Simulação numérica paralela do escoamento ao redor de risers

(1)

SIMULAÇO NUMÉRICA PARALELA DO

ESCOAMENTO AO REDOR DE RISERS

(2)

SIMULAÇO NUMÉRICA PARALELA DO

ESCOAMENTO AO REDOR DE RISERS

Tese apresentada à Esola Politénia

da Universidade de São Paulo para

a obtenção do título de Doutor em

Engenharia.

Áreade onentração:

Engenharia Meânia

Orientador:

Prof. Dr. Julio RomanoMeneghini

(3)

(4)

Aos amigos Cassio Takeshi Yamamoto, Rodrigo de Andrade Fregonesi, José Ignaio

Hernandez Lopes, Gustavo Roque daSilva Assi.

À Ivone Margarido,portodos osgalhos quebrados durante eapósminha

perma-nênia noNDF.

AosprofessoresdoNDFJoséAugustoPenteadoAranha,ClóvisdeArrudaMartins,

Fábio Saltara,Jorge Baliño.

Ao meu orientador, prof. JulioRomano Meneghini, pelo auxílio,orientação e por

proporionartodos osreursos neessários para aelaboração deste trabalho.

Ao CNPq, peloauxílonaneiro ofereidodurante o doutorado.

À Petrobrás, nas pessoas dos Engenheiros Enrique Casaprima e FranisoRoveri.

ÀminhafamíliaeaminhaesposaClaudia,portodooapoioofereidoduranteestes

anos.

E a todos que não foram aqui menionados, e que de alguma forma ontribuíram

(5)

Neste trabalho, a resposta dinâmia de um riser marítimo devido à geração e

des-prendimento alternado de vórties é investigada numeriamente. O riser é dividido

em seções bidimensionais ao longo de seu omprimento. O Método dos Vórties

Dis-retos é empregado para a determinação das forças hidrodinâmias que agem nestas

seções bidimensionais. As seções hidrodinâmiassão resolvidas independentemente, e

o aoplamentoentre asmesmas é feitoatravésda soluçãoda estrutura no domíniodo

tempo pelo Método dos Elementos Finitos. Os resultados numérios são omparados

om resultados obtidosexperimentalmente.

Proessamento paralelo é empregadopara melhorar aperformane dométodo. As

simulaçõessãorealizadasatravésdeumametodologiamestre-esravo,utilizandoMPI

MessagePassingInterfaeparaexploraroparalelismo. Aesalabilidadedoalgoritmo

é mostrada e disutida.

Este trabalho representa o desenvolvimento de um simuladorque permite,

efetiva-mente, aanálisedinâmiade um riser omaraterístiasedimensõesrepresentativas

das ondiçõesreaisenontradasemampo,aumustoomputaionalfatívelparaseu

uso omouma ferramentade engenharia. Isto éobtidopormeio daténiade

proes-samento paralelo, aliada à solução do esoamento através de um método eiente de

CFD Métododos VórtiesDisretoseàsoluçãodaestruturaatravésdoMétododos

(6)

In this work the dynami response of a marine riser due to vortex shedding is

nume-rially investigated. The riser is divided in two-dimensional setions along the riser

length. The Disrete Vortex Method is employed for the assessment of the

hydrody-namifores atingonthesetwo-dimensionalsetions. The hydrodynamisetionsare

solved independently, and the oupling among the setions is taken into aount by

the solution of the struture inthe time domain by the FiniteElement Method. The

numerialresults are ompared with results obtained experimentally.

Parallel proessing is employed to improve the performane of the method. The

simulations are arried out through a master-slave approah using MPI Message

Passing Interfae to exploit the parallelism. Salability of the algorithm is shown

and disussed.

This work represents the development of a simulator that eetively allows the

dynami analysis of a riser with representative harateristis ans dimensions of real

eld onditions, with a feasible omputational ost for its use as an engineering tool.

Thisisobtainedbymeansoftheparallelproessingtehnique,togetherwithaneient

CFD solution of the ow with de Disrete Vortex Method and the solution of the

(7)

CFD ComputationalFluidDynamis

EP Elemento de Proessamento

LAN LoalArea Network

MEF Métododos ElementosFinitos

MIMD MultipleInstrution Multiple Data

MISD MultipleInstrution SingleData

MPI Message Passing Interfae

MVD Métododos Vórties Disretos

MVF Métododos Volumes Finitos

NUMA Non-Uniform Memory Aess

PVM Parallel Virtual Mahine

SISD Single IntrutionSingle Data

SIMD Single Instrution MultipleData

SMP SymmetriMultiProessing

VIV VibraçãoInduzida por Vórties

(8)

A

Área

C

Amorteimento

C

d

Coeiente de arrasto

C

l

Coeiente de sustentação

D

Diâmetro

Tamanho donúleo do vórtie

(9)

2.1 Fragmentodo CodexLeiester . . . 8

2.2 Esteira de vórties de vonKármán . . . 9

2.3 Modelo de formaçãodo vórtie (GERRARD, 1966) . . . 10

2.4 Regimesde emissãode vórties para ilindros lisos(BLEVINS, 1990) . . . 11

2.5 Relação entre números de Strouhal e Reynolds, ilindros xos (BLEVINS,

1990). . . 12

2.6 Esquema de um riser rígidotípio . . . 14

3.1 Disretização doorpo. Reproduzido de FREGONESI (2002) . . . 31

3.2 Determinaçãodaposiçãoiniialdovórtie. Extraídode FREGONESI(2002) 35

3.3 Série temporaldos oeientes de força(

Nw

=32,

V

0

=

1 ×

10

−5

,

Ut/D

=0,05) 43 3.4 Série temporaldos oeientes de força(

Nw

=64,

V0

=

1 ×

10

−5

,

Ut/D

Ut/D

Ut/D

Nw

=128,

V

Nw

= 128,

V0

=

1 ×

10

−6

,

Ut/D

= 0,05) . . . . 50

4.1 Elemento de barra submetido atração/ompressão. . . 56

4.2 Elemento de viga om quatro graus de liberdade. . . 62

4.3 Elemento de viga om seis graus de liberdade. . . 68

5.1 Superomputador Cray YMP . . . 71

5.2 Cluster de PCs . . . 71

5.3 Exemplo de ódigo FORTRAN om paralelizaçãovia OpenMP . . . 80

5.4 Exemplo de ódigo FORTRAN om paralelizaçãovia MPI . . . 81

6.1 Elemento innitesimalde um riser. Extraído de FERRARI (1998) . . . 83

6.2 Diagrama de orpolivre para um elementode vigaem exão . . . 92

6.3 Diagrama de orpolivre para um elementode barra emtração . . . 94

6.4 Sistemadeoordenadasdoilindroaelerado. ReproduzidodeYAMAMOTO (2002) . . . 114

6.5 OperaçãoBroadast . . . 122

6.6 Operações Satter/Gather . . . 123

6.7 Exemplo de distribuição de dados doriser entre osnós . . . 124

6.8 Exemplo doaoplamentoentre o MEF e MVD . . . 125

6.9 Fluxograma- análise estátiae determinaçãodas matrizesestruturais . . . 127

6.10 Fluxograma- análise dinâmia. . . 127

6.11 Validação domodelo estátio -Envoltórias dos desloamentosna direçãox 130 6.12 Correnteonstante - Envoltóriasdos desloamentos nadireção x . . . 134

6.13 Correnteonstante - Envoltóriasdos desloamentos nadireção y . . . 134

6.14 Correntevariável - Envoltórias dos desloamentos nadireçãox . . . 135

(11)

7.3 Vistado anal,mostrando o arro de reboque e otubo de váuo . . . 142

7.4 Detalhe dotubo de váuo . . . 142

7.5 Detalhe doriser. Vista lateral . . . 143

7.6 Detalhe daseção transversal do riser . . . 143

7.7 Desloamentos longitudinaise transversais -Caso 1 . . . 151

7.16 Comparaçãodos ódigos avaliados -Caso 1 . . . 160

7.20 Comparativode tempos de exeução doódigo. . . 166

(12)

