3ª Lista de exercícios

EEN- 307 Hidrodinâmica Básica II

1) A entrada (seção A) do porto mostrada na figura abaixo foi projetada para onda

extrema com as seguintes características: altura: HA = 5 m; período: TA = 18 s; profundidade: hA = 15 m; largura: bA = 100 m. Seção B OCEANO Seção A PORTO Pergunta-se:

a) a onda de projeto na entrada pode ser considerada de águas profundas?

Justifique;

b) determine a largura mínima do porto: bB = ?, na seção B (profundidade: hB =

2) Dois sensores de pressão estão localizados de acordo com a indicação

mostrada na figura abaixo. Considerando-se a passagem de uma onda monocromática de período: T = 8 s, foram registrados, nos sensores, os seguintes valores para a amplitude da pressão dinâmica:

SENSOR 1 d = ??? d = 7,62 m SENSOR 2 Sensor 1: pd1 = 2,07 x 10 4 N/m2; Sensor 2: pd2 = 2,56 x 10 4 N/m2. Obs: r = 992 kg/m3; g= 9,81 m/s2

A partir dessas informações, determine: a) profundidade da região fluida; b) altura da onda;

c) comprimento da onda; d) celeridade da onda;

e) velocidade de grupo da onda.

3) Adotando-se como critério de quebra de onda a condição na qual a velocidade

horizontal da partícula na crista da onda ultrapasse a velocidade de propagação da onda, determine a relação amplitude/profundidade para a ocorrência de quebra de ondas, na condição de águas rasas.

4) Uma onda regular tem 300m de comprimento quando se propaga em águas

profundas. Qual será a profundidade da região fluida quando essa onda passa a ter apenas 100m de comprimento?

5) Seja o sistema de ondas formado pela superposição de duas ondas regulares

se propagando em águas profundas: z1 (x,t) = a1 cos (wt – kx + v1)

z2(x,t) = a2 cos (wt – kx + v2)

onde:

a1 = 1m; a2 = 1,5m; k = 0,63 m-1; v1 = 45º ; v2 = - 45º.

Determine o valor da energia potencial média associada à onda resultante.

6) Um campo de onda é observado por satélite. O comprimento de onda é de 312

m em águas profundas e 200 m sobre a plataforma continental. Qual é a profundidade da plataforma continental.

7) Uma onda com as seguintes características de águas profundas está se

propagando em direção à costa numa área onde os contornos do fundo são todos retos e paralelos à linha da costa:

s T m H 10 3 0 = =

O fundo é composto de areia de 0.1 mm de diâmetro. Se a velocidade das partículas da água de 30 cm/s é necessária para iniciar o movimento de sedimentos, qual é a maior profundidade na qual o movimento de sedimentos pode ocorrer?

8) A trajetória de uma partícula (cuja posição média se localiza a 50cm abaixo da

superfície média da água) define uma forma elíptica (semi-eixo maior: 10 cm; semi –eixo menor: 5 cm). Considerando-se que esta partícula pertence ao escoamento de um sistema de ondas lineares de gravidade e que a região fluida tem 100 cm de profundidade, determine:

a) a celeridade da onda;

b) a velocidade de grupo da onda; c) a energia potencial média da onda; d) a energia total média da onda.

9) Um trem de ondas está se propagando normal e na direção da costa num fundo

com contornos retos e paralelos. Em águas profundas, o comprimento e a altura da onda são 300m e 2m, respectivamente.

a) Qual o comprimento, altura e velocidade de grupo da onda numa profundidade de 30m?

b) Qual a energia média por unidade de área de superfície no local de interesse?

10) Para um grupo de ondas em águas profundas, determine o tempo para cada

onda individual passar através do grupo e a distância percorrida pelo grupo durante este tempo se o espaçamento entre nós do grupo é L e o período das ondas constituintes é T. Existem n ondas no grupo.

