Introdu¸c˜ao aos Processos Estoc´asticos

Introdu¸c˜ ao aos Processos Estoc´ asticos

Luiz Renato Fontes

Tempo de chegada e Prob de absor¸c˜ ao

SejaX ∼CM(·,P). Dado A⊂ S, otempo de chegada deX emA

´e a v.a.

H^A= inf{n ≥0 : X_n∈A} (conv: inf∅=∞) Sejah^A_x =Px(H^A <∞) =Px(XatingeA).

QdoAfor uma classe fechada, diremos que h_x^A ´e aprob de absor¸c˜ao em A(saindo dex).

Sejak_x^A =Ex(H^A) =Ex(tempo de chegada em A).

2

Exemplo

P=









1 0 0 0

1/2 0 1/2 0

0 1/2 0 1/2

0 0 0 1









Sejah_x =Px( atingir 4) ek_x =Ex( tempo de chegada em {1,4}).

Temos:

h₁ = 0,h₄ = 1,k₁ =k₄ = 0, e (h₂ = ¹₂h₁+¹₂h₃

h3 = ¹₂h2+¹₂h4

,

(k₂ = 1 +¹₂k₁+¹₂k₃ k3 = 1 +¹₂k2+¹₂k4

.

Segue queh2 = ¹₃,h3= ²₃;k2=k3 = 2.

Teorema I

As probabilidades de chegadah^A = (h^A_x) = (h_x^A,x∈ S) s˜ao a solu¸c˜aom´ınima n˜ao negativa do sistema de eqs lineares

(∗) h^A_x =

( 1, x ∈A;

P

y∈SP_xyh^A_y, x ∈/A.

Obs. 1)fx ≡1 ´e sempre sl¸c de (∗);

2) seh^A_x <1 p/algumx ∈ S, ent˜ao (∗) tem mais de uma sl¸c nneg.

3) seh^A_x ≡1 e (f_x) limitadafor uma sl¸c nneg de (∗), ent˜ao fx ≡h^A_x ≡1.

Dem.Primeira/e, notemos que as probs de cheg satisfazem (∗) — basta condicionar emX1 e observar que, por Markov,

Px(H^A<∞|X₁=y) =Py(H^A <∞),x ∈/ A.

Suponha agora que (f_x) satisfa¸ca (∗). Ent˜ao,f_x =h^A_x = 1 para todox ∈A.

4

Dem. (cont)

Sex ∈/A:

f_x =P

y∈AP_xy +P

y∈A/ P_xy

fy

z }| { X

z∈S

P_yzf_z

=Px(H^A = 1) +X

y∈A/

P_xyX

z∈A

P_yz

| {z }

Px(H^A=2)

+P

y,z∈A/ P_xyP_yzf_z

...

=Pn

i=1Px(H^A =i) +P

x1,...,xn∈A/ P_xx1· · ·P_xn−1xn f_xn

|{z}

≥0

≥Px(H^A ≤n),n≥1.

Logo,f_x ≥limn→∞Px(H^A ≤n) =Px(H^A <∞).

Ru´ına do apostador

S=N;P₀₀= 1;P_x,x+1 =p = 1−Px,x−1,x≥1, p∈(0,1).

0 ´e absorvente. Sejahx =Px( atingir 0), x∈N. Neste caso, (∗) toma a seguinte forma.

h₀ = 1;h_x =p h_x+1+q hx−1,q = 1−p.

Sep6=q (p 6= 1/2), a eq de diferen¸ca acima tem sl¸c geral dada por hx =A+Bλ^x para A,B constantes, onde λ=q/p.

1) Sep <1/2 (jogo desfavor´avel), ent˜ao λ^x → ∞qdo x→ ∞.

Comoh_x ∈[0,1], temos que B = 0, e ent˜ao A=h₀ = 1. Logo, hx ≡1 neste caso.

6

Ru´ına do apostador (cont.)

2) Sep >1/2 (jogo favor´avel), ent˜ao λ^x →0 qdo x→ ∞. Como h_x ∈[0,1], temos queA∈[0,1]. DeA+B =h₀ = 1, segue que B= 1−Ae hx =A+ (1−A)λ^x =A(1−λ^x) +λ^x.