3.1 Parâmetros utilizadosna validaçãodo MVD . . . 42

3.2 Resultados - validaçãoMVD . . . 42

3.3 Resultados obtidos naliteraturapara ilindroslisos xos,

Re

= 10.000 . . 42

6.1 Validação domodelo estátio Dados estruturais . . . 129

6.2 Desloamentos obtidos- Validaçãodomodeloestátio. . . 129

6.3 Validação - Dadosestruturais doriser . . . 132

7.1 Dadosestruturais do riser . . . 149

(13)

1 Introdução 1

1.1 Metodologia . . . 4

1.2 Formato datese . . . 5

2 Revisão Bibliográa 7 2.1 O Meanismode Geração eDesprendimentode Vórties: Aspetos Físios e Revisão História . . . 7

2.2 VibraçõesInduzidas peloEsoamento emRisers . . . 13

3 O Método dos Vórties Disretos 21 3.1 Introdução . . . 21

3.2 Formulação doMVD . . . 22

3.3 Considerações sobre oMVD . . . 37

3.4 ValidaçãodoMVD . . . 40

4 O Método dos Elementos Finitos 51 4.1 Introdução . . . 51

4.2 Coneitos Iniiais . . . 52

4.3 Apliação doMEF a Elementos Estruturais Básios . . . 55

4.3.1 Elementode BarraSubmetido aTração/Compressão . . . 56

4.3.2 Elementode Vigaom QuatroGraus de Liberdade . . . 61

(14)

5.2 Modelos de ProgramaçãoParalela . . . 75

6 Modelamento do Riser 82 6.1 ModeloEstrutural doRiser . . . 82

6.1.1 Análise estátia . . . 82

6.1.2 Análise Dinâmia . . . 91

6.2 Forças Hidrodinâmias . . . 111

6.3 Simulação Paralela doRiser . . . 120

6.4 ModeloCompleto doRiser . . . 126

6.5 ValidaçãodoModelo Estátiodo Riser . . . 128

6.6 ValidaçãodoModelo Dinâmio doRiser . . . 131

7 Resultados 136 7.1 Delta Flume . . . 136

7.1.1 Desrição do Experimento . . . 136

7.1.2 Detalhamento doRiser . . . 144

7.1.3 Condições Estudadas . . . 145

7.1.4 ModelagemNumériado Riser. . . 145

7.2 Aeleração de Desempenho Através doProessamento Paralelo . . . 164

8 Conlusões e Comentários 167

(15)

Introdução

O estudo do fenmeno de Vibração InduzidaporVórties (VIV) tem sido um grande

desao para a indústria de exploração de petróleo. Nessa indústria, são omumente

utilizadas estruturas hamadas risers, que são dutos rígidos ou exíveis, utilizados

respetivamente na perfuração e transporte dopetróleo desde o leito dooeano até a

superfíie. Na Baia de Campos,onde a Petrobrás onentra seu esforço de produção

em águas profundas, estes risers têm omprimento suspenso da ordem de 1.000 a

2.000 metros, e podem estar sujeitos a ondições ambientais diversas, omo ondas de

superfíie, ventos eorrentes marítimasde intensidade edireção variáveis.

É sabido que orpos rombudos submetidos a uma orrente uida levam à geração

e aodesprendimentoalternado de vórties,fenmenoonheido omo vortex shedding.

Estes vórties, por sua vez, interagem om a estrutura através da formação de

am-pos de pressão ílios. As forças ílias resultantes podem levar ao surgimento de

osilaçõesdoorpo que,dependendo dafreqüênia de exitação,são apazes de

sinto-nizar simultaneamentediferentes modos naturais destes elementos, podendo emasos

extremos levar àfadigae aoolapso daestrutura.

É fundamentalque asaraterístias rítiasde uma nova estrutura que esteja

su-jeitaaVIVsejamreonheidasemumafaseiniialdoprojeto. Noentanto,algumasdas

fontesdofenmenodeVIVenvolvemaomplexainteraçãoentre forçashidrodinâmias

(16)

om aresposta dinâmiada estrutura.

Para um melhorentendimentodos fenmenosenvolvidos, umadesrição detalhada

doomplexoampode veloidadesdesenvolvidoaoredor daestrutura éde grande

im-portânia. Neste sentido, a Dinâmia dos Fluidos Computaional ou CFD (do inglês

Computational Fluid Dynamis),porofereer a apaidade de desrever de forma

de-talhada o ampo de veloidades aoredor das estruturas emquestão, vem setornando

uma ferramentade resente importâniana fasede projeto das mesmas.

Dentre as metodologiasomumenteutilizadasemCFD, destaam-se oMétododos

Elementos Finitos (MEF) e o Método dos Volumes Finitos (MVF). Estes métodos

baseiam-se na solução numéria das equações difereniais pariais que desrevem o

esoamento, as hamadas equações de Navier-Stokes. Nestes métodos, o domínio de

álulo é resolvido de forma disreta, através de uma malha. Para se obter uma boa

resolução, a malha deve ser extremamente renada emregiõesonde seonentram os

gradientes elevados, omo por exemplo na amada limite do orpo. Devido à

nees-sidade de utilização destas malhas omputaionais, tais métodos tornam-se

extrema-mente aros em termos de apaidade omputaional e utilizaçãode memória. Estes

inonvenientes levaram aum fortedesenvolvimentode métodos lagrangeanos,quenão

utilizam malha. Um destes métodos de partiular interesse é o Método dos Vórties

Disretos (MVD). De forma geral, o MVD difere dos métodos puramente eulerianos,

tais omo o MVF e o MEF, na medida em que as propriedades do esoamento são

transportadasatravésde partíulas,noaso oshamadosvórtiesdisretos. Este

enfo-que lagrangeano apresenta a grande vantagem de não neessitar de uma disretização

total do esoamento, mas apenas nas regiões onde avortiidade éonentrada.

Um aspeto omum de todos os métodos aqui menionados é a elevada demanda

porreursos omputaionais,tantoemtermosde uso de memóriaomo daapaidade

(17)

dores, interligadosentre siatravésde umarede, barramento,oumesmoporum espaço

omum de memória. O problema pode então ser dividido em sub-problemasmenores,

que são resolvidosmaisrapidamente, ommenorrequerimentode memóriaede forma

simultânea.

O proessamento paralelo pode ser realizado por meio de diretivas de ompilação

ou através do uso de biblioteas de rotinas espeías para este m. As ferramentas

de proessamentoparalelomaisomunsnaatualidadesãooMessage PassingInterfae

(MPI) e o OpenMP. OpenMP é utilizado em máquinas om arquitetura de memória

ompartilhada,tambémhamadas deSymmetriMulti Proessing (SMP). OMPI, por

sua vez, pode ser utilizadotanto em sistemas om arquitetura de memória

omparti-lhada omo de memória distribuída,omo por exemplo lusters de omputadores.

Neste trabalho, é utilizado o MVD para a solução do ampo de esoamento ao

redor do riser. Esta ténia é apaz de forneer de forma expedita, porém om um

grau de onabilidade onsiderado satisfatório para a faixa de números de Reynolds

onde enontram-se boa parte das apliações aqui estudadas, as forças hidrodinâmias

às quaisa estrutura é submetida.

A utilização do MVD juntamente à ténia de proessamento paralelo, apliados

ao problema de VIV em risers marítimos,onsiste no aspeto inéditoe prinipalfoo

deste trabalho. A assoiação destas duas ferramentas viabiliza a simulação de risers

om araterístias e dimensões representativos das ondições reais enontradas em

ampo, a um usto omputaional fatível om os requerimentosneessários para sua

utilizaçãoomoumaferramentadeengenharia,apesardaslimitaçõesinerentesaoMVD

que serão expliitadasao longo destetrabalho.

