O Desenvolvimento de Organização Didático-Matemática Sobre a
Resolução de Equação do 2º Grau a Partir de um Percurso de Estudo e
Formação Pessoal
Flávio Nazareno Araujo Mesquita1
GD7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática
Resumo do trabalho:Este texto é relatório parcial do desenvolvimento de minha pesquisa de doutorado em que apresento problemáticas trazidas da minha dissertação sobre dificuldade do professor em mobilizar tarefas pontuais e rotineiras da matemática escolar para a construção de praxeologias locais de objetos da matemática escolar, em especial sobre a fórmula de resolução da equação do 2º grau. A partir disso e de um Modelo Epistemológico de Referência (MER), busco, sob a luz da TAD, construir uma organização didático-matemática referente à resolução de equações do 2º grau articulada a diversos objetos matemáticos num projeto pessoal de construção do conhecimento didático. Para tanto, proponho o desenvolvimento de um Percurso de Estudo e Formação Pessoal (PEFP), porém com auxílio de sistemas didáticos auxiliares nos quais busco diálogos para o estudo das condições que permeiam as organizações didático-matemáticas referentes ao objeto matemático acima citado.
Palavras-chave: Organização didático-matemática. Resolução da equação do 2º grau. Reflexão da própria prática. Percurso de Estudo e Formação Pessoal.
Das problemáticas da dissertação de mestrado rumo à tese
Em minha dissertação de mestrado intitulada “As dinâmicas praxeológicas e cognitivas e a construção do conhecimento didático do professor de matemática”, por meio de uma narrativa autobiográfica, fiz uma reconstrução de minha história de relações e praxeologias com o objeto matemático, a fórmula de resolução de equações do 2º grau. Busquei tal construção no rememorar das instituições e a posição que me encontrava nelas: a escola básica, enquanto aluno e professor; o livro didático; a universidade enquanto aluno; os cursos de pós-graduação, enquanto aluno (em especial o curso de mestrado, sob a orientação do prof. Dr. Renato Guerra). Nesse processo de conformação de praxeologias, há um jeito de fazer e pensar sobre o objeto matemático que é, em certa medida, próprio da instituição e pela qual o sujeito se equipa para realização de seu trabalho. O conjunto de praxeologias que estabelecem as (ou o conjunto das) relações que o sujeito adquire com tal e tal objeto das instituições é o que Chevallard (2009a) designa, respectivamente, como
equipamento praxeológico e universo cognitivo da pessoa.
Nesse sentido, ao reconstruir minha história sobre a fórmula de resolução de equações do 2º grau fundamentada pela TAD, percebi que as instituições nas quais fui sujeito numa determinada posição (ora como aluno, ora como professor) contribuíram para
1
a formação do meu conhecimento didático, numa dinâmica praxeológica e cognitiva que pôde modificar o equipamento praxeológico e o universo cognitivo de minha pessoa. Sem perder de vista a compreensão de transposição didática interna (CHEVALLARD, 2005, RAVEL, 2003) em que destaco as duas fases de atuação do professor no processo de transposição didática.
O problema da desarticulação dos objetos matemáticos que tem sido exaustivamente enfrentado por diversos pesquisadores em Didática das Matemáticas (Bolea (2003), Fonseca (2004), Bosch e Gascón (2004), Bosch et al (2006), Garcia et all (2006)) num sentido de questionamento de práticas que tornam o objeto isolado no currículo e com proposições de organizações de praxeologias locais no enfrentamento de dita problemática. Nesse sentido, segundo (CHEVALLARD et al., 2001, p. 285, grifos no original)
O ensino se transforma em um conjunto reduzido de atividades matemáticas isoladas, de “casos” matemáticos encadeados arbitrariamente e independentes entre si, que não permite ao aluno a dominar nenhuma técnica [...].
Garcia et all (2006) consideram o problema da desconexão dos conteúdos como uma prática que prejudiciais à articulação do currículo e formulam as seguintes questões:
Como organizar o ensino da matemática escolar, de forma a provocar a ligação dos diferentes tipos de conteúdo: conceitos, procedimentos e atitudes? Como conseguir que esse conhecimento matemático aprendido pelos alunos não serão reduzidos a um conjunto de técnicas desconectadas mais ou menos algorítmicas e sem qualquer sentido? (GARCIA; BOSCH; GASCÓN, 2006, p. 10, tradução nossa).
