ANÁLISE COMPARATIVA DE LIVROS DIDÁTICOS FRANCESES E BRASILEIROS À LUZ DA TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO: O CASO DAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1

ANÁLISE COMPARATIVA DE LIVROS DIDÁTICOS FRANCESES E BRASILEIROS À LUZ DA TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO: O

CASO DAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Abraão Juvencio de Araujo Universidade Federal de Pernambuco abraaojaraujo@hotmail.com Marcelo Câmara dos Santos Universidade Federal de Pernambuco marcelocamaraufpe@yahoo.com.br Resumo: Este artigo apresenta os resultados de uma pesquisa cujo objetivo consiste em analisar e comparar a transposição didática existentes em livros didáticos brasileiros e franceses sobre o ensino de equações do 1º grau à luz da Teoria Antropológica do Didático (CHEVALLARD, 1999), como um método de análise que permite reconstruir a organização matemática existente no interior de uma determinada instituição de ensino.

Para a análise foi feito inicialmente estudos teóricos e didáticos sobre o ensino de resolução de equações do 1º grau com uma incógnita, os quais nos permitiram

“modelizar”, a priori, as organizações matemáticas pontuais existentes em torno desse objeto de conhecimento, o que nos forneceu os critérios e as categorias utilizadas para analisar os livros escolhidos dos dois países. Os resultados indicam que as organizações matemáticas existentes nos livros didáticos analisados nesses dois países, em torno da resolução de equações do 1º grau, nem sempre é feito de forma a esclarecer as diferenças existentes entre os subtipos de tarefas explorados, bem como sobre os limites ou potencialidades das técnicas elaboradas e/ou sistematizadas.

Palavras-chave: Álgebra; Equações do 1º grau; Transposição Didática; Teoria Antropológica do Didático.

1. Introdução

Este trabalho é parte de uma tese de doutorado que trata da problemática do ensino da álgebra escolar cujo principal objetivo consistiu em caracterizar o ensino de álgebra sobre a resolução de equações do primeiro grau com uma incógnita, na França e no Brasil, à luz da Teoria Antropológica do Didático (TAD), proposta por Chevallard (1999).

Nesta teoria, Chevallard (Ibidem) ampliou a estrutura conceitual já existente na

didática francesa para analisar fenômenos didáticos – que originalmente se apoiava no

professor, no aluno e no saber –, ressaltando também o papel das instituições, isto é, nas

relações com os saberes escolares e no papel que elas desempenham no trabalho de

transposição didática (1991) desses saberes. A tese de Chevallard (Ibidem) é a de que a

compreensão da aprendizagem do aluno está relacionada à compreensão das aprendizagens

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2

institucionais. Para ele, não se pode compreender os fracassos das aprendizagens pessoais (do aluno), em relação a um determinado objeto do saber, sem levar em consideração as relações institucionais de certas instituições com esse objeto e cujos alunos em fracasso são seus sujeitos.

Segundo Chevallard (1999), a TAD permite reconstruir a transposição didática que se realiza sobre o ensino de determinado objeto do saber em determinada instituição e, consequentemente, do ensino da resolução algébrica de equações do 1º grau com uma incógnita. Para Chevallard (Ibidem), o saber matemático é algo que é transposto entre instituições, e a TAD fornece um método de análise que permite não somente descrevê-lo, mas também estudar as condições de sua existência em determinadas instituições, isto é, permite analisar as limitações ou potencialidades que se criam entre os objetos de saberes a ensinar nas diferentes instituições.

Para descrever e estudar as condições de existência de determinado objeto do saber no interior de determinada instituição, Chevallard (1999) desenvolveu as noções de praxeologias ou organizações matemáticas que se ancoram nos conceitos de tipos de tarefas (T) a realizar, de técnicas ( ) utilizadas para realizar os tipos de tarefas, de tecnologias ( ) que explicam ou justificam as técnicas e de teoria ( ) que fundamenta as tecnologias (propriedades matemáticas). Já a praxeologia didática, cujo objetivo é o de permitir a existência de uma praxeologia matemática, se distingue pelos momentos didáticos, assim caracterizados por Chevallard (ibidem): momento do primeiro encontro com a praxeologia matemática estudada; momento de exploração do tipo de tarefa e de elaboração de técnicas; momento de constituição do ambiente tecnológico e teórico;

momento de institucionalização; momento do trabalho da técnica; e momento de avaliação.

