5.º Teste de Matemática B
1 10.º ano de escolaridade
30 de abril de 2013
Em todas as questões da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que uma resposta, deve indicar de forma inequívoca a que pretende que seja classificada (riscando todas as que pretende anular).
Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à sua calculadora, apresente todos os elementos recolhidos na sua utilização. Mais precisamente:
sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos de intersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);
sempre que recorrer a uma tabela obtida na sua calculadora, apresente todas as linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto;
sempre que recorrer a estatísticas obtidas na sua calculadora (média, desvio padrão, coeficiente de correlação, declive e ordenada na origem de uma reta de regressão, etc.), apresente as listas que introduziu na calculadora para as obter.
Formulário: Comprimento de um arco de circunferência
180
r
(
- amplitude, em graus do ângulo ao centro;r- raio)Áreas de figuras planas
Losango:
2
Diagonal maior Diagonal menor
Trapézio:
2
Base maior Base menor
Altura
Polígono regular: SemiperímetroApótema Setor circular:
2
360
r
(
- amplitude, em graus do ângulo ao centro;r- raio)Áreas de superfícies Área lateral de um cone:
;
rg r
raio da base g
geratriz
Área de uma superfície esférica: 4 r
2
r raio
Volumes
Pirâmide: 1
3Área da base Altura
Cone: 1
3Área da base Altura
Esfera: 4 3
3
r
r raio
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS
POETA ANTÓNIO ALEIXO
1. No gráfico, apresenta-se o número de alunos de Francês com 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 irmãos, de uma
amostra escolhida pela Maria na sua escola.
Na tabela, apresenta-se o número de alunos de Francês com 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 irmãos, de uma amostra de outra escola.
1.1. Constrói o diagrama de extremos e quartis relativo aos dados apresentados no gráfico.
1.2. Compara as duas amostras quanto à variabilidade de cada uma delas relativamente à média.
Na tua resposta deves:
determinar a média de cada uma das amostras;
determinar o desvio padrão de cada uma das amostras; interpretar os resultados obtidos.
Caso procedas a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.
2. Um grupo de biólogos estudou, a partir do ano de 2003, a população de lobos numa área no Norte
do Canadá. O número de lobos, 𝑁 , evoluiu com o tempo 𝑡, em anos, decorridos desde o início de 2003, de acordo com:
𝑁(𝑡) = 10𝑥3− 109𝑥2+ 273𝑥 + 184 para 0 ≤ 𝑡 ≤ 10
(o instante 𝑡 = 0 corresponde ao início do ano 2003).
2.1. Os biólogos descobriram que o número de lobos está relacionado com o número de caribus encontrados na área. Verificaram que é necessário uma manada de 17 800 caribus para sustentar 650 lobos.
Quantos caribus foram necessários para sustentar a população de lobos existente no início de 2012?
2.2. A tabela seguinte apresenta a evolução de uma população de lobos noutra região do Canadá entre 2003 e 2013.
Número de anos após 2003 (𝒕) 1 2 4 6 8 10
População de lobos (𝑳) 627 515 465 548 800 1168
Admite que a relação entre a população de lobos nesta região e o tempo (em anos, decorridos desde o ano de 2003), pode ser modelada por uma função quadrática, cuja variável independente é o tempo.
Recorre à calculadora gráfica e utiliza a regressão quadrática para obter uma expressão de uma função quadrática que se ajusta aos dados da tabela.
Apresenta os valores numéricos da expressão, obtidos na calculadora, arredondados às unidades.
3. Hoje em dia, uma grande preocupação dos construtores de automóveis prende-se com o seu
consumo de gasolina. Segundo certos estudos, o número de milhas, 𝐴, que um certo modelo de automóvel percorre com um litro de gasolina, quando se desloca a uma velocidade de 𝑠 milhas por hora, é dado por:
𝐴(𝑠) = −0,004134𝑠2+ 0,373𝑠 + 1,464 com 30 ≤ 𝑠 ≤ 70
3.1. Um condutor pretende percorrer no mínimo 9,5 milhas por cada litro com o seu automóvel. Entre que velocidades deve viajar?
Apresenta o resultado arredondado às décimas.
3.2. Considera a função 𝐵 que dá o número de milhas, por cada litro de gasolina consumido, que um outro modelo de automóvel percorre, quando se desloca a uma velocidade de 𝑠 milhas por hora.