O estudo dos objetos matemáticos não articulados escola faz com que eles pareçam não tenham razão de ser no currículo, e que apenas que são estudados por mero cumprimento de um programa que não raramente é copiado e colado ano após ano.
Os exemplos abaixo mostram modos de resoluções de equações que nas aulas e livros didáticos são chamados de casos de resolução da equação do 2º grau.
a) x2 – 7x + 12 = 0 (Equação do 2º grau completa)
Resolução: Usando a fórmula a seguir com a = 1, b = -7 e c = 12,
2a 4ac b b x 2
para calcular as raízes x = 3 e x = 4. b) x2 – 5x = 0 (Equação do 2º grau incompleta com c = 0)
Exercícios
2) Determine os valores dos coeficientes a, b e c nas equações seguintes: a) 2x2 + 8x + 7 = 0 g) 4x2 – 16 = 0
e) – x2 – 4x + 9 = 0 h) x2 – 3x = 0
3) Coloque na forma ax2 + bx + c = 0 as seguintes equações do 2º grau: a) 5x + 3x2 = 4x – 7 b) x2 + 4x = 2 (x – 1)
4) Coloque na forma ax2 + bx + c = 0 as seguintes equações do 2º grau:
Resolvido (x + 3)2 = 1, x2 + 6x + 9 = 1, x2 + 6x + 9 - 1 = 0, x2 + 6x + 8 = 0 a) (x – 5)2 – 9 = 0 b) (x + 1)2 – x = 7
Resolução: Usando como técnica a fatoração do polinômio x(x – 5) = 0, donde se obtém x = 0 e x = 5.
c) x2 – 25 = 0 (Equação do 2º grau com b = 0)
Resolução: Usando a técnica da extração da raiz quadrada,
x2 = 25 x = ±
25
x = ± 5O quadro 1 exibe tarefas encontradas em Andrini (1989) que era um livro adotado em uma escola que trabalhei nos anos 90.
O jeito de fazer instituído nos exemplos “a”, “b” e “c” não parece problemático, e os exercícios propostos no quadro 1 pareciam factíveis, pois a forma geral da equação do 2º grau exibia seus coeficientes e, de acordo com o caso, era só escolher a técnica. Além disso, o exercício 4 [a)(x – 5)2 – 9 = 0 e b) (x + 1)2 – x = 7] relembra os produtos notáveis e redução de termos semelhantes. Será que há nessa tarefa alguma articulação e integração de produtos notáveis com equação do 2º grau, ou eles só aparecem como revisão de conteúdo? Qual o sentido e a justificativa deles aqui?
Questionamentos como este não surge de repente, eles são frutos de reflexões críticas sobre a prática que, não raramente, são elaborados em cursos de formação
Quadro 1 – Tarefas propostas para solução de equações do 2º grau em Andrini (1989, p. 49-50)
continuada como, no meu caso, o mestrado e mais precisamente, com as compreensões das notas de aulas e orientações do prof. Dr. Renato Guerra e dos trabalhos em didática das matemáticas.
As respostas a tais questionamentos são desenvolvidas a partir de novas relações estabelecidas com fórmulas e algoritmos inspirado em Guerra e Silva (2006) e, mais precisamente com a fórmula de resolução de equações do 2º grau por meio de um modelo epistemológico elaborado em Silva e Guerra (2009) como ilustra o quadro 2. Assim, reelaborei meu plano de curso, que Chevallard (2005) designa como texto do saber para a fórmula de equações do 2º grau, onde a fatoração de polinômios, os produtos de polinômios, os produtos notáveis, o sistema de equação do 1º e do 2º grau e, posteriormente, inclui-se o Teorema Fundamental da Álgebra podem se articular e integrar.
Quadro 2 – Uma praxeologia local para a fórmula de resolução de equação do 2º grau
A equação do 2º grau é apresentada na forma, ax2 + bx + c = 0, coma ≠ 0, que permite escrevê-la como sendo x2 + px + q = 0. Que é um polinômio do segundo grau que pode ser escrito como um produto de polinômios do 1º grau x2 + px + q = (x - a )(x - ß) .
Mas, (x - )(x - ß) x2 - (ß)x ß que comparada à expressão x2 px q, obtém-se {-
Isto é,- (+ ß)x é igual ao termo do primeiro grau px e o termo constante () é igual ao termo constanteq.