Entendendo que o livro didático é uma instituição transpositiva de saberes a ensinar, ancorado na tese de Chevallard, nos propomos a responder a seguinte questão:

Quais são as organizações matemáticas e didáticas existentes em livros didáticos da França e do Brasil em torno do ensino de resolução de equações do 1º grau.

Assim, o objetivo principal deste trabalho consistiu em identificar e analisar

comparar as organizações matemáticas e didáticas existentes em livros didáticos de

matemática de cada um dos dois países, Brasil e França, no Ensino Fundamental, em torno

do tema resolução de equações do 1º grau com uma incógnita. Mais precisamente,

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 3

identificar e analisar, em livros didáticos dos dois países: quais são os subtipos de tarefas propostos relativos ao tipo de tarefa resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita;

quais as técnicas apresentadas para realizar (resolver) os subtipos de tarefas relativos à resolução de equações; se as técnicas apresentadas são efetivamente elaboradas e justificadas por elementos teóricos/ tecnológicos; quais as organizações didáticas colocadas em prática nos livros didáticos analisados, relativa ao ensino de equações do 1º grau.

2. Procedimentos metodológicos

A metodologia adotada para a caracterização, análise e comparação das organizações matemáticas e didáticas existentes sobre o ensino de equações de 1º grau em cada uma das obras relativas a cada país, Brasil e França consistiu das seguintes etapas de trabalho: 1) “modelizaçao”, a priori, das praxeologias matemáticas pontuais existentes em torno da resolução de equações do 1º grau, ao menos, em termos de subtipos de tarefas, técnicas e tecnologias, a partir de estudos teóricos e didáticos; 2) caracterização das obras analisadas, apresentando sua identificação, os motivos da escolha, descrição da estrutura e da forma de organização dos conteúdos.

2.1. Modelização a priori

Tomando como base estudos teóricos, encontramos basicamente dois tipos de definições para equações. A primeira, mais geral, define equação como uma igualdade que envolve uma ou mais quantidades desconhecidas (incógnitas) (CUNHA, 1887; CALADO, 1952; COSTA e DOS ANJOS, 1970); a segunda, mais específica, sobre equações do 1º grau, como toda equação que se pode reduzir à forma ax b , com a, b R e a 0 (CALADO, 1952).

Chevallard (1984), assim como outros pesquisadores, tomando como referência os procedimentos de resolução, classifica as equações do 1º grau em duas grandes categorias:

(1) equações do tipo ax b c , que podem ser resolvidas por procedimentos aritméticos;

(2) equações do tipo a

x b

a

x b

, que não podem ser resolvidas por procedimentos

que se apóiem em raciocínios exclusivamente aritméticos. Nessa definição, x é a incógnita

e a

, b

R , com a

0 .

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 4

Porém, nem sempre as equações do 1º grau apresentam-se escritas nas formas simplificadas acima. Frequentemente, numa atividade, elas aparecem sob diferentes formas, dentre as quais destacamos outras duas categorias: equações dos tipos A ( x ) c e

) ( )

(

1

x A x

A , em que A (x ) , A

( x ) e A

( x ) são expressões polinomiais, na variável x , que ainda não foram reduzidas à forma canônica ax b , e a, b R e a 0 , mas que podem ser reduzidas a esta forma por processos de desenvolvimento e redução.

Assim, para este estudo, classificamos e caracterizamos a priori os seguintes subtipos de tarefas relativos à resolução de equações do 1º grau com uma incógnita, no campo dos R, em quatro categorias: i) resolver uma equação do tipo ax b c ( t

), como por exemplo: 3x 6 4 ; ii) resolver uma equação do tipo A ( x ) c , sendo A (x ) uma expressão polinomial não reduzida à forma canônica ( t

), por exemplo: 2 ( x 3 ) x 7 ; iii) resolver uma equação do tipo a

x b

a

x b

( t

), por exemplo: 8 x 10 7 x 2 ; iv) resolver uma equação do tipo A

( x ) A

( x ) , sendo A

( x ) ou A

(x ) expressões polinomiais não reduzidas à forma canônica (t

), por exemplo: 5 ( x 2 ) 3 x 7 x 2 .

