. Além disso, sign f(k)(x) = sign f(k)(c)
para todo x ∈ U1, onde a
função sign(x) é de nida como segue: sign(x) = 1 se x > 0, 0 se = 0, −1 se x < 0. Em particular, para h su cientemente pequeno, temos
sign f(k)(c + θh) = sign f(k)(c + θ1h). Consequentemente, signf (c + h) f0(c + h) = sign(h). Assim, tomando h = ε e h = −ε, obtemos a a rmação do lema.
Teorema 2.1.4 (Budan-Fourier). Seja P um polinômio algébrico de grau n. Dado intervalo com extremos a e b com a < b, suponhamos que P (a) 6= 0 e P (b) 6= 0. Então
CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 7 Demonstração. Vamos acompanhar o que acontece com o número de mudanças de sinal na sequên-cia VP(x)quando x se move de a até b. É claro que uma mudança em VP(x)pode ocorrer somente
quando x passa por uma raiz de uma das funções P (x), P0(x), . . . , P(n−1)(x), uma vez que P(n)(x)
é uma constante.
Seja c uma raiz com multiplicidade k de P (x) em (a, b), ou seja, P (c) = P0(c) = · · · = P(k−1)(c) = 0 e P(k)(c) 6= 0.
Sem perda de generalidade, suponhamos P(k)(c) > 0. Como P(k)(x) é uma função contínua,
P(k)(x) > 0 para todo x em uma vizinhança U de c. Pelo Lema 2.1.3 e para ε > 0 su cientemente pequeno, obtemos então a Tabela 2.1.
x c − ε c c + ε P(k) + + + P(k−1) − 0 + P(k−2) + 0 + ... ... ... ... P00 + 0 + P0 − 0 + P + 0 +
Tabela 2.1: Ilustra os sinais da sequência de Fourier de P (x) nos respectivos pontos, caso c seja zero de P .
Dessa forma,
V P (c − ε), P0(c − ε), ..., P(k)(c − ε) = k e
V P (c), P0(c), ..., P(k)(c) = V P (c + ε), P0(c + ε), ..., P(k)(c + ε) = 0. Então, se x passar por um zero de P , a função
V P (x), P0(x), ..., P(k−1)(x), P(k)(x) diminuirá exatamente a multiplicidade deste zero.
Suponhamos, agora, que c é um zero de multiplicidade k da derivada de alguma ordem. Sejam P(i−1)(c) 6= 0, P(i)(c) = P(i+1)(c) = · · · = P(i+k−1)(c) = 0 e P(i+k)(c) 6= 0
para algum 1 ≤ i ≤ n − k. Sem perda de generalidade, suponhamos P(i+k)(c) > 0. Então,
escolhendo ε > 0 su cientemente pequeno, pelo Lema 2.1.3, obtemos a Tabela 2.2. De namos
R1 := V P(i−1)(c − ε), P(i)(c − ε), . . . , P(i+k)(c − ε)
x c − ε c c + ε P(i+k) + + + P(i+k−1) − 0 + ... ... ... ... P(i+1) + 0 + P(i) − 0 +
P(i−1) sign P(i−1)(c)
sign P(i−1)(c)
sign P(i−1)(c)
Tabela 2.2: Mostra os sinais da sequência de Fourier de P (x) nos respectivos pontos, caso c não seja zero de P .
e
R2 := V P(i−1)(c + ε), P(i)(c + ε), . . . , P(i+k)(c + ε)
= V P(i−1)(c + ε), P(i)(c + ε) .
Como P(i−1) e P(i) são funções contínuas, P(i−1)(x)e P(i)(x)não se anulam em uma vizinhança U
de c. Logo,
V P(i−1)(x), P(i)(x) = δconst
para todo x de U, sendo δconst= 1 ou δconst= 0, o que depende do fato de houver ou não mudança
de sinal. Investigaremos quatro casos dependendo do valor de δconst e da paridade de k.
Se δconst = 1 e k par. Então, R1− R2 = k + 1 − 1 = k;
Se δconst = 1 e k ímpar. Então, R1− R2 = R1− R2 = k − 1;
Se δconst = 0 e k par. Então, R1− R2 = R1− R2 = k;
Se δconst = 0 e k ímpar. Então, R1− R2 = R1− R2 = k + 1.
Portanto, quando x passa por um zero de P(i), V P(i−1)(x), P(i)(x), . . . , P(i+k)(x)
sempre diminui de um número par. Lembremos que, pela hipótese, P (a) 6= 0 e P (b) 6= 0.
Por outro lado, pelo mesmo argumento, observemos que, para ε > 0 su cientemente pequeno, VP(a) = VP(a + ε) e VP(b) = VP(b − ε) − 2ν1, ν1 ∈ N ∪ {0},
caso b seja zero de P(i) para i um número inteiro, 1 ≤ i ≤ n.
Portanto, quando x move-se de a até b, a função VP(x) além de diminuir a multiplicidade do
zero de P quando x passa por algum zero de P , ela diminuirá um número par caso x passe por um zero de P(i)(x), para algum i, 1 ≤ i ≤ n. Em outras palavras, V
P(a) − VP(b) é um número par
maior do que o número exato dos zeros de P no intervalo (a, b).
Uma consequência imediata do Teorema de Budan-Fourier é a regra de sinais de Descartes. Segundo a regra, se os termos de um polinômio com coe cientes reais são colocados em ordem
CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 9 decrescente de grau, então o número de raízes positivas do polinômio é igual ao número de mudança de sinais ou menor que isso por uma quantidade par. Mais precisamente, seja
P (x) = anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x + a0
um polinômio de coe cientes reais. Então, temos
VP(0) = V (a0, a1, 2! a2, ..., (n − 1)! an−1, n! an) = V (a0, a1, a2, ..., an−1, an)
e
VP(∞) = V (an, n an, n(n − 1) an, ..., n! an) = V (an, an, an, ..., an) = 0.
Corolário 2.1.5 (Regra de sinais de Descartes). Seja P um polinômio algébrico de grau n. Então, o número de zeros reais positivos de P é dado por:
NP(0, ∞) = V (a0, a1, ..., an−1, an) − 2κ para algum κ ∈ N ∪ {0}.
Para se obter a cota superior para o número de zeros negativos de um polinômio algébrico P (x), basta aplicar a regra de sinais de Descartes para P (−x).
2.2 Transformada da Equação Diferencial
Neste trabalho, usaremos um tipo especial de transformada que reduz uma equação diferencial homogênea de segunda ordem a uma equação da forma de Sturm-Liouville. Lembremos que uma equação diferencial de Sturm-Liouville é da forma
u00+ λ(x)u0 = 0. (2.2.1)
Sejam K(x), M(x) e N(x) funções de nidas em um intervalo (a, b), onde K e M possuem derivadas contínuas e K(x) 6= 0 nesse intervalo. Se zermos y(x) = s(x)u(x) na equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
K(x)y00+ M (x)y0+ N (x)y = 0, (2.2.2)
onde u(x) é uma função desconhecida, s(x) pode ser determinada tal que u(x) satisfaça uma equação da forma (2.2.1). Com efeito, substituindo y(x) = s(x)u(x) em (2.2.2), obtemos
u00+ λu + 2Ks 0+ M s Ks u 0 = 0, onde λ = Ks 00+ M s0+ N s Ks .
Mas, (2.2.1) implica em 2Ks0+ M s = 0. Calculando diretamente, segue que
s(x) = exp − Z M 2Kdx
e λ(x) = − d dx M 2K − M 2K 2 + N K.