A resolução, portanto, da equação (x - ) (x - ß) 0 tem solução observando-se que o produto de números reaisAB 0 é nulo quando pelo menos um dos fatores for nulo (A 0 ou B 0). Ou seja, x - 0
ou x - ß 0, obtendo-se x ou x ß . Tudo se resume em fatorar um polinômio do 2º grau em um produto de fatores do primeiro grau:x2px q (x - )(x - ß).
Em alguns exemplos podem ser fatorados mentalmente como a seguir: x2 - 7x 12 0
(x - 3).(x - 4) 0
Pois,- (3 4) - 7 e3 . 4 12
Em geral, não é tão fácil encontrarmos eß por operações mentais. No entanto, observando que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado de sua soma menos quatro vezes o produto entre eles, ou seja, (- ß)2( ß)2 - 4ß p2 - 4q, podemos obter o sistema do primeiro grau
{ √
que é resolvido pelo método da adição. Assim, o exemplo anterior x2 - 7x 12 0, resulta em p - 7 eq
12, pois donde2 8 produz 4, que substituído em ß7 resulta emß 3.
Após vários exercícios, resolvemos o caso geral, e obtemos a fórmula de resolução da equação do 2º grau
√
Ao longo desta explanação, foram utilizados vários conteúdos que se interligam, como por exemplo: equação do primeiro grau (6ª e 7ª séries), produtos de polinômios (7ª série), sistema de equação do primeiro grau (6ª série), valor numérico (7ª série), identidade de polinômios (3° ano do EM), fatoração e produtos notáveis (7ª série). Além disso, outros conteúdos estão de forma implícita nesses conteúdos abordados explicitamente, como é o caso de expressões numéricas (no conteúdo valor numérico), iniciada na 4ª série do ensino fundamental; operações fundamentais.
De maneira sintetizada, o desenvolvimento em sala de aula foi organizado com a seguinte sequência de tarefas:
T1: Desenvolver os produtos de polinômios do tipo (x – a)(x – b).
T2: Desenvolver os produtos notáveis: o quadrado da soma e da diferença de dois termos. (a + b)² e (a – b)².
T3: Fatorar trinômios quadrado perfeitos.
T4: Fatorar e polinômios do tipo x² + px + c não quadrados perfeitos. T5: Resolver equações do tipo (x – a)(x – b) = 0
T6: Resolver equações do tipo x² + px + c = 0 por fatoração. T6: Desenvolver a diferença (a – b)² - (a + b)².
T7: Solucionar sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis.
T8 : Solucionar equações do 2º grau do tipo x² + sx + p = 0, onde s e p são, respectivamente, a soma e o produto das raízes e da equação, por meio do sistema
{ √ Fonte: Silva e Guerra (2009, p. 93-96)
A relação entre tarefa, técnica e tecnologia ficou evidenciada para mim desde o planejamento do meu texto de saber, mas as aulas me fizeram refletir sobre as tarefas e sua razão de ser no currículo. Uma nova praxeologia construída por articulações e integrações praxeológicas só é realmente exequível e aceita, se todas as praxeologias articuladas e integradas forem do domínio do sujeito, inclusive do professor. No caso deste, se uma das praxeologias articuladas não se faz presente em seu equipamento praxeológico, este poderá abreviar essa praxeologia por mecanização ou algoritmização e correlativamente não mudará sua relação com o objeto em uma nova praxeologia. De outro modo, o não domínio de todas as praxeologias articuladas e integradas interfere na mudança do equipamento praxeológico e correlativamente do seu universo cognitivo de relações com o objeto da nova praxeologia.
Quando tomei a organização matemática posta por Silva e Guerra (2009) para referência do meu texto de saber, considerei principalmente a concepção teórica da transposição didática interna como o momento do professor de fazer valer a transacionalidade do objeto de ensino por meio de articulações e integrações praxeológicas e isso parecia ali ser contemplado.
Assim, busquei ir mais longe me pondo de modo a seguir uma intencionalidade que iria catalisar as articulações, a tecnologia. Claro que tais articulações estão sujeitas às restrições, em nosso caso, de ordem curricular. Só poderia articular praxeologias constantes do currículo e isso parecia ser contemplado na organização de referência, já que a princípio reconheci as praxeologias ali postas, ou seja, faziam parte de meu equipamento praxeológico. Mas uma se mostrou não muito conforme com o que seria desejado.
