Capacidades Simpléticas e o Teorema de Hofer-Zehnder

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Capacidades Simpl´eticas e o Teorema de

Hofer-Zehnder

Lucia dos Santos Ribeiro

UFRJ

Rio de Janeiro

2006

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Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

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Capacidades Simpl´

eticas e o Teorema de

Hofer-Zehnder

Lucia dos Santos Ribeiro

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Leonardo Macarini

Rio de Janeiro Novembro de 2006

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Ribeiro, Lucia dos Santos

R484c Capacidades Simpl´eticas e o Teorema de

2006 Hofer-Zehnder/Lucia dos Santos

Ribeiro.-Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2006. iv,73p.; 30 cm

Orientador: Leonardo Macarini

Disserta¸cão(Mestrado) - UFRJ/IM. Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática, 2006.

Bibliogr´afia: p.70.

1. Geometria Diferencial - tese. 2. Variedades Simpl´eticas. I. Macarini, Leonardo. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente e acima de tudo a Deus pelos bons e maus momentos da minha vida e por sempre ter acreditado em mim e me dado for¸cas. A minha fam´ılia Ana Tereza, Eduardo e Guilherme por terem me ajudado a chegar at´e aqui. As minhas amigas Giselle e Gleice pelo apoio e confian¸ca. A meu namorado Alexander pela ajuda, paciˆencia e confian¸ca.

Agradecimentos especias ao meu orientador Leonardo Macarini e a coordenadora do curso Walcy Santos pela paciência, perseveran¸ca e compreensão. E, finalmente, aos meus colegas de mestrado que caminharam comigo durante essa longa jornada, em particular, a Régis Castijos e Leandro Araújo.

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Resumo

Neste trabalho, é apresentado o conceito de capacidade simplética e demonstrada a existência de tal fun¸cão em termos de órbitas periódicas de sistemas Hamiltonianos. Além disso, é mostrada sua aplica¸cão para a existência de órbitas periódicas em hiper-superf´ıcies cuja vizinhan¸ca tenha capacidade finita.

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Abstract

In this work, the concept of sympletic capacity is presented and its existence is proved in terms of periodic orbits of Hamiltonian systems. Moreover, it is shown the existence of periodic orbits in hypersurfaces which has a neighborhood with finite sympletic capacity.

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Defini¸c˜oes B´asicas 3

1.1 Geometria Simpl´etica . . . 3 1.2 Espa¸cos de Hilbert . . . 17

2 Capacidades Simpl´eticas 22

3 A Capacidade de Hofer-Zehnder 34

4 Aplica¸c˜ao do Teorema de Hofer-Zehnder 60

Apˆendice 68

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Introdu¸c˜

ao

Este trabalho tem origem na procura de órbitas (solu¸cões) periódicas na Mecânica Ce-leste. Tomemos a variedade simplética padrão (R2n_{, ω}

0) e uma fun¸c˜ao Hamiltoniana

H : R2n _{→ R. Definimos uma subvariedade de R}2n _{suave de codimens˜ao 1 por}

S = _{{x ∈ R}2n _{| H(x) = constante}.}

Exigiremos que S seja regular, isto ´e, dH(x) 6= 0 para todo x ∈ S, e compacta. Se considerarmos o campo vetorial Hamiltoniano XH, determinado por H e pela forma

simpl´etica ω0 = X i dpi∧ dqi, dado por iXHω0 =−dH,

vemos que este campo pode ser restringido a S, pois, pela n˜ao-degenerecˆencia da forma ω0, XH(x)∈ TxS = {v ∈ TxR2n | dH(x)v = 0}. Portanto, o fluxo ϕt do campo vetorial

XH em S possui fortes propriedades de recorrˆencia devido ao fato dos fluxos

Hamil-tonianos preservarem volume. Isto inspirou Poincaré a formular seu famoso teorema de recorrência: Quase todo ponto de uma superf´ıcie de energia regular compacta S do campo vetorial Hamiltoniano XH com fluxo ϕt é um ponto recorrente, ou seja, quase

todo ponto x _{∈ S volta arbitrariamente perto de x quando o tempo tende a infinito.} Quando falamos em quase todo ponto estamos nos referindo à medida proveniente da forma volume em S constru´ıda com base na forma simplética de R2n_{. Mas, ao invés de}

pontos que voltem arbitrariamente pr´oximo deles mesmos, a pergunta natural que surge ´e se uma variedade regular compacta S, em (R2n_{, ω}

0), possui uma solu¸c˜ao peri´odica do

campo vetorial Hamiltoniano XH.

Em 1950, Seifert [22] se indagou se todo campo vetorial que n˜ao se anula na 3-esfera S3

possui uma órbita fechada. Esta pergunta só foi respondida em 1974 quando Schweitzer [21] mostrou um exemplo de campo vetorial de classe C1 _{em S}3 _{que não possui solu¸cões}

peri´odicas. Em 1993, Kuperberg [14] construiu um campo vetorial de classe C∞ _{com a}

mesma propriedade. Antes disto, em 1966, esta pergunta foi respondida da mesma forma por Wilson [28] para dimens˜oes maiores que 3.

Podemos reformular o problema de uma maneira mais abstrata. Seja S uma hiper-superf´ıcie em R2n_{. O seu espa¸co tangente T}

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TxS é degenerada e de posto 2n− 2. Seu núcleo, portanto, tem dimensão 1 e é definido

por

LS ={(x, ξ) ∈ T S | ω0(ξ, v) = 0 para todo v∈ TxS}.

Ele ´e chamado de fibrado caracter´ıstico. Assim, XH(x)∈ LS(x), x ∈ S,

pois ω0(XH(x), v) = −dH(x)v = 0 para todo v ∈ TxS, j´a que S ´e uma superf´ıcie de

energia para XH. Então as solu¸cões periódicas para XH em S podem ser vistas como

caracter´ısticas fechadas do fibrado LS, ou seja, subvariedades P ⊂ S de dimens˜ao 1

difeomorfas a c´ırculos cujos espa¸cos tangentes est˜ao em LS. Reformulado o problema,

refazemos a pergunta: Uma hipersuperf´ıcie suave e compacta S _{⊂ (R}2n_{, ω}

0) admite uma

caracter´ıstica fechada?

Em 1978, Weinstein e Rabinowitz [27] responderam afirmativamente esta pergunta para o caso de hipersuperf´ıcies do tipo estrela e convexas, respectivamente. Al´em disso, Weinstein conjecturou que uma hipersuperf´ıcie S de contato com H1_{(S) = 0 possui uma}

caracter´ıstica fechada. Influenciado nas idéias nos trabalhos de Weinstein e Rabinowitz que se chegou ao invariante simplético, conhecido como capacidade simplética, a ser tra-tado neste trabalho. Ekeland e Hofer [6] e [7] o descobriram para subconjuntos de R2n

quando procuravam solu¸cões periódicas em superf´ıcies de energia convexas, e, mais tarde, Hofer e Zehnder [13] a estenderam para variedades simpléticas. Este trabalho é baseado em [12] onde Hofer e Zehnder tratam da existência de capacidades simpléticas dinamica-mente definidas e de suas conseqüências dinâmicas e topológicas.

Após introduzirmos, no cap´ıtulo 1, algumas defini¸cões básicas da geometria simplética e dos espa¸cos de Hilbert, exibiremos, no cap´ıtulo 2, o conceito axiomático de capaci-dade simplética assim como alguns exemplos e uma conseqüência muito importante da existência de tal fun¸cão: o Teorema Nonsqueezing de Gromov, que afirma que o mergu-lho simplético ϕ : B(r) _{→ Z(R) existe se, e somente se, r ≤ R. Também veremos o} fenômeno de rigidez dos difeomorfismos simpléticos. Eliashberg [8] e Gromov [11] con-clu´ıram que o grupo de difeomorfismos simpléticos é C0_{-fechado no grupo de todos os}

difeomorfismos de uma variedade simpl´etica. Isto nos permite definir os chamados ho-meomorfismos simpl´eticos.

No cap´ıtulo 3, definiremos a chamada capacidade de Hofer-Zehnder c0 de forma

dinâmica. Tal fun¸cão foi apresentada em [13]. Mostraremos que ela é uma capacidade simplética e, com isso, provaremos a existência de tal invariante simplético.

Finalmente, no cap´ıtulo 4, mostraremos que a capacidade dinamicamente definida no cap´ıtulo 3 tem como conseqüência a existência de órbitas periódicas em hipersu-perf´ıcies próximas de uma hipersuperf´ıcie que possui uma vizinhan¸ca com capacidade de Hofer-Zehnder finita. Reformularemos este teorema baseado no conceito de fibrado caracter´ıstico visto acima e observaremos que a conjectura de Weinstein em R2n _{pode ser}

(11)

Cap´ıtulo 1

Defini¸c˜

oes B´

asicas

1.1 Geometria Simpl´

etica

Come¸caremos este trabalho dando algumas defini¸cões básicas que serão usadas nos cap´ıtulos seguintes.

Defini¸cão 1.1 Um espa¸co vetorial simplético (V, ω) é um espa¸co vetorial real de di-mensão finita V munido com uma forma bilinear ω

(i) anti-sim´etrica: ω(u, v) =_{−ω(v, u) para todos u, v ∈ V ;} (ii) n˜ao-degenerada: ∀ u 6= 0 ∈ V, ∃ v ∈ V tal que ω(u, v) 6= 0.

Podemos substituir a condi¸cão (ii) de não-degenerescência pela seguinte: (ii’) a aplica¸cão V → V∗

v _{7→ ω(v, ·)}

´e um isomorfismo linear de V no seu espa¸co vetorial dual V∗_.

Com efeito, para mostrarmos a injetividade, sejam u, v _{∈ V tais que u 6= v. Por (ii),} existe x∈ V tal que ω(u − v, x) 6= 0. Mas ω(u − v, x) = ω(u, x) − ω(v, x) o que nos dá ω(u,·) 6= ω(v, ·). Agora, como dim V = dim V∗ _{e a aplica¸cão é injetiva, temos a}

sobre-jetividade, pois V tem dimens˜ao finita. Reciprocamente, suponha que exista v _{6= 0 ∈ V} tal que ω(v, u) = 0 para todo u ∈ V . Logo, ω(v, ·) = 0 ∈ V∗ _{e, pela injetividade da}

aplica¸cão, v = 0. Portanto, ω é não-degenerada.