Para resolver tais subtipos de tarefas, foram identificadas e categorizadas a priori as seguintes técnicas ( ): i) Testar a igualdade (

) por tentativa e erros; ii) Transpor termos ou coeficientes (

), invertendo as operações; iii) Neutralizar termos ou coeficientes (

), efetuando a mesma operação nos dois membros da igualdade; iv) Reagrupar os termos semelhantes (

), invertendo o sinal dos termos transpostos. Além dessas técnicas próprias de resoluções de equações, para os casos dos subtipos de tarefas t

e

, temos também a seguinte técnica: v) Desenvolver ou reduzir expressões (

), eliminando parênteses e/ou agrupando os termos semelhantes. Por fim, dependendo das variáveis mobilizadas na confecção das equações, podemos mobilizar uma ou mais destas técnicas, dando origem a técnicas mistas.

Para justificar as técnicas caracterizadas acima para resolver equações do 1º grau com uma incógnita, foram identificadas e caracterizadas a priori as seguintes tecnologias:

i) Princípios de equivalência entre equações, isto é, entre equações com as mesmas

soluções ou raízes (

); (ii) Princípio aditivo: “quando aos dois membros de uma

equação se adiciona (ou deles se subtrai) a mesma quantidade, obtém-se uma nova equação

equivalente à primeira”; iii) Princípio multiplicativo: “quando aos dois membros de uma

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 5

equação se multiplica (ou deles se divide) a mesma quantidade (diferente de zero), obtém- se uma nova equação equivalente à primeira”; iv) Propriedades das operações inversas em R (conjunto dos números reais) ou leis da transposição de termos (

): 1) Se a , b e c são números reais tais que a b c , então a b c ; 2) Se a , b e c são números reais tais que a b c ^{, então} a c b ^, b 0 ; 3) Propriedades gerais da igualdade (

) ou lei do cancelamento: 1) Se a b a c b c ; 2) Se a b a c b c , com a 0 ; 3) Propriedades distributivas da multiplicação (

): Se k , a , b , c e d são números reais, então k ( a b ) ka kb e ( a b )( c d ) ac ad bc bd

2.2. Seleção e caracterização das obras analisadas

Para este estudo, limitamo-nos a analisar duas coleções de livros didáticos relativos ao Ensino Fundamental, ou seja, das classes de 6º, 7º, 8º e 9º anos do Ensino Fundamental, no Brasil, e livros das classes de 6

, 5

, 4

e 3

du collège (ensino fundamental), na França.

Na França, assim como no Brasil, há uma diversidade de coleções de livros didáticos destinados ao ensino de matemática nas classes de 6

(sixième) à 3

(troisième).

Daí, a escolha das duas coleções ter sido feita com base nos seguintes critérios: i) o primeiro critério foi selecionar coleções que constavam do acervo da Equipe Did@Tic do laboratório Leibniz, tendo em vista que nossa estada naquele país era de apenas um ano; ii) o segundo critério foi selecionar as coleções que estivessem em consonância com o programa francês de Matemática para esse nível de ensino. Assim, com base nesses critérios, selecionamos as seguintes coleções: 1) DIABOLO, editada por HACHETTE Education, de Jean-Michel MERLIER et AL; 2) DiMathème, editada por Didier, de Jean- Luc FOURTON et al.

Como o ensino de álgebra na França, no nível colegial, é iniciado a partir da classe

de 5

, que corresponde ao 7° ano do Ensino Fundamental, no Brasil, apresentaremos, neste

estudo, apenas as análises realizadas nos livros das classes de 5

, 4

e 3

. No caso da

coleção “DIABOLO”, o livro de classe de 5

foi editado em 2006, enquanto os outros dois

foram editados no ano de 2004. No caso da coleção “DiMathème”, o livro de classe de 5

foi editado em 2006, enquanto os outros dois foram editados no ano de 2003. Essa

diferença de data na publicação se justifica devido ao fato de, na época, essas duas

coleções escolhidas estavam sendo renovadas para se adaptarem às mudanças propostas no

programa oficial francês para o ensino de matemática, no colégio.

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 6

No Brasil, as coleções de matemática analisadas para este estudo tiveram como procedimento de escolha selecionar para análise as coleções de livros didáticos adotados nas escolas onde foram realizados os estudos experimentais da tese. No caso, “Tudo é Matemática”, de Luiz Roberto Dante. Editora Ática (2002) e “Matemática para todos”, de Imenes & Lellis. Editora Scipione (2002).

