MAT2458 - Álgebra Linear para Engenharia II
Prova 3 - 27/11/2013
Nome: NUSP:
Professor: Turma:
INSTRUÇÕES
(1) A prova tem início às 7:30 e duração de 2 horas.
(2) Não é permitido deixar a sala sem entregar a prova.
(3) Todo material não necessário à prova (mochilas, bolsas, calculadoras, agasalhos, bonés, celulares, livros, etc.) deve ficar na frente da sala.
(4) Sobre a carteira devem permanecer apenas lápis, caneta, borracha e documento de identidade com foto.
(5) É permitida a entrada na sala até as 8:00 e não é permitida a saída da sala antes das 8:40.
(6) As respostas devem ser transferidas para a folha óptica durante as 2 horas de prova (não há tempo extra para o preenchimento da folha óptica).
(7) Só destaque o gabarito do aluno (última folha) quando for entregar a prova. Não esqueça de anotar o tipo de prova no gabarito do aluno (para que você possa depois conferir suas respostas com o gabarito oficial).
(8) A folha óptica deve ser preenchida com caneta esferográfica azul ou preta.
(9) Para o correto preenchimento da folha óptica siga o exemplo abaixo.
Notações:Nesta prova, seVé um espaço vetorial ev1, . . . ,vn∈V, então [v1, . . . ,vn]denota o subespaço vetorial deVgerado por{v1, . . . ,vn}.
Se T é um operador linear em um espaço vetorial en é um inteiro positivo, então Tn denota o operador linear composto T◦T◦ · · · ◦T, em queTocorrenvezes.
O operador linear identidade em um espaço vetorial é denotado porI. Seλ é um escalar e T, um operador linear em um espaço vetorial, denota-seV(λ) = Ker(T−λI). Quandoλé um autovalor de T,V(λ) chama-se autoespaço deTassociado aλ.
Questão 1. Sejanum inteiro positivo e sejaA∈ Mn(R)uma matriz não nula diagonalizável sobreR. A respeito do sistema linear de equações diferenciaisX0(t) = AX(t)éFALSOafirmar que
a. a soma de duas soluções do sistema ainda é solução do sistema.
b. existemnfunções f1, . . . ,fn: R → Rn tais que toda solução do sis- tema é uma combinação linear de f1, . . . ,fn.
c. dadoX0 ∈Rn, existe uma única soluçãoX(t)tal queX(0) =X0. d. existem soluções não nulas do tipoX(t) = x1(t), . . . ,xn(t), onde
x1(t), . . . ,xn(t)são funções polinomais.
e. se o sistema admite soluções complexas, ele também admite solu- ções reais.
Questão 2. Sejama,b,c∈R. Considere a cônicaΓde equação ax2+2bxy+cy2=1
com respeito a um sistema de coordenadas deE2com origemOe base Bortonormal. Sabendo que
"
a b b c
#
=
" 1
√2 −√1
1 2
√2
√1 2
# "
3 0
0 −1
# " 1
√2
√1 2
−√1
2
√1 2
# , é correto afirmar que uma equação reduzida deΓé
a. r32 −s2 = 1, onde(r,s)são coordenadas relativas ao sistema de ori- gemOe basen
√1 2,√1
2
B, −√1
2,√1
2
B
o .
b. 3r2−s2 = 1, onde(r,s)são coordenadas relativas ao sistema de ori- gemOe basen
√1 2,−√1
2
B, √1
2,√1
2
B
o .
c. 3r2−s2 = 1, onde(r,s)são coordenadas relativas ao sistema de ori- gemOe basen
√1 2,√1
2
B, −√1
2,√1
2
B
o .
d. impossível de ser determinada a partir dos dados da questão.
e. r32 −s2 = 1, onde(r,s)são coordenadas relativas ao sistema de ori- gemOe basen
√1 2,−√1
2
B, √1
2,√1
2
B
o .
