Disciplina: Calculo para Tecnologia
(Teoria dos números, Conjunto dos números
reais e suas operações, Classificação dos
números, Expressões Algebricas)
Prof. Wagner Santos C. de Jesus
wsantoscj@gmail.com
www.wagnerscj.com.br/etep
Conceito da
Ferramenta
Conceito de Calculo
Cálculo, é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido).
1. Medicina 2. Odontologia
3. Engenharia Civil 4. Matemática
9. Computação
Teoria dos Números e
sua função
Revolução Científica
Na história da ciência, chama-se Revolução Científica ao período que começou no século XVI e
Teoria dos Números
A teoria dos números é o ramo da matemática pura que estuda propriedades dos números em geral, e em particular dos números inteiros, bem como a larga classe de problemas que surge no seu estudo.
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Conceito de Número
Representação
dos números
• Grandezas Matemáticas ou físicas; • Objetos do mundo real;
• Computacionalmente medidas (Memória, Velocidade de processamento, propagação e acesso), Imagem e áudio.
• Identificação geográfica (Tecnologia GPS). • Usados para representar outros números.
• Usados para representar objetos visuais (Gráficos).
Proposição
Proposição é um termo usado em lógica para descrever o
conteúdo de asserções. Uma asserção é um conteúdo que pode ser tomado como verdadeiro ou falso.
Se chover, levarei meu guarda chuvas.
Proposição usando negativa.
Luiza era mais bonita que maria.
Aplicação usando números
Áreas de
Aplicações do Cálculo
• Engenharias;
• Biologia;
• Física e Química;
• Computação Aplicada (Ciência da
Computação; Ciência de Dados;
• Análise Forense;
Classificação dos
Números
Números Naturais
Números Inteiros
Um número é considerado inteiro quando não apresenta parte fracionária, e podem ser positivos e negativos.
Exemplo: Z = {-5,-4,-3,-2,-1, 0,1, 2, 3, 4, 5}
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Z
Números Racionais
Q
Z
Número Irracionais
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Q
Z
Números Reais
Q
Z
N
IConjuntos Importantes
Operações com números
Reais
Observações Iniciais
O Sinal de + no começo de uma expressão pode ser omitido.
+2 = 2; +4 + 5 = 4 + 5
O produto ou divisão por um número negativo deve ser precedido por parênteses. Não devemos deixar dois operadores “juntos”.
Exemplo
2 . -3 (Errado!)
Números Inteiros
Desconsiderando o zero temos os inteiros estritamente positivos e os inteiros estritamente negativos.
Todo inteiro pode ser escrito na forma de uma sequencia de parcelas unitárias iguais a +1.
Todo inteiro negativo pode ser escrito na forma de uma sequencia de parcelas unitárias iguais a -1.
Números Inteiros
Todo inteiro positivo pode ser escrito na forma de uma sequencia de parcelas unitárias iguais a +1.
5 = +1+1+1+1+1 3 = +1 + 1 + 1
Todo inteiro negativo pode ser escrito na forma de uma sequencia de parcelas unitárias iguais a -1.
Números
A partir das considerações anteriores e lembrando que -1 + 1 = 0, podemos fazer operações de soma ou subtração entre inteiros de maneira simples:
+2 + 5 = +1+1+1+1+1+1+1 = 7 -2 +5 = -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 = 3 +2 -5 = +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 = -3 -2 -5 = -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 = -7
Soma ou Subtração
+2 +5 =
-2 + 5 =
+2 -5 =
-2 -5 =
Vale o sinal do maior
O mesmo conceito é estendido aos reais (com um pouco mais de trabalho)
+7
+3
Produtos de Números
Inteiros
Existem 4 casos possíveis. Três são intuitivos e o último não é intuitivo. Faremos posteriormente a demonstração do último caso como curiosidade.
Lembretes
0 + a = a (elemento neutro da adição)
a.1 = a (elemento neutro da multiplicação)
-1.0 = 0
-a = -1.a
ab = ba (Comutativa)
Demonstração
Seja a > 0 e b > 0 (a e b reais). Vamos provar que (-a) (-b) = +ab Vamos primeiro provar que (-1)(-1) = +1:
(-1)(0) = 0
Lembrando que 0 = 1 – 1: (-1)(1-1) = 0
Aplicando a distributiva: -1+(-1)(-1) = 0
Somando 1 de ambos os lados:
+1-1+(-1)(-1) = 0 +1 = 0+(-1)(-1) = +1
Demonstração da
propriedade distributiva
Provar que (-a)(-b) = +ab
(-a)(-b) = (-1)(+a)(-1)(+b)
(-a)(-b) = (-1)(-1)(+a)(+b)
(-a)(-b) = (+1)(+a)(+b)
Divisão de Inteiros
Ordem de
Precedência dos
Operadores
Expressões
Algébricas
Conceito Álgebra
Vem a ser o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinómios e estruturas algébricas. A álgebra é um dos principais ramos da matemática pura.