3. Principais resultados

Neste tópico, apresentaremos os principais resultados do estudo comparativo das organizações didáticas e das praxeologias matemáticas existentes em livros didáticos selecionados da França e do Brasil sobre o ensino de equações do 1º grau. Para tanto, utilizamos as categorias modelizadas a priori relativas às praxeologias matemáticas relativas ao tipo de tarefa resolver equações do primeiro grau com uma incógnita, em termos de subtipos de tarefas, técnicas e tecnologias.

No que concerne à organização curricular, este estudo nos permitiu verificar que, na França, os temas matemáticos desenvolvidos nos livros didáticos obedecem fielmente à organização proposta no programa de ensino francês, isto é, são organizados em torno dos seguintes domínios: Números e cálculos; organização e gestão de dados – funções;

Geometria; e Grandezas e medidas. No Brasil, embora os temas matemáticos contemplem conteúdos relacionados aos quatros grandes temas propostos nos PCN (1998), (números e operações; espaço e forma; grandezas e medidas; e tratamento da informação), a sequência em que eles aparecem nos livros didáticos não é a mesma proposta nos PCN (ibidem). Nos livros franceses, os temas algébricos são essencialmente desenvolvidos em capítulos relativos aos domínios de Números e operações e da Organização e gestão de dados – funções. No Brasil, eles são tratados em capítulos próprios ou atrelados aos temas ligados aos números e operações. Nos dois países, o estudo das equações aparece implicitamente nos livros didáticos como uma ferramenta para resolver problemas.

No que concerne à evolução do estudo de equações, na França, a resolução de

equações do 1º grau é introduzida no volume da classe de cinquième (7º ano) e prossegue

nas classes de quatrième (8º ano) e troisième (9º ano). É na classe de quatrième que se

concentra praticamente todo o trabalho de exploração dos diferentes subtipos de tarefas,

bem como de elaboração e sistematização das técnicas. No Brasil, o estudo de resolução de

equações do 1º grau é introduzido no volume do 6º ano, é essencialmente desenvolvido no

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 7

volume do 7º ano e retomado nos volumes de 8º e 9º anos. Logo, podemos concluir que os alunos brasileiros iniciam um ano mais cedo o estudo de resolução de equação do 1º grau.

No que concerne às praxeologias, apresentaremos a seguir as semelhanças e diferenças atinentes às organizações matemáticas pontuais relativas à resolução de equações do 1º grau com uma incógnita.

Subtipo de tarefa t

: resolver equações do tipo ax b c . Os resultados mostram que, nos livros franceses, os exercícios relativos a este subtipo de tarefa são propostos para serem resolvidos por meio das técnicas: testar a igualdade (

), por tentativas e erros;

transpor termos ou coeficientes (

), invertendo as operações, sistematizadas para os casos em que a 1 ou b 0 ; neutralizar termos ou coeficientes (

), elaborada e sistematizada apoiando-se em regras que se ancoram nos princípios das equações equivalentes (

) e nas propriedades gerais das igualdades (

). No Brasil, os resultados mostram que os exercícios relativos a este subtipo de tarefa são propostos para serem resolvidos por meio da técnica cálculo mental (

), não sistematizada; testar a igualdade (

), por meio de tentativas e erros; transpor termos ou coeficientes (

), elaborada e mais ou menos sistematizada por meio das propriedades das operações inversas (

).

Subtipo de tarefa t

: resolver equações do tipo A ( x ) c . Os resultados mostram que, nos livros franceses, os exercícios relativos a este subtipo de tarefa são propostos para serem realizados por meio das técnicas mistas

_

e

_

, que consistem em aplicar, inicialmente, a técnica

para desenvolver e reduzir a expressão A ( x ) à forma

b

ax antes de aplicar a técnica

ou

. A técnica auxiliar

é justificada por meio das propriedades distributivas da multiplicação (

). Nos livros brasileiros analisados, os exercícios relativos a este subtipo de tarefa são propostos para serem resolvidos, exclusivamente, por meio da técnica mista

_

, sendo a técnica auxiliar

DRE

justificada por meio das propriedades distributivas da multiplicação (

). Vale

observar, no entanto, que, nos livros didáticos franceses (analisados), o estudo do cálculo

algébrico e, consequentemente, da técnica

recebe um tratamento mais específico do

que nos livros didáticos brasileiros.

