SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA 5

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 12 de Setembro de 2013

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA 5

2

Modelo de Fila M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞:

Este modelo supõe:

TEORIA DE FILAS

1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6

1 2 3 4 5 6

1

Natureza do processo de chegada. Ex.: M – variáveis aleatórias iid como função de distribuição exponencial.

2

Natureza do processo de serviço. Ex.: M – variáveis aleatórias iid como função de distribuição exponencial.

3

Número de servidores em paralelo.

4

Organização da fila: FCFS – Primeiro a entrar, primeiro a sair (First come, first served), p. ex.

5

Número máximo de clientes no sistema (totalizando clientes na fila e em atendimento).

(2)

Chegada

M Atendimento

M

Função de distribuição de probabilidade Exponencial

012345678910

0 0.05 0. 1 0.15 0. 2 0.25 0. 3 0.35 0. 4 0.45 0. 5

a(t)=λe-λt t

Gráfico de a(t )=λe-λt para λ = 0.5

012345678910

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

a(t)=λ

e-λt

t

Gráfico de a(t)=λe-λt para λ = 0.5

Modelo M/M/1/GD/ ∞ ∞ ∞ ∞ / ∞ ∞ ∞ ∞

∞

∞ ∞

∞

4

TEORIA DE FILAS

0 1 2

λλλλ

0

µµµµ

0

Número de clientes no sistema

3 µµµµ

1

µµµµ

2

λλλλ

1

λλλλ

2

A metodologia de nascimento-morte pode ser empregada para analisar as propriedades de um modelo de fila com intervalo exponencial entre as chegadas (taxa λλλλ) e um único servidor com tempo de atendimento exponencial (taxa µµµµ). Assim:

(3)

5

Definição de L:

Empregando a distribuição de estado estacionário dada e usando ρρρρ = λλλλ/µµµµ é possível obter que a média do número de clientes presentes no modelo de filas é L.

Definição de Lq:

O número esperado de clientes esperando atendimento (ou na fila) é Lq.

Definição de Ls:

O número esperado de clientes em atendimento é Ls.

Definição de W, Wq e Ws:

Define-se W como o tempo esperado gasto pelo cliente no sistema, incluindo o tempo na fila mais o tempo de atendimento. O tempo gasto na fila é Wq e o tempo em serviço é Ws.

6

Chegada

M

Atendimento

M

012345678910

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

a(t)=λ

e-λt

t

012345678910

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

a(t)=λe-λt

t

TEORIA DE FILAS

#médio de clientes na fila: Lq

#médio de

clientes

sist.: L

(4)

Chegada: λλλλ

M

Atendimento: µµµµ

M

012345678910

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

a(t)=λ

e-λt

t

012345678910

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

a(t)=λe-λt

t

ρρρρ = λλλλ / µµµµ

λ µ λ ρ

ρ

= −

) 1 L (

ρ ρ ρ

= −

−

= 1

2

L Lq

8

Chegada

M

Atendimento

M

012345678910

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

a(t)=λ

e-λt

t

012345678910

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

a(t)=λe-λt

t

TEORIA DE FILAS

Tempo médio clientes fila: Wq

Tempo

médio

clientes

sist.: W

(5)

9

Chegada: λλλλ

M

Atendimento: µµµµ

M

012345678910

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

a(t)=λ

e-λt

t

012345678910

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

a(t)=λe-λt

t

Lq = λλλλ Wq

L = λλλλ W ρρρρ = λλλλ / µµµµ

10

Processos de Nascimento-Morte:

Para problemas de filas ππππj pode ser entendido como:

TEORIA DE FILAS

(1)A probabilidade de que existam j clientes no sistema.

Tempo t = 0 i

Tempo t j

P

_ij

(n) = ππππ

j j clientes no sistema

(6)

(2)A fração de tempo na qual j clientes estão no sistema.

