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Capítulo 3 PROBABILIDADE 3.1 - Introdução

Ao estudar um fenômeno coletivo, verifica-se a necessidade de descrevê-lo por um modelo matemático que permita explicá-lo da melhor forma possível. A teoria das probabilidades permite construir modelos matemáticos que expliquem um grande número de fenômenos coletivos e forneçam estratégias para tomada de decisões. Ou ainda, estuda-se probabilidade ao determinar maneiras específicas de avaliar a chance de ocorrência de vários eventos.

Entende-se por fenômeno qualquer acontecimento natural, sendo que sua relação com o possível resultado pode ser de dois tipos:

- Fenômenos Determinísticos: são aqueles que repetidos sob mesmas condições iniciais conduzem sempre a um só resultado;

- Fenômenos Aleatórios: são aqueles que repetidos sob as mesmas condições podem conduzir a mais de um resultado.

Fenômenos aleatórios que possuem repetitividade e regularidade são chamados de experimentos. Repetitividade é a característica de um fenômeno poder ser repetido quantas vezes se queira e regularidade é a característica que diz respeito à possibilidade das ocorrências dos resultados do fenômeno. A avaliação numérica da possibilidade destes resultados dará origem às probabilidades.

3.2 - Conjunto, Espaço Amostral e Eventos

Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos ou itens que possuem características comuns. Por exemplo, um lote de peças produzido durante um dia em uma indústria, os habitantes de Santa Catarina.

No estudo de probabilidade é importante saber definir o conjunto que se tem interesse. Existem, basicamente, duas formas de se estabelecer as características de um conjunto. Na primeira, pode-se relacionar todos os elementos do conjunto, ou um número suficiente deles, de modo a deixar claro quais são os elementos do conjunto. Por exemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} ou B = {segunda; terça; ... ; sábado e domingo}.

Um outra forma é indicar uma regra ou característica que defina o conjunto. Por exemplo: C = {números inteiros menores que 25} ou D = {cartas em um baralho comum}.

Um conjunto especial, que é fundamental no estudo de probabilidades, chama-se Espaço Amostral (S). Este pode ser definido como o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.

O experimento sugere a incerteza do resultado antes de serem feitas as observações. Os possíveis resultados de um experimento é chamado de evento.

Exemplos: Determine os espaços amostrais:

a) Lançamento de uma moeda: Espaço Amostral (S) = {Cara; Coroa} b) Lançamento de um dado: Espaço Amostral (S) = {1; 2; 3; 4; 5; 6} c) Naipe de uma carta retirada de um baralho comum de 52 cartas:

Espaço Amostral (S) = {Espada; Ouro; Copas; Paus} d) Retirada de uma carta de um baralho de 52 cartas:

Espaço Amostral (S) = {Ás (C); 2 (C); 3 (C); ... ; Dez (C); Valete (C); Dama (C); Rei(C) Ás (O); 2 (O); 3 (O); ... ; Dez (O); Valete (O); Dama (O); Rei(O) Ás (E); 2 (E); 3 (E); ... ; Dez (E); Valete (E); Dama (E); Rei(E) Ás (P); 2 (P); 3 (P); ... ; Dez (P); Valete (P); Dama (P); Rei(P)} e) Número de acidentes que podem ocorrer em uma fábrica:

Espaço Amostral (S) = {0; 1; 2; 3; ... ; ∞}

Os exemplos "a", "b", "c", "d" representam espaços amostrais finitos enquanto que o exemplo "e" representa um espaço amostral infinito.

As vezes, a relação de todos os resultados possíveis que compõem um espaço amostral não é tão simples de ser visualizado ou relacionado. Para evitar erros, existe uma técnica que está baseada no princípio fundamental da contagem que estabelece que: se um procedimento A pode ser realizado de "n" maneiras diferentes e um procedimento B de "m" maneiras diferentes, então a combinação dos procedimentos A e B apresentam "m ⋅ n" possibilidades. O diagrama de árvore obedece este enunciado.

Exemplos:

f) Combinando-se os conjuntos A e B abaixo, quantos elementos apresentará o espaço amostral combinado?