Exemplo. O espa¸co vetorial simpl´etico padr˜ao (R2n_{, ω}

0) com ω0(u, v) = hJu, vi para

todos u, v ∈ R2n_{, onde} _{h·, ·i denota o produto interno Euclidiano em R}2n _{e a matriz}

2n_{× 2n J ´e definida por}

J = 0 Id −Id 0 , (1.1)

(12)

Sejam x, y ∈ Rn_{, u = (x, y)}_{∈ R}2n_. J(x, y) = 0 Id −Id 0 x y = (y,−x)

Note que J pode ser vista como uma rota¸cão horária de π/2, det J 6= 0 e J é um operador ortogonal (suas colunas formam um conjunto ortonormal em R2n_{, no caso). Portanto,}

J∗ _{= J}T ₌_{−J = J}−1_{. Com isso, obtemos que ω}

0 é não-degenerada e anti-simétrica. De

fato, para vermos a n˜ao-degenerescˆencia, consideremos u6= 0 ∈ R2n_{, e tomemos v = Ju.}

Assim, ω0(u, v) = hJu, Jui = hu, JTJui = hu, ui = kuk2 6= 0. A anti-simetria segue de

ω0(u, v) =hJu, vi = hu, −Jvi = −hu, Jvi = −hJv, ui = −ω0(v, u). Al´em disso, J2 =−1

e ω0(u, Jv) = hJu, Jvi = hu, JTJvi = hu, vi, o que mostra que J ´e uma estrutura

com-plexa em R2n _{compat´ıvel com o produto interno Euclidiano. Podemos, assim, identificar}

R2n _{com C}n _{levando z = (x, y)}_{∈ R}n_{× R}n _{em x + iy} _{∈ C}n_{, onde J corresponde `a} multi-plica¸c˜ao por _{−i em C.}

Uma questão que pode nos ocorrer é se a restri¸cão de uma forma simplética é simplética. Para responder a esta pergunta, vamos a algumas defini¸cões.

Defini¸cão 1.2 Dizemos que v é ortogonal a u se ω(v, u) = 0. Se E é um subespa¸co linear de V , definimos o seu ortogonal simplético por

E⊥ =_{{u ∈ V | ω(v, u) = 0 ∀ v ∈ E}.} Podemos ver que E⊥ _{´e um subespa¸co linear, pois}

(i) ω(v, 0) = 0_{∀ v ∈ E ⇒ 0 ∈ E}⊥_;

(ii) dados u1, u2 ∈ E⊥ e α ∈ R, ω(v, u1+ αu2) = ω(v, u1) + αω(v, u2) = 0 + α· 0 = 0

para todo v_{∈ E. Logo, u}1+ αu2 ∈ E⊥.

Observamos que dim E + dim E⊥ _{= dim V e (E}⊥₎⊥ _{= E.}

Uma diferen¸ca entre a geometria simplética e a Euclidiana é que E e E⊥ _{não são}

ne-cessariamente complementares. Por exemplo, todo vetor v ∈ V ´e ortogonal a si mesmo, pois ω(v, v) =−ω(v, v). Ent˜ao, se dim E = 1, E ⊂ E⊥_.

´

E interessante notar que se restringirmos a forma bilinear ω a um subespa¸co linear E ⊂ V , ela continuará sendo anti-simétrica, mas, em geral, deixa de ser não-degenerada. Isto ocorre pois a aplica¸cão V _{→ V}∗

v _{7→ ω(v, ·)}

deixa de ser injetiva quando E _{⊂ E}⊥_{. A}

forma ω continuar´a n˜ao-degenerada se, e somente se,

E_{∩ E}⊥=_{0}. (1.2)

De fato, seja u ∈ E ∩ E⊥_{. Logo, ω(v, u) = 0 para todo v} _{∈ E, pois u ∈ E}⊥_{, o que,}

(13)

ω degenerada, isto é, existe u 6= 0 ∈ E tal que, para todo v ∈ E, ω(u, v) = 0. Assim, u_{∈ E}⊥_{, o que não é poss´ıvel pois E}_{∩ E}⊥ ₌_{0}.

Mas E∩E⊥ ₌_{{0} se, e somente se, E e E}⊥_{s˜ao complementares, ou seja, V = E}_⊕E⊥_,

j´a que dim E + dim E⊥ _{= dim V implica que a soma direta ´e o espa¸co todo.}

Vemos então que (E, ω) é um espa¸co vetorial simplético se 1.2 é satisfeito e dizemos que E é um subespa¸co simplético. Da simetria de 1.2 em E e E⊥, obtemos que E é simplético se, e somente se, E⊥ _{é simplético.}

Vamos mostrar agora que todo espa¸co simplético é equivalente ao espa¸co padrão (R2n_{, ω}

0). Isto vem do fato da estrutura simpl´etica estar relacionada com a estrutura

complexa.

Proposi¸cão 1.1 Seja (V, ω) um espa¸co vetorial simplético. Então existe n _{∈ N e uma} base e1, . . . , en, f1, . . . , fn de V satisfazendo, para i, j = 1, 2, . . . , n,

• ω(ei, ej) = 0;

• ω(fi, fj) = 0;

• ω(fi, ej) = 1, se i = j

0, se i6= j

Tal base é dita simplética. Em particular, V possui dimensão par.

Considerando o espa¸co vetorial padr˜ao (R2n_{, ω}

0) e representando u, v ∈ R2n, nesta base, por u = n X i=1 (xiei+ xn+ifi) e v = n X j=1 (yjej + yn+jfj) , vemos que ω(u, v) = ω n X i=1 (xiei+ xn+ifi) , n X j=1 (yjej + yn+jfj) ! = X i,j xiyjω(ei, ej) + X i,j xiyn+jω(ei, fj) + X i,j xn+iyjω(fi, ej) + X i,j xn+iyn+jω(fi, fj) = n X i=1 (−xiyn+i+ xn+iyi) = hJx, yi,

onde J ´e a matriz definida em 1.1.

Os subespa¸cos Vj = span{ej, fj} são simpléticos e ortogonais entre si, o que nos dá

(14)

bidimensionais. Em outras palavras, um espa¸co vetorial simplético pode ser decomposto em planos simpléticos. Com respeito à esta decomposi¸cão, a forma bilinear ω é, em coordenadas simpléticas, representada pela matriz

           0 Id −Id 0 0 Id −Id 0 . .. 0 Id −Id 0            Prova da proposi¸c˜ao 1.1.

Escolhemos um vetor qualquer e1 6= 0 em V . Como ω ´e n˜ao-degenerada, existe u ∈ V

tal que ω(u, e1) = α 6= 0. Definimos f1 := u/α. Da´ı, ω(f1, e1) =

ω(u, e1)

α =

α α = 1. Usando a anti-simetria, vemos que f1 e e1 s˜ao linearmente independentes. De fato, seja

af1+ be1 = 0, com a, b∈ R, ent˜ao

0 = ω(f1, af1+ be1) = aω(f1, f1) + bω(f1, e1) = b, e

0 = ω(e1, af1+ be1) = aω(e1, f1) + bω(e1, e1) =−a.

Logo, a = b = 0, mostrando que o espa¸co V possui, no m´ınimo, duas dimensões. E1 := span{e1, f1} é um subespa¸co vetorial bidimensional simplético de V . Se

dim V = 2, terminamos a prova. Se dim V > 2, e como V = E1⊕ E1⊥, ent˜ao escolhemos

um vetor e2 6= 0 em E1⊥. Sendo ω n˜ao-degenerada, existe f2 ∈ E1⊥ tal que ω(f2, e2) = 1,

pois se f2 estivesse em E1, anularia ω. De maneira an´aloga ao passo anterior, mostramos

que e2 e f2 s˜ao linearmente independentes e definimos E2 := span{e2, f2}. Se dim V = 4,

acabou. Caso contr´ario, aplicamos o mesmo argumento ao complementar simpl´etico E⊥ 2

de E2 e achamos a base procurada com um n´umero finito de passos.

Veremos agora aplica¸c˜oes lineares que deixam a forma simpl´etica invariante.

Defini¸cão 1.3 Uma aplica¸cão linear A : V _{→ V de um espa¸co vetorial simplético (V, ω) é} dita simplética se A∗_{ω = ω, onde A}∗_{é o pull-back de A, dado por A}∗_{ω(u, v) = ω(Au, Av).}

No caso do espa¸co padr˜ao (R2n_{, ω}

0), uma matriz A ´e simpl´etica se, e somente se,

hJAu, Avi = hJu, vi, para todos u, v ∈ R2n_{. Com efeito,} _{hJAu, Avi = ω}

0(Au, Av) =

A∗_ω

0(u, v) = ω0(u, v) =hJu, vi. Reciprocamente, A∗ω0(u, v) = ω0(Au, Av) =hJAu, Avi =

hJu, vi = ω0(u, v).

Ou ainda,

(15)

pois hJu, vi = hJAu, Avi = hAT_{JAu, v}_i.

Em R2_{, isto ´e equivalente a det A = 1, pois ω}

0 ´e uma forma volume. Em dimens˜ao

maior, 1.3 implica que det A = 1, o que mostra que matrizes simpl´eticas em R2n

preser-vam volume. Para isso, lembremos um pouco de formas diferenciais. Consideremos as coordenadas z = (z1, . . . , z2n)∈ R2n. Ent˜ao, a forma bilinear dzi∧ dzj em R2n ´e definida

por

(dzi∧ dzj)(u, v) = uivj− ujvi,

para todos u, v_{∈ R}2n_{. Fazendo z = (x, y)}_{∈ R}2n_{, podemos representar ω}

0 como ω0 = n X i=1 dyi∧ dxi

Ent˜ao a forma volume em R2n _´e

Ω = ω0∧ . . . ∧ ω0 = c dx1∧ . . . ∧ dxn∧ dy1∧ . . . ∧ dyn

com c_{6= 0 constante. Se A ´e uma matriz em R}2n_{, ent˜ao}

A∗Ω = (det A)Ω.

Como estamos supondo que a transforma¸cão, cuja matriz é A, é simplética, temos que A∗_ω

0 = ω0, o que implica que

A∗_{Ω = A}∗_(ω 0∧ . . . ∧ ω0) = A∗_ω 0 ∧ . . . ∧ A∗ω0 = ω0∧ . . . ∧ ω0 = Ω Ent˜ao Ω = A∗Ω = (det A)Ω,

Logo, det A = 1. Mas nem toda matriz que preserva volume é simplética, pois se uma matriz A preserva a forma volume Ω, ela nem sempre preserva uma forma menor. É neste fato que se nota a diferen¸ca entre transforma¸cões que preservam volume e as que preservam a forma simplética. Veremos isso melhor no próximo cap´ıtulo.