Se introduzirmos em (2.2.2) uma nova variável independente de nida por x = σ(θ), obtemos dy dθ = dy dxσ 0 (θ) equivalente a dy dx = dy dθ 1 σ0(θ) e d2y dθ2 = dy dx σ00(θ) σ0(θ) + d2y dx2[σ 0 (θ)]2 equivalente a d2y dx2 = 1 [σ0(θ)]2 d2y dθ2 − σ00(θ) σ0(θ) dy dθ . Substituindo na equação (2.2.2), segue que
K 1 [σ0(θ)]2 d2y dθ2 − σ00(θ) σ0(θ) dy dθ + M 1 σ0(θ) dy dθ + N y = 0 e, simpli cando, chegamos a Kσ0(θ)d 2y dθ2 +M [σ 0 (θ)]2− Kσ00(θ) dy dθ + N [σ 0 (θ)]3y = 0. (2.2.3)
Aplicando o raciocínio anterior, escrevemos y = s∗u, onde s∗ pode ser determinada de tal forma
que u satisfaça d2u dθ2 + λ ∗ u = 0. (2.2.4) Logo dy dθ = s ∗du dθ + ds∗ dθ u e d2y dθ2 = s ∗d2u dθ2 + 2 ds∗ dθ du dθ + u d2s∗ dθ2 . Então, (2.2.3) se reduz a Kσ0(θ) s∗d 2u dθ2 + 2 ds∗ dθ du dθ + u d2s∗ dθ2 + s∗du dθ + ds∗ dθ u M [σ0(θ)]2− Kσ00(θ) + N [σ0(θ)]3y = 0, ou seja, d2u dθ2 + λ ∗ u + 1 Kσ0(θ)s∗ 2Kσ0(θ)ds ∗ dθ +M[σ 0 (θ)]2− Kσ00(θ)s∗ du dθ = 0, (2.2.5) onde λ∗ = 1 s∗ d2s∗ dθ2 + M [σ0(θ)]2− Kσ00(θ) Kσ0(θ)s∗ ds∗ dθ + N [σ0(θ)]2 K . (2.2.6)
CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 11 De (2.2.4), segue que 2Kσ0(θ)ds ∗ dθ +M [σ 0 (θ)]2− Kσ00(θ)s∗ = 0 ou, equivalentemente, −M [σ 0(θ)]2− Kσ00(θ) 2Kσ0(θ) dθ = 1 s∗ds ∗ . Um cálculo direto nos leva a s∗ = s(σ0)1/2. Por outro lado, como
ds∗ dθ = − [M [σ0(θ)]2− Kσ00(θ)] 2Kσ0(θ) s ∗ , d2s∗ dθ2 = M [σ0(θ)]2− Kσ00(θ) 2Kσ0(θ) 2 s∗− d dθ M [σ0(θ)]2− Kσ00(θ) 2Kσ0(θ) s∗, então (2.2.6) pode ser escrito como
λ∗ = −d dθ M [σ0(θ)]2− Kσ00(θ) 2Kσ0(θ) − M [σ 0(θ)]2− Kσ00(θ) 2Kσ0(θ) 2 +N K[σ 0 (θ)]2. (2.2.7)
2.3 Interpretação Eletrostática e a Equação de Lamé
Consideremos o seguinte campo eletrostático. Suponhamos que cargas rj positivas xas sejam
distribuídas uniformemente ao longo de retas perpendiculares ao eixo real pelos pontos aj, j =
0, 1, ..., m, em ordem decrescente. Além disso, sejam n cargas unitárias positivas móveis distri-buídas uniformemente ao longo de retas perpendiculares ao eixo real pelos pontos x1, x2, ..., xn
pertencentes ao intervalo (a0, am). Do ponto de vista da eletrostática, isto signi ca que as cargas
estão distribuídas ao longo de os in nitos perpendiculares à reta real, como ilustra a gura a seguir.
Figura 2.1: Ilustração de sistema de cargas. Linhas vermelhas simbolizam as cargas xas e as azuis simbolizam as cargas livres. Neste caso, m = 4 e n = 6.
Queremos que as cargas livres se movam apenas entre cargas xas positivas consecutivas. Por-tanto, se as cargas livres estão localizadas em x1, x2, ..., xn, a energia potencial logarítmica do
campo é, pela de nição, dada por L(X) = m X j=0 rj n X k=1 log 1 |xk− aj| + X 1≤k<j≤n log 1 |xk− xj| . (2.3.1)
Queremos encontrar ponto(s) X = (x1, ..., xn) cujas coordenadas são posições de equilíbrio de
ncargas livres unitárias, ou, em outras palavras, onde a energia do campo atinge seu mínimo local. Uma exigência natural para a localização das cargas livres é que elas pertençam a algum simplex
Ξ :=
s
\
k=1
{ajk < xµk < ... < xµk+1−1 < ajk+1 : rjk, rjk+1 > 0}, (2.3.2)
onde 1 = µ1 ≤ µ2 ≤ ... ≤ µs ≤ µs+1− 1 = n e s é o número de intervalos [ajk, ajk+1]. Podemos
interpretar o simplex (2.3.2) como sendo uma restrição do número, obviamente, tal número está entre 0 e n, de cargas livres em cada intervalo formado pelas cargas xas.
De namos T (X) := e−L(X)= m Y j=0 n Y k=1 |xk− aj|rj Y 1≤k<j≤n |xk− xj|. (2.3.3)
Então, X é ponto de mínimo local(ou global) de L(X) se, e somente se, é ponto de máximo local(ou global) de T (X). Observemos que esse ponto localiza-se no interior do simplex Ξ e ∂T (X)/∂xk = 0
para k = 1, ..., n. Mas, T (X) = m Y j=0 n |x1− aj|rj|x2− aj|rj|x2− x1||x3− aj|rj|x3− x1||x3− x2| . . . ×|xn− aj|rj|xn− x1||xn− x2| . . . |xn− xn−1| o = m Y j=0 n |x1− aj|rj|x2− aj|rj|x2− x1| . . . |xk−1− aj|rj|xk−1− x1| . . . ×|xk−1− xk−2||xk+1− aj|rj|xk+1− x1| . . . |xk+1− xk−1| . . . |xn− aj|rj|xn− x1| . . . ×|xn− xk−1||xn− xk+1| . . . |xn− xn−1||xk− aj|rj oYn i=1 i6=k |xk− xi|. Portanto, T (X) = τ (¯x\xk)|yk(xk)| m Y j=0 |xk− aj|rj, (2.3.4)
onde τ(¯x\xk) é uma função que não depende de xk, y(x) := Q n
i=1(x − xi) e
CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 13 Como [y(x)](l+1) = [(x − x
k)yk(x)](l+1), aplicando a regra de Leibnitz, obtemos
[y(x)](l+1) = (x − xk)y (l+1)
k (x) + (l + 1)y (l) k (x).
Logo, para x = xk, (l + 1)y(l)k (xk) = y(l+1)(xk), para l ≥ 0. Observe que o sign yk(xk) = (−1)n−k.