Conclu´ımos que a sl¸c m´ınima corresponde aA= 0, e logo h_x =λ^x =

q p

x

,x∈N.

3) Sep= 1/2 (jogo justo), ent˜ao a sl¸c geral de (∗) ´e h_x =A+Bx, e da limita¸c˜ao dehx, temos novamenteB = 0 e A= 1: hx ≡1.

Obs. Veja o ex. da cadeia de nascimento e morte no livro.

Tempos de chegada esperados

Teorema II

Os tempos de chegada esperadosk^A = (k_x^A) s˜ao a solu¸c˜ao m´ınima n˜ao negativa do sistema de eqs lineares

(∗∗) k_x^A=







0, x ∈A; (i)

1 +P

y∈S

(y∈A)/

P_xyk_y^A, x ∈/A. (ii)

Dem.Vamos primeiro verificar que k^A satisfaz (∗∗):

(i) ´e ´obvio; se x∈/ A, ent˜ao k_x^A =Ex(H^A) =P

y∈SEx(H^A|X₁=y)

| {z }

Markov: 1+Ey(H^A)

Pxy = 1 +P

y∈SPxyk_y^A. Segx satisfaz (∗∗), ent˜ao, para x∈A,gx =k_x^A = 0.

8

Dem. (cont)

Sex ∈/A:

g_x = 1 +P

y∈A/ P_xy

gy

z }| { 1 +X

z∈A/

P_yzg_z

= 1 +Px(H^A ≥2) +X

y∈A/

Pxy

X

z∈A/

Pyz

| {z }

P^x(H^A≥3)

+P

y,z,w∈A/ PxyPyzPzwgw

...

=Pn

i=1Px(H^A ≥i) +P

x1,...,xn∈A/ Pxx1· · ·Pxn−1xn gxn

|{z}

≥0

≥Pn

i=1Px(H^A ≥i),n≥1.

Logo,g_x ≥P∞

i=1Px(H^A ≥i) =Ex(H^A).

Ru´ına do apostador

p≤1/2;kx =Ex(H^{0}), x≥0;

(∗∗) k0 = 0,kx = 1 +q kx−1+p kx+1,x≥1.

Sek₁ <∞, ent˜ao, indutivamente a partir de (∗∗): k_x <∞,x ≥2.

1) Sep = 1/2, supondok₁ <∞, fazendo ∆_x =k_x −kx−1, temos de (∗∗): ∆_x = 2 + ∆x+1; iterando,

∆_x = ∆₁−2(x−1) =k₁−2(x−1),x ≥1. (∗∗∗) Note, no entanto, que ∆_x tem que ser ≥0 para todox ≥1.

Tomandox bastante grande, temos ent˜ao uma contradi¸c˜ao, o que nos leva `a conclus˜ao de quek₁ =∞, e logok_x =∞ ∀x≥1.

(Alternativa/e: de (∗∗∗), temos que k_x =Px

y=1∆_y =k₁x−(x−1)x =x(k₁−x+ 1),

que se torna≤x parax grande, o que ´e absurdo, e conclu´ımos que k_x =∞ ∀x ≥1.)

10

Ru´ına do apostador (cont.)

2)p<1/2. Supondok1 <∞: ∆_x+1=λ∆x−¹_p,x ≥1 (?) Sl¸c geral de (?): ∆_x =Aλ^x+B,x ≥1; subst em (?):

B = 1

q−p = 1 1−2p

Como ∆x ≥0, temos que A≥0, e logo a sl¸c m´ınima positiva de (∗∗) corresponde a A= 0:

k_x =Bx = x 1−2p

Propriedade forte de Markov

Ppdde de Markov: ∀s,t fixos

P(X_s+t =·|X_r,0≤r ≤t) =P(X_s+t =·|X_t) =PXt(X_s =·) Extens˜ao para temposT aleat´orios:

P(X_s+T =·|X_r,0≤r ≤T) =PXT(Xs =·) N˜ao pode ser v´alido em geral; ex.: P=





1/2 1/2 0 0 1/2 1/2 0 1/2 1/2



,

T = sup{n≥0 :Xn= 1} (conv: sup∅= 0) ... tempo da ´ultima visita a 1.

