f" (x) = x 2-4x + 5 e X

(1)

UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO GRANDE

DO NORTE

ESCOLA DE

CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

Ficha

de Expectativa de Respostas da Prova

Escrita

CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO PARA TODAS AS QUESTÕES

• Clareza e propriedade no uso da linguagem;

• Coerência e coesão textual, com uso correto da Língua Portuguesa;

• Domínio dos conteúdos, evidenciando a compreensão dos temas objeto da prova; • Domínio eprecisão no uso de conceitos;

• Coerência no desenvolvimento das ideias e capacidade argumentativa.

Questão 1.

(valor de 0,00 a 1,50 ponto)

eX

Considere a função

f

(x)

= --,

com

x

real e

x

i

-

1. Determine sua imagem e,

cas

o

existam,

l

-x

pontos críticos, pontos de infiexão, extremos locais, assíntotas verticais e horizontais, e faça um esboço de seu gráfico.

Solução:

A primeira derivada da função é dada por

'() 2- x x

f

x

= (

)2

e

x

i

-

l.

l

-x

Logo o único ponto crítico da

f

(x)

ocorre em

x

=2, pois

1'(2)

=

O

.

Para determinar os extremos locais, vamos analisar o crescimento e decrescimento da função. Como

f'

(

x

)

>

O para

x

E (-00,1) U (1,2) e

f'

(x)

<

O para

x

>

2, a

f

(x)

é crescente para x E (-00,1) U (1,2) e decrescente para x

>

2. Dado que a derivada tem sinal positivo para x

<

2 e negativo para

x

>

2, em

x

= 2a função tem um máximo local, onde vale

f

(2) =

-e

2.

Para determinar possíveis pontos de infiexão, consideramos o comportamento da segunda de-rivada,

f"

(x) = x2 - 4x

+

5

eX

(1 -

x

)

3

O polinômio no numerador não possui raízes reais, e é sempre positivo. Portanto, é o polinômio no denominador que determina o comportamento de sinal de [", Para

x

<

1temos

f"

>

Oe para

x

>

1temos

f"

<

O

.

Apesar da troca de sinal,

x

= 1 não é ponto de infiexão, pois 1

tt

Df, então a função não tem pontos de infiexão.

Para investigar a existência de assíntotas verticais, estudamos o comportamento da função na vizinhança de

x

=1, que pode ser determinado a partir dos limites laterais

x

1. e

Hfl -- ==f00.

x--+l± 1- x

Logo, a função tem assíntota vertical em

x

=1. Para determinar as assíntotas horizontais, vamos verificar os limites limx--+±oo

f

(x

)

.

São eles

eX

1

lim --

=

lim

=

O

,

(2)

por

ta

n

to a

fu

nção t

e

m ass

ín

t

o

ta

ho

rizonta

l

y

=

°

para x

~

-00.

P

a

r

a x

~

00,

te

mo

s

e"

e

X

lim

--

= -

lim --

= -

lim -

=-00 x-too

1 -

x x-too x-I x-too

1 '

p

o

r

t

an

to a

fu

nção não te

m

ass

ínto

ta horizo

n

ta

l p

ara x

~

00.

L

eva

n

do e

m

co

n

ta

o

s

r

es

ult

a

do

s obt

id

os te

m

o

s

o se

guint

e es

bo

ço

d

o g

r

á

fi

c

o da fun

ção, e s

u

a

im

a

g

e

m

é

d

ada

p

o

r

lj = (-00,

_e

2) U

(

O

,

+00). y 1 I , , I e1 -:- _ -:..;;----I I I I I I I I I I x

Questão 2. (valor de 0

,

00 a 1

,

00 ponto)

D

ete

rmin

e o vo

lu

m

e

d

o só

lid

o

d

e

limi

ta

d

o

p

e

l

o c

ilíndro

c

om ba

se

n

o p

l

a

n

o

xy

d

a

da p

e

l

a e

qu

ação

(x -

2)2

+

y2 =

4 ,

co

m

z ::::

0 ,

e p

e

lo

c

o

n

e de e

qu

açã

o

z

=

Jx

2

+

y2.