A = {lançamento de uma moeda} n = 2 S = {cara; coroa} B = {lançamento de um dado} m = 6 S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Scombinado = {cara e 1; cara e 2; cara e 3; cara e 4; cara e 5; cara e 6;

coroa e 1; coroa e 2; coroa e 3; coroa e 4; coroa e 5; coroa e 6} Scombinado possui 12 elementos, ou seja, 2 x 6 (m ⋅ n)

g) Qual a quantidade de elementos do espaço amostral quando ocorre o lançamento de um dado por duas vezes?

É a mesma coisa que fazer a combinação do conjunto B com o próprio conjunto B do exemplo " f ". B = {lançamento de um dado} m = 6 S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {lançamento de um dado} m = 6 S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Scombinado = {1 e 1; 1 e 2; 1 e 3; 1 e 4; 1 e 5; 1 e 6; 2 e 1; 2 e 2; 2 e 3; 2 e 4; 2 e 5; 2 e 6; 3 e 1; 3 e 2; 3 e 3; 3 e 4; 3 e 5; 3 e 6; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3; 4e 4; 4 e 5; 4 e 6; 5 e 1; 5 e 2; 5 e 3; 5 e 4; 5 e 5; 5 e 6; 6 e 1; 6 e 2; 6 e 3; 6e 4; 6 e 5; 6 e 6} Scombinado possui 36 elementos, ou seja, 6 x 6 (m ⋅ m)

3.3 - Árvore de Decisão

O conhecimento do número total de eventos possíveis em um experimento é fundamental para o estudo de probabilidade. Uma técnica de listagem muito utilizada é a árvore de decisão, que proporciona uma base racional para elaborar uma lista de resultados. Mas quando o número de resultados é grande, essa listagem se torna muito trabalhosa; é necessário então recorrer a fórmulas matemáticas para determinar o número total de resultados possíveis.

Para ilustrar esse conceito, suponha o experimento de jogar uma moeda três vezes. Quantas possibilidades de combinações existem neste esse problema?

Utilizando a árvore de decisão determina-se que o número possível de eventos é 8.

Esse diagrama mostra que cada questão sucessiva dobra o número total de resultados possíveis, pois cada nova questão acrescenta mais duas escolhas. A implicação é que, quando há certo número de decisões seqüenciais a tomar, o número total de resultados possíveis será igual ao produto dos diversos modos de responder cada questão. Assim:

Número de Jogadas Total de Resultados 1 2 = 2 2 2 x 2 = 4 3 2 x 2 x 2 = 8 4 2 x 2 x 2 x 2 = 16 5 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

Por exemplo: um teste de múltipla escolha com 3 questões sendo cada questão com 5 alternativas cada. Existe, nesse caso, 5 x 5 x 5 = 125 resultados possíveis.

Em outro teste a primeira questão apresenta 5 alternativas, a segunda 3 e a terceira 4. Existem 5 x 3 x 4 = 60 resultados possíveis.

3.4 - Eventos

Conforme descrito anteriormente, os resultados de um experimento chamam-se eventos. Pode-se dizer que um evento é um subconjunto do espaço amostral do experimento, ou seja, cada evento é um possível resultado do experimento. Por exemplo, no experimento extrair uma carta de um baralho comum de 52 cartas existem 52 possibilidades. Cada uma dessas possibilidades é um evento elementar ou simples. Além desses eventos, existem também algumas combinações que podem ser feitas. No mesmo exemplo, o evento sair uma carta de copas é uma combinação de vários eventos simples, que no caso pode ser definido como evento composto.

Na análise de eventos, existem algumas definições importantes:

Complemento de um Evento: consiste em todos os outros resultados no espaço amostral que não fazem parte do evento. Por exemplo: No evento retirar um ás de copas, o complemento será todas as cartas do baralho menos o ás de copas.

Eventos mutuamente excludentes: são eventos que não apresentam elementos em comum, ou eventos que não podem ocorrer simultaneamente. Por exemplo: A = {tirar uma carta de copas} e B = {tirar uma carta paus}. Os eventos A e B são mutuamente excludentes.