Obs. P(T <∞) = 1

Supondoµ1=P(X0= 1) = 1, como XT = 1 (qc):

P(X_T+1 = 1|X_T) = 06= 1/2 =P11. Precisamos de conds sobreT.

12

Tempos de parada

Dado um e.p. (Ω,F,P) onde haja uma seqX= (X_n)n∈Nde v.a.’s, e uma v.a.T ∈N∪ {∞}, dizemos queT ´e um tempo de parada paraX, se para cada n∈N

o evento {T =n}depender apenas de {X₀, . . . ,X_n}.

Exs. (Suponhamos que ∀n,X_n∈ S enumer´avel) 1)Tempo de1^a passagem: dadox ∈ S, seja

Tx = inf{n ≥1 :Xn=x}.

Ent˜ao{T_x = 1}={X₁ =x}, e para n≥2

{T_x =n}={X₁ 6=x, . . . ,Xn−1 6=x,Xn=x};

logo,T_x ´e um TP.

Obs. SobPx, tb chamamos Tx detempo de retornoa x.

Tempos de parada (exs.)

2) DadoA⊂ S,

H^A = inf{n≥0 :Xn∈A}: tempo de chegadaem A.

Ent˜ao{H^A = 0}={X₀∈A}, e paran ≥1

{H^A =n}={X₀ ∈/A, . . . ,Xn−1 ∈/A,Xn∈A};

logo,H^A ´e um TP.

3)Tempo de ´ultima visita: L^A = sup{n ≥0 :Xn∈A}

N˜ao ´e em geral um TP:{L^A =n}depende de {X_n+k,k ≥0}.

No exemplo 2 slides acima: T =L^{1}. (Mas considere o ex.

P=





0 0 1 1 0 0 0 0 1



)

4) Tempos determin´ısticos s˜ao TP’s.

14

Teorema III (Ppdde forte de Markov)

SejaXuma CM eT um TP (paraX). Ent˜ao∀x;y1, . . . ,yn; x0,x1, . . .∈ S

P(

B

z }| {

X_T+1 =y₁, . . . ,X_T+n=y_n|

A

z }| {

T <∞,X₀=x₀, . . . ,X_T−1=x_T−1,X_T =x)

=Px(X₁=y₁, . . . ,X_n=y_n

| {z }

C

),n≥0.

Dem.P(B|A) =P(B∩A)/P(A) (∗) P(B∩A)

=

∞

X

`=0

P(

D

z }| {

T =`,X0=x0, . . . ,X`−1=x`−1,X`=x,X`+1=y1, . . . ,X`+n=yn)

=

∞

X

`=0

P(X`+1=y1, . . . ,X`+n=yn|X`=x,D)P(X`=x,D)

DadoX`=x,D depende apenas de{X0, . . . ,X`−1}; Markov e hom temp:

P(B∩A) =P^x(X1=y1, . . . ,Xn=yn)P∞

`=0P(X`=x,D) =P^x(C)P(A).

Subst em (∗), segue o resultado.

Ex.: Passeio aleat´ orio simples em Z

q= 1−p∈(0,1)

H_x = tempo de chegada em x =H^{x},x ∈Z. DadoX₀ = 2 eH₁ <∞, temosH₀ =H₁+ ˜H₀, onde

H˜0= inf{n≥0 : XH1+n= 0}.

Pela PFM, temos que, sobP2(·|H₁ <∞), ˜H0 ´e ind deH1 e tem a mesma distr queH₀ sobP1.

Temos ainda queH1 sob P2 tem a mesma distr queH0 sob P1, pela inv por transla¸c˜oes.

16

PAS em Z (cont.)