Logo, podemos escrever |yk(xk)| = (−1)n−kyk(xk). Portanto, (2.3.4) pode ser escrito como
T (X) = (−1)n−kτ (¯x\xk)yk(xk) m
Y
j=0
|xk− aj|rj. (2.3.5)
Derivando a equação acima com relação a xk, obtemos
∂T (X) ∂xk = (−1)n−kτ (¯x\xk) ∂ ∂xk ( ωk(xk) m Y j=0 |xk− aj|rj ) = (−1)n−kτ (¯x\xk) m Y j=0 |xk− aj|rj ( r0ωk(xk) |xk− a0| + · · · + rmωk(xk) |xk− am| + ω0k(xk) ) = (−1)n−kτ (¯x\xk) m Y j=0 |xk− aj|rj (" m X j=0 rj |xk− aj| # ωk(xk) + ωk0(xk) ) = (−1)n−kτ (¯x\xk) m Y j=0 |xk− aj|rj B(xk) A(xk) ωk(xk) + ω0k(xk) = (−1)n−kτ (¯x\xk) m Y j=0 |xk− aj|rj B(xk) A(xk) + ω 0 k(xk) ωk(xk) ωk(xk), (2.3.6)
para k = 1, 2, . . . , n, onde A(x) = (x − a0)...(x − am), B(x) polinômio de grau m e
B(x) A(x) = m X j=0 rj x − aj . (2.3.7) De (2.3.6), concluímos que ∂T (X) ∂xk = (−1)n−kτ (¯x\xk)yk(xk) m Y j=0 |xk− aj|rj B(xk) A(xk) +1 2 y00(xk) y0(x k) . (2.3.8)
O máximo de T (X) é atingido quando ∂T (x)/∂xk = 0, ou seja, onde
A(xk)y00(xk) + 2B(xk)y0(xk) = 0,
por (2.3.8). Como A(x) é de grau m + 1, B(x) é de grau m e y(x) é de grau n, a expressão A(x)y00(x) + 2B(x)y0(x) é um polinômio de grau m + n − 1. No ponto de máximo de T (x) este
último polinômio anula-se nos zeros de y(x). Então, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, existe um polinômio C(x) de grau m − 1 tal que
A(x)y00(x) + 2B(x)y0(x) + C(x)y(x) = 0. (2.3.9)
A equação (2.3.9) é chamada equação diferencial de Lamé na forma algébrica, C(x) é o polinômio de Van Vleck e y(x) é o polinômio de Stieltjes. Mostramos, então, o seguinte resultado.
Lema 2.3.1. Seja T : Rn → R de nida em (2.3.3). Então, ∂T (X)/∂x
k = 0, k = 1, . . . , n, se, e
somente se, as coordenadas do vetor X são os zeros do polinômio de grau n, y(x), que é solução da equação de Lamé (2.3.9).
Teorema 2.3.2 (Stieltjes, [31]). Sejam A(x) e B(x) polinômios de graus m + 1 e m, respectiva-mente. Se A(x) e B(x) satisfazem (2.3.7), então existem
σn :=
n + m − 1 n
polinômios C(x) de grau m − 1 tais que a equação diferencial (2.3.9) possui solução polinomial de grau n.
Teorema 2.3.3 (Szeg®,[34]). Se a energia do campo eletrostático em questão tem um único ponto de mínimo em (2.3.2), então existe um único par C(x), y(x), com C(x) um polinômio de Van Vleck e y(x) um polinômio de Stieltjes, para a equação de Lamé (2.3.9). Reciprocamente, se existe um único par C(x), y(x) de polinômios de Van Vleck e Stieltjes para (2.3.9), tal que os zeros do polinômio de Stieltjes pertençam a (2.3.2), então a energia do campo descrito tem um único ponto de mínimo.
Do ponto de vista da eletrostática, o Teorema de Stieltjes 2.3.2 e o Teorema de Szeg® 2.3.3 garantem a existência de σn restrições(ou escolhas de simplex) de posições de n cargas livres para
as quais a energia potencial logarítmica do sistema de cargas atinge mínima. Além disso, a cada restrição, existe um único vetor X cujas coordenadas são posições de n cargas livres.
O problema de interpretação eletrostática que envolve, ao mesmo tempo, cargas xas negativas e positivas é interessante de se investigar. Em particular, estabelecer a unicidade do polinômio de Van Vleck.
D. K. Dimitrov e W. V. Assche foram os pioneiros a demonstrar a unicidade dos polinômios de Van Vleck no caso que envolve, ao mesmo tempo, coe cientes rj negativos e positivos, o que
implica a existência e unicidade da solução y(x) da equação diferencial (2.3.9), o polinômio de Stieltjes. Lembremos que rj é o valor da carga xa no ponto aj. Este resultado equivale à
existência e unicidade do ponto de mínimo da energia na presença de cargas xas negativas e positivas simultaneamente.
Teorema 2.3.4 (W. V. Assche e D. K. Dimitrov, [9]). Sejam A(x) = Q3
j=0(x − aj), a0 < a1 <
a2 < a3, e B(x) um polinômio cúbico para o qual os coe cientes rj−1 e rj, na decomposição em
CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 15 a sequência r0, r1, r2, r3 admite duas mudanças de sinal, com n > 1 − (r0+ r1+ r2+ r3)
ou
a sequência r0, r1, r2, r3 admite somente uma mudança de sinal, isto é, se j = 1 ou j = 3,
então existe um único par C(x), y(x), com C(x) um polinômio de grau dois e y(x) = (x − x1)(x − x2) · · · (x − xn)uma solução de (2.3.9) tal que aj−1 < x1 < ... < xn < aj.
O Lema a seguir está num trabalho conjunto com seu orientador. Estabelecemos a unicidade do par C(x), y(x) de uma nova restrição(distribuição) dos zeros de y(x) entre as cargas xas ou os zeros de A(x), permitindo a uma carga livre situar-se fora do intervalo (a0, am).
Lema 2.3.5 (D. K. Dimitrov e Yen Chi Lun). Sejam A(x) = (x−a0)(x−a1)(x−a2), a0 < a1 < a2,
um polinômio de grau três e B(x) um polinômio de grau dois para os quais os coe cientes rj−1 e
rj na decomposição em funções parciais
B(x) A(x) = 2 X j=0 rj x − aj
são positivos e o restante negativo. Então, existe um único par C(x), y(x), com C(x) um po-linômio de grau um e y(x) = (x − x1) · ... · (x − xn)uma solução de
A(x)y00+ 2B(x)y0+ C(x)y = 0 (2.3.10)
tal que x1, x2, ..., xn−1 ∈ (a0, a1) (ou (a1, a2)) e xn∈ (a2, ∞) (ou (−∞, a0)).
Demonstração. A demonstração deste teorema é semelhante à do teorema em §6.83 de [34]. Sabemos da existência do polinômio C(x) no decorrer desta Seção. A mesma conclusão, da existência do polinômio C(x), é válida com rj negativo para algum j. Estabeleceremos, agora, a
unicidade. Sem perda de generalidade, consideremos o caso aj−1 = a0 e aj = a1. Suponhamos
D(x)um polinômio de grau um e D(x) 6≡ C(x) tal que a equação diferencial (2.3.10) admita uma outra solução z(x) com zeros ξ1, ..., ξn−1 ∈ (a0, a1) e ξn ∈ (a2, ∞) distintos. Pelo argumento de
Szeg® em §6.83 de [34], temos d dx n H(x)y0 (x)z(x) − y(x)z0(x)o = H(x)D(x) − C(x) A(x) y(x)z(x), (2.3.11) onde H(x) = 2 Y j=0 |x − aj|2rj.
Para veri car (2.3.11), basta desenvolver a derivada do lado esquerdo da identidade e utilizar o fato de que y(x) e z(x) satisfazem equações diferenciais de Lamé com correspondentes polinômios de Van Vleck C(x) e D(x). Seguindo o mesmo argumento usado em §6.83 de [34], temos:
se D(x) − C(x)/A(x) > 0 em (xj−1, xj), então z(x) muda de sinal em (xj−1, xj), j =
2, ..., n − 1;
se D(x) − C(x)/A(x) < 0 em (ξj−1, ξj), então y(x) muda de sinal em (ξj−1, ξj), j =
2, ..., n − 1.
Demonstraremos apenas o primeiro caso, pois a prova do segundo é semelhante.
É evidente que y(x) = (x−x1)(x−x2) · · · (x−xn)não muda de sinal em (xi, xi+1).Suponhamos
que z(x) não mude de sinal em (xi, xi+1) e, então, de (2.3.11),
d dx
n
H(x)[y0(x)z(x) − y(x)z0(x)] o
também não mude de sinal em (xi, xi+1).