Defini¸c˜ao 1.4 Sejam (V1, ω1) e (V2, ω2) dois espa¸cos vetoriais simpl´eticos. Dizemos que

uma aplica¸cão linear A : V1 → V2 é simplética se A∗ω2 = ω1, onde (A∗ω2)(u, v) =

ω2(Au, Av),∀ u, v ∈ V1.

Proposi¸cão 1.2 Se (V1, ω1) e (V2, ω2) são dois espa¸cos simpléticos de mesma dimensão,

ent˜ao existe um isomorfismo linear A : V1 → V2 tal que A∗ω2 = ω1. Isto quer dizer que

todo espa¸co vetorial simplético de mesma dimensão é equivalente, ou seja, a dimensão é o único invariante simplético da estrutura linear simplética.

(16)

Prova.

Se dim V1 = dim V2, então, pela observa¸cão acima, A é injetiva, e V1 e V2 tendo a mesma

dimensão, faz A sobrejetiva. Pela Proposi¸cão 1.1, escolhemos as bases simpléticas (ei, fi),

em (V1, ω1), e (êi, ˆfi), em (V2, ω2). Definimos então a aplica¸cão linear A : V1 → V2 por

Aei = êi e Afi = ˆfi, para 1≤ i ≤ n. Para vermos que esta aplica¸cão é simplética, basta

verificarmos para os elementos da base. Assim, A∗_ω 2(ei, ej) = ω2(Aei, Aej) = ω2(êi, êj) = 0 = ω1(ei, ej); A∗ω2(fi, fj) = ω2(Afi, Afj) = ω2( ˆfi, ˆfj) = 0 = ω1(fi, fj) e A∗ω2(ei, fj) = ω2(Aei, Afj) = ω2(êi, ˆfj) = 1 , se i = j 0 , se i_{6= j} = ω1(ei, fj). Portanto, A∗_ω 2 = ω1.

Conclu´ımos, com base nesta proposi¸cão, que todos os espa¸cos vetoriais simpléticos de dimensão 2n fixada são isomorfos à (R2n_{, ω}

0), pois sempre podemos escolher e1 e ˆe1 na

constru¸cão da base simplética. O mesmo ocorre no conjunto de subespa¸cos simpléticos de R2n de mesma dimensão. Basta apenas completar a base simplética adicionando uma base simplética do seu complementar como na demonstra¸cão da Proposi¸cão 1.1.

Até aqui tratamos de aplica¸cões lineares simpléticas. Agora, estenderemos essa no¸cão para aplica¸cões não-lineares no espa¸co simplético (R2n_{, ω}

0) e introduziremos os chamados

campos vetoriais Hamiltonianos.

Defini¸cão 1.5 Um difeomorfismo ϕ : R2n _{→ R}2n _{é dito simplético (ou um}

simplecto-morfismo) se

ϕ∗ω0 = ω0,

onde o pull-back de uma 2-forma ω ´e dado por (ϕ∗_ω)

x(a, b) = ωϕ(x)(ϕ′(x)a, ϕ′(x)b), para

x _{∈ R}2n _{e para todos a, b} _{∈ T}

xR2n = R2n, onde ϕ′(x) ´e a derivada de ϕ no ponto x

representada pela matriz Jacobiana.

Pela defini¸cão de ω0 e por 1.3, um difeomorfismo simplético em (R2n, ω0) é

caracteri-zado pela identidade

ϕ′(x)TJϕ′(x) = J, x∈ R2n_.

Portanto, ϕ′_{(x) ´e uma matriz simpl´etica e}

det ϕ′(x) = 1,

donde conclu´ımos que difeomorfismos simpl´eticos preservam volume.

Como vimos anteriormente, se n = 1, os difeomorfismos simpléticos são aqueles que preservam volume. Mas para n > 1, a classe de difeomorfismos simpléticos é mais restrita

(17)

que a daqueles que preservam volume. Além do volume, existem outros invariantes simpléticos como a capacidade simplética que é o assunto do próximo cap´ıtulo.

Para exemplos de difeomorfismos simpléticos, é necessário introduzirmos o conceito de campos vetoriais Hamiltonianos.

Dada a forma simpl´etica ω0 e uma fun¸c˜ao suave H : R2n → R, associamos o campo

vetorial XH em R2n tal que

ω0(XH(x), a) =−dH(x) · a, ∀ a ∈ R2n e x∈ R2n (1.4)

Como ω0 é não-degenerada, XH é unicamente determinado. De fato, suponha que

existam dois campos XH e YH tais que ω0(XH(x), a) = −dH(x) · a = ω0(YH(x), a), logo

ω0(XH(x)− YH(x), a) = 0, para todo a ∈ R2n. Assim, XH(x)− YH(x) = 0.

Defini¸cão 1.6 O campo XH em 1.4 é dito campo vetorial Hamiltoniano com fun¸cão

Hamiltoniana H.

Pela defini¸c˜ao de ω0, temoshJXH(x), ai = ω0(XH(x), a) =−dH(x)·a = −h∇H(x), ai,

onde o gradiente de H ´e definido com respeito ao produto interno Euclidiano. Logo, JXH(x) =−∇H(x) e como J2 =−1,

XH(x) = J∇H(x), x ∈ R2n. (1.5)

O campo Hamiltoniano é formado de modo análogo ao gradiente de uma fun¸cão na geometria Riemanniana, mas a anti-simetria da forma simplética traz propriedades con-servativas do campo Hamiltoniano, enquanto a simetria da métrica Riemanniana fornece propriedades dissipativas para o gradiente. Por esse motivo, o campo Hamiltoniano é conhecido também como gradiente simplético.

Defini¸c˜ao 1.7 Chamamos de fluxo de um campo vetorial X uma fam´ılia ϕt_{: R}2n_{→ R}2n

a um parˆametro gerado por X que satisfaz o problema de valor inicial de Cauchy    d dtϕ t_{(x) = X(ϕ}t_(x)) ϕ0_{(x) = x, x} _{∈ R}2n

Se considerarmos o campo vetorial X como sendo o campo Hamiltoniano XH visto

em 1.4, determinado por ω0 e H, temos que o fluxo preserva a forma simpl´etica ω0, isto

´e,

ϕt∗

ω0 = ω0,

ou seja, é uma aplica¸cão simplética.

Veremos a demonstra¸c˜ao deste fato um pouco mais a frente de forma mais geral du-rante a demonstra¸c˜ao do Teorema de Darboux.

O fluxo ϕt _{do campo vetorial Hamiltoniano X}

H deixa a fun¸c˜ao H invariante, ou seja,

(18)

para todo t para o qual o fluxo est´a definido. Com efeito, derivando 1.6 e usando a defini¸c˜ao de fluxo, temos que

d dtH(ϕ

t_{) = dH(ϕ}t₎

· _dtdϕt = dH(ϕt)_{· X}H(ϕt) =−ω0(XH, XH)◦ (ϕt)

que se anula, pois ω0 é anti-simétrica. Agora, veremos a fórmula de transla¸cão para

campos vetoriais X em R2n_{, e, com isso, mostraremos que uma transforma¸c˜ao simpl´etica}

preserva a classe de campos Hamiltonianos, ou seja, um campo Hamiltoniano continua a ser Hamiltoniano por uma transforma¸c˜ao simpl´etica.

Sejam x(t) uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial x′ = X(x), x_{∈ R}m,

e u : Rm _{→ R}m _{um difeomorfismo. Definimos a curva y(t) por}

x(t) = u (y(t)) . Diferenciando esta equa¸c˜ao, obtemos

X (u (y(t))) = X(x) = x′(t) = du (y(t))· y′_(t),

logo

y′ = du (y)−1_{· X ◦ u(y), y ∈ R}m. Definiremos esse campo transformado por u∗_{X, isto ´e,}

u∗X := (du)−1_{· X ◦ u.}

Conclu´ımos que os fluxos ϕt _{de X e ψ}t _{de u}∗_{X s˜ao conjugados pelo difeomorfismo u,}

isto ´e,

ϕt_{◦ u = u ◦ ψ}t.

Com efeito, vamos mostrar que o fluxo u_{◦ ψ}t_{◦ u}−1_{(q) satisfaz}

d dtϕ t_{(x) = X(ϕ}t_(x)). Derivando u◦ ψt_{◦ u}−1_{(q), obtemos} d dtu◦ ψ t_(u−1_{(q)) = du}_{◦ ψ}t_(u−1_(q))_·dψt dt (u −1_(q)) = du◦ ψt_(u−1_(q))_{· u}∗_X(ψt_(u−1_(q))) = X◦ u(ψt_(u−1_(q))),

onde, na segunda igualdade, usamos a defini¸c˜ao do fluxo ψt _{e, na terceira, a defini¸c˜ao de}

campo tranformado. Agora que já temos a fórmula de transla¸cão para campos vetoriais, queremos ver como ela funciona com campos Hamiltonianos. Se um campo Hamiltoniano

(19)

XH em R2n estiver sujeito a uma transforma¸cão arbitrária, ele não terá a forma vista em

1.5. Mas, se u for uma transforma¸c˜ao simpl´etica, teremos, u∗XH = XK e K = H◦ u.

De fato, definimos K = H ◦ u. Pela regra da cadeia,

dK = dH(u)_{· du = h∇H(u), dui = h(du)}T_{∇H(u), ·i.} Ent˜ao, ∇K = (du)T_{∇H(u), pois dK = h∇K, ·i.}

Como u é uma transforma¸cão simplética, du é uma aplica¸cão simplética em todo ponto e, portanto, (du)T _{também é. Então du}_{· J · (du)}T _{= J e, usando 1.5, temos}

XK = J∇K = J(du)T∇H(u) = (du)−1J∇H(u) = (du)−1XH(u) = u∗XH.

Acabamos de mostrar que tranforma¸cões simpléticas preservam a base de campos Hamiltonianos, ou seja, os campos Hamiltonianos são invariantes simpléticos. Veremos agora como isto funciona numa variedade simplética. Come¸caremos estendendo a forma simplética ω0, de R2n, para variedades.

Seja ω uma 2-forma numa variedade M, ou seja, para cada x ∈ M, a aplica¸cão ωx : TxM × TxM → R é bilinear e anti-simétrica no espa¸co tangente a M em x, e ωx

varia suavemente em x.

Defini¸cão 1.8 A 2-forma ω é simplética se (i) ω é fechada: dω = 0;

(ii) ω ´e n˜ao-degenerada: Em todo espa¸co tangente TxM, se ωx(u, v) = 0∀ v ∈ TxM,

ent˜ao u = 0.

A forma ω também é chamada de estrutura simplética.

