Limites, derivadas e integrais - Formulário e exemplos

(1)

Limites, derivadas e integrais - Formulário e exemplos

(2)

Caro leito r,

Este b re ve trab alho te m a finalid ad e d e uxiliá-lo c o m a te o ria e n- vo lve nd o limite s, d e rivad as e inte grais, e p ara isso ap re se nta d ive rsas ta- b e las q ue fac ilitarão o s c álc ulo s e a me mo rizaç ão d e fó rmulas. O b ras mais e xte nsas há p ub lic ad as ( v. re f . [ 7 ] ), p o ré m e stão d irigid as mais ao p ro fe sso r o u ao mate mátic o e sp e c ializad o e p o r isso se to rnam às ve ze s p o uc o p ráti- c as p ara c o nsultas ráp id as.

A fim d e e nriq ue c e r o mate rial ap re se ntad o , intro d uzi um c ap ítulo c o nte nd o e xe mp lo s d e e xe rc íc io s re so lvid o s, uma ve z q ue ap e nas a fo rmu- laç ão te ó ric a não se ria sufic ie nte me nte c lara ( v. p . e x . a f o rm u laç ão d o m é to d o d e

in te g r aç ão p o r p ar te s n o c ap ítu lo T é c n ic as d e I n te g r aç ão e a m an e ir a c o m o o m é to d o é ap lic ad o n o s e x e m p lo s ). A lguns d o s e xe mp lo s fo ram e xtraíd o s d as o b ras c o nsultad as, mas a maio ria fo i e lab o rad a p o r mim, lo go , q ualq ue r e rro p e ç o ao le ito r q ue m

H

ind iq ue p ara q ue uma ve rsão c o rrigid a p o ssa se r ap re se ntad a. A s- sim, to d o s o s c o me ntário s e suge stõ e s visand o ap e rfe iç o á-lo e e nriq ue c ê -lo se rão b e m-vind o s.

Finalizand o , ac re sc e nto q ue não so u mate mátic o ne m p ro fe sso r d e mate mátic a, mas ap e nas um c urio so q ue go sta d o s núme ro s.

Gil Cle b e r gilc c arvalho @ ig. c o m. b r www. gilc le b e r. c o m. b r

(3)

- 1 -

L i m i t e s



Propriedades Sendolim ( )

x a f x L

 = ^elim ( )

x g x M

¥ = ^{, então:}



Infinito

 Limites infinitos 1) lim

x a

c c



= 5) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )

x a x a

x a

f g x f x g x L M

 



⋅ = ⋅ = ⋅

2) lim[ ( )] lim ( )

x a x a

c f x c f x c L

 

⋅ = ⋅ = ⋅

6) lim[( ) ( )] lim ( )

n

n n

x a x a

f x f x L

 

é ù

=êë úû =

3) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )

x a x a

x a

f g x f x g x L M

 



+ = + = + lim ( )

7) lim ( ) ( 0)

lim ( )

x a

x a x a

f f x L

x M

g g x M



 

éæ ö÷çêç ÷÷ ùú = = ¹ êç ÷çè ø ú

ê ú

ë û

4) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )

x a x a

x a

f g x f x g x L M

 



- = - = - 8) lim ( ) lim ( )

( * e 0, ou n é ímpar e 0)

n n n

x a x a

f x f x L

n L L

 

= =

Î ³ £

( ) ( ) ( )( )

lim , lim lim

x a f x x ag x x a f g x

 = ¥  = ¥   + = ¥

( ) ( )

⁰

( )( )

₀⁰

lim , lim lim

x a x a x a

f x g x b f g x b

b

  

ìï+¥  >

= +¥ = ¹  ⋅ = íïï-¥  <ïî

( ) ( )

⁰

( )( )

⁰₀

lim , lim lim

x a x a x a

f x g x b f g x b

b

  

ìï-¥  >

= -¥ = ¹  ⋅ = íïï+¥  <ïî

( ) ( ) ( )( )

lim , lim lim .

x a f x x ag x x a f g x

 = ¥  = ¥   = +¥

( ) ( ) ( )( )

lim , lim lim .

 = +¥  = -¥   = -¥

( ) ( )

¹ ⁰

lim lim

x a f x x a

 = ¥   f x =

( )

⁰

( )

¹

lim lim

x a f x x a

 =   f x = +¥

(4)

Não se estabelece lei para os seguintes casos:

 Limites no infinito Todas as propriedades valem tanto para lim

x+¥ quanto para lim

x-¥.

Não se estabelece uma lei para os seguintes casos:

( ) ( ) ( )( )

lim , lim lim ?

x a x a x a

f x g x f g x

 = ¥  = ¥   - =

( ) ( ) ( )( )

lim , lim lim ?

x a f x x ag x x a f g x

 = +¥  = -¥   + =

( ) ( )

⁰

( )( )

lim , lim lim . ?