Consideremos os pontos ˜x = xi+ e ˆx = xi+1− , > 0.
1) Se y(x)z(x) > 0, então H(x)[y0(x)z(x) − y(x)z0(x)] é crescente. Assim, • se y(x) > 0 ⇒ z(x) > 0 ⇒ y0(˜x)z(˜x) > 0 e y0(ˆx)z(ˆx) < 0;
• se y(x) < 0 ⇒ z(x) < 0 ⇒ y0(˜x)z(˜x) > 0 e y0(ˆx)z(ˆx) < 0.
2) Se y(x)z(x) < 0, então H(x)[y0(x)z(x) − y(x)z0(x)] é decrescente. Logo, • se y(x) > 0 ⇒ z(x) < 0 ⇒ y0(˜x)z(˜x) < 0 e y0(ˆx)z(ˆx) > 0;
• se y(x) < 0 ⇒ z(x) > 0 ⇒ y0(˜x)z(˜x) < 0 e y0(ˆx)z(ˆx) > 0.
Portanto, sign(yz) = sign(y0z)em ˜x e sign(yz) = −sign(y0z) em ˆx.
Observemos que sign H(y0z − yz0) = sign(y0z)em ˜x e em ˆx, isto é,
se y(x)z(x) > 0, então sign H(y0z − yz0) > 0em ˜x e sign H(y0z − yz0) < 0 em ˆx;
se y(x)z(x) < 0, então sign H(y0z − yz0) < 0em ˜x e sign H(y0z − yz0) > 0 em ˆx.
Logo, das duas observações acima, H(x)[y0(x)z(x) − y(x)z0(x)]muda de sinal em (x
i, xi+1)da
seguinte forma:
se y(x)z(x) > 0, H(˜x)[y0(˜x)z(˜x) − y(˜x)z0(˜x)] > 0 e H(ˆx)[y0(ˆx)z(ˆx) − y(ˆx)z0(ˆx)] < 0.
Então, H(x)[y0(x)z(x) − y(x)z0(x)] não pode ser crescente, o que é uma contradição por 1);
se y(x)z(x) < 0, H(˜x)[y0(˜x)z(˜x) − y(˜x)z0(˜x)] < 0 e H(ˆx)[y0(ˆx)z(ˆx) − y(ˆx)z0(ˆx)] > 0.
Logo, H(x)[y0(x)z(x) − y(x)z0(x)]não pode ser decrescente. Por 2), chegamos novamente a
uma contradição.
Portanto, y(x)z(x) deve mudar de sinal pelo menos uma vez em (xi, xi+1).Concluímos, então,
que z(x) tem pelo menos uma raiz em (xi, xi+1).
Consideremos o caso em que D(x) − C(x)/A(x) > 0 em (a0, a1). Sejam x1 e xn−1 o primeiro
e penúltimo zeros de y(x) em (a0, a1), respectivamente. Mostremos, agora, que z(x) deve mudar
CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 17 intervalos. Então, z(x) e y(x) devem ter sinais constantes neles. Como os polinômios, ambos têm coe cientes dominantes positivos e possuem um único zero maior que a2, então eles têm mesmo
sinal nesses dois intervalos. Por outro lado, observemos que lim x→a+0 H(x)y0 (x)z(x) − y(x)z0(x) = 0 = lim x→a−1 H(x)y0 (x)z(x) − y(x)z0(x). Então, H(x)[y0(x)z(x)−y(x)z0(x)]é positivo em (a
0, x1)e negativo em (xn−1, a1). Mas, observemos
que existe > 0 tal que, para x := xb 1− ex := xe n−1+ ,
signH(x)yb 0(x)z(b x) − y(b x)zb 0(bx)= sign H(x)yb 0(x)z(b bx) = sign y0(bx)y(bx) < 0 e
signH(ex)y0(
e
x)z(ex) − y(ex)z0(x)e
= sign H(ex)y0(ex)z(x) = sign ye 0(
e
x)y(x) > 0,e o que é uma contradição.
Logo, z(x) muda de sinal em (a0, x1) e (xn−1, a1), ou seja, z(x) possui n zeros no intervalo
(a0, a1). Além disso, z(x) possui um zero maior que a2, então z(x) possui n+1 zeros, contradizendo
a suposição inicial.
Usando o mesmo raciocínio e supondo D(x) − C(x)/A(x) < 0, chegaremos à mesma con-tradição de que y(x) é de grau n + 1. Logo C(x) − D(x) deve mudar de sinal em (a0, a1). Mas,
observemos que os coe cientes dominantes de D(x) e C(x) são iguais. De fato, tomemos y(x) e z(x) polinômios mônicos. Comparando os coe cientes de C(x) e D(x) através da equação dife-rencial de Lamé, segue-se a a rmação. Então, D(x) − C(x) = cte. Portanto, juntando esses dois argumentos, concluímos que C(x) ≡ D(x).
Capítulo 3
Polinômios Ortogonais
Deixei de gostar da matemática depois que × deixou de ser sinal de
multiplicação.
William Shakespeare
Um polinômio algébrico de grau n é uma função da forma
p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a2x2 + a1x + a0,
com a0, a1, . . . , an números reais. Por Πn denotaremos o espaço vetorial dos polinômios algébricos
de grau no máximo n, isto é,
Πn:= {p(x) = a0+ a1x + a2x2+ · · · + anxn | a0, a1, . . . , an ∈ R}.
Dizemos que um polinômio p é de grau exatamente n se p(x) = a0+ a1x + a2x2· · · + anxne an 6= 0.
Denotaremos o espaço vetorial de todos os polinômios algébricos por Π, ou seja, Π :=
∞
[
k=0
Πk.
Seja φ uma função não-decrescente, não-constante e limitada em um intervalo (a, b), nito ou não, que de ne uma distribuição dφ em (a, b). De namos o produto interno h·, ·iφ : Π × Π 7→ R
por
hp, qiφ =
Z b
a
p(x)q(x)dφ(x), p, q ∈ Π (3.0.1)
e a correspondente norma k · kφ : Π 7→ [ 0, ∞) por
kpkφ =
s Z b
a
|p(x)|2dφ(x), p ∈ Π. (3.0.2)
Se a função φ for diferenciável, então temos um caso particular de distribuição tal que dφ(x) = w(x)dx e ω(x) ≥ 0 em (a, b) não identicamente nula. A função ω(x) é chamada função peso.
Consideraremos, daqui por diante, apenas o caso em que dφ(x) = ω(x)dx. 19
De nição 3.0.6. Dado um produto interno h·, ·i em Π, uma sequência de polinômios ortogo-nais é uma sequência de polinômios P0(x), P1(x), P2(x), . . . com cada polinômio Pn(x) de grau
exatamente n, que satisfaz
hPn, Pmi =
0, se n 6= m,
ρn> 0, se n = m.
Inicialmente, podemos obter uma sequência de polinômios ortogonais através do conhecido método de ortogonalização de GramSchmidt.
3.1 Propriedades dos Polinômios Ortogonais
Teorema 3.1.1. Toda subsequência Pi1(x), Pi2(x) . . . de uma sequência de polinômios ortogonais
{Pn(x)}∞n=0 forma um conjunto de funções linearmente independentes.