Deve-se salientarque,apesar dos avanços reentes emapaidade omputaionale

no desenvolvimento de algoritmos, o uso da CFD em tenologia marítima no estágio

(18)

onal que vem sendo observado atualmente, espera-se ampliar ainda mais a gama de

utilizaçãoda CFD omo uma ferramenta de engenharia neste tipo de apliação.

1.1 Metodologia

Ametodologiaempregadanestetrabalhoéessenialmentenuméria,utilizandoum

mo-delo estrutural em Elementos Finitosbaseado na teoria de vigas Euler-Bernoullipara

modelarum riser marítimo,omodesritoemFERRARI(1998). Arespostadinâmia

do riser é obtida através da solução da equação geral do movimento no domínio do

tempo. Oriser édivididoemseçõesbidimensionaisaolongo doseu omprimento,eas

forças hidrodinâmiasatuantesnaestruturasãoavaliadasnestasseçõesbidimensionais

atravésdoMVD. Asseçõesbidimensionaissão resolvidasdeformaindependenteentre

si, e o aoplamento entre as diversas seções hidrodinâmias se dá somente através da

estrutura. Assim, aanálisepodeseronsideradaomoquase-tridimensional. Comesta

formulação, araterístias tridimensionais do esoamento são negligeniadas. No

en-tanto,segundoWILLDEM eGRAHAM(2000),assumindoqueaprinipalomponente

da vortiidade ainda está alinhada om o ilindro, e os gradientes de todas as

variá-veisdo esoamento nadireção daenvergadura podem ser onsiderados muito menores

do que os gradientes nas demais direções, então pode-se assumir que uma simulação

bidimensional, emuma primeiraaproximação,deva forneer bons resultados.

O proessamento paralelo é utilizado para melhorar a eiênia omputaionaldo

ódigo. Um esquema mestre-esravo é empregado através de MPI, onde os proessos

esravos resolvem um determinado número de seções hidrodinâmias, e o proesso

mestre éoresponsável peladistribuição eontrole das tarefas, bemomo pelasolução

do problema estrutural.

(19)

or-1.2 Formato da tese

Este trabalhofoi estruturado naformadesrita aseguir:

•

Oapítulo1apresentaamotivaçãoparaarealizaçãodestetrabalho,noquetange

à sua apliação para a simulação numéria do fenmeno de vibração em

estru-turas oshore devido ao desprendimento de vórties, e desreve a metodologia

empregada.

•

O apítulo2 faz uma breve revisão história do fenmeno de vibração induzida

pela emissão de vórties em geral, e em estruturas marítimas omo risers em

Vórties:

Aspetos Físios e Revisão História

As primeirasobservações dofenmeno de emissão de vórties foramregistradas pelos

antigosgregos,queveriaramque,quandoordastensionadaseramexpostasaovento,

as mesmas vibravam, emitindo sons. No séulo XV, LEONARDO DA VINCI, no

famoso Codex Leiester, reproduziu em uma gura uma esteira de vórties que se

formavaatrás do pilar de uma ponte. No texto, daVini esreve que...o turbilhonar

das águas que se juntam após o objeto que as dividiu irá reirular em direção ao

objetoatingido... eestemovimentotortuosoprosseguirá,omoumaonhahelioidal,

inlinando sempre om a orrentede água.

No entanto, somente a partir do séulo XIX os primeiros estudos formais aera

dofenmenode emissãode vórties foramrealizados. STROUHAL,em1878,veriou

queasvibraçõesnasordasausadas pelovento,desritas pelosantigosgregosomoos

tonseólios,eramproporionaisàveloidadedoventodivididopelodiâmetrodaorda.

Tambémobservou que a intensidade do som aumentava onsideravelmentequando as

(22)

Figura2.1: Fragmentodo Codex Leiester

Em 1879, RAYLEIGH, repetindo o experimento dos antigos gregos, veriou que

uma orda de violinosubmetida a um uxo de ar, ontrariamenteao quese supunha,

vibrava prinipalmente nadireção transversal do esoamento. E em 1896, deniu um

parâmetro adimensional que mais tarde passou a ser onheido omo número de

Strouhal que relaionaa veloidade do esoamento om a freqüênia de emissão de

vórties:

S

=

f

s

D

U

(2.1)

onde

f

s

éafreqüênia de emissãode vórties,

D

odiâmetrodaordae

U

aveloidade do esoamento.

Aperiodiidadeda esteirade um ilindrofoi assoiadaom aformação de vórties

(23)

KÁR-Figura2.2: Esteira de vórties de von Kármán

for obedeida uma razão de espaçamento

b/a

igual a

0 ,

281

, onde

a

é o espaçamento longitudinal e

b

o espaçamento transversal.

HELMHOLTZ (1868)apud SARPKAYA(1989) props queasregiõesom

vortii-dadeelevadapoderiamsermodeladasatravésde partíulasdisretas,omdeterminada

irulaçãoeseçãotransversalinnitesimal,ouseja,linhasdevórties. Estaabordagem

onstitui-seemumadas basesdalassedemétodosnumériosdaqualprovémoMVD,

omo será menionadomais tarde.

ApartirdooneitopropostoporHelmholtz,ROSENHEAD(1931)estudouo

fen-meno da instabilidade entre duas amadas uidas isalhantes. Para isto, modelou a

superfíiede ontato entre asamadasisalhantes omo uma leirade vórties

disre-tos.

Umorporombudoédenido porBEARMAN(1984)omo umorpoque,quando

imersoemumesoamento,gera aseparação doesoamentosobreuma porção

substan-ialdesuasuperfíie. Aseparaçãodoesoamentoemumorporombudolevaàriação

de duasamadasisalhantesnaparteposteriordesteorpo. Ainteraçãoentreestas

a-madasisalhantes,quearregam uidoomvortiidadede sinaisopostos, representaa

razãoessenialdosurgimentodaesteiradevórtiesatrásdoorpo. GERRARD(1966)

(24)

Figura 2.3: Modelo de formaçãodo vórtie (GERRARD, 1966)

à qual o mesmo está onetado. Em um dado instante, este vórtie torna-se de tal

forma intenso que éapaz de atrair aamada isalhanteoposta. As partíulas uidas

pertenentes à amadaisalhante atraídapodementão:

a)sereminorporadaspelovórtie emformação,diminuindoairulação deste

vór-tie;

b)ortar o suprimentode vortiidade para o vórtie emformação, ausando o

des-prendimentodo mesmo;

)formar um novo vórtie, om irulação de sinal ontrário ao do vórtie anterior

e naparte oposta da esteira.

Osprinipaisregimesdeemissãodevórtiespara umilindrolisoemrelaçãoao

nú-mero de Reynolds foramdesritos porLIENHARD (1966),e são mostrados naFigura

2.4, extraída de BLEVINS (1990). O número de Reynolds é denido omo a relação

(25)

Figura2.4: Regimes de emissão de vórtiespara ilindroslisos(BLEVINS, 1990)

Re

=

UD

ν

(2.2)

onde

U

éaveloidadedaorrente,

D

éumadimensão araterístiadoorpo(no aso de ilindros,o diâmetro) e

ν

A faixa de números de Reynolds ompreendida entre

300

e

1 ,

5 ×

10

5

é hamada

faixa subrítia. Nesta faixa, a separação oorre a um ângulo de era de 80graus, e

a emissão de vórties é forte e periódia. Na hamada faixa de transição

1 ,

5 ×

10

5

_≤

Re <

3 ,

5 _×

10

6

(26)

Figura 2.5: Relaçãoentre númerosde Strouhale Reynolds,ilindros xos(BLEVINS,

1990)

era de140 graus,eoarrastoaidramatiamente. Esta éahamadarisedoarrasto.