Logo, para 0≤s ≤1, temos

E2(s^H0) =E2(s^H0,H1<∞) =E2(s^{H1+ ˜H0}|H₁ <∞)P2(H1 <∞)

=E2(s^H1|H₁<∞)E2(s^H˜0|H₁ <∞)P2(H₁<∞)

=E2(s^H1,H1 <∞)E1(s^H0) =E1(s^H0)E1(s^H0) =:φ²(s) Por outro lado, pela PM

φ(s) =pE2(s^H0+1) +qE0(s^H0+1) =psφ²(s) +qs. (?)

Logo, para cadas ∈[0,s),φ(s) satisfaz a eqps x²−x+qs= 0, cujas ra´ızes s˜ao

1±p

1−4pqs²

2ps .

Comoφ´e cont´ınua em [0,1) eφ(0) = 0:

φ(s) = 1−p

1−4pqs²

2ps (∗)

PAS em Z (cont.)

1)P1(H₀<∞) = lim

s→1φ(s)^(∗)= 1−√

1−4pq

2p =

(1, p ≤q;

q

p, p >q.

2) Expans˜ao de Taylor de (∗) em torno de 0. Parak ≥1:

d^k dx^k(

f(x)

z }| { 1−√

1−x) = 1·3···(2k−1)

2k−1 1

2^k (1−x)^{−2k−12 x=0}= _2k¹₋₁ (2k)!

2·4···2k 1 2^k

= _2k¹_−1(2k)!

k!

1 2^k

1

2^k = _2k−1^{1 (2k)!}_(k!)2 1

4^kk! = _2k−1^{1 2k}_{k 1}

4^k

| {z }

ak

k!

Exp de Taylor def em torno de 0: f(x) =P

k≥1akx^k. Logo,φ(s) =P

k≥1 1

2(2k−1) 2k

k

₁

4^k 4^kp^k−1q^ks^2k−1 =P

j≥0pjs^j,

ondep_j =







0, sej par,

1 2j

j+ 1

j+1 2

p^j−12 q^j+12 , sej´ımpar.

18

PAS em Z (cont.)

Identificando: do acima eφ(s) =P

j≥0P1(H0 =j)s^j, segue que P1(H₀=j) =p_j,j ≥0.

Valor esperado

E1(H₀,H₀ <∞) = lims→1φ⁰(s)

Em vez de partir de (∗), vamos diferenciar (?):

φ⁰ =pφ²+ 2psφφ⁰+q⇒φ⁰ =_1−2pφs^pφ2+q −→

s↑1











p+q

1−2p =_1−2p¹ , p≤q (=∞, p=q)

p^q2

p2+q

1−2p^q_p =_1−2q^q/p , p>q Logo,

E1(H₀) = _1−2p¹ , sep ≤q; e E1(H₀|H₀ <∞) = _|1−2p|¹ .

Valor esperado (cont.)

Sejakx =Ex(H0),x ≥1,p ≤1/2.

Notemos que dado queX₀ =x, temos

H₀ = ˜Hx−1+ ˜Hx−2+· · ·+ ˜H₁+ ˜H₀, onde ˜Hx−1=Hx−1 e H˜z = inf{n≥0 : XH˜x−1+···+ ˜Hz+1+n=z},z <x−1.

Inv p/transl: sobPx, ˜Hx−1 ∼H0 sob P1, e logo ˜Hx−1 <∞ qc.

Da PFM, sobPx, ˜H₀, . . . ,H˜x−1 s˜ao iid∼H₀ sobP1, e logo s˜ao todas finitas qc.

Segue prontamente que

kx =Ex(H0) =xE1(H0) = x 1−2p.

20

Recorrˆ encia e Transitoriedade

Xcadeia de Markov emS c/ matriz de transi¸c˜aoP.

O estadox ∈ S ´e dito recorrentesePx(Xn=x i.v.) = 1, onde {X_n=x i.v.}={X_n=x infinitas vezes}

={Xn=x para infinitosn’s}=∩i≥1∪j≥i{Xj =x};

ex ´e dito transit´oriosePx(X_n=x i.v.) = 0.