Pela defini¸cão, vemos que se ω é simplética em M, ωxé simplética em TxM para todo

x _{∈ M. Além disso, todo espa¸co tangente T}xM é um espa¸co vetorial simplético com

respeito à forma bilinear anti-simétrica e não-degenerada ωx, em x. Então, todo espa¸co

tangente de M tem dimens˜ao par, e portanto, M tamb´em, pois dimM = dim TxM.

Defini¸cão 1.9 Uma variedade simplética é um par (M, ω), onde M é uma variedade e ω é uma forma simplética.

Voltando ao exemplo do espa¸co simpl´etico padr˜ao (R2n_{, ω}

0), temos, por constru¸c˜ao,

que ω0 é não-degenerada e, sendo constante, é fechada. Logo (R2n, ω0) é uma variedade

simpl´etica.

Veremos agora que o fato de ω ser fechada implica que toda variedade simpl´etica se parece, localmente, com (R2n_{, ω}

0), ou seja, sempre existem coordenadas locais onde a

(20)

Teorema 1.1 (Darboux) Seja ω uma forma não-degenerada numa variedade de di-mensão 2n. Então dω = 0 se, e somente se, em cada ponto p_{∈ M, existem coordenadas} locais (U, ϕ) onde ϕ : (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)→ q ∈ U ⊂ M satisfaz ϕ(0) = p e

ϕ∗ω = ω0 = n

X

i=1

dyi∧ dxi

Tais coordenadas são chamadas coordenadas simpléticas ou coordenadas de Darboux. Este teorema nos fornece uma outra defini¸cão de variedade simplética: Uma varie-dade de dimensão 2n para a qual existem coordenadas locais ϕi levando conjuntos abertos

Ui ⊂ M, sobrejetivamente, em abertos do espa¸co simpl´etico fixado (R2n, ω0), tais que a

mudan¸ca de coordenadas ϕj◦ ϕ−1i definida em ϕi(Ui∩ Uj) s˜ao simplectomorfismos locais

em (R2n_{, ω} 0).

Prova do Teorema de Darboux. (⇐) Como ϕ∗_{ω = ω}

0, temos que

0 = dω0 = d(ϕ∗ω) = ϕ∗(dω),

donde conclu´ımos que ω ´e fechada.

(_{⇒) Escolhendo um sistema de coordenadas locais arbitrário, podemos supor que ω é} uma 2-forma em R2n _{dependente de z} _{∈ R}2n _{e que p corresponde a z = 0. Além disso,}

fazendo uma mudan¸ca de coordenadas linear, podemos escrever ω na forma normal na origem, isto ´e,

ω(0) =

n

X

i=1

dyi∧ dxi, em z = 0.

Isto ´e o mesmo que a proposi¸c˜ao 1.1. Denotamos por ω0a forma constante n

X

i=1

dyi∧ dxi

em R2n_{. Queremos mostrar que existe um difeomorfismo ϕ numa vizinhan¸ca de 0 que}

deixa a origem fixa e satisfaz ϕ∗_{ω = ω}

0. Para isso, usamos um m´etodo desenvolvido por

Moser chamado m´etodo de deforma¸c˜ao. Come¸camos definindo uma fam´ılia de formas ωt= ω0+ t(ω− ω0), 0≤ t ≤ 1,

tal que ωt = ω0 para t = 0 e ω1 = ω. Se acharmos uma fam´ılia ϕt de difeomorfismos

satisfazendo ϕ0 _{= id e}

(ϕt)∗ωt= ω0, 0≤ t ≤ 1, (1.7)

temos que ϕt _{para t = 1 ´e o difeomorfismo ϕ que estamos procurando. Construiremos}

um campo vetorial Xt, que depende de t, gerando ϕt como seu fluxo. Diferenciando 1.7,

tal campo Xt deve satisfazer a identidade

0 = d dt ϕ t∗ ωt= ϕt ∗ LXtωt+ d dtωt = ϕt∗ (LXtωt+ ω− ω0) ,

(21)

onde LY ´e a derivada de Lie do campo Y . Pela f´ormula de Cartan,

LX = iX ◦ d + d ◦ iX,

onde i ´e uma contra¸c˜ao, temos que

0 = (ϕt)∗{d(iXtωt) + ω− ω0},

pois dωt= 0.

Ent˜ao Xt satisfaz a equa¸c˜ao linear

d(iXtωt) + ω− ω0 = 0. (1.8)

Como ω_{− ω}0é fechada, pelo Lema de Poincaré [4], é localmente exata, ou seja, existe

uma 1-forma λ tal que

ω_{− ω}0 = dλ e λ(0) = 0.

Logo, d(iXtωt)+ω−ω0 = d(iXtωt+λ) = 0. Visto que ωt(0) = ω0(0)+t(ω(0)−ω0(0)) =

ω0, pois ω = ω0 em z = 0, e ω0é constante, temos que as 2-formas ωtsão não-degeneradas

para 0 _{≤ t ≤ 1 numa vizinhan¸ca da origem. Portanto, existe um ´unico campo vetorial} Xt determinado por

iXtωt= ωt(Xt,·) = −λ,

para 0 _{≤ t ≤ 1 e este satisfaz 1.8. Fazendo λ(0) = 0 e dado que ω}t(0) = ω0 s˜ao

n˜ao-degeneradas, temos que Xt(0) = 0 e existe uma vizinhan¸ca aberta da origem na qual o

fluxo ϕt _{de X}

t existe para todo 0≤ t ≤ 1. Como o campo Xt se anula na origem, o fluxo

tem um ponto fixo em z = 0, pois este fluxo satisfaz ϕ0 _{= id e}

dϕt dt (z) = Xt(ϕ t_(z)). Assim, dϕ t dt (z) = Xt(ϕ

t_{(z)) = 0 e ϕ}t_{(z) = 0. Isso nos d´a que o fluxo ϕ}t _{n˜ao depende}

de t, logo, 0 = ϕt_{(z) = ϕ}0_{(z) = z. Ent˜ao ϕ}t_{(0) = 0. Por constru¸c˜ao, esta fam´ılia ϕ}t _de

difeomorfismos satisfaz d dt(ϕ t₎∗_ω t(0) = 0, 0≤ t ≤ 1, Portanto, (ϕt₎∗ _{= (ϕ}0₎∗_ω 0 = ω0 para todo 0≤ t ≤ 1.

Com base nesse resultado, conclu´ımos que variedades simpléticas de mesma dimensão são localmente equivalentes, isto é, a dimensão é o único invariante simplético local. Isso é bem diferente da geometria Riemanniana onde existem vários invariantes locais, por exemplo, a curvatura Gaussiana. Isto ocorre pois, em geral, duas métricas não são lo-calmente isométricas. Outra diferen¸ca entre essas duas geometrias é que toda variedade M possui uma estrutura Riemanniana, mas nem toda variedade de dimensão par admite uma estrutura simplética, como no caso da esfera S2n_{, se n} _{≥ 2. Isto vem do fato do}

grupo de cohomologia de de Rham H2_(S2n_{) se anular para n > 1.}

Veremos agora o análogo de aplica¸cões simpléticas em (R2n_{, ω}

(22)

Defini¸c˜ao 1.10 Sejam (M1, ω1) e (M2, ω2) duas variedades simpl´eticas. Dizemos que

uma aplica¸cão diferenciável f : M1 → M2 é simplética se

f∗ω2 = ω1,

onde o pull-back de uma 2-forma ´e dado por

f∗ωx(u, v) = ωf (x)(df (x)u, df (x)v)

para todo u, v_{∈ T}xM.

Como ω1 é não-degenerada, a aplica¸cão tangente df (x) deve ser injetiva em todo

ponto, pois dado u _{∈ T}xM tal que df (x)u = 0, temos que (ω1)x(u,·) = (f∗ω2)x(u,·) =

(ω2)f (x)(df (x)u, df (x)·) = 0. Logo, u = 0. Ent˜ao, dim M1 ≤ dim M2. Se dim M1 =

dim M2, f ´e um difeomorfismo local. No caso de f levar uma variedade simpl´etica (M, ω)

em si mesma, a condi¸c˜ao para f ser simpl´etica se torna f∗ω = ω,

ou seja, f preserva a estrutura simplética. Expressa nas coordenadas simpléticas lo-cais, definidas pelo Teorema de Darboux, esta condi¸cão corresponde à condi¸cão para aplica¸cões simpléticas em (R2n_{, ω}

0), isto ´e, df (x)TJdf (x) = J. Como vimos antes, a

não-degenerescência da estrutura simplética define um isomorfismo X _{7→ ω(X, ·) entre} campos vetoriais X e 1-formas em M. Então, dada uma fun¸cão diferenciável

H : M → R,

temos a 1-forma dH que, junto com ω, determina o campo vetorial XH por

(iXHω)(x) = ω(XH,·) = −dH(x), x ∈ M. (1.9)

Defini¸c˜ao 1.11 O campo vetorial XH ´e chamado campo vetorial Hamiltoniano referente

`a fun¸c˜ao Hamiltoniana H.

Pela f´ormula de Cartan, LX = diX+ iXd, e sabendo que dω = 0 e d2H = 0, obtemos

LXHω = 0,

donde conclu´ımos que as aplica¸c˜oes ϕt _{do fluxo de um campo Hamiltoniano X}

H deixam

a forma simpl´etica invariante, pois d dt(ϕ

t₎∗_{ω = (ϕ}t₎∗_L

XHω = 0.

E, como (ϕ0₎∗_{ω = ω, temos que}

(ϕt)∗ω = ω,

ou seja, ϕt _{é simplético. Agora veremos que o conjunto dos campos Hamiltonianos são}

(23)

Proposi¸cão 1.3 Se u : M → M é simplética, então para toda fun¸cão H : M → R u∗XH = XK e K = H◦ u.

Prova.

Pela defini¸c˜ao de campo Hamiltoniano,

iXKω = iX_{H ◦u}ω = −d(H ◦ u) = _−u∗_(dH) = u∗_(i XHω) = iu∗_X_H(u∗ω) = iu∗_XHω

e, como ω ´e n˜ao-degenerada, XH◦u = u∗XH.

A estrutura simpl´etica nos fornece uma estrutura quase complexa como vemos a seguir.

Proposi¸cão 1.4 Se (M, ω) é uma variedade simplética, então existe uma estrutura quase complexa J, em M, e uma métrica Riemanianna _{h·, ·i, em M, tal que}

ωx(v, Ju) =hv, uix

para v, u_{∈ T}xM.

