AN ´ALISE DOS PADR ˜OES DA DISTRIBUI ¸C ˜AO DE TENS ˜OES NO INTERIOR DE PLACA E BARRAS UTILIZANDO ELEMENTOS FINITOS E FERRAMENTAS DE
INTELIG ˆENCIA ARTIFICIAL
Marcelo Pinto da Silva J´unior∗, Luiz Claudio Oliveira∗
∗CEFET-MG - Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica de Minas Gerais - Campus V - Rua ´Alvares de Azevedo, no 400, Bairro Bela Vista - Divin´opolis - MG CEP: 35.500-000, Telefones: 3213.6780,
3213.6721
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Abstract— The project which resulted this paper aimed the analysis of the internal state of stress of structural or mechanical parts using AI tools, more specifically Neural Networks (Clustering). The results of computer simulations through Finite Elements are treated as images of the internal state of stress in a plane, and the latter are to be analyzed by a neural network. The neural network, using methods and criteria previously defined, will ”learn” to analyze and classify the concentration of stresses in a complete plan in the interior of the part. This kind of study is an advance to the usual stress analysis, made only along certain lines/paths. At the end, the Neural/Clustering Network System should be able to identify, in any area of a mechanical part, the level of concentration of stresses in that area.
Keywords— Stress Analysis, Computer simulation of stresses, Neural Networks and Clustering.
Resumo— O projeto que deu origem a este artigo teve como objetivo a an´alise do estado de tens˜oes de pe¸cas estruturais ou mecˆanicas usando ferramentas de IA, mais especificamente Redes Neurais (Clustering). Os resultados de simula¸c˜oes computacionais usando Elementos Finitos s˜ao tratados como imagens do estado interno de tens˜oes num plano, as quais ser˜ao analisadas por uma rede neural. A rede neural, usando m´etodos e crit´erios previamente definidos, vai aprender a analisar e classificar a concentra¸c˜ao de tens˜oes num plano completo no interior da pe¸ca. Este tipo de estudo ´e um avan¸co na an´alise de tens˜oes usual, feita somente ao longo de certas linhas ou caminhos. Ao final, o sistema de Redes Neurais/Clustering deveria ser capaz de indentificar, em uma ´
area de uma pe¸ca mecˆanica, o n´ıvel de concentra¸c˜ao de tens˜oes na ´area.
Palavras-chave— An´alise de tens˜oes, Simula¸c˜ao computacional de tens˜oes, Redes Neurais e Clustering.
1 Introdu¸c˜ao
No projeto que deu origem a este artigo foram uti-lizados Elementos Finitos e ferramentas de Inteli-gˆencia Artificial, Redes Neurais, para a simula¸c˜ao de pe¸cas estruturais e a posterior an´alise dos pa-dr˜oes de varia¸c˜ao dos estados internos de tens˜oes utilizando o m´etodo Clustering.
As Redes Neurais s˜ao aplic´aveis a virtual-mente qualquer situa¸c˜ao onde exista uma rela¸c˜ao entre as vari´aveis preditoras, de entrada e inde-pendentes, e as vari´aveis preditas, de sa´ıda e de-pendentes, mesmo se esta rela¸c˜ao for complexa e dif´ıcil de ser estabelecida. S˜ao consideradas apro-ximadores universais que relacionam a entrada de um determinado sistema com a sa´ıda do mesmo, (A. P. Braga, 2000).
Uma vez definido o problema, ´e necess´ario reunir dados para o treinamento da rede neural. Um conjunto de dados de treinamento inclui certo n´umero de casos, cada um contendo valores para uma s´erie de vari´aveis de entrada e sa´ıda. Ap´os a realiza¸c˜ao dos treinamentos, agrupamos os dados utilizando o m´etodo Clustering, com o objetivo de classific´a-los em quatro diferentes grupos.