SejaT_x o tempo de primeira passagem porx:

T_x = inf{n≥1 : X_n=x}, e fa¸camosTx⁽⁰⁾ = 0 e

Tx^(k+1)= inf{n≥Tx^(k)+ 1 : Xn=x}(inf∅=Tx^(k)),k ≥0.

T_x^(r) ´e o tempo dar-´esima passagem de Xpor x,r ≥1.

Parar ≥1, sejaSx^(r)= (

Tx^(r)−Tx^(r−1), seTx^(r−1)<∞,

0, c. c.

Pela PFM, dado queT_x^(r−1) <∞,S_x^(r) indep de S⁽¹⁾, . . . ,S_x^(r−1) e Sx^(r)∼S⁽¹⁾=Tx,r ≥1.

Recorrˆ encia e Transitoriedade (cont.)

SejaV_x o n´umero de visitas deX ax: V_x =P

n≥01{X_n=x}.

Obs. 1){X_n=x i.v.}={V_x =∞}, logo 2)x ´e recorrente ssePx(Vx =∞) = 1, e 3)x ´e transit´orio ssePx(Vx =∞) = 0.

4)Ex(V_x) =P

n≥0Px(X_n=x) =P

n≥0Pxx⁽ⁿ⁾. (1)

Agora, seX0=x: Vx >r ⇔Tx^(r)<∞ ⇔Sx⁽ⁱ⁾<∞,i ≤r.

Fazendof_x =Px(T_x <∞):

Px(V_x >r) =Px(Sx⁽ⁱ⁾<∞,i ≤r) =

r

Y

i=1

Px(Sx⁽ⁱ⁾<∞) =f_x^r (2) Logo,Ex(V_x) =P

n≥0Px(V_x >n) =P

n≥0f_xⁿ. (3)

22

Teorema 1

Vale a seguinte dicotomia

(i) SePx(Tx <∞) = 1, ent˜aox ´e recorrente eP

n≥0Pxx⁽ⁿ⁾=∞ (ii) SePx(T_x <∞)<1, ent˜ao x ´e transit´orio eP

n≥0Pxx⁽ⁿ⁾ <∞.

Corol´ario. Todo estado ´e ou recorrente ou transit´orio.

Dem.Se Px(Tx <∞) =fx = 1, ent˜ao de (2):

Px(Vx =∞) = lim_n→∞Px(Vx >n) = limn→∞f_xⁿ= 1 (x ´e rec.), e tbEx(V_x) =P

n≥0Pxx⁽ⁿ⁾=∞; por outro lado, se f_x <1, ent˜ao Ex(Vx) =P

n≥0f_xⁿ= _1−f¹

x <∞ ⇒Px(Vx =∞) = 0, ex ´e trans.

Obs. Vx ∼Geo(1−fx) (conv: Geo(0) =∞).

Teorema 2

SejaC uma classe de comunica¸c˜ao. Ent˜ao, ou todos os estados de C s˜ao transit´orios, ou s˜ao todos recorrentes.

Obs. Neste contexto, recorrˆencia e transitoriedade s˜ao ditas propriedades de classe, e temos classes recorrentes e classes transit´orias.

Dem.Se x↔y, ent˜ao existemi,j tqP_xy⁽ⁱ⁾,P_yx^(j)>0. Logo, P_xx^(i+k+j)

∗

≥P_xy⁽ⁱ⁾P_yy^(k)P_yx^(j) ⇒P_yy^(k) ≤ ¹

Pxy⁽ⁱ⁾Pyx^(j)

P_xx^(i+k+j). Logo, P

k≥0Pyy^(k)≤ ¹

Pxy⁽ⁱ⁾Pyx^(j)

P

k≥0Pxx^(i+k+j)≤ ¹

Pxy⁽ⁱ⁾Pyx^(j)

P

`≥0Pxx<sup>(`)</sup>.

Logo, sex for transit´orio, ent˜aoy tb ´e transit´orio pelo Teo 1.

∗Pxy^(i+j) CK=P

w∈SPxw⁽ⁱ⁾Pwy^(j)≥Pxw⁽ⁱ⁾Pwy^(j)∀x,y,z∈ S,i,j≥0

24

Teorema 3

Toda classe recorrente ´e fechada.