Da simetria da forma bilinear _{h·, ·i temos}

ωx(Jv, Ju) = ωx(v, u),

isto é, J é uma aplica¸cão simplética do espa¸co simplético (TxM, ωx). Além disso, J∗ =

J−1 ₌_{−J, onde J}∗ _{´e a adjunta de J.}

Prova da proposi¸c˜ao 1.4.

Seja g uma m´etrica Riemanianna qualquer de M. Fixado x∈ M, vamos construir J = Jx

em TxM a partir desta métrica g. Todas estas constru¸cões dependerão suavemente de x,

pois g depende suavemente de x. Para facilitar a nota¸cão, não indicaremos a dependência de x. Como ω é não-degenerada, existe um único isomorfismo linear A : TxM → TxM

tal que

ω(u, v) = g(Au, v); u, v_{∈ T}xM.

Com efeito, suponha que existe outro isomorfismo linear B tal que ω(u, v) = g(Bu, v).

Ent˜ao 0 = g(Au− Bu, v) = g(A(u − A−1_{Bu), v) = ω(u}_{− A}−1_{Bu, v). Sendo v e u}

arbitr´arios, temos Id_{− A}−1_{B = 0. Logo A = B. Da anti-simetria de ω, obtemos}

(24)

onde A∗ _{é a aplica¸cão g-adjunta de A. Assim, A}∗ ₌ _{−A e A}∗_{A = AA}∗ ₌ _−A2 _{é uma}

aplica¸c˜ao positivamente definida g-auto-adjunta. Chamamos Q =√_−A2 _{a raiz quadrada}

positiva de _−A2 _{e definimos}

J = AQ−1.

Como A e A∗ _{comutam, A ´e um operador normal e, portanto, A e Q}−1 _comutam.

Segue que

J2 = AQ−1AQ−1 = A2(Q−1)2 = A2(Q2)−1 = A2(_−A2)−1 =_−Id.

Acabamos de mostrar que J é uma estrutura complexa no espa¸co tangente de M to-mando um isomorfismo A, que relaciona a forma simplética e uma métrica Riemanianna. Para construir a métrica desejada, usaremos este isomorfismo e a métrica g.

ω(u, Jv) = g(Au, Jv) = g(u, A∗_Jv) = g(u,−A · AQ−1_v) = g(u,_−A2_Q−1_v) = g(u, Q2_Q−1_v) = g(u, Qv) = g(Q∗_{u, v)} = g(Qu, v),

pois Q ´e g-auto-adjunto. Sendo Q sim´etrica e positivamente definida, conclu´ımos que hu, vi := g(Qu, v)

define a métrica desejada, faltando apenas mostrar a sua simetria. hu, vi = ω(u, Jv) = _{−ω(Jv, u)} = −ω(v, J∗_u) = _{−ω(v, (AQ}−1₎∗_u) = _{−ω(v, (Q}−1₎∗_A∗_u) = −ω(v, −Q−1_Au) = ω(v, AQ−1u) = ω(v, Ju) = hv, ui Vimos, no caso do espa¸co simplético padrão, que a forma simplética foi constru´ıda a partir da estrutura complexa. Aqui t´ınhamos a variedade simplética e mostramos que ela admite estrutura quase-complexa compat´ıvel com a forma simplética ω. Tal estrutura quase-complexa generaliza a estrutura complexa de (R2n_{, ω}

0). Se ∇H ´e o gradiente

de uma fun¸cão H, com respeito a métrica Riemanianna h·, ·i desta proposi¸cão, isto é, h∇H(x), vi = dH(x)v para todo v ∈ TxM, achamos uma representa¸cão para o campo

Hamiltoniano XH dada por

(25)

usando que J2 ₌_{−1, o que ´e equivalente a representa¸c˜ao de X}

H em (R2n, ω0).

1.2 Espa¸cos de Hilbert

Veremos aqui os espa¸cos de Hilbert Hs_{, s} _{≥ 0 e algumas de suas propriedades b´asicas}

que serão utilizadas na demonstra¸cão da existência de uma capacidade simplética. Defini¸cão 1.12 Quando um espa¸co normado é completo com a métrica induzida pela norma, dizemos que é um espa¸co de Banach.

Defini¸c˜ao 1.13 Um espa¸co de Hilbert ´e um espa¸co de Banach cuja norma vem de um produto interno.

Um exemplo de espa¸co de Hilbert ´e o espa¸co L2_(S1_{, R}2n_{) das fun¸c˜oes x : S}1 _{→ R}2n

quadrado integr´aveis.

Consideremos agora os subespa¸cos Hs_{, s}_{≥ 0 de L}2_{. Seja}

Hs _{= H}s_(S1_{) =} ( x_{∈ L}2_(S1₎_|X i∈Z |i|2s_|x i|2 <∞ ) , (1.10)

onde s≥ 0 e x ´e dado por sua s´erie de Fourier

x(t) =X i∈Z ei2πJt_x i = X i∈Z xicos 2πt + Jxisen 2πt, xi ∈ R2n,

onde J ´e dado em 1.1 que converge em L2_.

Os espa¸cos Hs _{s˜ao espa¸cos de Hilbert com produto interno e norma associados}

defi-nidos por hx, yis = hx0, y0i + 2π X i∈Z |i|2s_hx i, yii kxk2 s = hx, xis

para x, y ∈ Hs_{. Observemos que a norma} _kxk

0 ´e equivalente a norma L2.

Vejamos agora algumas propriedades desses espa¸cos. Para t _{≥ s ≥ 0, os espa¸cos} decrescem,

Ht_{⊂ H}s_{⊂ H}0, enquanto as normas crescem

kxkt≥ kxks ≥ kxk0 para x∈ Ht.

Com efeito, seja x _{∈ H}t_{. Isto quer dizer que} X

i∈Z

|i|2t|xi|2 <∞. Mas como t ≥ s ≥ 0,

temos que X i∈Z |i|2s|xi|2 ≤ X i∈Z |i|2t|xi|2 <∞,

(26)

logo x ∈ Hs_{. Para vermos que as normas s˜ao decrescentes, basta observarmos que}

|i|2s _{≤ |i|}2t_{. Isto nos mostra, em particular, que a inclus˜ao I : H}t _{→ H}s _{para t} _{≤ s ´e}

cont´ınua.

Proposi¸cão 1.5 Se t > s ≥ 0, então a inclusão I : Ht _{→ H}s _{é compacta, isto é, leva}

conjuntos limitados de Ht _{em subconjuntos relativamente compactos de H}s_.

Lembrando que conjuntos relativamente compactos são conjuntos cujo o fecho é com-pacto. Se um conjunto é relativamente compacto, ele é pré-compacto, isto é, possui uma subcobertura finita por bolas de raio ε > 0. Num espa¸co completo, como é o caso, con-juntos pré-compactos são relativamente compactos.

Prova.

Consideremos o operador linear PN : Ht→ Hs definido por

PNx =

X

|i|≤N

ei2πJtxi

que corresponde ao truncamento da série, tendo assim, imagem de dimensão finita. Logo, PN é compacto e a estimativa

k(PN − I)xk2s = k X |i|>N ei2πJt_x ik2s = 2π X |i|>N |i|2s|xi|2 = 2π X |i|>N |i|2(s−t)|i|2t|xi|2 ≤ N2(s−t)2π X |i|>N |i|2t|xi|2 ≤ N2(s−t)kxk2t

mostra que PN → I na norma do operador, isto ´e, a norma de L(Hs, Ht). Usaremos

isto para mostrar que I também é compacto. De fato, seja ε > 0 e escolhemos N tão grande que kPN − Ik < ε/2 na norma do operador. Se B é a bola unitária em Ht,

então PN(B) ⊂ Hs é coberto por um número finito de bolas de raio ε/2 que estão

centradas nos pontos y1, y2, ..., ym ∈ Hs. Portanto, se x ∈ B, achamos um yj tal que

kPN(x)− yjks< ε/2 e, junto comkPN(x)− I(x)ks< ε/2, implica que kI(x) − yjks< ε.

Logo, I(B) ´e coberto por um n´umero finito de bolas de raio ε > 0. Isto vale para todo

ε > 0 e conclu´ımos que I(B) ´e relativamente compacto em Hs_.

Proposi¸cão 1.6 Seja s > 1/2. Se x ∈ Hs_{, então x} _{∈ C(S}1_{). Além disso, existe uma}

constante c = cs tal que

sup

0≤t≤1|x(t)| ≤ ckxks, x∈ H s_(S1₎

Prova.

Vamos mostrar que a s´erie de Fourier

x =X

i

(27)

que converge em L2_{, tamb´em converge na norma do supremo. Basta considerarmos a} estimativa X i6=0 |e2πJtxi| = X i6=0 |xi| = X i6=0 |i|−s|i|s|xi| ≤ X i6=0 1 |i|2s ! 1 2 · X i6=0 |i|2s|xi|2 ! 1 2 ≤ ckxks,

onde usamos que 2s > 1 e a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Consideremos agora a inclus˜ao

j : H1/2_{→ L}2(= H0). (1.11)

Pela proposi¸c˜ao 1.5, j ´e compacta. Definimos seu operador adjunto j∗ _{: L}2 _{→ H}1/2

por

(j(x), y)L2 =hx, j∗(y)i_1/2 (1.12)

para todos x_{∈ H}1/2 _{e y} _{∈ L}2_{. Veremos agora uma propriedade de j}∗_.

Proposi¸c˜ao 1.7

j∗(L2)_{⊂ H}1 e _kj∗(y)_k1 ≤ kykL2.

Por esta proposi¸cão, a aplica¸cão j∗ _{fatora L}2 _{→ H}1 _{→ H}1/2_{, logo, pela proposi¸cão}

1.5, j∗ _{´e um operador compacto.}

Prova.

Pela defini¸c˜ao do adjunto X i hxi, yii = hx0, j∗(y)0i + 2π X i |i|hxi, j∗(y)ii

para x∈ H1/2 _{⊂ L}2 _{e y} _{∈ L}2_{. Temos ent˜ao que}

j∗_{(y) = y} 0+ X i6=0 1 2π|i|e i2πJt_y i, se y _{∈ L}2_{. Logo,}_kj∗_(y)_k 1 ≤ kykL2.

Teorema 1.2 (Teorema da Proje¸cão Ortogonal) Se M é um subespa¸co linear fe-chado de L2_{, então qualquer elemento x de L}2 _{pode ser expresso de maneira ´}_{unica na}

(28)

Para uma demonstra¸cão deste teorema sugerimos [19]. Este teorema pode ser apli-cado também em subespa¸cos fechados de L2 _{como é o caso dos espa¸cos H}s_.