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 8

Subtipo de tarefa t

: resolver equações do tipo a

x b

a

x b

. Os resultados mostram que, nos livros dos dois países, tais exercícios são propostos para serem resolvidos por meio da técnica

e por meio da técnica

(reagrupar termos semelhantes), sendo esta última sistematizada em apenas uma coleção de cada país, por meio de exemplos (MERLIER et al., 2004b; IMENES e LELLIS, 2002d). Na coleção brasileira (IMENES e LELLIS, 2002d), é dito ainda que tal técnica surge como uma regra prática decorrente das técnicas

e

.

Subtipo de tarefa t

: resolver equações do tipo A

( x ) A

( x ) . Os estudos mostram que, nas duas coleções francesas, as atividades relativas a este subtipo de tarefa são encontradas nas seções destinadas aos exercícios. Logo, subtende-se que seja esperado que o aluno mobilize a técnica mista

_

ou

_

. No Brasil, os exercícios relativos a este subtipo de tarefa são propostos para serem resolvidos por meio de mobilização da técnica mista

_

, sistematizada por meio de exemplos. Em uma coleção brasileira (IMENES e LELLIS, 2002d), sugere-se também que o aluno faça uso da técnica mista

DRE

_

para realizar os exercícios relativos ao subtipo de tarefa t

.

Além destas técnicas em comum, existentes nos dois países, no Brasil, foi identificada, também, a introdução de procedimentos para eliminar denominadores, dando origem às seguintes técnicas mistas:

ED

_

: eliminar denominadores / neutralizar termos ou coeficientes.

ED_DRE_RTS

: eliminar denominadores / desenvolver ou reduzir expressões / reagrupar termos semelhantes.

Na França, a técnica

(neutralizar termos ou coeficientes) foi elaborada e justificada por meio de regras que se ancoram nos princípios das equivalências entre equações (

).

Evolução dos subtipos de tarefas e das técnicas. Na França, o estudo da resolução

de equações do 1º grau é introduzido no volume da classe de 5

por meio de exploração do

subtipo de tarefa t

, a ser realizado fazendo-se uso da técnica que consiste em testar a

igualdade (

) ou transpor termos ou coeficientes (

). No volume da classe de 4

, este

estudo prossegue com a exploração dos subtipos de tarefas t

e t

, elaboração e

sistematização da técnica que consiste em neutralizar termos ou coeficientes (

). Nas

atividades deste volume são encontradas também equações que correspondem aos subtipos

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 9

de tarefas t

e t

, bem como as sistematizações das técnicas mistas

_

e

_

. No volume da classe de 3

, retomam-se apenas alguns procedimentos para resolver equações do 1º grau.

No Brasil, o estudo da resolução de equações é introduzido no volume do 7º ano por meio de exploração dos subtipos de tarefas t

, t

, t

e t

, nessa sequência, e elaboração, respectivamente, das técnicas

,

_

,

e

_

. Uma das coleções explora inicialmente o subtipo de tarefa t

por meio da técnica

. No volume do 8º ano, o estudo de resolução de equações prossegue com a sistematização da técnica

e das técnicas mistas

_

e

_

para resolver equações que correspondem ao subtipo de tarefa t

, escritas com números fracionários. No volume do 9º ano, retomam-se alguns dos procedimentos já sistematizados anteriormente.

No que concerne à organização didática, nos livros franceses, ela se realiza em três momentos didáticos. O primeiro momento é destinado à exploração dos diferentes subtipos de tarefas relativos à resolução de equações, bem como à elaboração das técnicas. É nesse momento que as duas coleções possibilitam aos alunos ter uma participação mais ativa no processo de construção de conhecimentos, mais precisamente, na elaboração das técnicas ou constituição de elementos tecnológicos. O segundo momento visa à oficialização dos elementos tecnológicos (propriedades) e à sistematização das técnicas, que geralmente ocorrem por meio de exercícios resolvidos apresentados como modelos (exemplos) a serem seguidos. O terceiro momento é destinado ao trabalho das técnicas. As duas coleções apresentam um número relativamente alto de exercícios de aplicação direta da técnica, além de problemas que podem ser resolvidos por meio de equações. No que concerne ao momento de avaliação, foram identificados pouquíssimos exercícios que permitam ao aluno refletir sobre a validade ou eficiência das técnicas elaboradas e/ou sistematizadas. De forma geral, podemos afirmar que as atividades propostas não favorecem um verdadeiro trabalho de avaliação, ao menos da forma como é proposta por Chevallard.