Nesta faixa, araterizada pelo regime f), a emissão regular de vórties é quebrada,

devido abolhas deseparação laminareefeitostridimensionais,eaesteiraapresenta-se

desorganizada e estreita. No regime g), para

Re >

3 ,

5 ×

10

6

, a emissão regular de

vórties é restabeleida,om a esteira ea amadalimite ompletamente turbulentas.

O gráo da Figura2.5 de autoria de LIENHARD (1966), ACHEMBACH e

HEI-NECKE (1981) e extraído de BLEVINS (1990), mostra a relação entre o número

de Strouhal e o número de Reynolds para ilindros xos de superfíie lisa e rugosa.

Observa-se que a freqüênia de emissão de vórties apresenta um valor pratiamente

onstante, em torno de 0,21, para uma larga faixa de número de Reynolds. Na faixa

orrespondente à faixa de transição, onde a amada limite torna-se turbulenta, o

nú-mero de Strouhalpara ilindroslisosapresenta um salto, hegando aum valorigual a

(27)

Na indústriapetrolíferaoshore,éde sumaimportâniaodimensionamentodos risers

utilizados na perfuração e na extração do petróleo a partir do leito do oeano. Estes

risers são estruturas esbeltas que tem a função de fazer a ligação da plataforma

ma-rítima om o leito do oeano, om a nalidade de realizar atividades de perfuração e

extração.

Osriserspodemserseparadosemdoistipos: rígidoseexíveis. Osrisersrígidossão

formados porseçõestubulares de aço, adauma om omprimentotípio daordemde

12a18metros,eaopladasentresi. Oriser émantido suspensopelaapliaçãodeuma

tensão axial na sua extremidade superior, para evitar que o mesmo seja submetido a

umaelevadaargaaxialdeompressão,oquepoderiaausaraambagemdaestrutura.

Muitas vezes, são utilizados elementos utuadores em volta de algumas das seções

do riser, om o objetivo de diminuir a tração no topo do mesmo. São omumente

empregados em atividades de perfuração.

Osrisers exíveissão dutosformados pordiversasamadasde materiaismetálios

e sintétios, entrelaçados em volta de uma armadura metália. São projetados para

resistir a grandes tensões axiais, porém mantendo uma exibilidade suiente para

aompanhar os movimentos da plataforma, ausada por ventos e ondas. Podem ser

utilizadosemonguraçõesematenária,esãonormalmenteempregadosematividades

de extração de petróleo.

Como omentado anteriormente, quando um orpo rombudo omo é o aso de

um riser é imerso em uma orrente, oorre a formação e desprendimento alternado

de vórties, om o onseqüente surgimento de um ampo de pressão ílio atuando

no riser. Este ampo de pressão ílio gera uma força resultante na direção

trans-versal ao esoamento, podendo levar ao surgimento de osilações da estrutura. Se a

freqüênia desta exitação oinidirom afreqüênia de vibração daestrutura, oorre

(28)

Figura2.6: Esquema de um riser rígido típio

olapso damesma.

Alémdo fenmeno de vibração induzida por vórties VIV, outros fatores

ontri-buem para aumentar a omplexidade da tarefa de dimensionamento dos risers, omo

argasdinâmiasambientaisdevidoaondaseventos, apresença deorrentesde

inten-sidadese direçõesvariáveisom aprofundidade,efeitos deinterferênianoesoamento

ausados por outras estruturas, entre outros. À medida que novas jazidas de petróleo

são enontradas em profundidades ada vez maiores, torna-se de apital

importân-ia um estudo aprofundado dos omplexos fenmenos que permeiam a atividade de

exploração de petróleo em águas profundas. Este desao tem atraído a atenção de

diversos pesquisadores nos últimos anos, através de análise tanto experimentaisomo

de ténias numérias.

BLEVINS(1990),emseu livro,apresenta umasérie de ferramentasanalítiaspara

(29)

em um elemento,propuseramum modeloestruturalbaseado emelementosnitospara

estudararespostadeumriser submetidoaumarregamentohidrodinâmio,modelado

através da equação de Morison. Uma boa preisão foi obtida para os esforços na

direção do esoamento, porém tal preisão é extremamente inueniada pela esolha

dos oeientes empíriosutilizadosnaequação de Morison.

FERRARI(1998)apresentou ummodelosemelhanteaodePATEL eWITZ(1991),

porém inorporando aoarregamento dinâmioa ação de ondas. As forças na direção

do esoamento foram aluladas através da equação de Morison, porém as forças na

direçãotransversalaoesoamentoforamestimadaspormeiodeumaformulação

quase-permanente, proposta porBEARMAN etal. (1984).

MOURELLE (1993) realizou uma análise dinâmia não-linear através do método

de elementos nitos, utilizando uma formulação de elemento de pórtio espaial

o-rotaionado, para o estudo de risers e linhas de amarração. As forças hidrodinâmias

foram estimadas através daequação de Morison.

LARSENe HALSE(1995)apresentaram umestudoomparativode diferentes

mo-delos utilizadosnaprediçãode VIVemestruturas marítimas,desenvolvidos por

diver-sas instituiçõesde pesquisa.

KHALAKe WILLIAMSON (1996) realizaram experimentos om ilindros rígidos

emágua. Foiobservadoque,nosresultadosondeosilindrospossuíambaixasrazõesde

massa (razãoentre amassadoilindroeamassadeuidodesloada)eamorteimento

(razão entre amorteimento e o amorteimento rítio), havia dois regimes de

resso-nânia, ouseja, existiamdois níveisdistintos de limitede amplitude naressonânia, e

não um omo era assumidoanteriormente.

PESCE(1997)estudou de formaanalítiaoproblemadadeterminaçãoda

ongu-raçãoestátiadeequilíbrioedarespostadinâmiadelinhassubmersasemonguração

(30)

propósito de ompreender o meanismo de aoplamento das osilações transversais e

longitudinais ao esoamento, e investigar o patamar de resposta ressonante típio de

ilindros om baixooeiente de massa-amorteimentoreduzido.

WILLIAMSON e GOVARDHAN (2004) apresentaram um resumo de resultados

fundamentais e avanços obtidos no estudo de vibração induzidapor vórties nos

últi-mos vinte anos, abrangendo tanto ténias experimentais quanto omputaionais. Os

autores foaram prinipalmente aspetos omo baixos parâmetros de massa e

amor-teimento, a dinâmia dos vórties e a transferênia de energia que dão origem aos

modos de vibração, o oneito de massa rítia, a relação entre força e vortiidade,

entre outros. São apresentados mapas de modos de formação de vórties, ompilados

a partir de estudos de vibração forçada, e disussões sobre tópios atuais aera do

problema de interaçãouido-estrutura.

OutroaspetointeressanteaeradeVIVestárelaionadoaoefeitodeinterferênia,

quando temosum agrupamento de ilindros. Quando há mais de um orpo imerso na

orrente, padrões não triviais de emissão e desprendimento de vórties são obtidos

devido à proximidade entre os orpos,levando a interações entre osmesmos de difíil

predição. Ofenmeno de VIVemrisers eagrupamentodos mesmos,partiularmente

paraaexploraçãodeóleoemáguasprofundas,passaaserumproblemapotenialmente

omplexo, om grandediuldade para denição dos parâmetrosde projeto.

BEARMAN eWADCOCK (1973) realizaram experimentosom dois ilindros

ir-ulares dispostos lado alado em relaçãoà orrente, para diferentes espaçamentos. Foi

onstatada uma forçamédiade repulsãoentre osilindros,ausada pelodesloamento

dos pontos de estagnação frontais dos mesmos em direção ao vão formado entre eles,

e na direção oposta para os pontos de separação externos. Esta força de repulsão era

tanto maior quanto mais próximosse enontravam osilindros.