Comentário
Tipos de Álgebra
• Diofantina - é uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas valores inteiros.
• Booleanas – Vem a ser um tipo de dado primitivo que possui dois valores, que podem ser considerados como 0 ou 1, falso ou verdadeiro.
• Linear - é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares.
• Markoviana – São cadeias que permitem análise de probabilidade.
Expressões Algébricas
São
expressões
matemáticas
que
apresentam
números,
letras
e
operações. Exemplo:
Formato das
Expressões
Algébricas
Literais das Expressões
xyz
:
Vem
a
ser
uma
expressão algébrica.
Toda
expressão
algébrica,
Monômio
Monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas.
São exemplos de monômios:
Exemplo.
Quando as literais estão juntas, a operação deseja será uma multiplicação.
Exemplo:
1
.
xyz
Parte numérica (1) que multiplica a parte literal xyz.
Prática de Expressões
Algébricas
Maria foi ao supermercado e comprou 6 pães e 4 latas de leite moça.
Expressão Algébrica:
Pães, podemos chamar de (P).
Latas de leite, moça podemos chamar de (L).
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Problema Prático
Uma empresa possui um caixa, para investimento, em infraestrutura de TI de R$ 100.000,00, e precisou comprar dois servidores que tinham um custo de R$ 20.000,00. O analista de compras precisa criar uma expressão que pode ser usada para varias situações do mesmo tipo. Escrever a expressão algébrica que descreve o problema acima.
Importante
Na expressão acima o dois é denominado como constante ou coeficiente, ou seja, o fator que multiplica a parte literal da expressão. (também chamado de parte numérica).
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x – 2y
Problema Proposto
Um florista vendia rosas a três reais e petúnias a dois reais e cinquenta centavos, escreva a expressão que ajuda o florista a calcular quanto as rosas e petúnias, venderia se em um momento um cliente compra-se 7 rosa e 8 petúnias.
a) Escrever a expressão algébrica do problema proposto.
Monômios
Monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas.
Adição e Subtração de
Monômio
Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica. Quando isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos monômios na resposta final.
2x
2+ 10x
2=
Exemplos práticos
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2xy
2k
7+ 22xy
2k
7= 24xy
2
k
7
2xy
2k
7+ 22xy
2k
7– 20xy
2k
7= 4xy
2k
7-2xy
2k
7+ 22xy
2k
7= 20xy
2k
7Exercício Proposto
Multiplicação e divisão de
monômios
A multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique incógnita, a incógnita usando propriedades de potência.
Multiplicação de Monômios
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Divisão de Monômios
-4ax
9
Exemplo de Divisão de
Monômios
Conceito de Polinômio
Polinômios são expressões algébricas formadas
pela adição algébrica de monômios. Assim, um
polinômio nasce quando somamos ou subtraímos
dois monômios distintos.
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Adição Subtração
Polinômios
Exemplo Prático
(12x
2+ 21y
2– 7k) + (– 15x
2+ 25y
2) =
12x
2+ 21y
2– 7k
–
15x
2+ 25y
2=
12
x
2– 15
x
2+ 21
y
2+ 25
y
2– 7
k
=
Problema Proposto
Uma loja de moveis, por questões de logística, encomendava de seu fornecedores na primeira faze do ano um produto que custava 3 mil reais a quantidade de um produto x que poderiam dobrar exponencialmente, mais um outro produto y que também poderia dobrar exponencialmente, tinha um custo de 5 mil reais, sua controladoria mensurou um produto k com custo de 70 reais que deveria ser retirado do montante. Na segunda faze do ano foi considerado a possibilidade de adquirir os produtos x, com custo de 1000 e y com custo 2000 de outro fornecedor dobrando também exponencialmente sua quantidade.
a) Escreva a equação que possibilita, ao lojista controlar os produtos com seus devidos custos.
b) Simplifique se possível usando a soma da duas equações.
Multiplicação de
Polinômios
Multiplicação de Polinômio
Estrutura Básica de
Multiplicação de Polinômios
(a + b)(x + y)
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Exemplo-1 Prático
(x
2
+ a
2
)(y
2
+ a
2
)
Exemplo-2 Multiplicação
Polinômio
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(3x
2
)(5x
3
+ 8x
2
– x)
Problema
Divisão de Polinômio
É o procedimento mais difícil das expressões algébricas. Uma das técnicas mais usadas para dividir polinômios é muito parecida com a usada para divisão entre números reais: procuramos um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, seja igual ao termo de grau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair do dividendo o resultado dessa multiplicação e “descer” o resto para continuar a divisão.