Eventos coletivamente exaustivos: os eventos são considerados coletivamente exaustivos se ao menos um tiver que ocorrer durante um dado experimento. Por exemplo: Resultados na jogada de um dado: A = {1; 2}, B = {3; 4} e C = {5; 6}. Os eventos A, B e C são coletivamente exaustivos. Exemplos:

h) No lançamento de um dado o evento: 1) sair face menor que 3: Evento = {1; 2} 2) sair face par: Evento = {2; 4; 6} 3) sair face 8: Evento = impossível i) No lançamento de dois dados, enumerar os eventos: 1) saída de faces iguais:

Evento = {1 e 1; 2 e 2; 3 e 3; 4 e 4; 5 e 5; 6 e 6} 2) saída de faces cuja soma seja 10:

Evento = {4 e 6; 5 e 5; 6 e 4}

3) saída de faces cuja soma seja menor que 2:

Evento = impossível

4) saída de faces cuja soma seja menor ou igual a 12:

Evento = {1 e 1; 1 e 2; 1 e 3; 1 e 4; 1 e 5; 1 e 6; 2 e 1; 2 e 2; 2 e 3; 2 e 4; 2 e 5; 2 e 6} {3 e 1; 3 e 2; 3 e 3; 3 e 4; 3 e 5; 3 e 6; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3; 4 e 4; 4 e 5; 4 e 6} {5 e 1; 5 e 2; 5 e 3; 5 e 4; 5 e 5; 5 e 6; 6 e 1; 6 e 2; 6 e 3; 6 e 4; 6 e 5; 6 e 6} 5) saída de faces onde uma face é o dobro da outra:

3.5 - Operações com Eventos

Os eventos podem ser considerados sub-conjuntos do espaço amostral, conforme descrito. Sendo assim, eles também seguem as propriedades utilizadas para as operações com conjuntos. Dentre elas, tem-se:

1)

_A

∪

_B

=

_{x

∈

_R

_{/ x}

∈

_A

_{ou x}

∈

_B}

Exemplo: Seja A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} e B = {8; 9; 10}

10}

9;

8;

6;

5;

4;

3;

2;

{1;

B

A

∪

=

2)

_A

∩

_B

=

_{x

∈

_R

_{/ x}

∈

_A

_e

_x

∈

_B}

Se

_A

∩

_B

=

₀

, então A e B são mutuamente excludentes Exemplo: Seja A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} e B = {4; 5; 6; 8; 9; 10}

6}

5;

{4;

B

A

∩

=

3)

_A

=

_{x

∈

_S

_{/ x}

∉

_A}

em que S é o espaço amostral.

A

é o conjunto complementar de A ou

A

é o complemento de A Exemplo: Seja S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} e A = {8; 9; 10}

7}

6;

5;

4;

3;

2;

{1;

A

=

4)

_A

_-

_B

=

_{x

∈

_R

_{/ x}

∈

_A

_e

_x

∉

_B}

Exemplo: Seja A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} e B = {2; 3; 4; 8; 9; 10}

}

6;

5;

{1;

B

-A

=

5) Lei da Dualidade:

(

)

(

A

B

)

A

B

B

A

B

A

∩

=

∪

∪

=

∩

3.6 - Função de Probabilidade

Uma vez identificado o espaço amostral S = {a1, a2, ..., an } de um experimento, pode-se associar a cada elemento a1 , a2 ,.., an sua possibilidade de ocorrência. Do ponto de vista matemático esta associação é chamada Função de Probabilidade. Portanto, Função de Probabilidade é uma função definida no espaço amostral S do experimento, assumindo valores reais com as seguintes propriedades:

1) A probabilidade de qualquer evento ocorrer é representada por um número entre 0 e 1,00.

n

...,

3,

2,

1,

i

com

100%

ou

00

,

1

)

P(a

0

≤

_i

≤

=

2) A probabilidade de ocorrer algum dos eventos do espaço amostral é igual a 100%:

100%

ou

1,00

amostral)

espaço

do

evento

um

P(ocorrer

=

3) A probabilidade de um certo evento do espaço amostral não ocorrer é 1,00 menos a probabilidade deste evento ocorrer:

ocorrer)

a

P(evento

-1,00

ocorrer)

não

a

evento

certo

P(um

₂

=

₂

4) O somatório das probabilidades de todos os eventos possíveis de um espaço amostral é igual

a 1,00:

_P(a

₎

₁

_,

₀₀

1 i

=

∑

= n i

O método clássico para determinar probabilidades está limitado às situações em que os resultados são igualmente prováveis. Para chegar-se a uma expressão que defina probabilidade de ocorrência vale lembrar do estudo das freqüências relativas, em que as freqüências absolutas de dados estatísticos observados eram divididas pelo somatório das freqüências. Por exemplo, suponha que um experimento tenha "n" eventos simples, cada um dos quais com a mesma chance de ocorrer, ou seja, os resultado são equiprováveis. Se o evento A pode ocorrer de "a" maneiras dentre as "n" possibilidades, então a probabilidade de A ocorrer será:

n

a

ades

possibilid

de

total

número

ocorrer

A

de

maneiras

de

número

P(A)

=

=

A probabilidade de ocorrência de um evento A, indicada por P(A), é a soma das probabilidades dos elementos que pertencem a A.

Exemplos:

j) O experimento consiste no lançamento de um dado e na observação da face superior. Determine o espaço amostral do experimento e a função de probabilidade.

S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6

k) O experimento consiste no lançamento de duas moedas e na observação do número de caras obtidas neste lançamento. Determine o espaço amostral do experimento e a função de probabilidade.

S = {Cara - Cara; Cara - Coroa; Coroa - Cara; Coroa - Coroa}

P(nenhuma cara) = 1/4 P(uma cara) = 2/4 = 1/2 P(duas caras) = 1/4

l) O experimento consiste no lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces superiores. Determine o espaço amostral do experimento e a função de probabilidade. S = {1 e 1; 1 e 2; 1 e 3; 1 e 4; 1 e 5; 1 e 6; 2 e 1; 2 e 2; 2 e 3; 2 e 4; 2 e 5; 2 e 6}

{3 e 1; 3 e 2; 3 e 3; 3 e 4; 3 e 5; 3 e 6; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3; 4 e 4; 4 e 5; 4 e 6} {5 e 1; 5 e 2; 5 e 3; 5 e 4; 5 e 5; 5 e 6; 6 e 1; 6 e 2; 6 e 3; 6 e 4; 6 e 5; 6 e 6} P(soma ser 2) = 1/36; P(soma ser 3) = 2/36 P(soma ser 4) = 3/36 P(soma ser 5) = 4/36; P(soma ser 6) = 5/36; P(soma ser 7) = 6/36; P(soma ser 8) = 5/36; P(soma ser 9) = 4/36; P(soma ser 10) = 3/36; P(soma ser 11) = 2/36; P(soma ser 12) = 1/36;

m) No lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces superiores, determine a probabilidade de cada um dos seguintes eventos:

1) a soma ser par: Fazendo a contagem utilizando o espaço amostral do exemplo "l", tem-se que:

2

1

36

18

36

1

36

3

36

5

36

5

36

3

36

1

12)

ser

P(soma

10)

ser

P(soma

8)

ser

P(soma

6)

ser

P(soma

4)

ser

P(soma

2)

ser

P(soma

par)

ser

P(soma

=

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

2) a soma ser ímpar: Da mesma forma, tem-se que:

2

1

36

18

36

2

36

4

36

6

36

4

36

2

11)

ser

P(soma

9)

ser

P(soma

7)

ser

P(soma

5)

ser

P(soma

3)

ser

P(soma

ímpar)

ser

P(soma

=

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

3) a soma ser múltiplo de 3:

3

1

36

1

36

4

36

5

36

2

12)

ser

P(soma

9)

ser

P(soma

6)

ser

P(soma

3)

ser

P(soma

3)

de

múltiplo

ser

P(soma

=

+

+

+

=

+

+

+

=

4) a soma ser maior ou igual a 7:

12

7

36

21

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

12)

ser

P(soma

11)

ser

P(soma

10)

ser

P(soma

9)

ser

P(soma

8)

ser

P(soma

7)

ser

P(soma

7)

ser

P(soma

=

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

≥

5) a soma ser maior que 12:

0

12)

ser

P(soma

>

=

3.7 - Teoremas Fundamentais

P(A)