Dem.Suponha que C seja uma classe n˜ao fechada;

ent˜ao ∃x ∈ C,y ∈ C/ e i >0 tq Px(X_i =y)>0.

ComoPy(Xn=x para algumn ≥0) = 0 (cc: y ∈ C), segue que Px(Xi =y,Xn=x i.v.) = 0⇒Px(Xn=x i.v.)<1.

Logox n˜ao ´e recorrente^Teo1=⇒ x ´e transit´orio ^Teo2=⇒ C´e transit´oria.

Teorema 4

Toda classe fechada finita ´e recorrente.

Dem.Suponha que C seja uma classe fechada e finita.

SeX₀ ∈ C, ent˜ao existex∈ C tq

0<P(X_n=x i.v.)^PFM= P(T_x <∞)Px(X_n=x i.v.).

Logo,Px(Xn=x i.v.)>0, e x n˜ao ´e transit´orio.

Logo,x e C s˜ao recorrentes pelos Teos 1 e 2.

26

Teorema A

Suponha queX∼CM(µ,P) seja irredut´ıvel e recorrente.

Ent˜ao para todo y∈ S, temos que P(Ty <∞) = 1.

Dem.ComoP(T_y <∞) =P

x∈Sµ_xPx(T_y <∞), basta mostrar que

Px(Ty <∞) = 1 para todox,y ∈ S. Podemos escolherj ≥0 tq P_yx^(j)>0. Pelo Teo 1:

1 =Py(Xn=y i.v.) =Py(Xn=y para algumn ≥j+ 1)

=P

z∈SPy(X_j =z)

| {z }

P^(j)yz

Py(X_n=y para algum n≥j+ 1|X_j =z)

| {z }

Marvov, HT:Pz(Xn=y para algumn≥1)=Pz(Ty<∞)

=P

z∈SP^(jyz⁾Pz(Ty <∞)

ComoP_yx^(j)>0, segue da igualdade acima quePx(T_y <∞) = 1.

Recorrˆ encia e transitoriedade no passeio aleat´ orio em Z

1)d = 1, q= 1−p∈(0,1)

Obs. Cadeia irredut´ıvel.

SejaD_n= #{saltos deXpara a direita at´e o tempon}

∼Bin(n,p)

Dado queX₀= 0, temos X_n=D_n−(n−D_n) = 2D_n−n

∴Xn=k ⇔Dn= ^n+k₂

∴ P₀₀⁽ⁿ⁾ = ( _n

n/2

(pq)^n/2, sen= par;

0, sen= ´ımpar.

∴ P

n≥0P₀₀⁽ⁿ⁾=P

n≥0P₀₀⁽²ⁿ⁾=P

n≥0 2n n

(pq)ⁿ (1)

28

PAS em Z

Se o lado direito de (1) for<∞, ent˜ao o PAS em Z ´e transit´orio;

cc, ´e recorrente.

Basta avaliar o comportamento assint´otico dos somandos em (1).

2n n

= (2n)!

(n!)²

Stirling

∼ A√

2n(2n)²ⁿe⁻²ⁿ (A√

n(n)ⁿe⁻ⁿ)² =C 1

√n 4ⁿ

∴ ²ⁿ_n

(pq)ⁿ ∼C ^√1_n (4pq)ⁿ= (_C

√n, sep =q;

√C

nλⁿ, sep 6=q, ondeλ= 4pq^p6=q< 1.

a)p = 1/2: Como P

n≥1√1

n =∞, temos queP

n≥0P₀₀⁽ⁿ⁾=∞, e a cadeia ´e recorrente neste caso.

b)p6= 1/2: ComoP

n≥1 √λⁿ n ≤P

n≥1λ^np6=q< ∞, temos que P

n≥0P₀₀⁽ⁿ⁾<∞, e a cadeia ´e transit´oria neste caso.