Questão 3. Acerca de uma matrizA∈M5(R)que tem polinômio carac- terístico igual a−t(t2+1)(t−a)(t−b), ondea,b∈R, pode-se afirmar corretamente que
a. sea6=b, entãoAé diagonalizável sobreR.
b. sea = b = 0e se o operador T de matrizAna base canônica tem núcleo de dimensão2, então A é diagonalizável sobreC, mas não
Questão 4. Sabe-se que
"
4 −3 2 −1
# "
1 1
#
=
"
1 1
# e
"
4 −3 2 −1
# "
3 2
#
=2
"
3 2
# . Seja x(t),y(t)a solução do sistema de equações diferenciais
x0 =4x−3y y0 =2x−y
que satisfazx(0) =2,y(0) =1. Então,x(t)−y(t)é igual a a. 0
b. e2t c. e−t d. e−2t e. et
Questão 5. Sabendo que (1,−1−i) é um autovetor da matriz A =
"
2 −1
2 4
#
associado ao autovalor 3+i, pode-se afirmar corretamente que as soluções do sistema de equações diferenciaisX0(t) = AX(t)são da forma
a. ae3t(cost,−cost+sent) +be3t(sent,−sent−cost)coma,b∈R. b. ae3t(−cost+sent,−cost) +be3t(−cost+sent, cost), coma,b∈ R.
c. ae3t(cost−sent) +be3t(cost+sent), coma,b∈R. d. ae3t(cost−sent, cost+sent), coma∈ R.
e. ae3t(cost, cost) +be3t(sent,−sent), coma,b∈R.
Questão 6. SejaVum espaço vetorial real de dimensão finita com pro- duto internoh, ie sejaT: V → Vum operador linear simétrico. Con- sidere as seguintes afirmações:
(I) Seλeµsão números reais distintos eu,v,wsão vetores deVtais queV(λ) = [u,v]eV(µ) = [w], entãohw,ui=hw,vi=0.
(II) Quaisquer dois autovetores deTdistintos são ortogonais.
(III) SehT(u),ui > 0, para todo vetor não nulou ∈ V, então os auto- valores deTsão todos positivos.
Está correto apenas o que se afirma em a. (I) e (III).
b. (II) e (III).
c. (I).
d. (III).
e. (I) e (II).
Questão 7. Sejanum inteiro positivo. Considere as seguintes afirma- ções a respeito de uma matrizA∈ Mn(C), de um escalarλ∈Ce de um vetorv∈Cn.
(I) SeA∈ Mn(R)evé um autovetor deAassociado ao autovalorλ, entãové um autovetor deAassociado ao autovalorλ.
(II) Seλé um autovalor deA, entãoλtambém é um autovalor deA.
(III) Se A∈ Mn(R), Aé diagonalizável sobreCe todos seus autovalo- res são reais, entãoAé diagonalizável sobreR.
Pode-se afirmar corretamente que a. (I), (II) e (III) são verdadeiras.
Questão 8. Considere a superfície quádrica de equação 2x2+4y2−4z2+6yz−5x+3y=2
com respeito a um sistema de coordenadas emE3de base ortonormal.
Então, existe um sistema coordenadas emE3de base ortonormal, com respeito ao qual a quádrica tem equação da forma
a. z0 = a(x0)2, coma ∈R.
b. z0 = a(x0)2+b(y0)2, coma >0,b>0.
c. a(x0)2+b(y0)2+c(z0)2= d, coma>0,b>0,c<0,d∈R. d. a(x0)2+b(y0)2+c(z0)2= d, coma>0,b>0,c>0,d>0.
e. z0 = a(x0)2+b(y0)2, coma >0,b<0.
Questão 9. Sejanum inteiro positivo. Assinale a altenativaFALSAsobre uma matrizA∈Mn(R)simétrica.
a. Sev1,v2 ∈ Rnsão tais que Av1 = v1 e Av2 = 2v2, então v1e v2são ortogonais.
b. Todos os autovalores deAsão reais.
c. Existe uma matriz Pinversível tal que P−1APseja uma matriz real diagonal.
d. A soma das dimensões dos autoespaços deAé igual an.
e. A matriz Atemn autovalores distintos, e existe um conjunto orto- normal formado pornautovetores deA.