Demonstração. Suponhamos o contrário. Então, existe uma subsequência Pi1(x), Pi2(x), . . . , Pim(x)
e coe cientes a1, a2. . . , am, com pelo menos um deles diferente de zero, tais que o polinômio
p(x) = a1Pi1(x) + a2Pi2(x) + · · · + amPim(x)
é identicamente nulo. Logo,
hp(x), Pj(x)i = 0 para todo j. (3.1.1)
Por outro lado, seja k, 1 ≤ k ≤ m, tal que ak é diferente de zero. Então,
hp(x), Pik(x)i =
m
X
j=1
ajhPij(x), Pjk(x)i = akhPik(x), Pik(x)i. (3.1.2)
Como hPik(x), Pik(x)i 6= 0, temos uma contradição com (3.1.1) e (3.1.2). Portanto, a a rmação
está provada.
Corolário 3.1.2. Se o polinômio p(x) é de grau menor que m ou igual a m, então p pode ser unicamente representado por
p(x) = a0P0(x) + · · · + amPm(x)
com coe cientes reais a0, . . . , am dados por
ak=
hp(x), Pk(x)i
hPk(x), Pk(x)i
CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS ORTOGONAIS 21 Demonstração. Isto é uma consequência simples do Teorema 3.1.1. Como Πm é um espaço linear
de dimensão m+1 e {P0, . . . , Pm}é um conjunto de m+1 elementos linearmente independentes de
Πm, eles formam uma base de Πm. Então, cada elemento de Πm pode ser unicamente representado
como combinação linear deles.
É fácil obter as expressões explícitas para ak, k = 0, . . . , m. De fato, temos
hp(x), Pk(x)i = a0hP0(x), Pk(x)i + · · · + akhPk(x), Pk(x)i + · · · + amhPm(x), Pk(x)i
= akh Pk(x), Pk(x)i.
Portanto, pela de nição de polinômios ortogonais, ak =
hp(x), Pk(x)i
hPk(x), Pk(x)i
.
Teorema 3.1.3. Seja um produto interno h·, ·i em Π. São equivalentes as seguintes a rmações: (a) {Pn(x)}∞n=0 é uma sequência de polinômios ortogonais com respeito a h·, ·i;
(b) hp(x), Pm(x)i = 0 para todo polinômio p(x) de grau menor que m e hp(x), Pm(x)i 6= 0 para
todo polinômio p(x) de grau exatamente m; (c) hxm, P
l(x)i = 0 para m < l e hxl, Pl(x)i 6= 0.
Demonstração. Seja {Pn(x)}∞n=0 uma sequência de polinômios ortogonais com respeito a h·, ·i. Se
p(x) é um polinômio de grau l, então existem constantes cl,k tais que
p(x) =
l
X
k=0
cl,kPk(x), cl,l 6= 0.
Pela linearidade do produto interno, hp(x), Pm(x)i = l X k=0 cl,khPk(x), Pm(x)i = 0, se l < m, cm,mhPm(x), Pm(x)i 6= 0, se m = l.
Deste modo (a) ⇒ (b). Claramente (b) ⇒ (c) e também é fácil observar que (c) ⇒ (a).
Teorema 3.1.4. A condição necessária e su ciente para a existência de uma sequência de polinô-mios ortogonais associada ao produto interno h·, ·i é
∆n := h1, 1i h1, xi h1, x2i . . . h1, xni hx, 1i hx, xi hx, x2i . . . hx, xni hx2, 1i hx2, xi hx2, x2i . . . hx2, xni ... ... ... ... ... hxn, 1i hxn, xi hxn, x2i . . . hxn, xni 6= 0 (3.1.3)
para n = 0, 1, 2, . . .. Além disso, cada sequência de polinômios ortogonais é unicamente determi-nada pela escolha dos valores Kn = hxn, Pn(x)i 6= 0. Ainda, se duas sequências de polinômios,
{Pn(x)}∞n=0 e {Qn(x)}∞n=0, são ortogonais com relação ao mesmo produto interno, então, para cada
n ≥ 0, existe uma constante cn tal que Qn(x) = cnPn(x).
Demonstração. Para n número inteiro positivo escrevemos
Pn(x) = an,0+ an,1x + ... + an,n−1xn−1+ an,nxn.
Supondo ∆n 6= 0, vamos determinar os valores ak,n de modo que {Pn(x)}∞n=0 seja uma sequência
de polinômios ortogonais. Temos
hxm, P n(x)i = n X k=0 an,khxm, xki. (3.1.4)
Fazendo m = 0, 1, . . . , n na igualdade acima e usando a condição (c) do Teorema 3.1.3 temos n + 1condições para a existência da sequência de polinômios ortogonais, que escrevemos da forma matricial h1, 1i h1, xi h1, x2i . . . h1, xni hx, 1i hx, xi hx, x2i . . . hx, xni hx2, 1i hx2, xi hx2, x2i . . . hx2, xni ... ... ... ... ... hxn, 1i hxn, xi hxn, x2i . . . hxn, xni a0,n a1,n a2,n ... an,n = 0 0 0 ... hxn, P n(x)i . (3.1.5)
Como ∆n 6= 0, para cada escolha do valor hxn, Pn(x)i 6= 0 cam determinados os coe cientes
ak,n de tal forma que o sistema acima é satisfeito. Olhando para (3.1.4), esses coe cientes implicam
que
hxm, P
n(x)i =
0, se m < n,
valor escolhido, se m = n. Portanto, {Pn(x)}∞n=0 é uma sequência de polinômios ortogonais.
Agora, seja {Pn(x)}∞n=0 uma sequência de polinômios ortogonais com hxn, Pn(x)i = Kn. Pela
ortogonalidade de {Pn(x)}∞n=0 e (3.1.4), ( an,0, . . . , an,n)T é solução de (3.1.5). Seja ( bn,0, . . . , bn,n)T
outra solução para (3.1.5). Escrevendo
Qn(x) = bn,0+ bn,1x + ... + bn,n−1xn−1+ bn,nxn, obtemos hxm, Q n(x)i = n X k=0 bn,khxm, xki.
Como (bn,0, bn,1, . . . , bn,n)T é solução para o sistema (3.1.5), então
hxm, Q
n(x)i =
0, se m < n,
hxn, P
CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS ORTOGONAIS 23 Logo, {Qn(x)}∞n=0 é uma sequência de polinômios ortogonais com relação a h·, ·i com hxn, Qn(x)i =
Kn.
Podemos escrever
Qn(x) = cn,0P0(x) + cn,1P1(x) + ... + cn,n−1Pn−1(x) + cn,nPn(x)
e, pela ortogonalidade de {Pn(x)}∞n=0 e {Qn(x)}∞n=0, obtemos
0 = hPm(x), Qn(x)i = cn,mhPm(x), Pm(x)i, m = 0, 1, . . . , n − 1.
Portanto, cn,m = 0 para m = 0, 1, . . . , n − 1. Assim, Qn(x) = cn,nPn(x). Mas
hxn, Qn(x)i = cn,nhxn, Pn(x)i.
Logo, cn,n = 1, pois hxn, Qn(x)i = hxn, Pn(x)i = Kn. Concluímos, então, que Qn ≡ Pn para todo
n. Deste modo a solução do sistema (3.1.5) é única e, portanto, ∆n6= 0.
Por m, sejam {Pn(x)}∞n=0 e {Qn(x)}∞n=0 sequências de polinômios ortogonais com relação a
h·, ·i com hxn, Q
n(x)i 6= hxn, Pn(x)i. Escrevemos Qn(x) como Qn(x) = Pnk=0cn,kPk(x). Para
m < n e pela ortogonalidade de ambas as sequências, temos
0 = hQm(x), Qn(x)i = cn,mhQm(x), Pm(x)i.
Logo, cn,m = 0 para m < n, pois hQm(x), Pm(x)i 6= 0. Portanto, Qn(x) = cn,nPn(x). O valor de
cn,n é dado por
hQn(x), Qn(x)i = cn,nhQn(x), Pn(x)i ⇔ cn,n =
hQn(x), Qn(x)i
hQn(x), Pn(x)i
.