A proposta do projeto ´e utilizar um determi-nado tipo de padr˜ao de tens˜oes, por exemplo, o plano formado pelas tens˜oes m´aximas de von Mi-ses, (Cardoso, 1999), em uma determinada regi˜ao no interior e possivelmente na superf´ıcie de uma
pe¸ca com geometria arbitr´aria, extraindo informa-¸
c˜oes do mesmo com o objetivo de reunir dados de entrada e sa´ıda.
2 Redes Neurais
O final da d´ecada de 80 marcou o ressurgimento da ´
area de Redes Neurais Artificiais (RNAs), tamb´em conhecidas como conexionismo ou sistemas de pro-cessamento paralelo e distribu´ıdo. Esta forma de computa¸c˜ao n˜ao-algor´ıtmica ´e caracterizada por sistemas que, em algum n´ıvel, relembram a es-trutura do c´erebro humano. Por n˜ao ser baseada em regras ou programas, a computa¸c˜ao neural se constitui em uma alternativa `a computa¸c˜ao algo-r´ıtmica convencional, (Haykin, 2001).
RNAs s˜ao sistemas paralelos distribu´ıdos compostos por unidades de processamento simples (nodos) que calculam determinadas fun¸c˜oes ma-tem´aticas (normalmente n˜ao-lineares). Tais uni-dades s˜ao dispostas em uma ou mais camadas e interligadas por um grande n´umero de conex˜oes, geralmente unidirecionais. Na maioria dos mo-delos estas conex˜oes est˜ao associadas a pesos, os quais armazenam o conhecimento representado no modelo e servem para ponderar a entrada recebida por cada neurˆonio da rede (A. P. Braga, 2000).
parale-lismo natural inerente `a arquitetura das RNAs cria a possibilidade de um desempenho superior ao dos modelos convencionais. Em RNAs, o pro-cedimento usual na solu¸c˜ao de problemas passa inicialmente por uma fase de aprendizagem, em que um conjunto de exemplos ´e apresentado para a rede, a qual extrai automaticamente as caracte-r´ısticas necess´arias para representar a informa¸c˜ao fornecida. Estas caracter´ısticas s˜ao utilizadas pos-teriormente para gerar respostas para o problema. A capacidade de aprender atrav´es de exem-plos e de generalizar a informa¸c˜ao aprendida ´e, sem d´uvida, o atrativo principal da solu¸c˜ao de pro-blemas atrav´es de RNAs. A generaliza¸c˜ao, que est´a associada `a capacidade de a rede aprender atrav´es de um conjunto reduzido de exemplos e posteriormente dar respostas coerentes para da-dos n˜ao-conhecidos, ´e uma demonstra¸c˜ao de que a capacidade das RNAs vai muito al´em do que simplesmente mapear rela¸c˜oes de entrada e sa´ıda. As RNAs s˜ao capazes de extrair informa¸c˜oes n˜ ao-apresentadas de forma expl´ıcita atrav´es dos exem-plos. N˜ao obstante, as RNAs s˜ao capazes de atuar como mapeadores universais de fun¸c˜oes multiva-ri´aveis, com custo computacional que cresce ape-nas linearmente com o n´umero de vari´aveis. Ou-tra caracter´ıstica importante ´e a capacidade de auto-organiza¸c˜ao e de processamento temporal, que, aliada `aquelas citadas anteriormente, faz das RNAs uma ferramenta computacional extrema-mente poderosa e atrativa para a solu¸c˜ao de pro-blemas complexos (A. P. Braga, 2000).
3 Clusteriza¸c˜ao
Clusteriza¸c˜ao ´e a classifica¸c˜ao n˜ao-supervisionada de dados, formando agrupamentos ou clusters. Ela representa uma das principais etapas de pro-cessos de an´alise de dados, denominada an´alise de clusters (Vieira J., 2004).
A an´alise de clusters envolve, portanto, a or-ganiza¸c˜ao de um conjunto de padr˜oes, usualmente representados na forma de vetores de atributos ou pontos em um espa¸co multidimensional, de acordo com alguma medida de similaridade. Intuitiva-mente, padr˜oes pertencentes `a um dado cluster s˜ao similares, portanto, diferem dos padr˜oes per-tencentes aos demais clusters, (Cardoso, 1999).