Fração ππππ

i

Fração ππππ

j

T sistema

12

TEORIA DE FILAS

0 1 2

λλλλ

0

µµµµ

0

Número de clientes no sistema

3 µµµµ

1

µµµµ

2

λλλλ

1

λλλλ

2

A metodologia de nascimento-morte pode ser empregada para analisar as propriedades de um modelo de fila com intervalo exponencial entre as chegadas (taxa λλλλ) e um único servidor com tempo de atendimento exponencial (taxa µµµµ). Assim:

ππππ

0

= (1 - ρρρρ )

ππππ

j

= ρρρρ

^j

(1 - ρρρρ )

(7)

13

Exemplo 1: Em um drive-in com 1 atendente 10 carros chegam por hora.

Assumindo que o tempo médio de serviço por cliente é de 4 minutos e tanto o tempo entre as chegadas e o tempo de

atendimento são exponenciais:

(B) Qual o número médio de carros na fila esperando atendimento (carro em atendimento não está na fila)?

(C) Qual o tempo médio gasto por um carro no sistema?

(A) Qual a probabilidade do servidor estar vazio?

(D) Na média quanto clientes são atendidos por hora?

14

TEORIA DE FILAS

(A) Qual a probabilidade do servidor estar vazio?

Sabendo que o modelo de filas segue M/M/1/GD/∞/∞, que a taxa de chegadas é de λλλλ = 10 carros por hora e de atendimento é de µµµµ= 15 carros por hora e que ρρρρ = λλλλ/µµµµ = 10/15 = 2/3.

j+1 j

j-1

λλλλ = 10 λλλλ = 10

µµµµ = 15 µµµµ = 15

ππππ

0

= (1 - ρρρρ ) = (1 – 2/3) = 1/3

(8)

(B) Qual o número médio de carros na fila esperando atendimento (carro em atendimento não está na fila)?

) 3 / 4 ) ( 3 / 1 (

) 9 / 4 ( ) 3 / 2 ( 1

) 3 / 2 ( 1

2

= =

= −

−

= ρ

ρ ρ L Lq

(C) Qual o tempo médio gasto por um carro no sistema?

L = λλλλ W → → → → W = L/ λλλλ

) 2 3 / 2 1 (

3 / 2 )

1 ( =

= −

= − ρ

L ρ W = 2/10 = 1/5 hora

= 12 minutos

16

(D) Na média quanto clientes são atendidos por hora?

TEORIA DE FILAS

Se o servidor estivesse sempre ocupado, então, µµµµ = 15 clientes seriam atendidos em 1 hora. Mas, do item (a) sabe-se que o servidor está ocupado 2/3 do tempo. Assim, em qualquer, hora em média (2/3)*15 = 10 clientes são atendidos. E este deve ser justamente o caso dado que por hora chegam 10 clientes.

(9)

17

Exercício 1: Em um posto de gasolina todos os clientes completam o tanque

quando está exatamente na Metade. Atualmente em média chegam 7,5 clientes por hora em um posto com 1 bomba. Leva em média 4 minutos para se servir o carro. Assumindo que o

intervalo entre as chegadas e o tempo de serviço são exponenciais:

(B) Suponha que a notícia de um aumento da gasolina levou a uma corrida aos postos. Agora todos os clientes enchem o tanque mesmo que tenham ¾ de tanque. Assim, o número de chegadas dobra, mas em médio o tempo de atendimento cai para 3(1/3) = 10/3 minutos. Como L e W serão afetados?

(A) Calcular ππππ0, L e W para a situação atual.

18

Exercício 1: Em um posto de gasolina todos os clientes completam o tanque

quando está exatamente na Metade. Atualmente em média chegam 7,5 clientes por hora em um posto com 1 bomba. Leva em média 4 minutos para se servir o carro. Assumindo que o

intervalo entre as chegadas e o tempo de serviço são exponenciais:

TEORIA DE FILAS

ππππ

0

= (1 - ρρρρ )

) 1

( ρ

ρ

= −

L _{L =} _λλλλ _W _→ _→ _→ _→ _{W = L/} _λλλλ

(10)

Sabendo que o modelo de filas segue M/M/1/GD/∞/∞, que a taxa de chegadas é de λλλλ = 7,5 carros por hora e de atendimento é de µµµµ= 15 carros por hora e que ρρρρ = λλλλ/µµµµ = 7,5/15 = 1/2.

j+1 j

j-1

λλλλ = 7,5 λλλλ = 7,5

µµµµ = 15 µµµµ = 15

ππππ

0

= (1 - ρρρρ )

= (1 – 1/2) = 1/2

(A) Calcular ππππ0, L e W para a situação atual.