Veremos agora o Lema Minimax que trata da existência de pontos cr´ıticos de um fun-cional definido num espa¸co de Hilbert. Consideremos a fun¸cão diferenciável f : E _{→ R,} f _{∈ C}1_{(E, R) definida num espa¸co de Hilbert E cujo produto interno é denotado por}

h·, ·i e a norma por kxk2 ₌_{hx, xi para x ∈ E.}

Podemos interpretar os pontos cr´ıticos de f como os pontos de equil´ıbrio da equa¸c˜ao gradiente

x′ =−∇f(x), x ∈ E.

Podemos supor que esta equa¸c˜ao diferencial em E possui um fluxo global ϕt_{, isto ´e,}

podemos resolver o problema de valor inicial de Cauchy unicamente e para todo tempo t_{∈ R:}

d dtϕ

t_{(x) =} _−∇f(ϕt_(x)),

ϕ0_{(x) = x}

para toda condi¸cão inicial x ∈ E. Tal fluxo global existe, por exemplo, se existe uma constante M _{≤ 0 tal que k∇f(x)−∇f(y)k ≤ Mkx−yk para todo x, y ∈ E, pelo teorema} de existência e unicidade de solu¸cões de equa¸cões diferenciais. Além disso, temos que f (ϕt_{(x)) decresce ao longo de solu¸cões não-constantes ϕ}t_{(x). Com efeito,}

d dsf (ϕ s_{(x)) = df (ϕ}s_(x))dϕs(x) ds = df (ϕs_(x))(_−∇f(ϕs_(x))) = _−h∇f(ϕs_(x)),_∇f(ϕs_(x))_i. Em particular, f (ϕt(x))_{− f(x) =} Z 1 0 d dsf (ϕ s_{(x))ds =} − Z 1 0 k∇f(ϕ s_(x)) k2ds _{≤ 0.} (1.13)

Defini¸cão 1.14 Dizemos que f satisfaz a condi¸cão de Palais-Smale (P.S.) se toda seqüência xi ∈ E, satisfazendo

∇f(xi)→ 0, em E, e |f(xi)| ≤ c < ∞

para algum c_{≥ 0, possui uma subseq¨uˆencia convergente.}

Uma vez que supomos f ∈ C1_{, o limite desta subseq¨}_{uˆencia ´e um ponto cr´ıtico de f .}

Defini¸c˜ao 1.15 Se _{F ´e uma fam´ılia de subconjuntos F ⊂ E, definimos o minimax} c(f,_{F) referente a f e F por}

c(f,F) = inf

(29)

Com isso podemos enunciar o lema.

Lema 1.1 (Minimax) Sejam f ∈ C1_{(E, R) e} _{F uma fam´ılia de subconjuntos de E tais}

que

(i) f satisfaz Palais-Smale;

(ii) x′ ₌_{−∇f(x) define um fluxo global ϕ}t_(x);

(iii) A fam´ılia_{F é positivamente invariante pelo fluxo, isto é, se F ∈ F, então ϕ}t_{(F )}_∈

F para todo t ≥ 0; (iv) −∞ < c(f, F) < ∞.

Então o número real c(f,_{F) é um valor cr´ıtico de f, ou seja, existe ¯x ∈ E tal que} ∇f(¯x) = 0 e f(¯x) = c(f, F).

Prova.

Abreviando c = c(f,_{F) que, por hipótese, é um número real, devemos mostrar que para} todo ε > 0, existe x_{∈ E tal que}

k∇f(x)k ≤ ε e c − ε ≤ f(x) ≤ c + ε.

O que faremos é, escolhendo εi = 1/i, encontrar uma seqüência xi que, por

Palais-Smale, possui uma subseq¨uˆencia convergente cujo limite satisfaz ∇f(¯x) = 0 e f(¯x) = c, o que prova o lema. Supomos, por absurdo, que existe ε > 0 tal que

k∇f(x)k > ε (1.14)

para todo x satisfazendo c− ε < f(x) < c + ε. Pela defini¸c˜ao de c, existe F ∈ F tal que sup

x∈F

f (x) _{≤ c + ε}

Seja x_{∈ F . Ent˜ao f(x) ≤ c + ε. Afirmamos que a solu¸c˜ao ϕ}t_{(x) satisfaz f (ϕ}t∗

(x))_≤ c− ε se t∗ _{= 2/ε. Com efeito, como ϕ}t_{(x) ´e decrescente, n˜ao precisamos provar nada se}

f (ϕt_(x)) _{≤ c−ε para algum 0 ≤ t ≤ t}∗_{. Assim, supomos por absurdo, que f (ϕ}t_{(x)) > c}_−ε

para todo 0_{≤ t ≤ t}∗_{. Logo, por 1.14,}_k∇f(ϕt_(x))_{k ≥ ε para 0 ≤ t ≤ t}∗_{. Ent˜ao, por 1.13,}

f (ϕt_(x)) _{≤ f(x) − ε}2_{t nos dando f (ϕ}t∗

(x))≤ c + ε − ε2_t∗ _{= c}_{− ε, o que n˜ao ´e poss´ıvel.}

Fazendo F∗ _{= ϕ}t∗

(F ), acabamos de mostrar que sup

x∈F∗

f (x)_{≤ c − ε,}

mas, pela hip´otese de F∗ _{∈ F, isto contradiz a defini¸c˜ao de c.}

Agora que já temos os conceitos básicos necessários, iniciaremos, no cap´ıtulo que se segue, o estudo do tema central deste trabalho que são as capacidades simpléticas.

(30)

Cap´ıtulo 2

Capacidades Simpl´

eticas

Neste cap´ıtulo, introduziremos o conceito de um invariante simplético chamado capaci-dade simplética. Veremos que a existência de uma capacicapaci-dade simplética é equivalente ao Teorema Nonsqueezing de Gromov. Veremos também a rigidez de difeomorfismos simpléticos e a defini¸cão de homeomorfismos simpléticos inspirados nos homeomorfismos que preservam medida.

Defini¸cão 2.1 Consideremos a classe de todas as variedades simpléticas (M, ω) de di-mensão fixada 2n. Uma capacidade simplética é uma aplica¸cão

(M, ω)7→ c(M, ω) ∈ R+_{∪ {∞}}

que associa a cada variedade simplética um número real não-negativo ou +_{∞ satisfazendo} as seguintes propriedades:

(A1) monotonicidade: c(M, ω)_{≤ c(N, τ) se existe um mergulho simpl´etico ϕ : (M, ω) →} (N, τ );

(A2) conformalidade: c(M, αω) =|α|c(M, ω) para todo α ∈ R, α 6= 0; (A3) n˜ao-trivialidade: c(B(1), ω0) = π = c(Z(1), ω0).

Onde B(1) = _{{(x, y) ∈ R}2n _{| |x|}2 ₊_|y|2 _{< 1}_{} ´e a bola aberta unit´aria e Z(1) =}

{(x, y) ∈ R2n _{| x}2

1 + y12 < 1} é o cilindro aberto simplético unitário no espa¸co padrão

(R2n_{, ω} 0).

Podemos substituir a condi¸c˜ao (A3) por uma mais fraca: (A3′_{) n˜ao-trivialidade fraca: 0 < c(B(1), ω}

0) e c(Z(1), ω0) <∞.

Para entendermos melhor este conceito, vamos compará-lo com o volume, pois neste ponto reside a chave para sua compreensão. Tomemos o módulo da área total

c(M, ω) = Z M ω ,

(31)

no caso das variedades simpléticas bidimensionais. Esta fun¸cão é uma capacidade simplé-tica e, em (R2_{, ω}

0), corresponde `a medida de Lebesgue. Contudo, para n > 1, o invariante

simplético ( vol )1/n _{não é uma capacidade pelo axioma (A3), pois o volume do cilindro}

simplético é infinito. Isto ocorre, pois, para n = 1, a forma simplética é a própria forma área, o que não acontece para n > 1. De fato, a exigência de que c(Z(1), ω0) seja finito

significa que a capacidade é um invariante bidimensional. Esta observa¸cão é essencial para entendermos a capacidade simplética.

Note que capacidades simpléticas são invariantes simpléticos. De fato, dado um sim-plectomorfismo ϕ : (M, ω)→ (N, τ) basta aplicarmos o axioma de monotonicidade a ϕ e ϕ−1_{. Outra conseq¨}_{uência do axioma (A1) é que, tomando a inclusão,}

U _{⊂ V ⇒ c(U) ≤ c(V ),} (2.1)

onde U e V s˜ao abertos de (M, ω). O lema seguinte nos fornece mais alguns exemplos. Lema 2.1 Se U ⊂ (R2n_{, ω}

0) ´e aberto e λ6= 0, ent˜ao

c(λU) = λ2c(U). Prova.

Tomemos o difeomorfismo ϕ : λU _{→ U, ϕ(x) = x/λ. Temos que ϕ}∗_(λ2_ω

0) = λ2ϕ∗ω0 =

ω0. Então ϕ : (λU, ω0)→ (U, λ2ω0) é simplético. Logo, pela conformalidade,

c(λU, ω0) = c(U, λ2ω0) = λ2c(U, ω0).

Como conseq¨uˆencia, temos, para a bola aberta de raio r > 0, que

c(B(r)) = r2c(B(1)) = πr2. (2.2)

O mesmo vale para a bola fechada, usando 2.1, pois B(r) ⊂ B(r) ⊂ B(r + ε) para todo ε > 0. No caso de (R2_{, ω}

0),

c(B(r)) = c(B(r)) = ´area (B(r)), (2.3)

o que corresponde à medida de Lebesgue do disco. Utilizando este fato, vemos que a correspondência entre a medida de Lebesgue e a capacidade simplética ocorre numa classe mais abrangente de conjuntos de R2 _{como mostra a seguinte proposi¸cão.}

Proposi¸c˜ao 2.1 Se D ⊂ R2 _{´e um dom´ınio compacto e conexo com fronteira suave,}

ent˜ao

(32)

Prova.

Come¸camos removendo um n´umero finito de curvas compactas de D para obtermos um dom´ınio simplesmente conexo D0 ⊂ D tal que m(D0) = m(D). Tal dom´ınio ´e difeomorfo

ao disco unit´ario B(1)⊂ R2_{, pelo teorema da uniformiza¸c˜ao [9]. Assim, existem ρ > 0 e}

um difeomorfismo ϕ : B(ρ)_{→ D}0 tal que m(B(ρ)) = m(D0). Dado ε > 0, encontramos

r < ρ tal que D1 := ϕ(B(r)) ⊂ D0 satisfaz m(D1) ≥ m(D) − ε. Pelo Teorema de

Dacorogna-Moser [12], existe um difeomorfismo simpl´etico ψ : B(r) → D1. Como ψ ´e

simpl´etico, usando a monotonicidade, a invariˆancia por simplectomorfismos e 2.3, temos que

m(D)− ε ≤ m(D1) = m(B(r)) = c(B(r)) = c(D1)≤ c(D).