De nição 3.1.5. A sequência de polinômios {P∗ n(x)}
∞
n=0 é chamada sequência de polinômios
ortonormais se
hPl∗(x), Pm∗(x)i = δl,m, l, m = 0, 1, . . .
sendo δl,m o delta de Kronecker que é de nido por
δl,m =
0 se l 6= m, 1 se l = m.
Observemos que, dada uma sequência de polinômios ortogonais {Pn(x)}∞n=0relativamente a uma
medida φ(x), podemos construir uma sequência de polinômios ortonormais {P∗
n(x)}∞n=0 de nindo
Pn∗(x) := Pn(x)/kPn(x)kφ para todo n ∈ N. É evidente que Pn∗(x) e Pn(x) possuem os mesmos
zeros.
Uma importante característica dos polinômios ortogonais é que quaisquer três polinômios conse-cutivos estão conectados através de uma simples relação que recebe o nome de relação de recorrência de três termos.
Teorema 3.1.6. Seja {Pn(x)}∞n=0uma sequência de polinômios ortogonais em (a, b) relativamente
à função peso ω(x). Então
Pn+1(x) = (γn+1x − βn+1)Pn(x) − αn+1Pn−1(x), n ≥ 0, (3.1.6)
com condições iniciais P−1(x) := 0, P0(x) = 1, αn+1, βn, γn ∈ R, n ≥ 1, e
γn+1 = an+1,n+1 an,n 6= 0, βn+1 = γn+1 hxPn, Pni hPn, Pni , αn+1 = γn+1 γn hPn, Pni hPn−1, Pn−1i . (3.1.7)
Demonstração. Seja Pn(x) = an,nxn + ... + an,1x + an,0. Como xPn(x) é um polinômio de grau
n + 1, então podemos escrever
xPn(x) = n+1
X
i=0
biPi(x).
Igualando os coe cientes dos termos de maior grau em ambos os membros da igualdade acima, temos an,n = bn+1an+1,n+1. Então,
bn+1=
an,n
an+1,n+1
. Porém, das relações de ortogonalidade,
hxPn, Pji = Z b a Pn(x)xPj(x)ω(x)dx = 0, j ≤ n − 2. Assim, hxPn, Pji = n+1 X i=0 bihPi, Pji = bjhPj, Pji = 0, j ≤ n − 2.
Logo, bj = 0 se j ≤ n − 2 e temos a expressão
Pn+1(x) = 1 bn+1 xPn(x) − bn−1 bn+1 Pn−1(x) − bn bn+1 Pn(x), com γn+1 = 1 bn+1 , βn+1 = bn bn+1 , αn+1 = bn−1 bn+1 .
Calculemos agora os valores de γn+1, βn+1 e αn+1. Como bn+1 = an,n/an+1,n+1, temos γn+1 =
an+1,n+1/an,n. De Pn+1(x) = (γn+1x − βn+1)Pn(x) − αn+1Pn−1(x), obtemos 0 = hPn+1, Pni = γn+1hxPn, Pni − βn+1hPn, Pni − αn+1hPn−1, Pni. Então, βn+1 = γn+1 hxPn, Pni hPn, Pni .
CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS ORTOGONAIS 25 Analogamente, 0 = hPn+1, Pn−1i = γn+1hxPn, Pn−1i − βn+1hPn, Pn−1i − αn+1hPn−1, Pn−1i. Logo, αn+1 = γn+1 hxPn, Pn−1i hPn−1, Pn−1i . Mas, como Pn(x) = (γnx − βn)Pn−1(x) − αnPn−2(x), obtemos xPn−1(x) = 1 γn Pn(x) + βn γn Pn−1(x) + αn γn Pn−2(x).
Por outro lado, temos
hxPn, Pn−1i = Z b a xPn(x)Pn−1(x)ω(x)dx = hPn, xPn−1i. Então, hPn, xPn−1i = 1 γn hPn, Pni + βn γn hPn, Pn−1i + αn γn hPn, Pn−2i = 1 γn hPn, Pni. Portanto, αn+1= γn+1 γn hPn, Pni hPn−1, Pn−1i . Teorema 3.1.7. Seja {P∗ n(x)} ∞
n=0 uma sequência de polinômios ortonormais. Então, eles
satisfa-zem à seguinte identidade
n X k=0 Pk∗(x)Pk∗(y) = 1 γn+1∗ Pn+1∗ (x)Pn∗(y) − Pn∗(x)Pn+1∗ (y) x − y . (3.1.8)
A equação (3.1.8) é conhecida como Identidade de Christoel-Darboux. Demonstração. Da relação de recorrência de três termos, temos
Pn+1∗ (x)Pn∗(y) − Pn∗(x)Pn+1∗ (y) = h(γn+1∗ x − βn+1∗ )Pn∗(x) − α∗n+1Pn−1∗ (x)iPn∗(y) − Pn∗(x)h(γn+1∗ y − βn+1∗ )Pn∗(y) − α∗n+1Pn−1∗ (y)i = (x − y)γn+1∗ Pn∗(x)Pn∗(y) + α∗n+1 h Pn∗(x)Pn−1∗ (y) − Pn−1∗ (x)Pn∗(y) i . Mas, α∗n+1 = γ ∗ n+1 γ∗ n hP∗ n, Pn∗i hP∗ n−1, Pn−1∗ i = γ ∗ n+1 γ∗ n .
Assim Pn+1∗ (x)Pn∗(y) − Pn∗(x)Pn+1∗ (y) x − y = γ ∗ n+1P ∗ n(x)P ∗ n(y) + γ ∗ n+1 γ∗ n Pn∗(x)Pn−1∗ (y) − Pn−1∗ (x)Pn∗(y) x − y . Analogamente, Pn∗(x)Pn−1∗ (y) − Pn−1∗ (x)Pn∗(y) x − y = γ ∗ nP ∗ n−1(x)P ∗ n−1(y) + γ ∗ n γn−1∗ Pn−1∗ (x)Pn−2∗ (y) − Pn−2∗ (x)Pn−1∗ (y) x − y .
Substituindo a última equação na penúltima equação, obtemos Pn+1∗ (x)Pn∗(y) − Pn∗(x)Pn+1∗ (y) x − y = γn+1∗ γ∗ n−1 Pn−1∗ (x)Pn−2∗ (y) − Pn−2∗ (x)Pn−1∗ (y) x − y + γn+1∗ h Pn∗(x)Pn∗(y) + Pn−1∗ (x)Pn−1∗ (y) i . Repetindo esse processo n vezes, obtemos
Pn+1∗ (x)Pn∗(y) − Pn∗(x)Pn+1∗ (y) x − y = γn+1∗ γ1∗ P1∗(x)P0∗(y) − P0∗(x)P1∗(y) x − y + γ ∗ n+1 n X k=1 Pk∗(x)Pk∗(y). Observe que P1∗(x)P0∗(y) − P0∗(x)P1∗(y) = a∗0,0a∗1,1(x − y) = a ∗ 1,1 a∗0,0 h a∗0,0 i2 (x − y) = γ1∗P0∗(x)P0∗(y)(x − y). Portanto, temos Pn+1∗ (x)Pn∗(y) − Pn∗(x)Pn+1∗ (y) x − y = γ ∗ n+1 n X k=0 Pk∗(x)Pk∗(y). Se somarmos P∗
n+1(x)Pn∗(x) ao numerador da Identidade de Christoel-Darboux (3.1.8) e, em
seguida, subtrairmos P∗ n+1(x)P ∗ n(x)dele, obtemos n X k=0 Pk∗(x)Pk∗(y) = 1 γn+1∗ Pn∗(x) h Pn+1∗ (x) − Pn+1∗ (y) i − P∗ n+1(x) h Pn∗(x) − Pn∗(y) i x − y .