(31)

vórtiesemanti-fase,nafaixadeespaçamentoentreumeinodiâmetros,gerandouma

esteira formadaporduas esteirasparalelasemanti-fase. Estaonguraçãomostrou-se

estável para grandes distânias a jusante, porém pode oorrer do esoamento mudar

para emissão em fase, e vie-versa. No entanto, foi onstatado que o esoamento em

fase leva ao desenvolvimento de uma únia esteira de maior esala, onde os vórties

de mesmo sinal se emparelham e rodam um emtorno dooutro. Opareamento leva à

formação de uma únia esteira de vórties binários. Pode-se deduzir que, em alguma

região a jusante, ada vórtie binário oalese em um únio vórtie, assim formando

uma esteirade vórties de vonKármán de maior esala.

ZDRAVKOVICH(1977,1987)produziuumaextensarevisão dofenmenode

emis-são de vórties para agrupamentos de dois ou mais ilindros em ongurações lado

a lado, tandem e oblíquo. Os efeitos de interferênia devido à proximidade e à

es-teira foramategorizados em relação aos diversos tiposde arranjos entre os ilindros.

Foramexaminadosaspetosomoasforças atuandonosilindrosemfunçãodo

espaça-mento entre osmesmos, distribuiçõesde pressão, pers de veloidadee araterístias

da esteira. Foi veriado que, para arranjos em tandem, a emissão de vórties atrás

do primeiro ilindro era suprimida, para um espaçamento entre os mesmos entre 3,5

e 3,8 diâmetros. Uma longa esteira fehada era formada atrás do primeiro ilindro,

sem emissão de vórties. No entanto, uma vigorosa emissão de vórties oorria atrás

do segundo ilindro. Para espaçamentos maiores, onstatou-se que oorria emissão

de vórties em ambos os ilindros. Segundo ZDRAVKOVICH (1977), normalmente

supõe-se que dois ilindros oloados próximos num esoamento omportem-se omo

ilindrosisolados. Porém, essasuposiçãosóéjustiadaquandoosilindrosestão

su-ientementedistantes. Aproximidadeentre osilindrosafetafortementeoesoamento

entre eles, produzindo forças eamposde pressão muito diferentes dos observados em

(32)

os risers, tem oorrido uma grande proura por parte da indústria de exploração de

petróleo por métodos para se alular o esoamento ao redor das estruturas através

de simulações numérias. Embora ainda se enontre em um estágio ainda inipiente

para asoluçãoompleta doesoamentoaoredordestas estruturas,apesar dos grandes

avanços alançados em termos de algoritmos e apaidade omputaional, espera-se

que num futuro próximo aDinâmia dos FluidosComputaional ouCFD, doinglês

Computational Fluid Dynamis venha a apresentar uma resente de importânia

omo ferramentade engenharia para o projeto de estruturas oshore.

Basiamente,existemduasgrandeslassesdemétodosempregadosemCFD.No

pri-meirogrupo,enontram-seosmétodospuramenteeulerianos,omooMétododos V

olu-mesFinitos(MVF)eoMétododeElementosFinitos(MEF).Estesmétodosbaseiam-se

na solução das equações difereniais pariais que desrevem o esoamento, as

hama-das equações de Navier-Stokes. Nesta abordagem,o domínio de áluloé resolvido de

formadisreta, atravésde umamalha. Embora apresentem bons resultados,estes

mé-todossão geralmentemuitoaros emtermosdeapaidade omputaionaleutilização

de memória.

Por seu usto omputaional relativamente baixo, fae aos resultados satisfatórios

obtidos,epelarelativasimpliidadede implementação,umdosmétodosmais

emprega-dos paraestalassedeproblemaédenominadoMétododosVórtiesDisretosMVD.

Suasorigensremontamaotrabalhode HELMHOLTZ(1868). Neste método,as

propri-edades do esoamento são transportadas de forma lagrangeana através de partíulas,

os hamados vórties disretos. Estas partíulas arregam a vortiidade gerada na

amada limite,devido à visosidadedo uido.

CLEMENTS (1973) foi um dos primeirosa desenvolver um algoritmo utilizandoo

MVD. Em seu trabalho, uma distribuição de vórties disretos foi usada para

(33)

outros vórties. Os resultados obtidos em seu trabalho mostramuma boa

onordân-iaemtermosdonúmerode Strouhal,quandoomparadoaos resultadosexperimentais

obtidos por BEARMAN(1965).

CHORIN (1973) apresentou um método numério para a resolução das equações

de Navier-Stokes esritas no plano, baseado no oneito de vórties disretos. Nesse

esquema, efeitos difusivossão modeladosatravés daténiadenominadarandom walk.

SPALARTe LEONARD (1981) apresentaram um algoritmo no qual os vórties

são riados em voltado orpo eemitidos a ada intervalode tempo. A irulação era

alulada impondo-se a ondição de veloidade normal nula na parede do orpo, e a

onveção dos vórties realizadapelalei de Biot-Savart.

NAGANO et al.(1982)estenderamomodelopropostoporSPALARTe LEONARD

(1981),paramodelaradifusãovisosa. Ométodoutilizadoonsistiaemfazerovórtie

disreto possuirum diâmetroqueaumentavaom otempo,simulandoassim osefeitos

de difusão visosa davortiidade.

GRAHAM (1988) props uma ténia híbrida onheida omo vortex-in-ell, na

qual a difusão da vortiidade é modelada de forma euleriana sobre uma malha, e a

onveção davortiidade é feitade formalagrangeana,atravésdos vórties disretos.

PARK e HIGUCHI (1989), utilizandoum modelo baseado nodesrito notrabalho

de SPALART eLEONARD (1981), apresentaram resultados de simulaçõesrealizadas

para orposom seções retangular eirular. Foidestaada a failidadedaadaptação

do método para geometrias arbitrárias.

LEWIS (1991) realizou uma extensa revisão sobre diferentes implementações do

MVD,tantonasuaformapuramentelagrangeanaomonaformulaçãohíbrida

euleriana-lagrangeana,fazendoomparaçõesentreestesesuaapliaçãoprátiadentrodediversos

amposde apliaçãode engenharia.

(34)

dinâmiaassoiada tambémforam estudados.

SIQUEIRA (1999)analisouo esoamentotridimensionalaoredor de um ilindro a

baixosvaloresdenúmerodeReynolds,utilizandooMétododaResoluçãoporPartesdas

equações de Navier-Stokes. A solução do esoamento foi feita através do Método dos

ElementosFinitosutilizandomalhasnão-estruturadasdetetraedros. Foiobservadaboa

onordâniaomdadosexperimentaisobtidosporWILLIAMSON e ROSHKO(1988)

e NORBERG (1994)para númerode Strouhale oeiente de pressão, bemomo em

relação aopadrão das estruturas vortiais aolongo doomprimentodoilindro.

SALTARA(1999),atravésdoMétododosVolumesFinitosemmalhasnão-estruturadas

detriângulos,eempregandooMétododaResoluçãoporPartesdasequaçõesde

Navier-Stokes, realizousimulaçõesbidimensionaisabaixos valoresde número de Reynolds do

esoamento em torno de dois ilindros dispostos em diferentes arranjos, e do

esoa-mentoaoredorde um ilindroisoladolivreparaosilar. Foionstatadoquea máxima

amplitude de osilaçãodoilindro obtidafoi era de metade daamplitude observada

experimentalmente.

WILLDEM e GRAHAM (2000) utilizaramuma ténia quase-tridimensional para

simularoesoamentoemtornodeilindros. Ummétodohíbridoeuleriano-lagrangeano

foi utilizado para resolver o esoamento em torno de faixas bidimensionais da

estru-tura. Um modelo estrutural em Elementos Finitos foi utilizado para resolver a parte

dinâmiaestruturaldoproblema. Asprinipaislimitaçõesdomodeloempregadosão a

desonsideração doamorteimentoestrutural,obaixonúmerode Reynolds empregado

e à limitaçãode osilaçãoda estrutura apenas na direçãotransversal.