Nos livros didáticos brasileiros, basicamente, as organizações didáticas se realizam

também em dois momentos didático. O primeiro, denominado momento de elaboração e

sistematização das técnicas eleitas para resolver as equações (subtipos de tarefas)

exploradas nas situações (problema) introdutórias, que se realizam por meio da explicação

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 10

do processo de resolução. É nesse momento que se enunciam as propriedades ou afirmações que constituem os elementos tecnológicos que explicam ou justificam as técnicas sistematizadas. O segundo, denominado momento do trabalho das técnicas, que ocorre por meio da realização de exercícios apresentados logo em seguida ao processo de sistematização. Em uma das coleções (IMENES e LELLIS, 2002), há também um momento dedicado à avaliação dos elementos tecnológicos. É nesse momento que o aluno tem a oportunidade de participar de maneira mais ativa de sua aprendizagem, pois é nele que os autores apresentam questionamentos que permitem ao mesmo fazer reflexões sobre os conceitos e procedimentos explorados no momento anterior. Na outra coleção (DANTE, 2002), de forma geral, a participação do aluno é limitada à leitura e observação dos modelos propostos na obra para aplicá-lo na resolução de outras equações no momento dedicado ao trabalho da técnica.

4. Considerações finais

Tomando como referência os livros didáticos analisados dos dois países, Brasil e França, este estudo nos permitiu concluir que os livros didáticos analisados dos dois países desenvolvem trabalhos de elaboração e sistematização de diferentes técnicas para realizar os diferentes subtipos de tarefas relativos à resolução de equações do 1º grau com uma incógnita. No entanto, tais livros não justificam a existência destas diferentes técnicas, ou seja, não deixam claros os limites ou as potencialidades de cada técnica, além de não esclarecerem a distinção entre procedimentos aritméticos e procedimentos algébricos (CHEVALLARD, 1984). Nesse sentido, as transposições didáticas realizadas nas obras analisadas dos dois países para abordar o conceito de equação do 1º grau falham ao não deixar clara a transição dos métodos de resolução aritméticos para os métodos de resolução algébricos por não realizarem adequadamente a passagem da aritmética à álgebra.

Referências bibliográficas

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais.

Matemática: Ensino de primeira à quarta série. Brasília: MEC / SEF, 1998.

CALADO, J. J. G. Compêndio de Álgebra. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco,

1952.

Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 11

CHEVALLARD, Y. Le passage de l'arithmétique à l'algébrique dans l'enseignement des mathématiques au collège: l'évolution de la transposition didactique. In : Petit X n° 5, IREM, Grenoble, 1984.

______. La transposición didáctica: Del saber sabio al saber enseñado. AIQUE. Trductión.

Claudia Gilman. Título original: CHEVALLARD, Y. (1984), La transposition didactique:

Du savoir savant au savoir enseigné, Grenoble, 1991.

______. L’analyse des pratiques enseignantes en Théorie Anthropologie Didactique. In : Recherches en Didactiques des Mathématiques, 1999, p. 221-266.

COSTA, A. A.; DOS Anjos, A. O. Compêndio de Matemática. Porto Editora, 1970.

CUNHA, A. J. Elementos de Álgebra. (5ª edição). Lisboa: Livraria de António Maria Pereira, 1887.

DANTE, L. R. Tudo é Matemaitca. Editora Atica, São Paulo, 2002a, 6

Serie.

______. Tudo é Matemaitca. Editora Atica, São Paulo, 2002b, 7

Serie.

______.Tudo é Matemaitca. Editora Atica, São Paulo, 2002c, 8

Serie.

FOURTON, J. L. et al. DiMathème. Classe de 3e, Classe de 4e Classe de 5

. Didier , Paris, 2003a..

______. DiMathème., Didier , Paris, 2003b.

______. DiMathème., Didier , Paris, 2006.

IMENES, L. e LELLIS, M. Matematica para todos. Editora Ática, São Paulo, 2002a, 5

Série.

______. Matematica para todos. Editora Ática, Sao Paulo, 2002b, 6

Série.

______. Matematica para todos. Editora Ática, Sao Paulo, 2002c, 7

Série.

______. Matematica para todos. Editora Ática, Sao Paulo, 2002d, 8

Série.