PAS sim´ etrico em Z

X0 =0 (origem deZ²)

Seja ˆZ² a redeZ² rotacionada por 45^o em torno da origem, e multiplicada por√

2. Ent˜ao, as proje¸c˜oes ortogonais de√

2Xn nos

eixos coord de ˆZ²,X_n⁺ eX_n⁻, s˜ao PAS sim´etricos emZ, indeps.

∴P⁽ⁿ⁾₀ =P0(Xn=0) =P0(X_n⁺= 0,X_n⁻= 0|X₀⁺= 0,X₀⁻= 0)

=P0(X_n⁺= 0|X₀⁺= 0)P0(X_n⁻= 0|X₀⁻= 0)

= (P⁽ⁿ⁾₀ )² =





 h n

n/2

₁

2ⁿ

i2

∼ ^C_n⁰, n par;

0, n´ımpar.

ComoP

n≥1 1

n =∞, temos que P

n≥1P⁽ⁿ⁾₀ =∞, e o PASS emd = 2 ´e recorrente.

1/4 1/4

1/4

1/4

30

PAS sim´ etrico em Z

, d ≥ 3

d = 3,X0 =0

Sejae1= (1,0,0), e2= (0,1,0), e₃= (0,0,1).

Ent˜aoX_n=Pn

i=1B_iV_i, onde indep

(B1,B2, . . .iid∼Ber({−1,+1}; 1/2);

V_i,V₂, . . .iid,P(V₁ =e_i) = 1/3,i = 1,2,3.

n≥1: N_n⁽ⁱ⁾={j ≤n :V_j =ei},Nn⁽ⁱ⁾ =|N_n⁽ⁱ⁾|;i = 1,2,3;

⇒ (Nn⁽¹⁾,Nn⁽²⁾,Nn⁽³⁾)∼Mult(n;¹₃,¹₃,¹₃).

DadosN_n⁽¹⁾,N_n⁽²⁾,N_n⁽³⁾: Un⁽ⁱ⁾ :=P

(i)B_j ∼ Bin(Nn⁽ⁱ⁾),i = 1,2,3, independentes

e₁ e₂ e₃

1/6 1/6

1/6 1/6 1/6 1/6

PASS em Z

Sen for ´ımpar, ent˜ao P⁽ⁿ⁾₀₀ =P0(X_n=0) = 0; qdo n for par:

P⁽ⁿ⁾00 = 1 6ⁿ

X

n1,n2,n3 pares n1 +n2 +n3 =n

n!

n₁!n₂!n₃!

3

Y

i=1

ni

n_i/2

= 1 6ⁿ

X

n1,n2,n3 pares n1 +n2 +n3 =n

n!

(Q3

i=1ni!/2)²

n=2k= 1 6^2k

X

k₁+k₂+k₃=k

(2k)!

(k₁!k₂!k₃!)² = 2k

k 1

2^2k X

k₁+k₂+k₃=k

k k₁k₂k₃

²1 3

^2k

≤ 2k

k 1

2^2k

| {z }

∼const/√ n

×1

3^k max

k1+k2+k3=k

k k1k2k3

No caso em quek = 3m=k1+k2+k3, pode-se checar que 3m

k₁k₂k₃ †

≤ 3m

m m m Stirling

∼ A√

3m(3m)^3me^−3m (A√

m m^me^−m)³ =const k 3^k

†sek1<m<k2: _k^3m

1k₂k₃

< _k ^3m

1+1k₂−1k₃

32

PASS em Z

(cont.)

Logo, P⁽ⁿ⁾₀₀

(∗)

≤ const/n^3/2, sen= m´ult de 6; = 0, se n= ´ımpar.

Mas note que P^(6m)₀₀ ≥







1 6

2

P^(6m−2)₀₀

1 6

4

P^(6m−4)₀₀

⇒(∗) vale∀ n par.

∴P

n≥1P⁽ⁿ⁾₀ <∞, pois P

n≥1 1

n^3/2 <∞, e logo o PASS emd = 3 ´e transit´orio.

Obs. Similarmente podemos argumentar que o PASS emZ^d ´e transit´orio emd ≥4.