Solu

ção:

Vamo

s

pro

ce

d

e

r

c

om o cálculo d

o v

olum

e e

m

c

oorden

a

d

as c

ilíndri

cas:

x

=

rcosi), y

=

r

se

né

e

z

=

z.

A

e

qu

ação

d

a

b

ase

do

c

ilindro

se

r

á

d

a

d

a

p

o

r

T =

4cose

e

do

co

n

e z

=

r. C

om isso o v

o

lum

e

fica d

e

t

e

rmin

a

d

o

p

e

l

a seg

uint

e

int

eg

r

a

l tripl

a:

j

7r

/2

1 4c

ose

lr

V

=

de

drr

d

z

-7r

/2

o

L

/2

14 c

ose

V

=

de

drr

2 -."./2

o

.

:

c:

V

=

de

dr-r

2

-

.

".

/

2 o

43 j

.

".

/2

43 j

.".

/

2 V

= -

d

e

cos

3

e

=

-

de co

s

e

(1

-

s

e

n

2

e)

3

-7r/2

3

-."./2

V

-:

{

[,e

no

[

~:

/

,-

[

,e

;

3 o

C,

}

V=

4

3

{1

+

1 -

~

-

~}

3

V = 44 = 256 u.v.

9

(3)

Questão 3

.

(valor de 0,00 a 1

,

0 ponto)

Dada a seguinte série infinita de potências

1 x

X2 X3

x

4

8 (x)

= M

+

-

+

fi7

+

;

:

;-

;;

+

;

!1r\

+ ...

.

v 3

2 v

7 v

12 v 19

Encontre o termo geral da série e escreva-a na forma de um somatório. A seguir, determine seu raio de convergência e seu intervalo de convergência.

Solução:

No numerador pode-se identificar o termo

z"

,

com

n

=

0 ,

1 ,

2 ,3..

..

No denominador iden

-tificamos

vn

2

+

3,

com a mesma variação de

n.

Portanto o termo geral da série de potências é

an

=

--:::==

vn

2

+

3 '

esua expressão com osomatório é

00 n

8(x)=

L~·

n=O n2

+

3

Pare determinar o raio de convergência da série, vamos verificar para quais valores de

x

temos lim

I

an+l

I

<

1. n-4+oo an Podemos expressar então lim

I

an+l

I

=

I

x

l

n-4+oo an n2

+3

lim =

[z

]

<

1 n-4+oon2

+

2n

+

4 [z

]

<

1

De onde temos que oraio de convergência é 1. Para x = 1,temos a série 00 1

8(

1)

=

L

Jn2

_n₂

+

₊

3. ₃

n=O Pelo teste da integral, temos

1

+00

d

x

---=== - +00

o

v

x

2 +

3 -

,

como pode ser visto pela mudança devariável

x

=

V3senh

(e).

Portanto em

x

=

1a série diverge. Para

x

=-1, temos a série alternada

8(

-

1 )

=

f

(

-

lt

,

n=O

vn

2

+

3 que, pelo teste de Leibniz, é convergente.

(4)

Que

s

tã

o 4

. (

val

o

r

d

e

0 ,

00 a 1

,5

0 ponto)

Considere o campo vetorial

F

:

1 R

3 ---+

1R

3, dado por

F

=

(xz

+

yz2

+

X, xyz3

+

y,

x2z4)

,

e a

superfície

S

=

A

u

B

,

onde

A

=

{(x

,

y,z)

E

1R3

,

x2

+

y2

= 1,1

2 z

2

O}e

B

=

{(x,y,z)

E

1R

3,

x2

+

y2

::;

1,

z

= O}. Sabendo que a a superfície

S

está orientada com vetor normal exterior,

calcule

JJ

s

rot

F

.

d

S

.

Solução:

Há duas maneiras simples de resolver essa questão. Aprimeira maneira éusando o Teorema de

Stokes e a segunda éusando o Teorema de Gauss. As duas maneiras estão explicitadas a seguir.