Admite que a função 𝐵 pode ser definida, a partir da função 𝐴, por (𝑠) = 𝐴(𝑠 + 𝑐) + 𝑑 com 35 ≤ 𝑠 ≤ 75 As letras 𝑐 e 𝑑 representam parâmetros
constantes.
Na Figura 1, estão representados, no mesmo referencial, os gráficos das funções 𝐴 e 𝐵.
A figura não está à escala.
Indica, justificando, o valor de cada um dos parâmetros 𝑐 e 𝑑.
Na justificação da tua resposta, refere como, a partir do gráfico da função 𝐴, se pode obter o gráfico da função 𝐵, utilizando propriedades das transformações de funções.
4. Os modelos a seguir apresentados dão, aproximadamente, a hora a que o Sol nasceu, 𝑁, e a hora a que o Sol se pôs, 𝑃, numa cidade de Portugal, em cada dia do ano de 2011:
𝑁(𝑥) = 0,000078𝑥2− 0,027904𝑥 + 7,936225
𝑃(𝑥) = −0,000079𝑥2+ 0,027729𝑥 + 17,417018 Considera que:
𝑥 representa a ordem do dia do ano de 2011, sendo 𝑥 ∈ {1, 2, , … , 365} a duração da exposição solar é dada por 𝑃(𝑥) – 𝑁(𝑥)
4.1. Determina a duração da exposição solar no último dia do ano de 2011.
Apresenta o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.
Em cálculos intermédios, se procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, três casas decimais.
4.2. Determina o número de dias do ano de 2011 nos quais a duração da exposição solar foi superior
a 10 horas.
Em cálculos intermédios, se procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, uma casa decimal.
4.3. Qual foi, no ano de 2011, a ordem do dia do ano com maior duração de exposição solar?
Em cálculos intermédios, se procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, uma casa decimal.
5. A Ana está a participar num campeonato de voo com papagaios. A altura do papagaio da Ana ao
solo, em metros, em função do tempo de prova 𝑡, em segundos, é dado por:
𝐴(𝑡) = −0,0001𝑡4+ 0,0139𝑡3− 0,6053𝑡2+ 8,9525𝑡 A prova termina quando o papagaio, depois de levantar voo, atingir o solo.
5.1. Quanto tempo durou a prova da Ana? Justifica a tua resposta.
Apresenta o resultado em minutos e segundos com os segundos arredondados às unidades.
5.2. Determina em que instantes o papagaio da Ana esteve a uma altura de 30 metros do solo. Apresenta o resultado em segundos, arredondado às centésimas.
5.3. A Ana está a participar numa prova denominada “Ascensão Máxima”. Nesta prova, os concorrentes devem tentar fazer o papagaio percorrer a maior distância vertical possível. Há uma regra que obriga a que o papagaio faça a ascensão de uma só vez, isto quer dizer que, se o papagaio começar a descer, é considerado como ponto inicial da subida seguinte o valor mínimo dessa descida.
Na prova, juntamente com a Ana, estão a participar outros dois concorrentes o Bruno e a Carolina. A altura do papagaio do Bruno ao solo, em metros, em função do tempo de prova 𝑡, em segundos, é dado por
𝐵(𝑡) = −0,0001𝑡4+ 0,0121𝑡3− 0,4571𝑡2+ 6,0641𝑡
No gráfico da figura, está representada a altura do papagaio da Carolina ao solo, em metros, em função do tempo de prova 𝑡, em segundos. Nesta prova, o papagaio da Carolina teve duas ascensões, na primeira ascensão o papagaio subiu 40 metros e na segunda ascensão subiu 50 metros. Assim, a ascensão máxima deste papagaio foi de 50 metros.
Nesta prova, fica classificado em primeiro lugar quem tiver uma maior ascensão máxima na prova e fica em terceiro lugar quem tiver uma menor ascensão máxima na prova.
Numa pequena composição indica o resultado da prova, isto é quem ficou em primeiro, segundo e terceiro lugar.
Neste texto deves apresentar:
os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráfico(s) e coordenadas de ponto(s) que consideras relevantes, arredondados às décimas.
os cálculos necessários para fundamentar a tua resposta.
Questão 1.1. 1.2. 2.1. 2.2. 3.1. 3.2. 4.1. 4.2. 4.3. 5.1. 5.2. 5.3. Total Cotação 15 15 20 16 16 16 15 20 16 15 16 20 200