11) Na linearização das condições de contorno cinemática e dinâmica da

superfície livre, termos não lineares são negligenciados. Mostre que, em ambos os casos, esta linearização implica em:

1 2 << Hk

12) A equação de uma fronteira estacionária de um escoamento incompressível é

dada abaixo. A componente de velocidade horizontal pode ser considerada aproximadamente uniforme na direção z. Se u(x=0)=40cm/s, A=30cm e K=0,02 cm-1, calcule w na fronteira superior em x=50cm.

Kx

Ae x)= − (

ζ

13) As equações da fronteira inferior e superior móvel de um escoamento

incompressível são mostradas abaixo. a) Desenhe as fronteiras em t=0;

b) Discuta o movimento da fronteira superior (velocidade e direção);

c) A velocidade horizontal pode ser considerada aproximadamente uniforme na direção z. Se u(x=0, t=10s)=40cm/s, calcule w na fronteira superior em x=50cm e t=10s.

1 1 ) ( 1 , 0 02 , 0 30 0 ) , ( ) , ( − − − − = = = = = s M cm k cm A t x Ae t x l Mt kx u ξ ζ

14) Um escoamento bidimensional horizontal é descrito pela equação abaixo.

Encontre o ponto de máxima pressão se p=0 em (x,y)=(1,1). ) ( 10 ) , (x y = x2 −y2 φ

15) Um fazedor de ondas cilíndrico horizontal oscila verticalmente na superfície

livre. Examinando o problema bidimensional mostrado abaixo, desenvolva a condição de contorno cinemática para o fluido em contato com a parede do cilindro. Discuta o resultado.

onde T é o período de oscilação.

16) Você está em um navio (100 m de comprimento) no oceano viajando em

direção ao norte. As ondas (regulares) propagam-se em direção ao norte também e você observa o seguinte:

1) Quando a proa do navio está posicionada numa crista, a popa está num cavado;

2) Uma crista diferente atinge a proa a cada 20s.

a) Você tem suficiente informação para determinar a velocidade do navio? b) Se a resposta para o item anterior é não, que informação adicional é

necessária?

17) Um tsunami é detectado às 12:00 na extremidade da plataforma continental

por um sistema de aviso. Que horas o tsunami irá atingir a costa?

18) Uma forma senoidal rígida está localizada como mostra a figura. A forma é

forçada a mover-se no sentido positivo do eixo x com velocidade V.

a) Obtenha uma expressão para o potencial de velocidade para o movimento da água induzido pela forma móvel;

b) Obtenha pc-pt para os seguintes casos:

(1) V2<(g/k)tanh(kh);

(2) V2=(g/k)tanh(kh);

(3) V2>(g/k)tanh(kh);

Onde pc e pt denotam a pressão logo abaixo da forma na crista e no cavado,

respectivamente.

c) Discuta o significado especial de b(2).

19) Desenvolva uma técnica iterativa para resolver a relação de dispersão para k

20) Determine a celeridade de uma onda em águas profundas numa correnteza de

50 cm/s e T=5 s. Qual o período da onda para um observador movendo-se com a correnteza.

21) Para uma onda progressiva plana de altura 6m a comprimento 200m que se

propaga em águas profundas, obtenha a velocidade de fase, a máxima velocidade das partículas fluidas e a posição onde este máximo ocorre. Qual é a mudança desses valores se a profundidade for alterada para 30m.

22) A função corrente de uma onda progressiva de pequena amplitude é mostrada

abaixo. Desenhe uma linha de corrente para t = 0 , quando T = 5s, h = 10m e H = 2,0m ) . cos( . ] cosh[ )] ( [ . . 2 kh kx t z h k senh g H _σ σ ψ =− + −

23) Para o sistema de ondas formado pelas duas componentes de ondas

progressivas mostradas abaixo. Derive uma expressão para o fluxo de energia médio propagando-se na direção positiva do eixo x.

(

)

(

)

24) Mostrar como aplicar o método de Newton-Rapson para resolver a relação de

dispersão para k dados σ e h.

25) Desenvolva o problema do valor de contorno para ondas de amplitude

pequena em termos da pressão, assumindo que as equações de Euler são válidas e o escoamento é incompressível.

Referência:

Dean, G. R., and Dalrymple, R. A., Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists, World Scientific Publishing Co., New Jersey, 1994.