YAMAMOTO (2002), utilizando um modelo estrutural baseado no trabalho de

FERRARI(1998),eempregandooMétododos VórtiesDisretosparaaavaliaçãodas

forças hidrodinâmias, analisouo esoamento ao redor de dois risers dispostos lado a

(35)

O Método dos Vórties Disretos

3.1 Introdução

O MVD tem sido objeto de grande desenvolvimento em anos reentes, e provado ser

ummétodopartiularmenteinteressanteparaaanálisedeesoamentosinompressíveis,

transitórioseomgrandesregiõesdeseparação. Estemétodobaseia-senadisretização

doampodevortiidade,emlugardoampodeveloidades,emumasériedepartíulas

hamadasvórtiesdisretos. Cadaumadestaspartíulaspossuiumnúleodetamanho

nito, earregaonsigo umadeterminadaquantidade de irulação. Aspartíulas são

arregadas pelo esoamento livre e pelas veloidades induzidas por elas mesmas. A

natureza lagrangeanadométodoreduzsigniativamentealgunsdosproblemas

assoi-ados a métodos tradiionais,baseados emmalhasomputaionais omo, por exemplo,

difusão numéria,maior omplexidadedos algoritmos,elevado usto omputaional, e

diuldadesem seobteruma boaresoluçãodas estruturasvortiaisde pequena esala.

A onentração de partíulas vortiais em regiões de vortiidade não nula permite à

lasse de métodos omo o MVD apturar estas estruturas om um elevado nível de

detalhe.

Neste método, o orpo é dividido em uma série de painéis, que forneem uma

re-presentaçãopoligonaldasuperfíie. Condiçõesde ontornosão impostaspara garantir

(36)

a distribuição da vortiidade na superfíie do orpo. Os vórties são riados a uma

determinada distânia da superfíie e depois emitidos para a esteira a ada passo de

tempo, sendo onvetados pelo esoamento livre e pelas veloidades induzidas pelos

demais vórties,alulada pelaleide Biot-Savart.

Comosão riadosnovosvórties aadapasso detempo,onúmerototal de vórties

pode rapidamentehegar a níveismuitoelevados, fazendo om queo álulodas

velo-idadesinduzidas,atravésdaleide Biot-Savart,torne-se impratiável. Para evitareste

inonveniente, utiliza-se o oneito de amalgamação. Tal ténia onsiste em juntar

paresde vórtiesquesatisfaçamdeterminadasondições,tornando-osumúniovórtie

ujas propriedadessão ponderadas a partirdos vórties originais.

3.2 Formulação do MVD

Umesoamentoinompressívelpodeser desritomatematiamenteatravésdaequação

da ontinuidade

∇ ·

U

~

= 0

(3.1)

e das equações de Navier-Stokes

D ~

U

Dt

=

−

1 ρ

∇

P

S

∞

(3.3)

onde

S

c

e

S

∞

representam respetivamente afronteira doorpoea fronteirade esoa-mento livre.

Para o aso de um esoamentobidimensional noplano

xy

, e utilizandoadenição de vortiidade, temos

~ω

=

_{∇ ×}

U

~

(3.4)

onde o vetor vortiidade

~ω

= 2

ω~k

. Para o aso de um esoamento bidimensional, podemos onsiderar a vortiidade omo sendo uma grandeza esalar. Apliando-se o

operadorrotaionalnaequação (3.2),eutilizandoaexpressão (3.4),otermo do

gradi-ente de pressão é eliminadodaequação, obtendo-se:

Dω

Dt

=

ν

∇

2

_ω

(3.5)

A equação (3.5) é a equação de transporte da vortiidade. O orpo, devido à

on-dição de impenetrabilidadedouido, éonsideradoomo umalinha de orrente. Para

(38)

u

=

c

(3.8)

Aequação(3.7)satisfazautomatiamenteaequaçãodaontinuidade. Sendoassim,

aoinvésde termosqueresolverdeformasimultâneaasequaçõesde Navier-Stokeseda

ontinuidade para a pressão e veloidade, têm-se que resolver uma únia equação de

transporteparaavariável

ψ

. Comoaequação(3.7)élinear,afunçãolinhadeorrente pode ser esritapara ada vórtie disretoindividualmente,

(39)

A função linha de orrente para um dado ponto no esoamento pode ser esrita

omo asomatóriadas ontribuiçõesdas funçõeslinhade orrentede adaum dos

vór-ties existentes noesoamentomaisoesoamentolivre,quepode seresritoemtermos

da função linha de orrente omo:

ψ

=

U∞y

(3.10)

Para desrevermos omo a vortiidade arregada por ada vórtiedisreto

inuen-ia oesoamento,partimos dadenição de irulação,

Γ =

I

c

~

U

_·

dl

~

(3.11)

e lançando mão doTeoremade Stokes, podemos relaionara irulação oma

vortii-dade:

Γ =

Z

~ω

_·

~ndA

=

I

c

~

U

_·

dl

~

(3.12)

Γ

é também hamado de intensidade do vórtie. Integrando-se a equação (3.11),

(40)

Γ =

H

c

~

U

_·

dl

~

=

U

θ

(2

πr

)

U

θ

=

₂

Γ

_πr

(3.13)

Pela equação aima, nota-se que existe uma singularidade no entro do vórtie.

Para evitar problemas numérios, SPALART eLEONARD (1981) propuseram uma

formulaçãoalternativa, onde ovórtie não é pontual, mas possui um núleo om uma

dimensão nita

σ

. No entro donúleo dovórtie aveloidade énula, e reseaté um valormáximo dado pela equação (3.13). Com esta formulação, a veloidade induzida

pelovórtiepassa a ser:

U

θ

=

Γ

2 π

r

2

₊

_σ

2

(3.14)

Para modelar a difusão visosa dos vórties na esteira, PARK e HIGUCHI (1989)

apudMENEGHINI(1993)propuseramumaleiexponenialparaaveloidadeinduzida:

U

θ

=

Γ

2 πr

1 ₋

e

r

2

4 νt

(3.15)

Esta expressão no entanto não é eiente em termos omputaionais, devido à

(41)

uma expressãoparaataxaderesimentodonúleodovórtieomotempo,onforme

desrito a seguir.

A máxima veloidade induzidaporum vórtie, pelaequação (3.15), é obtida para

r

=

σ

. Assim,

σ

= 2

,

242 √

νt

(3.16)

ouseja,onúleodovórtiereseproporionalmenteàraiz quadradadoprodutoentre

a visosidade e a idade do vórtie. Porém, omo novos vórties são riados a ada

passo de tempo, o armazenamentoda idade de ada um dos vórties torna-se ustosa

em termosde requerimentode memória. Pode-sereesrever aexpressãoaimade uma

forma mais apropriadapara implementação omputaional:

(

σ

t

+∆

t

)

2

= (

σ

t

)

2

+ 5

,

026 ν

∆

t

(3.17)

Assim, o tamanho do núleo do vórtie em um novo passo de tempo pode ser

alulado diretamenteapartirdotamanhodomesmonopasso de tempoanterior,sem

nenhuma referêniaà idade dovórtie.

A téniado núleo resente dovórtie fornee uma maneira eiente, em termos

omputaionais, para a modelagem da difusão visosa da vortiidade, e que fornee

resultados satisfatórios para esoamentos om números de Reynolds elevados, entre

1 _×

10

4

_≤

_Re

_≤

₁

_×

₁₀

5

(42)

deve-se apliar esta ténia om uidado, respeitando os limites nos quais a mesma

apresenta bons resultados.

Comonovosvórties são riadosaadapasso detempo,onúmerototal de vórties

presente nodomínio de álulo durante asimulação pode ar extremamente elevado,

aumentando exessivamente o usto omputaional e inviabilizando simulações mais

longas. Para evitareste problema, utiliza-seaténiadaamalgamaçãodos vórtiesda

esteira. Tal ténia onsiste em juntar pares de vórties que satisfaçam determinadas

ondições, tornando-os um únio vórtie ujas propriedades são ponderadas a partir

dos vórties originais.