Resolução 1

:

Usando o Teorema de Stokes evendo que a superfície

S

élimitada pelo contorno

C (a tampa superior do cilíndro), podemos escrever a integrlal pedida como:

/ fs

rot

F

.

d

S

=

i

F .

d

r7

onde o contorno C é a cincunferência de equações

x2

+

y

2

= 1e

z

= 1orientada no sentido horário.

Usando coordenadas cilíndricas

(

x

=r cose; y =rsene;

z

=

z

)

econsiderando que no contorno

C temos r

=

1,podemos reescrever ocampo como:

F

(xz

+

yz2

+

x

,

xyz3

+

y,

x2z

4)

F

(2 cos

e

+

sené, sené cos

e

+

sené, cos2

e)

Já o deslocamento diferencial,

dr

7 ,

no contorno eorientado no sentido horário édado por:

d

r

7

= (sené

de

,

-

cos

e

d

e

,

O

)

Portanto: temos que:

E

:

/ fs

rot

F

.

dS

/ fs

rot

F. dS

/ f

s

rot

F

.

dS

/ fs

rot

F

· dS

/

fs

rot

F

.

dS

2sene cos

e d

e

+

sen2e

d

e

-

sené' cos2

e d

e

+

sené' cos

e de

sené cos

e de

+

sen2e

d

e

-

sené cos2

e de

i

F

· d

r

7 f

2~

f2~

f

2 ~

ia

sené'

c

os

e de

+

ia

sen2e

d

e -

ia

sené [sen2e]~~

+

[~

_

COS

(2e

)

]2

~

_

[-

cos3

e]

2~

2 4

a

3

a

O

-

O

+

7l' - ~ -

O

+

~

-

(

-

~

+

~)

4 4 3 3

Resoluç

ã

o 2:

Para usar oTeorema de Gauss para calcular a integral pedida vamos considerar a superfície fechada W que é formada pela superfície S e por S1, que é a tampa do cilíndro (a

porção do plano z=1com x2

+

y

2 ::;

1), ambas orientadas para fora de

W.

(5)

J J J

div(rotF)d.Tdydz

J J J

di

v(

ro

tF

)d

x

d

yd

z

J {

rot

v

is

i

SUS1

J

l

rot

P .

d

S

+

J

li

rot

P

.

d

S .

Como divergente do rotacional de um campo vetorial é nulo, temos que a integral do lado

esquerdo da equação acima énula. Portanto:

o

que nos dá:

o

rotacional, rot

P

,

vale:

i j

k

i j

k

rot

P

_ax

a

_ay

a

_az

a

_ax

a

_ay

a

_a

a

_z

FI

F

2 F

3 x

z

+

y

z

2 +

X

x

y

z3

+

Y

x

2 z

4

rotP

(

-

3xy

z

2 ,

X

+

2yz

-

2 xz

4,

yz3 -

Z

2)

o

campo de vetores normais a

SI

é

fi

=

(0,0,1). Assim, em

SI

,

onde

z

=

1,temos:

/ { rot

p

.

d

S

= / {

(

y - l)d

x

dy

JSl

J

x

2+y2~1

Usando a mudança de variáveis (de cartesianas para polares) podemos escrever aintegral como:

/ !s

l

rot

P

.

d

S

J

!sj

rot

P

.

d

S

/ !s

I

rot

P

.

d

S

/

{

(y

_

l)d

.T

dy

=

{2

1 r

{\r2sene _

r)drde

Jx2+y2

9

io

Jo

1

21 r

[

r

_-sene

3

_-

r2

_-

]

1

de

₌

1 21r

[1

_-sene _- _-

1]

de

03 20 03 2

[

1 e]

21r

-3

cos

e

-

"2

o =

°-

1f-

°

+

°

=-1f

o

que nos permite escrever, finalmente, que:

Questão 5. (valor de 0,00 a 2

,

00 pontos)

(6)

Reescreva-a em coordenadas polares

r

e

O

,

ou seja, proceda com a troca de variáveis:

x

=

rcosO

e

y

= rsenO. Para a equação obtida em coordenadas polares, proceda com o método de separação

de variáveis com

j (

r,

O

,t)

=

R

(

r)

L (

O) T

(

t

)

e encontre as equações diferenciais ordinárias para as

funções

R

,

L

e

T.