Fazendo y −→ x em ambos os membros da igualdade acima, chegamos à seguinte identidade
n X k=0 h Pk∗(x)i2 = 1 γn+1∗ Pn∗(x)Pn+1∗ (x) 0 − Pn+1∗ (x)Pn∗(x) 0 > 0, ∀x ∈ R. (3.1.9)
CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS ORTOGONAIS 27
3.2 Zeros dos Polinômios Ortogonais
Chamamos x0 de zero de um polinômio p(x) se p(x0) = 0. Zeros de polinômios, em geral,
não podem ser obtidos explicitamente. Os zeros dos polinômios ortogonais possuem características próprias, como veremos a seguir.
Teorema 3.2.1. Seja {Pn(x)}∞n=0 uma sequência de polinômios ortogonais com relação à medida
dφ(x) no intervalo (a, b). Os zeros de cada polinômio ortogonal são reais, distintos e estão no intervalo (a, b).
Demonstração. Suponhamos que existam j zeros z1, . . . , zj de Pn(x) fora de (a, b), inclusive os
zeros complexos. Então, Pn(x)/(x − z1) · · · (x − zj) é um polinômio de grau n − j com todos os
zeros em (a, b). Se j > 0, então, pela ortogonalidade, Z b a Pn(x) Pn(x) (x − z1) · · · (x − zj) dφ(x) = 0. Por outro lado, P2
n(x)/(x − z1) · · · (x − zj) não muda de sinal em (a, b) e, portanto, essa integral
não pode se anular. Logo, j = 0 e, assim, todos os zeros de Pn(x) estão em (a, b), ou seja, são
reais. Se z0 é um zero de Pn(x) de multiplicidade maior do que 1, então Pn(x)/(x − z0)2 é um
polinômio de grau n − 2 e, pela ortogonalidade, Z b a Pn(x) Pn(x) (x − z0)2 dφ(x) = 0. Mas P2
n(x)/(x − z0)2 é positivo em (a, b) e, portanto, essa integral não pode se anular. Logo, todos
os zeros de (a, b) são simples. Teorema 3.2.2. Seja {P∗
n(x)} ∞
n=0 uma sequência de polinômios ortonormais. Os zeros de P ∗ n(x)
se entrelaçam com os zeros de P∗
n+1(x), n ≥ 1. Em outras palavras, se xn,1< xn,2< · · · < xn,n são os zeros de P∗ n(x) e xn+1,1 < xn+1,2< · · · < xn+1,n+1 são os zeros de P∗
n+1(x), arranjados em ordem decrescente, então
xn+1,1 < xn,1 < xn+1,2 < xn,2. . . < xn+1,n < xn,n < xn+1,n+1.
Demonstração. Aplicando a fórmula (3.1.9) aos zeros de P∗
n+1(x)obtemos 1 γ∗ n Pn+1∗ 0 (xn+1,j)Pn∗(xn+1,j) > 0, j = 1, . . . , n + 1. (3.2.1) Como os zeros de P∗
n+1(x) são reais e distintos, então, pelo Teorema de Rolle, a derivada de
Pn+1∗ (x) tem um zero em cada intervalo (xn+1,j−1, xn+1,j), j = 2, . . . , n + 1. Assim, Pn+1∗ 0 (xn+1,j) e
Pn+1∗ 0 (xn+1,j−1) têm sinais opostos.
Por (3.2.1), P∗
n(xn+1,j) e Pn∗(xn+1,j−1) também devem ter sinais opostos pois têm os mesmos
sinais de P∗ 0
n+1 nesses pontos. Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, Pn∗(x)tem um zero em
3.3 Polinômios Ortogonais Clássicos
Os conteúdos desta subseção encontram-se nos capítulos IV e V do livro [34].
3.3.1 Polinômios Ortogonais de Jacobi
Dados α, β > −1, os polinômios de Jacobi, denotados por P(α,β)
n (x), podem ser de nidos através
da fórmula de Rodrigues dada por Pn(α,β)(x) = (−1) n 2nn! (1 − x) −α (1 + x)−β d n dxn[(1 − x) α+n(1 + x)β+n] ou em representação em somas Pn(α,β)(x) = 1 2n n X k=0 n + α n − k n + β k (x − 1)k(x + 1)n−k. (3.3.1) Apresentemos algumas de suas propriedades.
A relação de ortogonalidade para os polinômios de Jacobi é dada por P(α,β) n , P (α,β) m = Z 1 −1 Pn(α,β), Pm(α,β)(1 − x)α(1 + x)βdx = 0, se m 6= n, 2α+β+1Γ(α + n + 1)Γ(β + n + 1) (α + β + 2n + 1)n!Γ(α + β + n + 1), se m = n. Valor no ponto x = 1: Pn(α,β)(1) = n + α n . Relação de simetria: Pn(α,β)(−x) = (−1)nPn(β,α)(x). (3.3.2)
Relação de recorrência de três termos: Pn(α,β)(x) = (γnx − βn)P (α,β) n−1 (x) − αnP (α,β) n−2 (x), n ≥ 1, com αn = 2(n + α − 1)(n + β − 1)(2n + α + β) 2n(n + α + β)(2n + α + β − 2) , βn = (2n + α + β − 1)(β2− α2) 2n(n + α + β)(2n + α + β − 2), γn = (2n + α + β − 1)(2n + α + β) 2n(n + α + β) , P−1(α,β)(x) := 0 e P0(α,β)(x) = 1.
CAPÍTULO 3. POLINÔMIOS ORTOGONAIS 29 Fórmula para a derivada:
d dxP (α,β) n (x) = 1 2(n + α + β + 1)P (α+1,β+1) n−1 (x). P(α,β)
n (x)é solução da equação diferencial:
(1 − x2)y00n+ h
β − α − (α + β + 2)x i
yn0 + n(n + α + β + 1)yn = 0. (3.3.3)
Aplicando a transformada da Seção 2.2 do Capítulo 2, obtemos u00n+h 1 − α 2 4(1 − x)2 + 1 − β2 4(1 + x)2 + n(n + α + β + 1) + (1 + α)(1 + β)/2 1 − x2 i un= 0, (3.3.4) onde un(x; α, β) = (1 − x)(1+α)/2(1 + x)(1+β)/2P (α,β) n (x).
Os polinômios ortogonais de Gegenbauer, ou polinômios ultrasféricos, são um caso especial dos polinômios de Jacobi, com α = β = λ − 1/2. A notação usual para os polinômios de Gegenbauer é C(λ)
n (x)e são dados por
Cn(λ)(x) =2α α −1n + 2α α Pn(α,α)(x), onde P(α,α)
n (x) são os polinômios de Jacobi com β = α.
Pela simetria (3.3.2) dos polinômios de Jacobi, os zeros dos polinômios de Gegenbauer são simétricos.
3.3.2 Polinômios Ortogonais de Hermite
Os polinômios de Hermite, denotados por Hn(x), podem ser de nidos pela fórmula de Rodrigues
dada por Hn(x) = (−1)nex 2 dn dxn[e −x2 ]. Apresentemos algumas de suas propriedades.
A relação de ortogonalidade para os polinômios de Hermite é dada por hHn, Hmi = Z ∞ −∞ Hn(x)Hm(x)e−x 2 dx = ( 0, se m 6= n, 2nn!√π, se m = n. Relação de recorrência de três termos:
Hn+1(x) = 2xHn(x) − 2nHn−1(x), n ≥ 1,
com H0(x) = 1 e H1(x) = 2x.