Havia uma praxeologia que envolvia a relação entre quadrado da soma e quadrado da diferença que se mostrou na praxeologia didática como uma dificuldade. Essa praxeologia não fazia parte de meu equipamento praxeológico como professor do ensino fundamental e isso me levou a tratá-la em sala de aula - embora fosse um passo estratégico que resolve o problema - como algo mecânico que em um momento lançaria mão e depois esqueceria. O trabalho com a diferença entre quadrado da soma e da diferença de dois termos, ( + )2 - ( - )2 = 4 => ( – )2 = ( + )2 – 4, foi evocado por mim apenas quando estávamos trabalhando com as equações do 2º grau, de tal forma que pareceu uma tarefa isolada e não interligada aos objetos produtos notáveis e fórmula de resolução da equação do segundo grau. Ou seja, isso não fazia parte do meu universo
cognitivo, nem das praxeologias que dispunha para o ensino fundamental, de tal forma que, mesmo sendo direcionado pelo texto do saber anterior à sala de aula, minha ação em sala foi redirecionada, de modo a recorrer a antigas práticas docentes como a mecanização.
Tudo se passa como o sujeito que estuda a demonstração de um teorema e seguindo as articulações de proposições válidas tem a sensação que essas surgem como passos de mágicas ou adivinhações convenientes. Embora se perceba as articulações, nada fica a
posteriori. Não houve uma nova relação para mim enquanto professor de ensino
fundamental com o objeto de conexão entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença e o produto de dois números. Segundo Chevallard (2009a, p. 7, tradução nossa):
A formação de uma pessoa como sujeito de uma instituição, por exemplo a formação profissional de uma pessoa, exige uma dinâmica cognitiva e praxeológica resultantes da exploração adequada dos novos assujeitamentos impressos especificamente para a pessoa, que implica em um trabalho de identificação e resolução de conflitos relacionados com o choque desses assujeitamentos novos com assujeitamentos antigos, quando experimentados pela primeira vez pelo indivíduo são incompatíveis com a sua identidade.
Em meu caso, poderia dizer que o meu texto de saber foi construído movimentando praxeologias dominadas por mim enquanto professor de diferentes níveis de ensino. E isso não me despertou a possibilidade de uma dada praxeologia envolvida não ser por mim dominada para o nível de ensino fundamental. Isso me levou a abreviá-la quando em sala de aula. Naquele momento não tive a consciência disso e quanto isso estava prejudicando o desenvolvimento por mim desejado da nova praxeologia. Não surge para mim uma nova relação de conexão objetiva entre as equações do segundo grau e a resolução de sistemas de equações lineares.
No entanto, minha ação em sala de aula fez revelar com força uma nova relação com a fórmula da equação do segundo grau para o ensino fundamental, não como um novo processo de articulações de praxeologias geradas à luz de uma tecnologia que poderia otimizar o tempo didático e fazer acontecer as transacionalidades, como pensei inicialmente, mas como uma síntese de um processo complexo e árduo e que por isso teria que ser valorizada.
Outra nova relação estabelecida é a relação entre fatoração de polinômios do segundo grau e a resolução da equação do segundo grau. Não havia uma praxeologia objetivamente falando em meu equipamento praxeológico para qualquer nível de ensino sobre esse fazer para todos os tipos de equações do segundo grau, incompletas e completas.
Os livros textos não tornam visíveis as tecnologias e tratam os tipos de equações de forma isoladas (completas e incompletas). Desse modo, não é raro podermos interpretar uma dada praxeologia matemática relativa a um dado objeto como decorrente do amalgama de diferentes modelos epistemológicos, como assim podemos interpretar a praxeologia matemática dominante que vive nas escolas do ensino fundamental sobre a equação do segundo grau. O pensar de uma tecnologia que dê conta de todos os casos, a leitura conveniente do Teorema Fundamental da Álgebra, foi estratégico e me fez olhar as equações, inclusive sua fórmula, de modo único. Isso mostra que a fórmula tem sua utilidade não somente para calcular as raízes da equação, mas para transformar o trinômio do 2º grau num produto de dois binômios do 1º grau, tarefa intencional de engendrar a ideia de que fatorar é resolver equação polinomial.
O desenvolvimento da tese
A partir das análises anteriores e assumindo como modelo epistemológico de referência (MER) (Gascón, 2011; Bosch e Gascón, 2010) o exposto no quadro 2 anteriormente, assumo a responsabilidade pela reconstrução de um novo modelo didático, num percurso de estudo e formação pessoal (PEFP), como outra forma de pensar o Percurso de Estudo e Pesquisa (PER) (CHEVALLARD, 2009 a e b).