 = ¥  =   =

( ) ( ) ( )

lim , lim lim ?

x a x a x a

f x g x f x

 g

  

æ ö÷ç ÷

= ¥ = ¥  ç ÷ç ÷çè ø =

( ) ( ) ( )( )

lim , lim lim

x x x

f x g x f g x

¥ = ¥ ¥ = ¥  ¥ + = ¥

( ) ( )

⁰

( )( )

₀⁰

lim , lim lim

x x x

f x g x b f g x b

b

¥ ¥ ¥

ìï+¥  >

= +¥ = ¹  ⋅ = íïï-¥  <ïî

( ) ( )

⁰

( )( )

⁰₀

lim , lim lim

x x x

f x g x b f g x b

b

¥ ¥ ¥

ìï-¥  >

= -¥ = ¹  ⋅ = íïï+¥  <ïî

( ) ( ) ( )( )

lim , lim lim .

x f x x x x f g x

¥ = ¥ ¥ = ¥  ¥ = ¥

( ) ( ) ( )( )

lim , lim lim

x x x

f x x f g x

¥ = +¥ ¥ = -¥  ¥ + = -¥

( ) ( )

¹ ⁰

lim lim

x f x x

¥ = ¥  ¥f x =

( )

⁰

( )

¹

lim lim

x f x x

¥ =  ¥f x = +¥

( ) ( ) ( )( )

lim , lim lim ?

x f x x g x x f g x

¥ = ¥ ¥ = ¥  ¥ - =

( ) ( ) ( )( )

lim , lim lim ?

x f x x g x x f g x

¥ = +¥ ¥ = -¥  ¥ + =

( ) ( )

⁰

( )( )

lim , lim lim . ?

x f x x g x x f g x

¥ = ¥ ¥ =  ¥ =

( ) ( ) ( )

lim , lim lim ?

x x x

f x g x f x

¥ = ¥ ¥ = ¥  ¥g =

(5)

- 3 -



Limites trigonométricos

 Limite trigonométrico fundamental

0

limsen 1

x

 x =



Limite de uma função polinomial Seja f x( )=a₀ +a x₁ +a x₂ ² ++a x_n ⁿ

( ) ( )

limx a f x f a

 =

 Função racional:

( )

¹ 1¹ ¹ ⁰ ^*+

1 1 0

lim , ,

m m

n n

x

n n

a x a x a x a

f x m n

b x b x b x b

- -

¥ -

-

+ + + +

= Î

+ + + +



 

( ) ( ) ( )

, lim , lim

, lim 0

am

x bn

x x

m n f x

¥

ìï = =

ïïïï > = ¥ íïïï < = ïïî

Esses limites são fundamentados no fato de que lim 0

x

a

¥x = (v. ex. 1, 2 e 3).



Limites exponenciais e logarítmicos

 Limites exponenciais

 Limite exponencial fundamental lim sen sen

x a x a

 = lim cos cos

x a x a

 =

lim tg tg

x a x a

 = lim sec sec

x a x a

 =

lim0 ^x 1

x a

  lim ^x ^b

x ba a

 

lim ^x , 1

x a a

    lim ^x 0, 1

x a a

  

lim ^x 0, 0 1

x a a

    lim ^x , 0 1

x a a

    

  ^com ^e

 

lim ^{f x} , 0 1 lim

x ba c a x b f x c

     

lim 1 , 1 0

2, 7182818284...

x n x

n e x e x

x e



 

    

 

 



 

¹

lim 10 ^x , 1 0

x x e x

     

(6)

 Limites logarítmicos



Regra de L’ Hôpital

Cálculo de limites nos casos indeterminados: , ¥, ⋅¥ ¥-¥, , , ¥ ^¥

¥

0 0

0 0 0 1

0 e ^.

 Casos ⁰₀, ^¥_¥

Derivam-se independentemente o numerador e o denominador da função, até obter um caso de limite calculável pelas técnicas conheci- das, com o numerador ou o denominador, ou ambos, diferentes de 0 ou de ¥. (v. ex. 4)

 Caso 0⋅¥

( ) ( )

lim

x af x g x

 ⋅ caso em que ^lim

( )

x a f x

 = ¥^e^lim

( )

x ag x

 =0

Faz-se

( )

( ) 1 f x

g x

ou

( )

( ) 1 g x

f x

, o que tornar os cálculos mais simples reduzindo-se ao caso 0 0^ou

¥

¥. (v. ex. 5)