Por outro lado, existe um difeomorfismo ϕ : D → B(R) \ {n´umero finito de discos

abertos de medida total _{≤ ε}. Escolhemos um R apropriado de maneira que ϕ seja}

simpl´etico, pelo Teorema de Dacorogna-Moser [12]. Ent˜ao c(D) _{≤ c(B(R)) = πR}2 _{≤ m(D) + ε.}

Assim, obtemos que m(D)_{− ε ≤ c(D) ≤ m(D) + ε para todo ε > 0.}

Veremos mais alguns exemplos simples: Se U _{⊂ (R}2n_{, ω}

0) ´e aberto e limitado, ent˜ao

0 < c(U) <_∞,

pois U contém uma bola pequena e está contido numa bola grande. Pelo Lema 2.1 e pelo axioma da não-trivialidade, obtemos que

c(Z(r)) = πr2. (2.4)

Tomando U aberto tal que

B(r)_{⊂ U ⊂ Z(r)}

para algum r > 0 e usando 2.4, temos que c(U) = πr2_{, se n > 1, pois, por 2.1,}

πr2 = c(B(r))≤ c(U) ≤ c(Z(r)) = πr2_.

Isto mostra que conjuntos abertos completamente distintos podem ter a mesma ca-pacidade. Agora que já vimos a capacidade dos conjuntos mais simples, como as bolas abertas e fechadas, veremos a capacidade dos elipsóides que será muito importante para a rigidez do grupo de difeomorfismos simpléticos.

Os elips´oides podem ser escritos por

Y (q) =_{{x | q(x) < 1} ⊂ R}2n, onde q ´e uma forma quadr´atica positivamente definida dada por

q(x) = n X i=1 1 r2 i (x2_i + x2_n+i), com 0≤ r1(q)≤ r2(q)≤ . . . ≤ rn(q).

(33)

Proposi¸c˜ao 2.2 A capacidade de um elips´oide Y ⊂ (R2n_{, ω}

0) com invariantes simpl´eticos

lineares r1(Y )≤ r2(Y )≤ . . . ≤ rn(Y ) ´e

c(Y ) = πr1(Y )2.

Prova.

Tomando uma aplica¸c˜ao linear simpl´etica ϕ, temos que B(r1)⊂ Y ⊂ Z(r1),

pois dados dois elips´oides Y1 e Y2, ϕ(Y1)⊂ Y2 se, e somente se ri(Y1)≤ ri(Y2) para todo

1≤ i ≤ n. Logo, por 2.1,

c(Y ) = πr2 1.

Corolário 2.1 Se Y1 e Y2 são dois elipsóides em (R2n, ω0) e ϕ : Y1 → Y2 é um mergulho

simpl´etico, ent˜ao

r1(Y1)≤ r1(Y2).

Vimos v´arios casos de conjuntos com capacidade finita, veremos agora o caso do cilindro

Z1(r) ={(x, y) ∈ R2n | x21+ x22 < r2}

cuja capacidade é infinita apesar de ter a mesma forma do cilindro simplético Z(r). Esta diferen¸ca vem do fato da forma simplética ω0 não ser não-degenerada no plano{x1, x2}.

Com efeito, tomemos o mergulho simpl´etico ϕ : B(N) _→ Z1(r),

ϕ(x, y) = (εx1, εx2, x3, ..., xn,

y1

ε , y2

ε , y3, ..., yn) onde B(N) ´e a bola aberta de raio N ∈ N e ε > 0. Se ε ´e suficientemente pequeno, ϕ(B(N))_{⊂ Z}1(r). Logo, para todo N,

πN2 = c(B(N))≤ c(Z1(r)).

Segue que

c(Z1(r)) = +∞ para todo r > 0.

Este cilindro ´e baseado em 2-planos isotr´opicos.

Defini¸cão 2.2 Seja V _{⊂ R}2n _{um subespa¸co linear. V é dito isotrópico se V} _{⊂ V}⊥_.

Com este conceito, generalizaremos o exemplo acima.

Proposi¸c˜ao 2.3 Sejam Ω ⊂ R2n _{um conjunto n˜ao-vazio aberto e limitado e W} _{⊂ R}2n

um subespa¸co linear com codim W = 2. Então o cilindro Ω + W satisfaz c(Ω + W ) = +_{∞ , se W}⊥ _{é isotrópico}

(34)

Prova.

Podemos supor que Ω cont´em a origem. Como codim W = 2, observamos que dim W⊥₌

2. Logo, se W⊥ _{não é isotrópico, W}⊥ _{é um subespa¸co simplético e R}2n _{= W}⊥ _{⊕ W .}

Escolhemos a base (e1, f1) em W⊥ e supomos que

W ={(x, y) | x1 = y1 = 0}.

Como Ω ´e limitado, temos que, para z ∈ Ω+W , x2

1+y12 < N2para algum N. Portanto,

Ω + W _{⊂ B}2_(N)_{× R}2n−2 _{e, assim, c(Ω + W )}_{≤ c(B}2_(N)_{× R}2n−2_{) = πN}2 _<_{∞, por 2.4.}

Provamos desta forma a segunda afirma¸c˜ao. Para provarmos a primeira, podemos supor que

W =_{{(x, y) | x}1 = x2 = 0}.

Existe α > 0 tal que o ponto (x, y)_{∈ Ω + W , se x}2

1 + x22 < α2. Considerando a bola

aberta B(R), definimos a aplica¸cão simplética ϕ : B(R) → Ω + W , ϕ(x, y) = (εx, y/ε) para ε > 0. Se ε é suficientemente pequeno, toda bola B(R) pode ser simpleticamente mergulhada em Ω + W . Logo, pela monotonicidade,

πR2 = c(B(R)) ≤ c(Ω + W ),

para todo R > 0. Ent˜ao c(Ω + W ) = +∞.

Agora veremos uma das principais conseqüências da existência de uma capacidade simplética

Teorema 2.1 (Nonsqueezing de Gromov) Existe um mergulho simpl´etico ϕ : B(r)→

Z(R) se, e somente se, r _{≤ R.} Prova.

Supondo a existência de uma capacidade simplética, o teorema é uma conseqüência direta da monotonicidade. Se ϕ é um mergulho simplético,

πr2 = c(B(r))_{≤ c(Z(R)) = πR}2,

por 2.2 e 2.4.

A existência de uma capacidade proporciona a constru¸cão de várias outras capaci-dades. Introduziremos agora a espessura de Gromov que foi mencionada no in´ıcio deste cap´ıtulo. Pelo Teorema de Darboux, existe um mergulho simplético de uma bola pequena B(r)_{⊂ R}2n _{numa variedade simplética M de dimensão 2n,}

ϕ : (B(r), ω0)→ (M, ω).

Procuramos a maior bola B(r) que pode ser simpleticamente mergulhada em (M, ω). Defini¸c˜ao 2.3 O n´umero

D(M, ω) = sup_{πr2 _{| existe um mergulho simpl´etico ϕ : (B(r), ω}0)→ (M, ω)}

(35)

r

R (x ,y )-plano1 1

Z(R)

B(r)

Figura 2.1: O Teorema Nonsqueezing de Gromov Observemos que a espessura de Gromov ´e positiva ou +_∞.

Teorema 2.2 A espessura de Gromov D(M, ω) ser uma capacidade simplética é equiva-lente ao Teorema Nonsqueezing de Gromov. Além disso,

D(M, ω)_{≤ c(M, ω)} para toda capacidade c.

Prova.

Primeiro verificaremos a monotonicidade. Seja ψ : (M, ω) → (N, τ) um mergulho

simplético. Se ϕ : B(r) _{→ M é um mergulho simplético, ψ ◦ ϕ : B(r) → N também é.} Tomando o supremo na defini¸cão de D(N, τ ), obtemos

D(M, ω)_{≤ D(N, τ),} pois este ´ultimo ´e tomado num conjunto maior.

Para a conformalidade, devemos mostrar que para todo mergulho simpl´etico ϕ : (B(r), ω0)→ (M, αω) corresponde um mergulho simpl´etico ˆϕ : B

r p|α| ! , ω0 ! → (M, ω). Assim, ter´ıamos D(M, αω) ≤ |α|D(M, ω), pela defini¸c˜ao da espessura de Gro-mov. Mostrando a rec´ıproca tamb´em, obter´ıamos

D(M, αω) =_{|α|D(M, ω).}

Seja ϕ : (B(r), ω0) → (M, αω) um mergulho simpl´etico. Ent˜ao ϕ∗(αω) = ω0 e

ϕ∗_{ω =} ω0 α. Fazendo ρ = r p|α|, definimos o difeomorfismo ψ : B(ρ) → B(r) x _7→ p|α|x e temos ψ∗(ω0 α) = |α| α ω0.

(36)

Logo, se α > 0, a aplica¸cão ˆϕ = ϕ◦ ψ : (B(ρ), ω0)→ (M, ω) é o mergulho simplético

que quer´ıamos. Se α < 0, introduzimos o difeomorfismo ψ0 : (B(ρ), ω0) → (B(ρ), −ω0),

ψ0(u, v) = (−u, v) e fazemos ˆϕ = ϕ◦ ψ ◦ ψ0. Reciprocamente, procedemos da mesma

maneira.

Para vermos que a espessura de Gromov é uma capacidade, resta apenas a não-trivialidade, que mostraremos agora. Se ϕ : B(R) _{→ B(1) é um mergulho simplético,} então R ≤ 1, pois ϕ preserva volume. Por outro lado, a identidade induz um mergulho simplético B(1) → B(1). Logo D(B(1), ω0) = π. Para vermos que D(Z(1), ω0) = π,

usamos o Teorema nonsqueezing de Gromov.

Para mostrar que D(M, ω) é a menor capacidade, seja c(M, ω) uma capacidade qual-quer. Se ϕ : B(r)→ M é um mergulho simplético, então, pela monotonicidade e pela não-trivialidade, πr2 _{= c(B(r), ω}

0)≤ c(M, ω). Tomando o supremo, verificamos a afirma¸c˜ao

e, consequentemente, o teorema.

Defini¸c˜ao 2.4 Dada uma capacidade c, definimos a sua capacidade interna ˇc por ˇ

c(M, ω) = sup{c(U, ω) | U ⊂ M aberto e U ⊂ M \ ∂M}.