) 1 2 / 1 1 (

2 / 1 ) 1

( =

= −

= − ρ L ρ

L = λλλλ W → → → → W = L/ λλλλ W = 1/7,5 = 0,13 h

= 7,8 minutos

20

TEORIA DE FILAS

Sabendo que o modelo de filas segue M/M/1/GD/∞/∞, que a taxa de chegadas é de λλλλ = 15 carros por hora e de atendimento é de µµµµ= 60/(10/3)) = 18 carros por hora e que ρρρρ = λλλλ/µµµµ = 15/18 = 5/6, então:

j+1 j

j-1

λλλλ = 7,5 λλλλ = 7,5

µµµµ = 15 µµµµ = 15

ππππ

0

= (1 - ρρρρ )

= (1 – 5/6) = 1/6

(B) Calcular ππππ0, L e W para a situação de aumento.

) 5 6 / 5 1 (

6 / 5 )

1 ( =

= −

= − ρ L ρ

L = λλλλ W → → → → W = L/ λλλλ W = 5/15 = 1/3 h

= 20 minutos

(11)

21

Exemplo 2: Em uma loja de ferramentas cerca de 10 clientes chegam por hora. Um atendente ganha R$ 6,00 por hora e realiza um atendimento, em média, a cada 5 minutos. Dado

que o gasto médio de cada cliente é de R$10, então, cada hora de espera de um cliente custa R$10.

A loja deve decidir se vale a pena contratar um ajudante que irá reduzir o tempo de atendimento para apenas 4 minutos e custará

R$ 4 por hora. Supor que o tempo entre as

chegadas e o serviço são exponenciais. Problemas deste tipo são denominados de PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO PARA FILAS.

22

TEORIA DE FILAS

O objetivo da loja é minimizar a soma do custo do serviço por hora e o custo esperado devido ao tempo ocioso do atendente:

Custo médio hora

Custo serviço

=

hora Custo espera

+

hora

Custo espera hora

Custo espera cliente

= ××××

clientes esperados

hora

Custo espera

cliente

= ××××

Tempo médio(horas)

cliente no sistema 10

cliente-hora

W é o tempo esperado gasto pelo cliente no sistema

(12)

=

10W

Custo espera hora

= ××××

clientes esperados

hora

λλλλ é taxa média de chegada de clientes no sistema.

Custo espera

hora

=

^10Wλλλλ

24

Agora os custos esperados por hora se o ajudante for ou não contratado podem ser comparados. Lembrando que λλλλ = 10.

TEORIA DE FILAS

Caso 1 – Ajudante não é contratado: µµµµ = 12.

λ µ

λ

= − λ L

W = L +

λ µ −

= 1

W 12 10

1 = − W

Custo espera

hora

=

^10Wλλλλ

=

^(10*10)/2

=

⁵⁰

Custo serviço

hora

=

⁶ Custo médio

hora

=

⁵⁶

(13)

25

Agora os custos esperados por hora se o ajudante for ou não contratado podem ser comparados. Lembrando que λλλλ = 10.

Caso 2 – Ajudante é contratado: µµµµ = 15.

λ µ

λ

= − λ L

W = L +

λ µ −

= 1

W 15 10

1 = − W

Custo espera

hora

=

^10Wλλλλ

=

^(10*10)/5

=

²⁰

Custo serviço

hora

=

¹⁰ Custo médio

hora

=

³⁰

26

Exercício 2: E se a contratação de mais um ajudante ao custo de R$ 4 reduzir o tempo de atendimento em 3 minutos. Este cenário é mais

lucrativo do que o anterior? E se dois atendentes forem contratados tal que o tempo de atendimento também passa a ser de 3,5 minutos?