 Caso ¥-¥

( ) ( )

limx af x g x

 - caso em que ^lim_x__a^{f x}

( )

^{= ¥}^e^lim_x__a^{g x}

( )

^{= ¥}

Escreve-se ^{f x}

( )

-^{g x}

( )

^como ^{( ) ( )}

( ) ( )

1 1

1 g x f x

f x g x -

⋅

, quociente que assume a forma do caso 0

0, e se procede como nesse caso. (v. ex. 6)

 Casos 0⁰, ¥⁰ e 1^¥

Tem-se ^{f x}

( )

^{g x}^{( )}, sendo que

( )

( ) ( )

lim lim lim

0

x a 0

x a x a

f x f x g x



ì =

ïïï  =

íï = ¥

ïïî ^{; ou}^lim

( )

¹

x af x

 = ^{com o}^lim

( )

x ag x

 = ¥^: Nos três casos, deve-se calcular ^lim

( )

^{g x}^{( )} ^lim

( )

^log

( )

x af x x ag x f x

 =  ⋅ , aplicar a técnica utilizada na forma 0⋅¥^{e fazer}

( )

^{( )} ^lim ^{( )}^log ^{( )}

lim f x

^{g x}

= e

^ ^{g x}^⋅ ^{f x}

0

lim 1 ln , 0

x x

a a a

 x

   ^{lim ln}^x^⁰ ^x ^{ }^{, 0} ^{ }^x ¹

 

lim log1 _a 0

x x

  ^{lim log}x b



ax



^{log , 0}ab a ^1,b ⁰

    

lim log_a , 1

x x a

   

0

lim log_a , 1

x

x a

    

lim log_a , 0 1

x x a

    

0

lim log_a , 0 1

x

x a

     

   

lim log_a 0, com 0 1 e lim 1

x b f x a x b f x

     

lim ln0 , 0 1

x x x

    

   

lim log_a , com 0 1 e lim

x b f x c a x b f x c

     

(7)

- 5 -

D e r i v a d a s



Derivadas de operações entre funções — propriedades Dadas duas funções ^{f x}

( ) ( )

^e ^{g x} ^{, temos:}

Seja ^y^^{u u}²^, ^^{u x}

 

^:

Seja ^y^^{u u}³^, ^^{u x}

 

^:

 Conseqüências das propriedades Seja a função ^{f x}

 

^:

   



^{f x} ^^{g x}



^’ ^ ^{f x}^’

^{   }

^^{g x}^’



^{f x}

^{   }

^^{g x}



^’ ^ ^{f x g x}^’

       

^^{f x} ^g’ ^x



^{c f x}^

  

^’ ^{ }^{c f x}^’

^{ } 

^{f g x}

    

^{’ = f’}

 

^{g x}

^{ }

^^{g x}^’

^{ }

           

 

2

f’ g’

’

f x x g x f x x

g x g x

  

  

 

 

dy 2 du

dx  udx d y²2 d

 

2 du 2 d du 2 du ² 2 d u²2

u u u

dx dx dx dx dx dx dx

 

   

        

2 2 2

. 2 3

dy du du du

u u u u u u

dx dx dx dx

 

    

2 2 2

2

2 6 3 2

d y du d u

u u

dx dx dx

 

     

 

^{f x}

 

^k ^’ ^{k f x}

  ^{ }

^k^¹ ^{f x}^’

^{ }

   

 

  ^_^log^a

 

^{f x}

 

^{ }_^’ _{f x}

_{ }

¹__ln_a ^^{f x}^’

^{ }

  ^’   ^ln ^’

 

f x f x

a a a f x

    

 

  ^_^sen

 

^{f x}

 

^{ }_^’ ^cos

 

^{f x}

^{ }

^^{f x}^’

^{ }

      ^{ } ^{ }

cos f x ’ sen f x f x’

    

  ^_^tg

 

^{f x}

 

^{ }_^’ ^sec²

 

^{f x}

^{ }

^^{f x}^’

^{ }

   

²

^{ }

1 1

arc cos f x ’ f x’

f x

    

 



   

²

^{ }

1 1

arc ens f x ’ f x’

f x

   

 



   

 

¹

 

²

^{ }

1

arc tg f x ’ f x’

f x

   

 

 ^__^{f x}

 

^{g x}^{ }^__^’ ^ ^{f x}

 

^{g x}^{ }^_^{g x}

 

^.ln^{f x}

 

^_^’

(8)

Sobre essa última derivada, tendo-se em vista que

 

â^x ^’^â^x ^lnâ^{, então}



Derivadas de algumas funções elementares

 

^{g x}^{ } ^’

 

^{g x}^{ }

 

^.ln

 

^{’ =}

 

^{g x}^{ }

 