No presente projeto utilizamos o processo de Clusteriza¸c˜ao com o objetivo agrupar os dados de sa´ıda em quatro diferentes grupos ou classes, como ser´a explicado no t´opico referente ao crit´erio de sa´ıda.
4 Crit´erios para o agrupamento de dados
A primeira etapa consiste em coletar dados, tanto de entrada, quanto de sa´ıda. Os dados de en-trada foram obtidos atrav´es da an´alise de tens˜oes em planos, em pe¸cas com diferentes geometrias e
carregamentos. Cada plano ´e caracterizado por regi˜oes (´areas) de diferentes cores, estas ´ultimas determinando o n´ıvel de tens˜ao presente em cada ´
area do plano, como pode ser visto em Fig. 1. Em Fig. 1, os valores das tens˜oes em cada ´
area, diferenciados por cores, s˜ao fornecidos pelo programa de Elementos Finitos, assim como o pr´ o-prio plano de tens˜oes. Um dos crit´erios utilizados no vetor de entrada deveria necessariamente con-ter dados que relacionassem tais valores.
Somente os valores das tens˜oes em cada ´area n˜ao caracterizaria o n´ıvel de concentra¸c˜ao de ten-s˜oes em um dado plano. A concentra¸c˜ao de ten-s˜oes em um plano ´e a medida qualitativa e quanti-tativa usada para representar o estado de tens˜oes no mesmo. Assim, foram utilizados os valores das ´
areas, relativos `a ´area total, e o maior n´ıvel de tens˜ao verificado no plano de tens˜ao de cada pe¸ca. Para efetuar tal an´alise, utilizamos uma contagem de pixels para determinar a ´area referente a cada regi˜ao de concentra¸c˜ao de tens˜oes, assim como a ´
area total do plano em quest˜ao. Com o valor das tens˜oes e das ´areas relativas, ´area de uma regi˜ao de concetra¸c˜ao de tens˜oes dividida pela ´ara total do plano, determinamos o vetor de entrada de trˆes diferentes maneiras. Analisamos os resultados ob-tidos com os trˆes diferentes vetores de entrada e aplicamos o que apresentou o menor erro, con-forme explicado nos t´opicos seguintes.
O vetor de sa´ıda, ou valor de sa´ıda, deve re-presentar o n´ıvel de concentra¸c˜ao de tens˜oes de cada plano analisado. No entanto, o valor refe-rente `a sa´ıda s˜ao determinados qualitativamente, atrav´es da visualiza¸c˜ao e compara¸c˜ao entre planos de tens˜ao, com maior ou menor concentra¸c˜ao de tens˜oes, ou seja, representam uma imprecis˜ao que deve ser considerada na an´alise final do projeto. Assim como nos vetores de entrada, subtemos trˆes diferentes dados de sa´ıda ao treinamento e seleci-onamos o que apresentou o menor erro.
5 Crit´erio de Entrada
O que denominamos como crit´erio de entrada, tem como objetivo representar as caracter´ısticas dos n´ıveis de concentra¸c˜ao de tens˜ao no plano da pe¸ca analisada. Para isso, consideramos dois aspectos:
• 1) A raz˜ao entre a ´area total e as ´areas com
concentra¸c˜ao de tens˜ao.
• 2) A diferen¸ca entre o maior e o menor valor
de tens˜ao verificado no plano de tens˜ao da pe¸ca.
I = [Xi, Xi+1, . . . , Xn]
i = 1, 2, . . . , n n = 10
No intervalo i = [1, 5], consideramos apenas o aspecto 1) citado anteriormente, onde I(1) re-presenta a ´area relativa 1 dada pela raz˜ao da ´area total pela soma das duas ´areas em torno do ponto com o maior valor de tens˜ao. Para as demais posi-¸
c˜oes, at´e I(5), seguimos o mesmo crit´erio utilizado em I(1).