-1,00

)

A

P(

6)

)

C

B

P(A

C)

P(B

-C)

P(A

-B)

P(A

-P(C)

P(B)

P(A)

C)

B

P(A

5)

s

excludente

mutuamente

forem

B

e

A

Se

P(B)

P(A)

B)

P(A

4)

B)

P(A

-P(B)

P(A)

B)

P(A

3)

Certo

Evento

1

P{S}

2)

Impossível

Evento

0

}

P{

1)

=

∩

∩

+

∩

∩

∩

+

+

=

∪

∪

→

+

=

∪

∩

+

=

∪

→

=

→

=

Exercícios:

I) Sendo P(A) = a; P(B) = b e P(A ∩ B) = c. Calcular:

=

∪

=

∩

=

∩

=

∪

B)

A

P(

4)

B)

A

P(

3)

)

B

A

P(

2)

)

B

A

P(

1)

II) Dez fichas são numeradas de 0 a 9 e colocadas numa urna. Escolhida uma aleatoriamente, determine a probabilidade de sair:

1) o número 5; Resposta: 10,00% 2) um número ímpar; Resposta: 50,00% 3) um número menor que 6; Resposta: 60,00% 4) o número 10. Resposta: 0,00%

III) Em uma sala estão presentes: 7 rapazes com mais de 21 anos, 11 rapazes com menos de 21 anos, 8 moças com mais de 21 anos e 5 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Os seguintes eventos são definidos:

A - a pessoa tem mais de 21 anos; Calcular: B - a pessoa tem menos de 21 anos;

C - a pessoa é um rapaz;

₁₎

_P(B

∪

_D)

=

₂₎

_P(

_A

∩

_C

₎

=

D - a pessoa é uma moça; Resposta: 1) 77,42% Resposta: 2) 16,13%

3.8 - Probabilidade Condicional

No estudo de fenômenos aleatórios, na maioria das vezes, não se sabe o que pode ocorrer. Em alguns casos, no entanto, pode-se obter alguma informação sobre a ocorrência de um evento aleatório ser mais, ou menos, viável. Por exemplo, na jogada de dois dados, qual a probabilidade de se obter o total de oito na soma das faces superiores? Conforme visto anteriormente, o resultado é igual a 5/36. Entretanto, jogando um dos dados primeiro, teremos uma idéia melhor da possibilidade de se obter a soma 8. Se, por exemplo, na primeira jogada sair o número 5, na segunda jogada será necessário tirar um 3, e a probabilidade desse resultado é 1/6. Portanto, se no primeiro dado saiu o número 5, a chance de se obter o total de 8 subiu de 5/36 (13,89%) para 1/6 (16,67%).

Do exemplo acima, percebe-se que a probabilidade condicional se refere à probabilidade de ocorrência de determinado evento, se já tem-se conhecimento que outro evento específico ocorreu. Nesse caso, a simbologia utilizada é: P(A /B), ou seja, qual a probabilidade de A ocorrer se B ocorreu. A expressão para o cálculo da probabilidade condicional será:

0

P(B)

com

P(B)

B)

P(A

P(A/B)

=

∩

≠

Exemplos:

n) Considere o lançamento de um dado e a observação da face superior. O espaço amostral do experimento é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e a função de probabilidade é:

1 - P(1) = 1/6 4 - P(4) = 1/6

2 - P(2) = 1/6 5 - P(5) = 1/6

3 - P(3) = 1/6 6 - P(6) = 1/6

Se A = {2, 3, 5, 6} e B = {1, 2}, então P(A) = 4/6 e P(B) = 2/6. Estas probabilidades são chamadas probabilidades simples da ocorrência de A e B. Suponha que o dado tenha sido lançado e que tenha ocorrido o evento A. Consequentemente, a face superior no lançamento do dado só pode ter apresentado um dos valores 2, 3, 5 ou 6. Os valores 1 e 4 não podem ter acontecido. Diante disso, deve-se reformular a função de probabilidade. Uma vez que os valores 2, 3, 5 e 6 tem a mesma chance de ocorrer a nova função de probabilidade é:

2 - P(2) = 1/4 3 - P(3) = 1/4 5 - P(5) = 1/4 6 - P(6) = 1/4

A probabilidade do evento B ocorrer depois da ocorrência de A igual a probabilidade de ocorrência de 2. Portanto:

P(B / A) = 1/4

3.9 - Eventos Independentes

Muitas vezes, o conhecimento da ocorrência de um evento ajuda na avaliação da viabilidade de outro evento. Existe, entretanto, alguns casos em que o conhecimento da ocorrência de um evento nada nos diz sobre a possibilidade da ocorrência de outro. Por exemplo, uma família acaba de ter um menino. Qual a probabilidade do segundo filho ser também menino? Neste caso, o conhecimento do sexo do primeiro filho nada diz a respeito do próximo filho. Assim sendo, diz-se que estes eventos são independentes.

Quando os eventos são independentes, a fórmula do cálculo da probabilidade de ocorrência da interseção dos conjuntos será:

P(B)

P(B/A)

P(A)

P(A/B)

P(B)

P(A)

B)

P(A

=

=

⋅

=

∩

Exemplo:

o) Suponha agora, que os eventos sejam A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 4}. A probabilidade de A é P(A)= 4/6 e a de B é P(B) = 3/6. Se A ocorrer, é porque a face superior no lançamento do dado apresenta: ou 2, ou 3, ou 4, ou 5. Assim sendo, a nova função de probabilidade será:

2 - P(2) = 1/4 3 - P(3) = 1/4 5 - P(5) = 1/4 6 - P(6) = 1/4 A probabilidade condicional de B em relação a A será:

2

1

6

4

6

2

P(A)

B)

P(A

P(B/A)

=

∩

=

=

Nesta situação, a ocorrência anterior de A não modifica a probabilidade de ocorrência de B. Então, a resposta poderia ser obtida aplicando a expressão de eventos independentes. Portanto:

2

1

6

3

)

(

)

/

(

B

A

=

P

B

=

=

P

Exercícios:

1) Os estudantes de um colégio, presentes em uma reunião, foram classificados por sexo e por opção da área de formação segundo o quadro abaixo:

Masculino Feminino

Administração 17 16

Engenharia de Produção 13 13

Economia 15 11

Calcular as probabilidades de que:

i) As alunas optem por administração; Resposta: 40,00% ii) A pessoa opte por economia; Resposta: 30,59% iii) Seja aluno sabendo-se que optou por engenharia de produção;Resposta: 50,00% iv) Os alunos optem por engenharia de produção. Resposta: 28,89%

2) Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém 5 bolas brancas, 7 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que:

i) Ambas sejam pretas; Resposta: 11,05% ii) Ambas sejam vermelhas; Resposta: 14,74% iii) Ambas sejam da mesma cor; Resposta: 31,05% iv) Ambas sejam de cores diferentes. Resposta: 68,95%

3) Uma rifa composta por 35 números irá definir o ganhador de dois prêmios sorteados, um de cada vez. Sabendo que um apostador adquiriu sete números, qual a probabilidade dele ganhar os dois prêmios? Resposta: 3,53%

3.10 - Teorema da Probabilidade Total

Suponha que o espaço amostral "S" de um experimento seja dividido em três subconjuntos A1, A2 e A3 de modo que:

S

A

A

A

}

{

A

A

}

{

A

A

}

{

A

A

3 2 1 3 2 3 1 2 1

=

∪

∪

=

∩

=

∩

=

∩

Considere um evento B qualquer da seguinte forma:

S

B

B

=

∩

Como:

_A

_A

_A

_S

3 2 1

∪

∪

=

, então:

B

=

B

∩

(A

1

∪

A

2

∪

A

3

)

ou

_B

_(B

_A

₎

_(B

_A

₎

_(B

_A

₎

3 2 1

∪

∩

∪

∩

∩

=

e

)]

A

(B

)

A

(B

)

A

(B

[

P(B)

=

P

∩

₁

∪

∩

₂

∪

∩

₃ Pelo fato de

_(B

_A

_),

_(B

_A

₎

_e

_(B

_A

₎

3 2 1

∩

∩

∩

serem eventos mutuamente excludentes,

então:

)

A

P(B

)