Éimportantemanter umamaiorresolução das estruturasvortiaisnas regiões

pró-ximas aoorpo. Assim, um dos ritériospara amalgamação dos vórties é justamente

estarem suientemente distantes doorpo.

A ada passo de temposão veriados os vórties que podem ser unidos. A

amal-gamação entre os vórties é feitasomenteaos pares, entre vórties om irulações de

mesmosinal, eosvórtiesquejátenhamsidosubmetidos aoproessode amalgamação

são exluídos da pesquisa. Supondo dois vórties de irulações

Γ

1

e

Γ

2

, loalizados respetivamentenasposições

z1

e

z2

,aveloidadeinduzidapelosmesmosemumadado ponto

z

antes da amalgamaçãopode ser esrita, emnotação omplexa,naforma:

U

(

z

) =

i

2 π

Γ

1

|

z

₋

z1

_|

+

Γ

2

|

z

₋

z2

_|

!

(3.18)

A veloidadeinduzidaapós aamalgamação édada por

U

′

(

z

) =

i

2 π

Γ

3

(43)

onde

Γ

3

e

z3

são respetivamente a irulação e a posição do vórtie resultante da amalgamação. Fazendo uma expansão da diferença

U

(

z

)

−

U

′

₍

_z

₎

para um valorde

z

grande, obtemos:

U

(

z

)

₋

U

′

₍

_z

_{) =}

i

2 π

h

_(Γ

3 −Γ

1 −Γ

2 )

z

+

(Γ

1 z

1 +Γ

2 z

2 −Γ

3 z

3 )

z

2 i

+

₂

i

_π

(

Γ

3 z

3

2 −Γ

1 z

1

2 −Γ

2 z

2

)

z

3

+

O

|

z

_|

−4

(3.20)

Airulação total deveser onservada, ea posiçãodonovovórtie deveser

ponde-rada pelas irulaçõese distânias dos vórties originais. Assim:

Γ

3

= Γ

1

+ Γ

2

z3

=

Γ

1 z

1 +Γ

2 z

2 Γ

3

(3.21)

Inserindo(3.21),osdois primeirostermosdaequação(3.20) podem ser eliminados.

O tereirotermoéuma estimativadoerrointroduzidopeloproessode amalgamação.

O ritériopara a amalgamaçãoentre dois vórties ser realizadaéo seguinte:

|

Γ

1

Γ

2

|

Γ

1

+ Γ

2

|

z1

−

z2

|

2

(

D0

+

d1

)

1 .

5

(

D0

+

d2

)

1 .

5

< V0

(3.22)

(44)

esteira. Altos valores de

D0

geram grande amalgamação perto da parede do orpo e, onseqüentemente, a esteira longe doorpo tem uma densidade uniforme de vórties.

Para pequenos valores de

D0

a amalgamaçãoserá realizadalonge da parede, havendo uma onentração maior de vórties perto da mesma.

Atolerâniadeamalgamação

V

0

nãopreisaneessariamenteseronstante. Pode-se mantê-la omum valorbaixonas primeirasiteraçõesoquediultaaamalgamação,

gerando emonseqüêniaum resimentoaeleradodonúmerode vórtiese

progres-sivamente aumentá-la durante a simulação, para manter sob ontrole o número total

de vórties.

Quando dois vórties são amalgamados, o tamanho do núleo do novo vórtie

σ

é obtido através da onservação domomento angular:

σ

=

σ1

Γ

1

+

σ2

Γ

2

Γ

1

+ Γ

2

(3.23)

Aonveçãodosvórtieséfeitaatravésdeumesquemadeprimeiraordemexplíito,

Z

t

+∆

t

i

=

Z

i

t

+

U

i

(45)

Figura3.1: Disretização doorpo. Reproduzidode FREGONESI (2002)

esquema de segunda ordem, omo o esquema Adams-Bashforth, porexemplo. Porém,

um esquema de ordem mais alta aarretaria em uma maior utilização de memória e

maior omplexidade doalgoritmo,devido à neessidadede searmazenar aveloidade,

posição eidade de todos os vórties dopasso de tempo anterior.

A partir do desenvolvimento apresentado até o momento, podemos agora estudar

o meanismo de riação dos vórties ao redor do orpo, bem omo avaliar as forças

hidrodinâmiasatuando no mesmo.

Como menionado anteriormente, o orpo é dividido em uma série de painéis, que

forneem uma representação poligonal da superfíie. A Figura 3.1, reproduzida de

FREGONESI (2002)mostraomoéfeitaadisretizaçãodoorpo. Sobreadaum dos

N

w

painéisé riado um vórtie disretode irulação

Γ

i

, a uma distânia

δ

0

aima do

painel. A distânia

δ

0

é feita igual ao tamanho iniial do núleo do vórtie

σ

0

, omo será mostrado adiante.

(46)

a soma das ontribuições da função orrente

ψ

cl

da orrente livre, da função orrente

ψ

vc

dos vórties riados ao redor do orpo e da função orrente

ψ

ve

dos vórties já

existentes noesoamento,ouseja:

ψ

i

=

ψ

cl

+

ψ

vc

+

ψ

ve

(3.25)

onde, em oordenadas omplexas:

ψ

cl

=

I

m

[

Zw

i

(

U

−

iV

)]

(3.26)

ψ

vc

=

−

1

4 π

N w

X

j

=1

Γ

j

ln

Zw

i

−

Zc

j

|

2

+

σ

0

2

(3.27)

ψ

ve

=

−

1

4 π

N v

X

j

=1

Γ

j

ln

Zw

i

−

Zk

j

|

2

+

σ

2

(3.28)

N

v

éonúmero devórtiesnaesteira. Logo,a funçãode orrente noponto

i

édada

por:

ψ

i

=

I

m

[

Zw

i

(

U

−

iV

)]

−

4

1 π

N w

_P

j

=1

Γ

j

ln

(

|

Zw

i

−

Zc

j

|

2

₊

_σ

2

0

)

−

1

4 π

N v

_P

j

=1

Γ

j

ln

(

|

Zw

i

−

Zk

j

|

2

₊

_σ

2

₎

(47)

O esoamento deve satisfazer a ondição de impenetrabilidade na superfíie do

orpo. Assim, asuperfíiedoorpoémodeladaomouma linhade orrente. Para que

isso oorra, temos aseguinteondição:

ψ

i

+1

−

ψ

i

= 0

(3.30)

Destamaneira,garante-sequenãoháuxode massaatravésdasuperfíiedoorpo.

A equaçãoaima é válida para um orpoem repouso. Caso o mesmo esteja em

movi-mento,a veloidadedo orpo deve ser levada emonsideração:

ψ

i

+1

−

ψ

i

=

−

V

~

corpo

.~n.

∆

S

(3.31)

onde

∆

S

é o omprimento do painel e

V

~

corpo

é veloidade do orpo tomada em um referenial inerial. Substituindo-se a equação (3.29) em (3.31), obtemos então um

sistema linear naforma

[

A

]

_{

Γ

_}

=

_{

B

_}

(3.32)

(48)

a

ij

=

1

4 π

ln

|

Zw

i

+1

−

Zc

j

|

2

+

σ

2

0

|

Zw

i

−

Zc

j

|

2

+

σ

2

0

(3.33)

b

i

=

I

m

[(

Zw

i

+1

−

Zw

i

) (

U

−

iV

)]

−

1

4 π

N v

_P

k

=1

Γ

k

ln

_|

_Zw

i

+1

−

Z

k

|

2 +

σ

2 |

Zw

i

−

Z

k

|

2 +

σ

2

−

V

~

corpo

.~n.

∆

S

(3.34)

As inógnitas são as irulações dos vórties reém-riados ao redor do orpo,

Γ

i

.