Verifica-se que o valor da ´area relativa foi in-vertido, pois assim os valores referentes `as posi¸c˜oes no intervalo i = [1, 5] do vetor de entrada ser˜ao maiores em pe¸cas com concentra¸c˜ao de tens˜oes. Tal invers˜ao ´e justificada pelos termos seguintes,
i = [6, 10], que tamb´em tem seus valores amplia-dos em pe¸cas onde h´a concentra¸c˜ao de tens˜oes, o que facilita o treinamento em redes neurais, dimi-nuindo o n´umero de intera¸c˜oes necess´arias at´e a estabiliza¸c˜ao.
Se o n´umero de pontos com concentra¸c˜ao de tens˜oes for menor que cinco, ent˜ao considera-se que a raz˜ao entre a ´area total pela soma das duas ´
areas em torno do ponto com o maior valor de ten-s˜ao ´e zero, para que os valores no vetor de entrada sejam determinados, diferentes de infinito, o que aconteceria de fato se consider´assemos a f´ormula acima v´alida quando n˜ao temos cinco pontos de concentra¸c˜ao de tens˜oes.
Quando o n´ıvel de tens˜ao ´e menor que a es-cala azul claro, cor presente em Fig. 1 e Fig. 2, (1385750 Pa), conclui-se que a pe¸ca n˜ao apre-senta nenhum ponto com concentra¸c˜ao de tens˜oes, logo, as posi¸c˜oes no vetor de entrada no intervalo
i = [1, 5], correspondentes aos pontos de
concen-tra¸c˜ao de tens˜oes, s˜ao preenchidas com zeros. Caso uma pe¸ca apresente mais de cinco pon-tos com concentra¸c˜ao de tens˜oes, consideramos os cinco pontos com menores ´areas e respectivos mai-ores valmai-ores de tens˜ao (Vieira J., 2004).
No intervalo i = [6, 10], considerando o as-pecto 2), I(6) representa a diferen¸ca entre o maior valor de tens˜ao referente `a ´area 1 e o menor valor de tens˜ao verificado na pe¸ca, valor dado em Pas-cal. Para as demais posi¸c˜oes, at´e i = 10 seguimos o mesmo crit´erio.
Abaixo segue um exemplo de obten¸c˜ao dos va-lores de entrada atrav´es da verifica¸c˜ao do plano de tens˜oes de uma barra com trˆes carregamentos con-centrados.
Figura 1:
Plano de tens˜oes em uma barra com trˆes carregamentos concentrados (longitudinal).
Analisando Fig. 1 obtemos o seguinte vetor de entrada:
I = [121.3893, 10.0708, 50.5994, 45.4795, 0]
Para i = [1, 5], e:
I = [3939292.5, 2251024.5, 2251024.5, 2251024.5, 0]
Para i = [6, 10].
6 Crit´erio de Sa´ıda
Este crit´erio representa os n´ıveis de concentra¸c˜ao de tens˜ao referentes a cada vetor de entrada e con-sequentemente a cada plano de tens˜ao. ´E dado por um n´umero real que varia no intervalo de 0 a 10, ou seja, cada vetor de entrada tem um n´umero real correspondente na sa´ıda que caracteriza o n´ıvel de concentra¸c˜ao de tens˜oes no plano analisado. Tais n´umeros s˜ao obtidos avaliando-se visualmente o plano em quest˜ao.
Estabelecemos intervalos de valores que repre-sentam o n´ıvel de concentra¸c˜ao de tens˜oes em cada pe¸ca, com o intuito de classificar os dados verifi-cados ap´os o treinamento da rede neural, onde O representa o n´umero referente `a cada plano de ten-s˜oes, da seguinte maneira:
• Se, 0 < O ≤ 2.5 ⇒ baixa concentra¸c˜ao de
tens˜oes.
• Se, 2.5 < O ≤ 5 ⇒ moderada concentra¸c˜ao
de tens˜oes.
• Se, 5 < O ≤ 7.5 ⇒ consider´avel concentra¸c˜ao
de tens˜oes.