Nessa linha de compreensão segue o posto por Chevallard (2009b) sobre o problema da infraestrutura matemática-didática disponível para o exercício da profissão docente quando trata do percurso de estudo e pesquisa como um percurso de formação destacando a problemática assim enunciada:
Dado um projeto de atividade em que uma instituição ou uma pessoa objetiva se enganjar, qual é, para essa instituição ou para essa pessoa, o equipamento praxeológico que se julga indispensável, ou pelo menos útil, na concepção e execução desse projeto?(CHEVALLARD, 2009b, p.23)
Seguindo nesse pensar, faço os seguintes questionamentos:
Q1: De que maneira o professor pode construir organizações didático-matemáticas locais a partir de praxeologias pontuais? Que tarefas são essenciais? Em que tempo as tarefas emergirão?
Q2: Que condições existentes e criadas favorecem o desenvolvimento de uma organização didático-matemática para a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
Tomando o modelo epistemológico em Silva e Guerra (2009) propus o seguinte problema, que chamarei de P2:
Dada a soma e o produto de dois números calcular a diferença (em módulo) entre eles, sem o uso de equações do 2º grau.
Tal problema foi posto em ambientes distintos, que denominamos segundo Chevallard (2011) de Sistemas Didáticos Auxiliares (SDA). Entretanto, há atuações de outros sistemas didáticos envolvidos em que não necessariamente o problema acima foi posto. Levando em consideração que os resultados obtidos em minha dissertação encaminharam a pesquisa da tese, então a intervenção que fiz durante a pesquisa de mestrado se constitui num SDA fundamental para o desenvolvimento da tese, além de outros os diálogos com o orientador Renato Guerra e o Grupo de Estudo de Didática da Matemática. Os sistemas estão assim designados:
Sistema Didático Auxiliar 1 (SDA1): Resultados de minha dissertação de mestrado.
Sistema Didático Auxiliar 2 (SDA2): Professor Renato Guerra
Sistema Didático Auxiliar 3 (SDA3): Turma de Licenciatura em Matemática do PARFOR da UFPA. Neste SDA foi estudado o problema P2 e seus resultados estão em fase de análise.
Sistema Didático Auxiliar 4 (SDA4): Duas alunas do 9º ano do Ensino Fundamental. O problema P2 foi estudado com as alunas para coleta de informações sobre possíveis condições a serem consideradas na organização que levem em consideração as praxeologia do aluno.
Sistema Didático Auxiliar 5 (SDA5): Uma aluna do 3º ano do Ensino Médio.
Ainda há dois sistemas didáticos a serem desenvolvidos com professores que atuam no Ensino Básico e alunos concluintes de Licenciatura em Matemática de uma Instituição de Ensino Superior.
O Quadro 3 a seguir ilustra a metodologia da pesquisa em que os SDAs fornecem informações sobre as condições a serem consideradas e criadas no desenvolvimento da organização didático-matemática a cerca da fórmula de resolução da equação do 2º grau.
Apesar da importância dos SDAs, o núcleo da pesquisa é a construção de um Percurso de Estudo e Formação Pessoal com o auxílio dos SDAs, ou seja um PER “solitário”, no qual busco a construção de uma organização praxeológica local para o objeto matemático supracitado.
Quadro 3 – Sistemas Didáticos Auxiliares num Percurso de Estudo e Formação Pessoal
Fonte: Autor
O desenvolvimento de cada sistema didático é enriquecido com as relações obtidas dos outros sistemas. E o desenvolvimento do PEFP é feito voltado para determinado nível de co-determinação didática, o que sugere o não encerramento do mesmo.
Considerações
Os resultados obtidos a partir dos sistemas já desenvolvidos estão ainda em fase de análises e consequentemente a organização didático-matemática ainda está em fase de construção.
A reflexão da prática sob a compreensão da Teoria Antropológica do Didático se põe, em nosso ponto de vista, como um olhar diferenciado sobre os objetos de estudo em pesquisas desse aspecto, pois consideramos o refletir da própria prática não no sentido amplo da prática do professor, mas localizando tal reflexão sobre os aspectos epistemológico e didático dos objetos da matemática escolar, em nosso caso a fórmula de resolução da equação do 2º grau. Ou seja, o refletir das práticas relacionadas ao objeto matemático e as condições sob a qual ele é estudado, além da construção de condições que possibilitem o encontro do sujeito que aprende com o objeto de estudo. E assim o Percurso de Estudo e Formação Pessoal a partir de sistemas didáticos auxiliares se coloca como uma possibilidade para a construção do conhecimento didático e como um Percurso de Estudo e
PEFP SAD5 SAD4 SAD3 SAD2 SAD1
Pesquisa (PER) solitário, mas sem perder de vistas as relações com o outro por meio dos SDAs.