A

P(B

)

A

P(B

P(B)

=

∩

₁

+

∩

₂

+

∩

₃

Aplicando a fórmula de probabilidade condicional tem-se que:

)

P(A

)

P(B/A

)

A

P(B

)

P(A

)

P(B/A

)

A

P(B

)

P(A

)

P(B/A

)

A

P(B

3 3 1 2 2 2 1 1 1

⋅

=

∩

⋅

=

∩

⋅

=

∩

Assim sendo:

)

P(A

)

P(B/A

)

P(A

)

P(B/A

)

P(A

)

P(B/A

P(B)

=

₁

⋅

₁

+

₂

⋅

₂

+

₃

⋅

₃

Se o espaço amostral for dividido em "n" regiões, o teorema da probabilidade total pode ser escrito como:

)

P(A

)

P(B/A

....

)

P(A

)

P(B/A

)

P(A

)

P(B/A

P(B)

=

₁

⋅

₁

+

₂

⋅

₂

+

+

_n

⋅

_n Exercícios:

1) Um piloto de fórmula 1 tem 50% de probabilidade de vencer determinada corrida quando esta se realiza sob a chuva. Caso não chova durante a corrida, sua probabilidade de vitória é de 25%. Se o serviço de meteorologia estimar em 30% a probabilidade de que chova durante a corrida, qual é a probabilidade deste piloto ganhar a corrida.

2) A experiência com testes psicotécnicos para habilitação de motoristas indica que 90% dos candidatos com habilitação aprovados no primeiro teste tornam-se excelentes motorista. 70% dos candidatos reprovados no primeiro teste tornam-se péssimos motoristas. Admitindo-se a classificação dos motoristas apenas excelentes ou péssimos, responda:

i) Um candidato acaba de ser reprovado em seu primeiro teste psicotécnico. Qual a probabilidade de que ele se torne um excelente motorista?

ii) Um candidato acaba de ser aprovado em seu primeiro teste psicotécnico. Qual é a probabilidade de que se torne um péssimo motorista?

iii) Um indivíduo acaba de fazer um teste psicotécnico. Se 80% dos candidatos são aprovados neste teste. Qual é a probabilidade de que se torne um excelente motorista?

3) As máquinas A e B são responsáveis por 70% e 30%, respectivamente, da produção de uma empresa. A máquina A produz 2% de peças defeituosas e a máquina B produz 8% de peças defeituosas. Calcule o porcentagem de peças defeituosas na produção desta empresa.

3.11 - Teorema de Bayes

No caso da determinação da probabilidade de P(B) através da utilização do teorema da probabilidade total:

)

P(A

)

P(B/A

...

)

P(A

)

P(B/A

)

P(A

)

P(B/A

P(B)

=

₁

⋅

₁

+

₂

⋅

₂

+

+

_n

⋅

_n

é necessário o conhecimento das probabilidades condicionais P(B / A i). Para o cálculo da probabilidade condicional do tipo P(A1 / B), utiliza-se a equação:

P(B)

B)

P(A

/B)

P(A

_i

=

i

∩

Uma vez que:

)

(

)

(

)

/

(

i n i

A

P

B

A

P

A

B

P

=

∩

, tem-se:

)

P(A

)

P(B/A

...

)

P(A

)

P(B/A

)

P(A

)

P(B/A

)

P(A

)

P(B/A

/B)

P(A

n n 2 2 1 1 i i i

_⋅

₊

_⋅

₊

₊

_⋅

⋅

=

Esta expressão é conhecida como Teorema de Bayes.

Exemplo: As máquinas A e B são responsáveis por 60% e 40%, respectivamente, da produção de uma indústria. Os índices de peças defeituosas na produção destas máquinas valem 3% e 7%, respectivamente. Se uma peça defeituosa foi selecionada durante a fabricação, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B?

A = {evento em que a peça é defeituosa}

B = {evento em que a peça foi produzida na máquina B} C = {evento em que a peça foi produzida na máquina A} Portanto, o enunciado pede P(B / A).