I

Encontre as soluções gerais das equações para asfunções L e T, tal que d2L/ de2 -=1=

o

.

Reescreva a equação diferencial ordinária obtida para

R

em função de uma nova variável

u

,

tal que as soluções

R

=

R(u)

sejam dadas pela equação de Bessel de ordem

n

,

d2R

1

dR (

n

2)

-

+

-

+

1 -

-

R

=O

,

du2 U du u2

identificando

n

em função das constantes utilizadas no processo de separação de variáveis.

Solução:

Para fazer a troca de variáveis pedida, necessitamos das seguintes derivadas parciais:

e

Expressando r e

e

como função de

x

e

y

temos

e

=tg-1 (y/x) . Com isso temos 8r 82

r

1 cos2e 8x

=

cose, 8x2 ----r r 8r 82

r

1 sen20 8y

=

se

n

é

,

₈_y₂ -- --r r

8e sené 82e 2senecose

8x r

,

8x2 r2

8e cose 82e 2senecose

8y

r

,

8y2 r2

Substituindo essas expressões, temos:

82j(r,e,t) _ 2e82j (~_ cos2e) 8j

se

n

2e82j 2senOcos08j 8x2 - cos 8r2

+

r r 8r

+

r2 8e2

+

r2 80 ' 82j (r, e,

t)

=sen2e82 j

+

(

~

_

sen20) 8j

+

cos2e 82 j _ 2senOcosO

ô

]

8y2 8r2 r

r

õr r2 802

r

2 8e '

(7)

V

a

mos

ag

ora pro

ce

d

e

r

co

m

a

s

e

p

aração

d

e va

ri

áv

ei

s,

t

oma

nd

o

f

(r,

B

, t)

te

mo

s

R

(r)

L (B)T

(

t

)

,

.

1

(d2 R

1

dR)

1 (1

d2L)

1

dT

R dr2

+

'

;

dr

+L

r2 dB2 =

Tdi

O

l

a

d

o d

i

re

ito só

de

p

e

n

de

d

e

t

, e

quanto o

es

qu

er

do de

p

ende

de

r

e

B

, p

ort

a

nto

el

es d

e

ve

m

se

r

c

ontant

e

s

p

ara

que

a

e

quação se

j

a satisf

ei

ta pa

r

a q

u

a

i

sq

u

er v

alore

s

d

as

v

a

ri

áv

ei

s

ind

e

p

e

nd

e

n

tes

.

V

a

mos

e

ntão ass

u

mir

(1)

"

1

dT

Tdi

=CY,

o

n

de

CYé

um

a c

on

sta

n

te

.

As

su

m

indo

T

o

c

eat

a

equ

a

ção

n

os

f

or

n

c

e

a =CY.

Então a s

olu

çã

o

gera

l

desta eq

u

aç

ã

o

é

o

nd

e

Cl é

um

a c

on

sta

nt

e

.

C

om a co

nst

ante

de

se

p

aração

CY,

p

ode

m

os re

e

screv

e

r a

e

quação

(1)

na

forma

Ana

lo

ga

m

e

n

te

,

vam

os

ass

u

m

i

r

qu

e

1

d2L

L

dB2 ={J,

o

n

de

{J é

um

a co

n

s

t

a

n

te

dif

e

r

e

nt

e

d

e ze

ro,

p

o

i

s

d

e

v

e

m

os

t

e

r

d2 L/ dB2

=f

.

O. A

s

sumindo

L

c

x

ebB,

te

mos

b

2 - {J =

O,

c

ujas so

lu

ções

s

ã

o

Então

a

so

lu

çã

o

g

e

ra

l p

a

r

a a

fun

ção

L

é:

onde

C2

e

C3

são

c

o

n

sta

n

tes

.