Defini¸c˜ao 2.5 Dizemos que a capacidade c tem regularidade interna em M se ˇ

c(M, ω) = c(M, ω).

Proposi¸cão 2.4 A fun¸cão ˇc é uma capacidade com regularidade interna tal que ˇc≤ c. Além disso, se d é uma capacidade qualquer com regularidade interna tal que d_{≤ c, então}

ˇ d_{≤ ˇc.} Prova.

Para a monotonicidade, seja ϕ : (M, ω) _{→ (N, τ) um mergulho simpl´etico entre as} variedades simpl´eticas (M, ω) e (N, τ ). Se considerarmos os abertos U _{⊂ M tal que}

U ⊂ M\∂M e aplicarmos ϕ, obteremos um conjunto, formado pelos abertos ϕ(U) ⊂ N

tal que ϕ(U) _{⊂ N\∂N, menor do que o conjunto de todos os abertos V ⊂ N tal que}

V _{⊂ N\∂N. Logo, tomando o supremo da capacidade destes conjuntos, temos que} ˇ

c(M, ω) = sup{c(U, ω) | U ⊂ M aberto e U ⊂ M\∂M}

≤ sup{c(V, τ) | V ⊂ N aberto e V ⊂ N\∂N} = ˇc(N, τ ).

A conformalidade segue direto da defini¸c˜ao de capacidade. Seja α > 0, ent˜ao ˇ

c(M, αω) = sup{c(U, αω) | U ⊂ M aberto e U ⊂ M\∂M}

= sup_{{|α|c(U, ω) | U ⊂ M aberto e U ⊂ M\∂M}}

= |α| sup{c(U, ω) | U ⊂ M aberto e U ⊂ M\∂M}

= _{|α|ˇc(M, ω),}

onde, na primeira e na última igualdade, usamos a defini¸cão de capacidade interna, na segunda, a defini¸cão de capacidade simplética (mais precisamente, a conformalidade), e na terceira, propriedades do supremo.

(37)

Como, na defini¸cão de capacidade interna, tomamos abertos contidos na variedade, temos que, no caso da bola aberta unitária B(1), π é uma cota superior para ˇc(B(1), ω0).

Para provarmos a n˜ao-trivialidade, resta-nos, ent˜ao, mostrar que dado ε > 0, existe um aberto U ⊂ B(1) tal que π − ε < c(U, ω0). Se tomarmos a bola aberta B(r) ⊂ B(1),

onde r = r 1− ε 2π, ent˜ao, por 2.1, π− ε < π − ε 2 = πr 2 _{= c(B(r), ω} 0)≤ π.

Para a n˜ao-trivialidade do cilindro simpl´etico, usamos o mesmo argumento e o Teo-rema Nonsqueezing de Gromov. Novamente, por 2.1, temos que ˇc_{≤ c.}

Supomos agora que d é uma capacidade com regularidade interna tal que d ≤ c. Então ˇ d(M) = sup_{{d(U) | U ⊂ M e U ⊂ M \ ∂M}} ≤ sup{c(U) | U ⊂ M e U ⊂ M \ ∂M} = ˇc(M). Como exemplos de capacidades com regularidade interna, temos a espessura de Gro-mov, pois é a menor das capacidades, e a capacidade de Hofer-Zehnder como veremos no próximo cap´ıtulo.

Veremos agora o importante conceito de rigidez de simplectomorfismos. O que fare-mos é provar que o grupo de simplectomorfisfare-mos é fechado no grupo de todos os difeo-morfismos com respeito à topologia C0 _{e, com isso, introduziremos o conceito de}

home-omorfismos simpléticos. Isto é um análogo aos difehome-omorfismos que preservam volume e os homeomorfismos que preservam medida.

Teorema 2.3 (Eliasberg, Gromov) O grupo de simplectomorfismos de uma variedade simpl´etica compacta (M, ω) ´e C0_{-fechado no grupo de todos os difeomorfismos de M.}

Este teorema é conseqüência do seguinte resultado.

Teorema 2.4 Sejam c uma capacidade e ψi : B(1)→ R2n uma seqüência de aplica¸cões

cont´ınuas tal que

c(ψi(E)) = c(E),

para todo elips´oide (pequeno) E ⊂ B(1), que converge localmente uniformemente para ψ(x) = lim ψi(x).

Se ψ é diferenciável em 0, então ψ′_{(0) = A é simplética ou anti-simplética, ou seja,}

(38)

Para provarmos o Teorema 2.4, precisamos de alguns lemas.

Lema 2.2 Sejam c uma capacidade e ψi uma seqüência de aplica¸cões cont´ınuas em R2n

que converge localmente uniformente para a aplica¸c˜ao ψ. Suponha que ψi preserva a

capacidade dos elipsóides, isto é, c(ψi(E)) = c(E) para os elipsóides abertos e para todo

i. Se ψ′

i(0) = A existe, ent˜ao ´e um isomorfismo.

Prova.

Suponha que A não é sobrejetiva. Então A(R2n_{) está contido num hiperplano H.}

Com-pondo, se necessário, com uma aplica¸cão simplética linear, podemos supor que A(R2n)⊂ H = {(x, y) | x1 = 0}.

Definimos a aplica¸c˜ao simpl´etica linear ϕ por ϕ(x, y) = (x1

α, x2, ..., xn, αy1, y2, ..., yn) e escolhemos α > 0 pequeno de modo que

ϕ_{◦ A(B(1)) ⊂ B}2(1/16)_{× R}2n−2 = Z(1/16),

onde o 2-disco aberto B2 _{est´a contido no plano simpl´etico com coordenadas} _{x 1, y1}.

Pela defini¸c˜ao de derivada, temos que _{|ϕ ◦ ψ(x) − ϕ ◦ A(x)| ≤ a(|x|)|x|, onde a(s) → 0}

quando s_{→ 0. Logo}

ϕ◦ ψ(B(ε)) ⊂ Z(ε/4),

se ε ´e suficientemente pequeno. Como ϕ_{◦ ψ}i converge localmente uniformemente para

ϕ◦ ψ,

ϕ_{◦ ψ}i(B(ε))⊂ Z(ε/2),

se i ´e sufientemente grande. Pela monotonicidade,

c(B(ε)) = c(ϕ_{◦ ψ}i(B(ε)))≤ c(Z(ε/2)) =

c(B(ε))

4 ,

pois, por hip´otese, ϕ_{◦ ψ}i preserva a capacidade dos elips´oides. Obtemos com isso uma

contradi¸c˜ao, logo A ´e sobrejetiva.

Lema 2.3 Seja A um isomorfismo linear tal que A∗_ω

0 6= λω0. Ent˜ao, para todo a > 0

existem matrizes simpl´eticas U e V tais que U−1_{AV tem a forma}

U−1_{AV =}   a 0 0 a 0 ∗ ∗  

(39)

Prova.

Seja B o adjunto simpl´etico de A satisfazendo

ω0(Ax, y) = ω0(x, By)

para todos x, y e seja ω = B∗_ω

0. Como A ´e isomorfismo, ω 6= λω0.

Afirmamos que existe x tal que ωx 6= (λω0)x para todo λ. Com efeito, suponhamos

que para todo x, existe λ(x) _{∈ R tal que ω(x, ·) = λ(x)ω}0(x,·). Se x 6= 0, existe ξ tal

que ω0(ξ, x)6= 0, pela n˜ao-degenerescˆencia de ω0. Isto vale para todo y numa vizinhan¸ca

U(x) de x. Logo

λ(ξ)ω0(ξ, y) = ω(ξ, y) = −ω(y, ξ) = −λ(y)ω0(y, ξ) = λ(y)ω0(ξ, y),

e λ(ξ) = λ(y) para y numa vizinhan¸ca de x. Como R2n_{\ {0} ´e conexo e a fun¸c˜ao λ(x)}

em R2n_{\ {0} ´e localmente constante, ela ´e constante. Portanto ω(x, ·) = λω}

0(x,·) para

x_{6= 0 e logo para todo x, o que contradiz a hip´otese de que ω 6= λω}0.

Pela afirma¸cão, existe x tal que a aplica¸cão linear (ω0(x,·), ω(x, ·)) : R2n → R2 é

sobrejetiva. Para um a > 0 dado, achamos y tal que ω0(x, y) = 1 e ω(x, y) = a2.

Como ω(x, y) = ω0(Bx, By), podemos escolher duas bases simpl´eticas (e1, f1, ...) e

(e′ 1, f1′, ...) tais que e1 = x, f1 = y, e′1 = Bx a , f ′ 1 = By a . Nestas bases, Be1 = ae′1 e Bf1 = af1′.

Como _{hJAx, yi = hJx, Byi = hB}T_{Jx, y}_{i, temos que A = −JB}T_{J. Representando A}

na nova base como uma aplica¸c˜ao de R2n _{com base (e}

1, f1, ...) em R2ncom base (e′1, f1′, ...),

achamos a representa¸cão U−1_{AV da forma que quer´ıamos. As matrizes simpléticas são}

definidas pelos seus vetores colunas como U = [e1, f1, ...] e V = [e′1, f1′, ...].

Prova do Teorema 2.4.

Suponhamos que ψ(0) = 0. Pelo Lema 2.2, A = ψ′_{(0) ´e um isomorfismo.}

Quere-mos Quere-mostrar primeiro que A∗_ω

0 = λω0 para algum λ 6= 0. Suponhamos, por absurdo,

que A∗_ω

0 6= λω0 para todo λ. Pelo Lema 2.3, encontramos aplica¸c˜oes simpl´eticas U

e V tais que U−1_{AV (B(1))} _{⊂ Z(1/8). Definimos a seq¨uˆencia ϕ}

i := U−1ψiV . Ent˜ao

ϕi → ϕ := U−1ψV localmente uniformemente. Al´em disso, ϕ′(0) = U−1AV . Logo,

ϕ(B(ε))⊂ Z(ε/4) e, consequentemente, ϕi(B(ε))⊂ Z(ε/2) para i suficientemente grande

e ε > 0 suficientemente pequeno. Pela hip´otese sobre ψi, temos que c(ϕi(B(ε))) =

c(B(ε)). Ent˜ao, pela monotonicidade, c(B(ε)) ≤ c(Z(ε/2)), o que contradiz a n˜ao-trivialidade da capacidade. Logo A∗_ω

0 = λω0 para algum λ6= 0.

Pela conformalidade, uma aplica¸cão linear anti-simplética preserva a capacidade. Compondo as aplica¸cões ψi e ψ com a aplica¸cão simplética B =

A √

λ −1