Pode-se notar que a matriz

A

depende apenas da geometria do orpo, e o vetor

B

depende da veloidade do esoamento livre, da veloidade do orpo e dos vórties já

existentes naesteira. O vetor

B

deve ser realulado a ada passo de tempo.

O valor de

σ

representa o tamanho do núleo do vórtie existente na esteira, que depende daidade domesmo,eéalulado deaordoom afórmula(3.17)paraada

vórtie. Ovaloriniialdonúleodovórtie

σ0

édeterminado,emumaprimeira aproxi-mação,apartirdaondiçãodeveloidadetangenialnulaondiçãodeaderêniana

superfíie doorpo,omo desritoa seguir.

Umvórtiepontual oloadoauma distânia

δ0

daparedeinduzirásobrea mesma uma veloidade igual a

U

=

Γ

2 πδ

0

(3.35)

(49)

Figura 3.2: Determinação da posição iniial do vórtie. Extraído de FREGONESI

(2002)

δ

0

=

Γ

2 πU∞

(3.36)

A intensidade do vórtie para queo mesmo induzauma veloidade igual à da

or-rente livrepode ser estimadaemfunção do omprimentodo painel

∆

S

:

Γ =

I

U

_·

dl

=

U

∞

∆

S

(3.37)

Substituindoa equação (3.37)em (3.36),temos:

δ0

=

∆

S

(50)

Ovalor

δ0

é utilizadotambémomo o valoriniial donúleodo vórtie,

σ0

.

Quando os vórties riados aoredor do orpo são onvetados, ou quando o orpo

é desloado, pode oorrer de os vórties olidirem om o orpo. Quando isso oorre,

estesvórtiessãoeliminadosdasimulação. Porém,deaordoomoteoremadeKelvin,

a irulaçãototal noesoamentodeve ser mantidaonstante aolongo dotempo. Para

isso, a somatóriadas irulações dos vórties reém-riados ao redor do orpo mais a

somatóriadas irulaçõesdos vórties presentes naesteira deve ser nula:

N w

X

i

=1

Γ

i

+

N v

X

k

=1

Γ

k

= 0

(3.39)

Esta equaçãodeveser inluídade algumaformanosistemalinear dadopor (3.32),

paraevitarapropagaçãodeerrosnumérios. Existemduasformasdeseinluiresta

re-lação: substituindo-seumadasequaçõesdosistemalinearpor(3.39),ouadiionando-se

(3.39) aosistema linearsem retirarnenhuma das equações, resultando emum sistema

linear sobre-determinado. Deaordoom PARK e HIGUCHI(1989),a segunda

meto-dologia émais vantajosa, poispermitea inlusãode mais de um orpo noesoamento

sem perdadapreisãonuméria. Osistemasobre-determinadopodeser resolvido

dos novos

vórties riadosaoredor do orpo;

2. Calularas veloidades induzidas atravésda leide Biot-Savart(3.14);

3. Convetar todos osvórties noesoamento,atravésde (3.24);

4. Calularos novos valores de

σ

, de aordo om a equação(3.17);

5. Calularas forças noorpo;

6. Veriarolisão dos vórties om oorpo;

7. Aumular a irulação perdida devido àeliminaçãodestes vórties;

8. Fazer a amalgamaçãodos vórties naesteira;

•

Avançar para um novopasso de tempo.

3.3 Considerações sobre o MVD

O MVD, omo aqui apresentado, pode ser desrito omo um método de passo

fraio-nado, ou seja, as partes visosa e invísida das equações de Navier-Stokes são

toma-das em passos suessivos: iniialmente, a onveção da vortiidade é feita de forma

lagrangeana e invísida, e a seguir os efeitos visosos são inseridos nos vórties

pre-sentes na esteira, modelados através de um dos diversos esquemas disponíveis para

o MVD, omo por exemplo a ténia do núleo resente do vórtie, omo desrito

em SPALART e LEONARD (1981), ou através da ténia Random Walk, omo visto

em CHORIN (1973). Os efeitos visosos devido às fronteiras sólidas são

tradiional-mente levados em onsideração pelageração de vortiidade, implementada através da

imposição daondição de aderênia.

(52)

Do-ontrasteaos métodoseulerianostradiionais. Outraaraterístiainteressanteéa

eli-minaçãodogradientede pressãodas equações, fazendoom queomesmosomenteseja

alulado quando for neessário por exemplo,para a determinaçãode forças sobre o

orpo.

As araterístias aqui desritas apresentam tanto os mais atraentes aspetos do

MVD sob oponto de vistaomputaional, omotambémas suas maioresdiultades.

O MVD apresenta uma onvergênia lenta em termos espaiais, neessitando de um

elevadonúmerodepartíulasparareproduziroesoamentoomumapreisãorazoável.

Osinaldasforçasobtidogeralmenteapresentaumruídoelevado, devendoserestimado

pormeiodeumamédiaduranteumdeterminadonúmerodepassosdetempo. Somente

esoamentospouovisosos podemser modelados,sendoadotadoomoregrageralum

limite inferior de númerode Reynolds emtorno de 100 BARBA et al.(2005).

A imposiçãodafunção linha de orrente éuma das formas de forçar a ondição de

ontorno de impenetrabilidade ou seja, uxo de massa nulo através das paredes do

orpo. A imposição da ondição de ontorno de aderênia, que é satisfeita através da

determinação das irulações dos vórties dispostos ao redor do orpo, é responsável

pelaaproximação,emprimeiraordem,dadistribuiçãodevortiidadeaoredordoorpo,

devido aos efeitos davisosidade.

Estaaproximação,queemulaosefeitosdaamadalimite,éumdosresponsáveis

pe-losresultados insatisfatóriosdoMVD para esoamentosabaixos valores de númerode

Reynolds, devido ao fato de que talaproximação não onsegue apturar orretamente

a distribuição de veloidades dentro daamada limite. Noentanto, aaproximação da

amadalimiteintroduzidapeloMVD, daformaomoéaquiapresentada,ésatisfatória

para uma larga faixade númerosde Reynolds, faixa esta orrespondenteà região

sub-rítia, ondeé observada boaparte das ondiçõesambientaisenontradas naoperação

de risers típios. Naregiãosubrítia,ospontos de separaçãonoilindropermaneem

em uma posição próximaa

80

0

(53)

aolongodesta faixa. OMVD onsegue apturarorretamenteaposiçãodos pontosde

separação sobrea superfíiedo ilindro,nafaixa subrítia.

Outrofatoraserdestaadoéqueaintroduçãodosefeitosvisososatravésdaténia

do núleo resente do vórtie é inonsistente, poisnão onverge para as equações de

Navier-Stokes, omo demonstrado matematiamenteporGREENGARD (1985). Esta

inonsistênia deve-se à formaomo é feitaa adveção dos vórties,sem um limitante

paraoresimentodonúleovortialaolongodotempo. ComovistoemBARBAet al.

(2005),foramriadasalgumasténias parasuperar esta limitação,omoporexemplo

dividir os vórties e redistribuí-los em estruturas menores quando uma determinada

dimensão de orte é alançada, o que fornee um esquema que onverge às equações

de Navier-Stokes, ouatravésdoemprego de ténias hibridaseulerianas-lagrangeanas.

Taissoluçõesapresentamtambéminoveniênias: noprimeiroaso,umadissipação

nu-mériaéintroduzidanométodo,além degerarum resimentoexponenialdonúmero

de vórties presentes na simulação, e no segundo perde-se a araterístia puramente

lagrangeana dométodo.

Apesar das limitações aima expostas, segundo BARBA etal. (2005), o MVD

as-soiado à ténia do resimento donúleo tem sido utilizado om suesso para

eso-amentos pouo visosos e om grandes regiões de separação. No aso partiular de

esoamentos aoredor de ilindros, apresenta bons resultados para a faixa de números

de Reynolds subrítia, forneendo um métodosimples, omputaionalmenteatrativo