Com as co

n

sta

n

tes

d

e

s

e

par

ação

já u

t

ili

zad

a

s

,

temos a segu

in

t

e equ

a

ç

ão

p

a

ra R

:

d2R

1

dR ( CY)

-

+

--

+

{J--

R=O

.

dr2 r dr r2

P

a

r

a

ex

pr

essa

r

esta e

qu

aç

ã

o co

mo um

a e

qua

ção

d

e

B

esse

l

d

e on

de

m

n

,

t

oma

m

os a

s

eg

uint

e m

ud

a

n

ça

d

e

var

iá

ve

l

R

=

R

(u),

c

o

m

u

=

v

1 3r

,

e

n

tã

o

te

mo

s

d2R

1

dR ( a{J) {J-

+

{J--

+

{J- -

R

=

O,

du2 U du u2 d2R 1dR ( n2)

-

+-

-

+

1-

-

R

=

O

du2 U du u2 '

onde n

2 =

a.

(8)

Questão 6. (valor de 0

,

00 a 1,50 pontos)

Sabe-se que osistema linear

ax

=b, com

a

matriz m x

n

, x

matriz

n

x

1

e b matriz m x

1 ,

ou não tem solução, ou tem solução única, ou tem infinitas soluções. Relacione cada possibilidade com as propriedades da transformação linear

A

:

ffi.n

-

+

ff

i

.

m

,

cuja matriz nas bases canônicas de ffi.n e

ffi

.

m

é a.

Solução:

Sejam

{

ei

}~

=

1

e

{e

d

~1

as bases canônicas de ffi.n e

ff

i

.m,

respectivamente. Então as colunas de

a

são os componentes dos vetores

A

ej

na base

{

e

d

,

A

e

j

=

L~

I

aij

ei

.

Logo, para que o sistema tenha solução, é necessário que

b

E

L

m

(A)

,

o conjunto gerado pelos vetores

{A

e

l

,

...

,

A

e

n}. Nesse

caso, se

dim1m (A)

=

n

,

pelo teorema núcleo-imagem, temos que

dimK

e

r

(A)

= 0, i.e.,

A

é

injetiva e a solução éúnica. Se

dim1m (A)

=

r

<

n

,

então

dimK

e

r

(A)

=

ti-

r

.

Assim, se

v

Effi.n

étal que

A

v

=b, então

v+w

,

w

E

K

e

r (A)

,

também é solução, pois

A (v

+

w)

=

Av

=b. Logo, há

uma infinidade de soluções, parametrizadas pelos n - r coeficientes da expansão de w numa base

de

K

e

r (A).

Q

u

es

t

ão

7 .

(v

alor de

0 ,0

0 a 1,50 po

nt

os

)

Seja R a rotação em

IR

3 ao redor do eixo z, no sentido anti-horário, com centro na origem e ângulo

7f

/

2 .

Ou seja,

R

associa a um ponto

P

=

(x

,

y

,

z) E

IR

3

um ponto Q =

(-y

,

x,

z).

Encontre o

polinôrnio característico de Rem relação auma base de

f

fi.

3

e,a partir dele, determine osautovalores

e autovetores de R. Interprete geometricamente o resultado que você obteve.

Solução:

A transformação

R

: ff

i.

3 -+

f

i

.3

é a transformação linear

R (x

,

y,

z

)

canônica {el,

e

2 , e3

}

Bdo

ff

i.3

,

(

-

y,

x,

z).

Na base

R

e

I

R

(1, 0, O)= (0,1, O)

Re

2 R(0

,

1 ,

0)

= (-1,0,0)

Re3

R

(O,0,1)

=

(0,0,1) Logo,

[

R

I

B

~

O

~1

D

O polinómio característico é portanto p

(À)

=

det

(

ÀI

-

[R] B)

=det ( : 1 ~ ~ )

=

(À -

1)

(À

2

+

1) .

° °

À-1

A única raiz real de p (À) é À = 1. Assim, À = 1 é o único autovalor real de

R

.

Os autovetores cor

-respondentes a esse autovalor são os vetores

(

x

,

y, z) E

I

R

3 não-nulos tais que R

(

x,

y, z) =

(

x

,

y,

z

)

,

isto é, são os vetores da forma (0,0,1). O subespaço associado ao autovalor À = 1 é portanto o subespaço linear unidimensional [(0,0,1)]. Vetores nesse subespaço são preservados por rotações em torno do eixo z, em particular por uma rotação de tt/2.