Hn(x)é solução da equação diferencial
3.3.3 Polinômios Ortogonais de Laguerre
Os polinômios de Laguerre, denotados por L(α)
n (x), podem ser de nidos pela fórmula de
Rodri-gues dada por
L(α)n (x) = (−1)nx−αex d
n
dxn[x α+n
e−x] ou em representação por séries
L(α)n (x) = (−1)n n X j=0 n j (α + n)(α + n − 1) . . . (α + j + 1)(−x)j. Apresentemos algumas de suas propriedades.
A relação de ortogonalidade para os polinômios de Laguerre é dada por L(α) n , L (α) m = Z ∞ 0 L(α)n (x)L(α)m (x)xαe−xdx = 0, se m 6= n, n!Γ(n + α + 1), se m = n. Relação de recorrência de três termos:
L(α)n+1(x) = (x − (2n + α + 1))L(α)n (x) − n(n + α)L(α)n−1(x), n ≥ 1, com L(α) 0 (x) = 1 e L (α) 1 (x) = x − α − 1. L(α)
n (x)é solução da equação diferencial:
Capítulo 4
Teorema de Comparação de Sturm e
Re namentos
Assim perguntamos, sem parar, até um punhado de terra cobrir a nossa boca. Mas isto será uma resposta?
Heinrich Heine
No estudo das equações diferenciais parciais mais elementares, um dos mais antigos métodos sistemáticos para a solução de tais equações, o qual permanece como um método de grande im-portância atualmente, sendo uma das técnicas clássicas em muitos ramos da física matemática, é o método da separação de variáveis. Nesse sentido, os problemas de Sturm-Liouville aparecem naturalmente quando se aplica esse método ao estudo de certas equações diferenciais parciais line-ares de segunda ordem, Chaim S. Hönig [19]. Problemas desse tipo são apresentados por Ahmed I. Zayed [35], onde o núcleo de muitas transformações integrais é solução de equações diferenciais de Sturm-Liouville. Desde então, a teoria espectral de problemas de Sturm-Liouville é muito bem desenvolvida, o que torna natural usá-los para o estudo de muitas transformações de funções de um modo uni cado. Dessa forma, obtêm-se a transformada e a sua fórmula de inversão, que são chamadas de par de Sturm-Liouville. Por exemplo, no sistema
utt(x, t) = uxx(x, t) u(0, t) = u(π, t) = 0 u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = 0,
suponhamos que u possa ser escrita como u(x, t) = X(x)T (t). Por simples cálculos, chegamos às equações X00+ λX = 0, T00+ λT = 0 X(0) = X(π) = 0 T0(0) = 0. 31
As soluções não triviais do sistema de equações ordinárias acima são compatíveis com uma pequena classe de condições iniciais f. Temos, na verdade, para cada n ∈ N, um λn = n2 e a solução é
um múltiplo de un = sen(nx)cos(nt). O que a teoria de séries de Fourier nos garante é que se
f ∈ C2[0, π] satisfaz às condições de contorno f(0) = f(π) = 0, então o sistema tem solução dada
por u(x, t) =X n∈N ansen(nx)cos(nt), onde an = 2 π Z π 0 f (x)sen(nx)dx e a série converge uniformemente. Em outras palavras, {sen(nx)}∞
n=0 é uma base ortogonal de um
espaço funcional conveniente, de forma que algumas equações são facilmente resolvidas nesta base. Além disso, as condições iniciais mais gerais são representadas de forma simples nessa mesma base. Uma aplicação desse método, por exemplo, é obter um modelo um pouco mais geral para o problema da corda vibrante. Sabemos, pela segunda lei de Newton, que a resultante das forças é dado por
F = ρ(x)∆x∂
2y
∂t2,
onde ρ é a densidade linear da corda. Supondo que a corda faça um pequeno movimento vertical e, como a tensão na corda é tangente à mesma, a resultante deve ser aproximadamente vertical e dada por
F = T sin(θ2) − T sin(θ1).
Como o movimento é para pequenas vibrações, temos que θ 1 e sin(θ) ≈ tan(θ) = ∂y(x)/∂x. Assim, temos F = Th∂y ∂x ix+∆x x ≈ T ∆x ∂2y ∂x2, quando ∆x → 0.
Portanto, nesse modelo, a equação satisfeita pela corda é dada por ∂2y ∂x2 = ρ(x) T ∂2y ∂t2.
Ao tentarmos aplicar o método da separação de variáveis na equação acima, obtemos um problema um pouco mais geral, dado por X00+ λρ(x)X = 0. Chamamos de equação de
Sturm-Liouville uma equação da forma − d dx h p(x)du dx i + q(x)u = λω(x)u, (4.0.1)
onde λ é um parâmetro real e as funções p e ω são positivas. No caso em que a equação é de nida em um intervalo nito [a, b] e p, ρ e q são suaves, dizemos que esta é uma equação de Sturm-Liouville regular em [a, b].
Um problema de Sturm-Liouville regular em [a, b] consiste de uma equação de Sturm-Liouville regular em [a, b] com condições de contorno convenientes.
CAPÍTULO 4. TEOREMA DE COMPARAÇÃO DE STURM E REFINAMENTOS 33 Os valores de λ para os quais o problema admite solução não trivial são os autovalores do pro-blema. As soluções não triviais correspondentes a um autovalor λ são as autofunções do problema associadas a λ.
Problemas dessa natureza incentivaram o desenvolvimento da Teoria de Sturm-Liouville que resultou em vários teoremas e suas consequências. Aplicações importantes sobre esses tipos de resultados são evidentes na área de zeros de polinômios ortogonais e funções especiais. Sabemos que um dos grandes desa os na área de análise é determinar uma região pequena que limita zeros de polinômios, já que sua localização exata é uma tarefa quase impossível. Na literatura, existe um amplo leque de artigos que trata desse assunto. Neste trabalho, especi camente nos capítulos 4, 5 e 6, apresentaremos aplicações da teoria de Sturm-Liouville.
No presente capítulo, vamos fazer uma breve apresentação sobre o teorema clássico de compa-ração de Sturm e seus re namentos.
4.1 Teoremas Clássicos de Sturm
Estudamos, aqui, as propriedades de algumas equações de segunda ordem. O primeiro teorema trata da localização relativa entre zeros de duas soluções de uma mesma equação de segunda ordem. O segundo compara equações distintas. As proposições que seguem estabelecem cotas que relacionam o número de zeros de uma solução em um intervalo com seu comprimento. Os resultados dessa subseção encontram-se no capítulo IV de [29].
Teorema 4.1.1 (Teorema de separação de Sturm). Sejam u e v soluções reais e linearmente independentes de
y00+ a(x)y0+ b(x)y = 0,
onde a(x) e b(x) são contínuas. Então, os zeros de u e v se entrelaçam.
Demonstração. Basta mostrar que, se x1 < x2 são zeros de u, existe ξ ∈ (x1, x2) zero de v.
Aplicando o mesmo raciocínio para v, temos que os zeros de u e v se entrelaçam. Sejam, então, tais x1 e x2 e consideremos W (x) = det v u v0 u0 .
Como u e v são soluções linearmente independentes, temos que W (x) 6= 0 para qualquer x ∈ [x1, x2].
Isso signi ca que W não muda de sinal em [x1, x2] e, portanto, W (x1)W (x2) > 0. Podemos
também supor, sem perda de generalidade, que x1 e x2 são zeros consecutivos de u. Logo u
não muda de sinal em (x1, x2) e sua derivada tem que ter sinais opostos nesses pontos, ou seja,
u0(x1)u0(x2) < 0. Mas, W (x1)W (x2) = v(x1)v(x2)u0(x1)u0(x2), uma vez que x1 e x2 são zeros de
u. Assim, v(x1)v(x2) < 0. Para que v mude de sinal entre x1 e x2, v tem que se anular em algum