Questão 10. SejaT: R3→R3um operador linear cuja matriz com res- peito à base canônica deR3seja simétrica. Suponha queKer(T−2I) = [(1, 0, 1)]e queKer(T) = [(1, 0,−1)]. É correto afirmar que
a. T(1, 0,−1) = (2, 0,−2). b. T(2, 0, 0) = (2, 1, 0). c. T(2, 0, 0) = (1, 0, 0).
d. existeλ∈R,λ6=0,λ6=2, tal queT(1, 1, 0) =λ(1, 1, 0). e. existeλ∈R,λ6=0,λ6=2, tal queT(0, 1, 0) =λ(0, 1, 0).
Questão 11. SeAé uma matriz deM2(R)que satisfaz A
"√ 2 2
#
=2
"√ 2 2
#
e A
"√ 2
−1
#
=3
"√ 2
−1
# ,
então é correto afirmar queAé igual a a.
"√
2 2
√ 2 −1
# "
2 0 0 3
# "
−√
2 2
−√ 2 −1
#
b.
"√
2 √
2 2 −1
# "
2 0 0 3
# "√
2 2
√2 −1
#
c.
√1 3
√2
√3
√2
√ 3 −√1
3
"
2 0 0 3
#
√1 3
√2
√3
√2
√ 3 −√1
3
d.
"√
2 2
√ 2 −1
# "
2 0 0 3
# "√
2 √
2 2 −1
#
e.
"√
2 6
√2 1 3 3 −13
# "
2 0 0 3
# " √
2 6 −13
−
√2 3 −13
#
Questão 12. ConsidereR3 munido do produto interno usual, e sejaB uma base deR3. SejaA∈ M3(R)uma matriz simétrica e sejaT: R3 → R3o operador linear de matrizAna baseB. É correto afirmar que a. Té simétrico.
b. Tnão é diagonalizável.
c. Té diagonalizável, mas pode não existir uma baseortonormal deR3 formada por autovetores deT.
Questão 13. Sabendo que a matriz A =
1 0 4
−1 2 1
−3 3 2
tem polinômio característico igual a(1−t)(t2−4t+13), pode-se afirmar corretamente que
a. dimV(2+3i) =2.
b. os autovalores deAsão todos reais, eAé diagonalizável.
c. Aé diagonalizável sobreC, mas não sobreR.
d. dimV(1) =2.
e. os autovalores deAsão todos reais, mas Anão é diagonalizável.
Questão 14. Considere as seguintes afirmações sobre um operador li- nearTdeR4que tenha o polinômio(t2+4)(t−2)(t+2)como polinô- mio característico:
(I) Té diagonalizável sobreR.
(II) T4é diagonalizável sobreR. (III) 4é o único autovalor deT2. Está correto o que se afirma em a. (I) e (II), apenas.
b. (I), (II) e (III).
c. (I) e (III), apenas.
d. (II) e (III), apenas.
e. (II), apenas.
Questão 15. ConsidereR3munido do produto interno usual e seja T um operador linear deR3. Sejamu,v,w ∈ R3 vetores não nulos tais que{v,w}seja linearmente independente. Suponha queV(2) = [u]e V(3) = [v,w]. Considere as seguintes afirmações:
(I) Sehu,v+wi 6=0, entãoTnão é simétrico.
(II) Sehv,wi 6=0entãoTnão é simétrico.
(III) Sehu,vi=hu,wi=0, entãoTé simétrico.
Está correto o que se afirma em a. (I) e (II), apenas.
b. (I) e (III), apenas.
c. (I), (II) e (III).
d. (III), apenas.
e. (II) e (III), apenas.
Questão 16. SejaΣ = (O,v1,v2)um sistema de coordenadas deE2em queB ={v1,v2}é uma base ortonormal deV2. SejaΓa cônica de equa- ção
5x2−4xy+2y2=1
com respeito ao sistemaΣ. Então, existe uma base ortonormal{e1,e2} deV2tal queΓtem uma equação reduzida com respeito ao sistema de coordenadas(O,e1,e2), em que
a. e1 = √1
5,√2
5
B e Γé uma parábola.
b. e1 = √1
5,√2
5
B e Γé uma elipse.
c. e1 = √1
5,√2
5
B e Γé uma hipérbole.
d. e = −3,4
e Γé uma elipse.
Gabarito do Aluno
Nome: NUSP:
Tipo de prova:
a b c d e
Questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