• Se, 7.5 < O ≤ 10 ⇒ alta concentra¸c˜ao de
As figuras a seguir, Fig. 2 e Fig. 3, represen-tam diferentes planos de tens˜oes analisados com os respectivos valores observados de acordo com o presente crit´erio.
Figura 2:
Plano de tens˜oes em uma barra com trˆes carregamentos concentrados (longitudinal).
Figura 3:
Plano de tens˜oes em uma barra com trˆes carregamentos concentrados (transversal).
• Para Fig. 2, O = 5 • Para Fig. 3, O = 7
7 Simula¸c˜ao
Definido os crit´erios, dados de entrada e sa´ıda, foram analisados centenas de planos de tens˜oes com o intuito de reunir o maior n´umero poss´ıvel de vari´aveis preditoras e vari´aveis preditas. Uti-lizando o software MatLab, implementamos uma rede neural do tipo feed-forward, com 10 entra-das, vetor de entrada I, e apenas uma sa´ıda, O, (Neural Network Toolbox User’s Guide, software
MatLab, n.d.). Fornecemos todos os dados de
en-trada e sa´ıda para rede neural agrupando os veto-res de entrada em uma matriz e os valoveto-res de sa´ıda
em um ´unico vetor. A rede neural implementada apresentou 20 camadas internas unidirecionais e necessitou aproximadamente de 35 itera¸c˜oes para atingir a estabilidade.
O programa implementado atrav´es do soft-ware MatLab, utilizado para as simula¸c˜oes rela-cionadas a este artigo, treina, utilizando 75% dos dados fornecidos, valida, com 15% dos dados e testa com os 15% restantes a rede neural utili-zada, aproximando retas que melhor se ajustam aos dados verificados na sa´ıda da rede neural e na sa´ıda obtida com o crit´erio de sa´ıda. Em Fig. 4 verificamos a reta aproximada no treinamento da rede neural, em Fig. 5 temos a aproxima¸c˜ao linear referente a valida¸c˜ao da rede neural utilizada. Em Fig. 6, a aproxima¸c˜ao linear para o teste da rede e em Fig. 7 verificamos a aproxima¸c˜ao linear final da rede neural, considerando todos os dados for-necidos (Neural Network Toolbox User’s Guide,
software MatLab, n.d.).
Figura 4:
Aproxima¸c˜ao linear referente aos dados utilizados no treinamento da rede neural.
Figura 5:
Figura 6:
Aproxima¸c˜ao linear referente aos dados utilizados no teste da rede neural.
Figura 7:
Aproxima¸c˜ao linear referente `a todos dados obtidos atrav´es dos crit´erios.
Figura 8:
Curvas referentes aos erros no treino, na valida¸c˜ao e no teste da rede neural versus o
n´umero de itera¸c˜oes.
Em Fig. 8, temos um gr´afico que apresenta o erro m´edio verificado na rede neural. Se conside-rarmos o maior valor de concentra¸c˜ao de tens˜oes
especificado, temos que o erro m´edio ´e aproxima-damente 10%, valor que ap´os a an´alise utilizando o m´etodo Clustering, n˜ao interfere com a relevˆancia de divergir os resultados obtidos.
8 Classifica¸c˜ao
Consiste na divis˜ao em quatro diferentes classes, cada uma caracterizando o n´ıvel de concentra¸c˜ao de tens˜oes no plano analisado, como citado no t´ o-pico referente ao crit´erio de sa´ıda.
´
Apos o treinamento da rede neural, aplica-mos dados de entrada com o objetivo de verificar as respostas obtidas para cada plano de tens˜oes. Em Fig. 9 relacionamos as sa´ıdas verificadas ap´os a aplica¸c˜ao da rede neural com as sa´ıdas obtidas utilizando o crit´erio de sa´ıda (Fuzzy Logic Toolbox
User’s Guide, software MatLab, n.d.).
Figura 9:
Gr´afico que representa os dados de sa´ıda obtidos pelo crit´erio de sa´ıda versus os dados de sa´ıda
obtidos ap´os a aplica¸c˜ao da rede neural.