^ln

       

¹

f x f x g x f x f x g x f x g x f x

f x

 

       

   

   

' '

 

^{g x}^{ }

 

^ln

     

^{g x}^{ } ¹

 

f x g x f x g x f x ^ f x

 '  '

’ 0 c 

 

^x^k ^’^^kx^k^¹

 

^ln^x ^’ ^ _x¹

 

â^x ^’^â^x^lnâ ^

 

^e^x ^’^^e^x



^log



^’ ¹ ^log

ln

a a

x e

x a x

 

( )

^k ^xⁿ ^’⁼ ^nx_kⁿ^k^-¹

*, par

k Î+ k  f é derivável em (0,+¥)

*, ímpar

k Î+ k  f é derivável em __-{ }0

(

^ax² ⁺^bx ⁺^c

) (

^’⁼ ² ^ax²^ax² ⁺⁺^bx^b⁺^c

)

Ver exemplo 10.

De um modo geral, temos:

( ) ( )

^m ^’

( ) ^{( )}

^mⁿ ^’

^{( ) ( )}

^’ ^{m n}ⁿ

n m

f x f x f x f x

n é ù -

é ù ê ú

ê ú = ê ú = ⋅

ê ú ê ú

ë û ë û



^sen^x



^’ ^^cos^x



^sen²^x



^’^ ²^{sen cos}^x ^x



^cos^x



^’^{ }^sen^x



^cos²^x



^’^{ }²^{sen cos}^x ^x

 

^tg^x ^’ ^^sec²^x

 

² 2

2tg tg ’

cos x x

 x



^{cot ’}^x



^{ }^{cos sec}²^x



²



2

2cotg cotg ’

sen x x

x

 



^{sec ’}^x



^ ^{sec tg}^x ^x



²



3 ²

2sin 2

sec ’ tg sec

cos

x x x x

 x 



^cossec^x



^’^{ }^{cossec cot}^x ^x



²



3 ²

2cos 2

cossec ’ cotg cossec

sen

x x x x

  x   1 cosx ’ senx



 

   

 



^^cos^^x



^’^{ }^²^sen^^x



^^cos^^x



^’^{ }^^sen ^^x

( )

2

senh senh ’ cosh

2 cosh cosh ’ senh

2 tgh tgh ’ sech

cotgh cotgh ’ cosech

sech 2 sech ’ sech tgh

cosech 2 cosech ’ cosech cotgh

x x

e e

x x x

e e

x x x

e e

x x x

e e

x x x

e e

x x x x

e e

x x x x

-

- -

-

= -  =

= +  =

= -  =

++

=  = -

-

=  = -

+

=  = -

(9)

- 7 -

 

¹ ₂

1 arc senx ’

x

 

 

¹ ₂

1 arccosx ’

x

 



 

2

1 arc tgx ’ 1

 x



 

2

1 arcctgx ’ 1

x

 



 

¹₂

1 arcsecx ’

x x

 

 

¹₂

1 arccossecx ’

x x

 



( )

2

arg senh ’ 1

1 arg cosh ’ 1

1 arg tgh ’ 1

1 1

arg cotgh ’ 1 arg sech ’ 1

1 arg cosech ’ 1

1

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

= +

= -

= +

= -

= +

(10)

T é c n i c a s d e I n t e g r a ç ã o



A Integral Indefinida

 Identidades importantes para a resolução de alguns tipos de integrais I) 1 sen ²xcos²x

II) 1 tg ²x sec²xtg²x sec²x1

III) sen 2

sen 2 2(sen cos ) sen cos

2 x  x x  x x  x

IV)

 

2 2

2

2 2

2

2 2

1 1

cos cos

cos 2 cos sen

cos 1 cos cos 2

2 cos 1 cos 2 2 2 2

1 1

sen cos 2

cos sen cos 2

1 sen sen cos 2

2 sen 1 s 2

2 o

2 c

x x x

x x

x x x

x x

e:

 

   

  



    

   

 

 

  





Donde decorrem as identidades V, VI, VII e VIII V)

2 1 cos 2

sen 2

x = - x

VI)

2 1 cos 2

cos 2

2 x = + x

VII) 2

2

1 1

cos cos 2

2 2

1 cos cos 2 2 2

x x

 

  

VIII)

2

1 1

sen cos 2

2 2

1 cos sen 2 2 2

x x

 

  

IX) 2 2

cos cos sen

2 2

x x

x  

X) ^{2 sen}^ax^^cos^bx ^^_^sen



^{a b x}^



^^sen



^{a b x}^



^_

XI) ^{2 cos}^ax^^cos^bx ^^_^cos



^{a b x}^



^^cos



^{a b x}^



^_