Referências
ANDRINI, A. Praticando Matemática: 7ª série. São Paulo: Editora do Brasil, 1989.
BOLEA, P. El proceso de algebrización de organizaciones matemáticas escolares. Monografía del Seminario Matemático García de Galdeano, 29. Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza, 2003.
BOSCH, M. GARCIA, j. GASCÒN, j. e RUIZ HIGUERAS. L. La modelización matemática y el problema de la articulación de la matemática escolar. Una propuesta desde la teoría antropológica de lo didáctico Revista Latinoamericana de Investigaciónen
Matemática Educativa (RELIME), Vol. 18 nº 2, México, 2006, P. 37-74.
BOSCH, M. e GASCÓN, J. La praxeología local como unidade de análisis de los procesos didácticos, 2004. Disponível em: <http://www.ugr.es/~jgodino /siidm/madrid>. Acesso em 12 out. 2013.
BOSCH, M. GASCÓN, J. Aportaciones de la Teoría Antropológica de lo Didáctico a la formación del profesorado de matemáticas de Secundaria. En González, M.J., González, M.T. y Murillo, J. (Eds.) Investigación en Educación Matemática XIII. (pp. 89-113),2009.
BOSCH, M. GASCÓN, J. Fundamentación antropológica de las organizaciones didácticas:de los “talleres de prácticas matemáticas” a los “recorridos de estudio e investigación”. En Bronner, A., Larguier, M., Artaud, M., Bosch, M., Chevallard, Y., Cirade, G. & Ladage, C. (Éds) Diffuser les mathématiques (et les autres savoirs) comme outils de connaissance et d’action. IIe congrès international su la TAD (Uzès, 31 oct. - 3 nov. 2007). (2010).
CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M.; GASCÓN, J. Estudar Matemática: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed Editora, 2001.
CHEVALLARD, Y. La Transposición Didáctica: del saber sabio al saber enseñado. 3. ed. 2. reimp. Buenos Aires: Aique Grupo Editor, 2005.
CHEVALLARD, Y. La TAD face au professeur de mathématiques, Toulouse, 29 de abril, 2009a, < http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/article.php3?id_article=161>. Acessado em 12 de março de 2010.
CHEVALLARD, Y. La notion de PER : problèmes et avancées. Toulouse, 2009b, Disponível em < http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/article.php3?id_article=161>. Acessado em 20 de agosto de 2010.
CHEVALLARD, Y. Iniciação à Teoria Antropológica do Didático. Curso monográfico da Escola de Altos Estudos da Capes. Uniban, 2011.
FONSECA, C. Discontinuidades Matemáticas y Didácticas entre la Secundaria y la
Universidad. Tese de doutorado. Universitat de Vigo, Espanha, 2004.
GARCIA, J. BOSCH, M., GASCÓN, J. e RUIZ HIGUERAS. L. Mathematical modelling as a tool for the connection of school mathematics. Zentralblatt für Didaktik der
Mathematik, v.38(3), 2006, p.226-246.
GASCÓN, J. Las Tres Dimensiones Fundamentales de un Problema Didáctico. El Caso del Algebra Elementar, RELIME. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática
Educativa, (2011) 14(2); p.203-211.
GUERRA, R. B.; SILVA, F. H. S. Fórmulas e algoritmos e o ensino de matemática. In:
Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul, 7. São Paulo, 2006.
MESQUITA, Flávio Nazareno Araújo. As dinâmicas praxeológicas e cognitivas e a
construção do conhecimento didático do professor de matemática. Dissertação
(Mestrado em Educação em Ciências e Matemáticas) – Instituto de Educação Matemática e Científica, Universidade Federal do Pará, Belém, 2011.
RAVEL, Laetitia. Des programmes a la classe: etude de la transposition didactique interne:Exemple de l’arithmétique en Terminale S spécialité mathématique. Thèse préparée au sein de l’équipe de Didactique des Mathématiques (DDM), Laboratoire Leibniz-IMAG. 2003.
SILVA, F. H. S.; GUERRA, R. B. Contextualização do ensino da matemática. In: SILVA, F. H. S. Formação de professores: mitos do processo. Belém: UFPA, 2009.