Caso a rede neural trata-se os dados perfeita-mente, os pontos verificados formariam uma reta, no entanto a forma¸c˜ao desta reta n˜ao ´e visuali-zada. A aplica¸c˜ao do m´etodo Clustering tem como objetivo classificar os dados e corrigir poss´ıveis di-vergˆencias de valores.
Ap´os aplicarmos o m´etodo Clustering, obte-mos Fig. 10, onde cada cor representa o n´ıvel de concentra¸c˜ao de tens˜oes do plano da pe¸ca anali-sada (Fuzzy Logic Toolbox User’s Guide, software
Figura 10:
An´alise clustering dos dados de sa´ıda obtidos pelo crit´erio de sa´ıda versus os dados de sa´ıda
obtidos ap´os a aplica¸c˜ao da rede neural.
9 Conclus˜oes
Ap´os analisarmos todas as simula¸c˜oes, verificamos que os resultados obtidos atingiram o objetivo do projeto, determinar o n´ıvel de concentra¸c˜ao de tens˜oes em uma pe¸ca, analisando-se um plano de tens˜oes referente `a mesma.
A parte mais importante e longa do projeto foi, obviamente, definir os crit´erios a serem utiliza-dos nas simula¸c˜oes por redes neurais. Foram testa-dos diversos crit´erios, tanto de entrada, quanto de sa´ıda, e todos sempre discutidos qualitativamente entre a equipe do projeto, observando-se serem cri-t´erios in´editos, sem referˆencias ou exemplos da bi-bliografia na ´area. Ao definir os crit´erios, houve a preocupa¸c˜ao em utilizar aqueles que apresentas-sem o menor erro combinado com uma facilidade de compreens˜ao do que estava sendo descrito.
Dois fatores poderiam reduzir significativa-mente os erros observados. Primeiro, aumentar o n´umero de vari´aveis preditoras e de vari´aveis preditas, segundo, analisar os planos de tens˜ao seguindo sempre o mesmo crit´erio. Este ´ultimo item ´e bem dif´ıcil de ser executado, visto que a classifica¸c˜ao feita ´e qualitativa, baseada na obser-va¸c˜ao do plano de tens˜ao, ou seja, como h´a um observador/identificador humano na identifica¸c˜ao do crit´erio, n˜ao ´e poss´ıvel garantir o mesmo cri-t´erio para todos os planos de tens˜oes analisados. No entanto, isto est´a na base dos m´etodos da IA, que por este motivo se prestam bem `a an´alise fi-nal de tens˜oes, sempre qualitativamente. Obvia-mente, mantendo-se um controle r´ıgido na an´alise da concentra¸c˜ao de tens˜oes diminuem-se as im-precis˜oes iniciais e os erros obtidos, e aumenta-se a efic´acia da an´alise final do n´ıvel de concentra¸c˜ao de tens˜oes num plano qualquer de uma determi-nada pe¸ca.
Ap´os treinarmos a rede neural, foi aplicado
o m´etodo Clustering. Este m´etodo foi implemen-tado de modo a separar os dados obtidos ap´os o treinamento em quatro diferentes classes de n´ıveis de concentra¸c˜ao de tens˜ao.
Os crit´erios e a metodologia utilizados es-t˜ao ainda em seus prim´ordios. No entanto, tem-se como objetivo, na continuidade deste projeto, aprofundar os mesmos, de modo que uma an´alise preliminar de um determinado projeto, seja uma pe¸ca mecˆanica submetida a determinados esfor-¸
cos, seja uma estrutura veicular com um determi-nado carregamento, nos forne¸ca informa¸c˜oes sobre poss´ıveis concentra¸c˜oes de tens˜oes. Por exemplo, poderiam ser analisados diversos planos em par-tes mais solicitadas na estrutura de um autom´ o-vel, trem, navio ou avi˜ao, de modo a avaliar-se o melhor posicionamento das cargas que conduzem.
10 Agradecimentos
Os autores agradecem `a FAPEMIG o financia-mento do projeto que deu origem a este artigo.
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