60,87%

ou

0,6087

0,60)

(0,03

0,40)

(0,07

0,40

0,07

P(C)

P(A/C)

P(B)

P(A/B)

P(B)

P(A/B)

P(B/A)

=

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

=

3.12 - Permutações, Arranjos e Combinações

Quando a ordem em que os elementos se dispõem é importante, o número total de resultados possíveis é conhecido como arranjo ou permutação. Por exemplo, no caso de respostas a um teste de múltipla escolha, a ordem tem significado especial. Quando a ordem não interessa, o número total de resultados possíveis é chamado de combinação. Por exemplo, a banca de avaliação foi composta por Carlos, Renato e Cínthia. Neste caso, a banca será a mesma se for dita que é composta por Renato, Cínthia e Carlos. Da mesma forma, tanto na soma como no produto de dois números, é indiferente qual seja o primeiro e qual o segundo.

Consideremos primeiro as permutações. Suponha que haja quatro pilotos numa corrida. De quantas maneiras pode apresentar-se o resultado final? Imagine as quatro posições a preencher: vencedor, segundo, terceiro e quarto. No caso do vencedor existe 4 possibilidades. Tirando um dos quatro como vencedor, existirá três posições para 3 pilotos. Escolhendo o segundo colocado de um dos três restantes, sobrará 2 pilotos para duas posições. Escolhendo o terceiro colocado entre os 2 pilotos restantes restará uma posição e um piloto. O número total de resultados será:

4 x 3 x 2 x 1 = 24 (1º) (2º) (3º) (4º)

Se houvesse 8 pilotos, o número total de resultados possíveis seria: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320

(1º) (2º) (3º) (4º) (5º) (6º) (7º) (8º)

Quando trabalha-se com permutações, cada decisão envolve uma escolha a menos que a anterior. Uma forma abreviada de escrever o produto acima é utilizando o símbolo fatorial "!". Por exemplo, 5 X 4 X 3 X 2 X 1 pode escrever-se como 5!. Neste caso, lê-se "cinco fatorial". O fatorial de zero é igual a um: 0! = 1.

Agora, nossa atenção ficará voltada para os arranjos. Para isso, será considerado o seguinte exemplo. Se existem 6 pilotos em corrida, quantos arranjos há considerando as seguintes posições: 1ª, 2ª e 3ª ? Aplicando o princípio da multiplicação, vê-se que há 6 X 5 X 4 = 120 resultados possíveis. Utilizando arranjos, a pergunta seria: Com seis itens (pilotos, no caso), quantos são os arranjos possíveis de três itens? Em geral, o número de arranjos de "n" objetos tomados y de cada vez é igual a n!/(n - y)!. Mais formalmente,

!

y)

(n

!

n

A

_n,y

−

=

No exemplo da corrida, um arranjo de 3 posições com 6 pilotos será:

120

4

5

6

!

3

!

3

4

5

6

)!

3

6

(

!

6

A

_{6 ,3}

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

−

=

Até o momento, a ordem dos fatores foi importante. No caso do estudo das combinações a ordem em que os fatores aparecem não tem influência. Por exemplo, três deputados devem ser escolhidas para formar uma CPI. Sabendo que o número de deputados disponíveis para realizar este trabalho é 10, de quantas maneiras diferentes pode ser montada a comissão? Nesse exemplo, a comissão formada por João, Pedro e Augusto é a mesma que é formada por Augusto, Pedro e João. Para fazer o cálculo do número de comissões possíveis utiliza-se a fórmula da combinação.

y)!

(n

y!

n!

y

n

C

_{n ,y}

−

⋅

=









=

Aplicando a expressão no exemplo anterior, tem-se que:

120

6

720

7!

1

2

3

7!

8

9

10

3)!

(10

3!

10!

3

10

C

_{10 ,3}

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

−

⋅

=









=

ou seja, existe a possibilidade de formar 120 comissões.

Exercício: Quantas placas diferentes de automóvel você pode fazer considerando que uma placa consiste em: (Obs.: considerar alfabeto com 26 letras)

1) quatro letras, que podem ser repetidas? Resposta: 456976 2) quatro letras, que não podem ser repetidas? Resposta: 358800

Exercício: Determine o número de maneiras de formar códigos de segurança com cinco dígitos, sem que os dígitos sejam repetidos. Resposta: 30240