TEORIA DE FILAS

Custo serviço µµµµ 6 + 4 = 10

6 + 4 + 4 = 14 6 + 6 = 12

15 20 17,14

(14)

Exercício 2: E se a contratação de mais um ajudante ao custo de R$ 4 reduzir o tempo de atendimento em 3 minutos. Este cenário é mais

lucrativo do que o anterior? E se dois atendentes forem contratados tal que o tempo de atendimento também passa a ser de 3,5 minutos?

Custo serviço µµµµ 6 + 4 = 10

6 + 4 + 4 = 14 6 + 6 = 12

15 20 17,14

λ µ −

= 1 W

Custo espera

hora

=

^10Wλλλλ

28

Comparar os custos, lembrando que λλλλ = 10.

TEORIA DE FILAS

Caso 1 – 1 atendente + 2 ajudantes contratados: µµµµ= 20.

λ µ

λ

= − λ L

W = L +

λ µ −

= 1

W 20 10

1 = − W

Custo espera

hora

=

^10Wλλλλ

=

^(10*10)/10

=

¹⁰

Custo serviço

hora

=

¹⁴ Custo esperado

hora

=

²⁴

(15)

29

Comparar os custos de Lembrando que λλλλ = 10.

Caso 2 – 2 atendentes: µµµµ= 17,14.

λ µ

λ

= − λ L

W = L +

λ µ −

= 1

W 17 , 14 10

1 = − W

Custo espera

hora

=

^10Wλλλλ

=

(10*10)/7,14

=

¹⁴

Custo serviço

hora

=

¹² Custo esperado

hora

=

²⁶

30

Exercício 2: E se a contratação de mais um ajudante ao custo de R$ 4 reduzir o tempo de atendimento em 3 minutos. Este cenário é mais

lucrativo do que o anterior? E se dois atendentes forem contratados tal que o tempo de atendimento também passa a ser de 3,5 minutos?

TEORIA DE FILAS

Custo serviço 10 14 12

20 10 Custo Fila

14

Custo Total 30 24 26

(16)

Modelo de Fila M/M/1/GD/c/∞∞∞∞:

Este modelo supõe:

1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6

1 2 3 4 5 6

1

Natureza do processo de chegada. Ex.: M – variáveis aleatórias iid como função de distribuição exponencial.

2

Natureza do processo de serviço. Ex.: M – variáveis aleatórias iid como função de distribuição exponencial.

3

Número de servidores em paralelo.

4

Organização da fila: FCFS – Primeiro a entrar, primeiro a sair (First come, first served), p. ex.

5

Número máximo de clientes no sistema (totalizando clientes na fila e em atendimento) é no máximo c.

6

Tamanho da população de clientes.

32

Modelo de Fila M/M/1/GD/c/∞∞∞∞:

Este modelo supõe:

2 1

0 λλλλ

µµµµ λλλλ

µµµµ

c c-1

λλλλ

µµµµ λλλλ

µµµµ

•••

λλλλ

j

= λλλλ (j=0,1,...,c-1)

λλλλ

c

= 0

µµµµ

0

= 0

µµµµ

j

= µµµµ (j=1,2,...,c)

Com λλλλc = 0 o sistema nunca atinge o estado c+1

ππππ

0

= (1- ρρρρ )/(1- ρρρρ

^c+1

)

ππππ

j

= ρρρρ

^j

ππππ

0

(j=1,...,c)

ππππ

j

= 0(j=c+1,c+2,...)

(17)

33

) 1 )(

1 (

] )

1 ( 1 [

1

ρ ρ

ρ ρ ρ

−

+ +

= − c

_c₊ ^c

c

^c⁺

L ^{Ls = 1 -} ππππ

0

Lq = L - Ls

Para se determinar W e Wq deve-se observar que o modelo possui uma capacidade finita e que existe uma chegada

de λλλλ por unidade de tempo tal que λπλπλπλπ_c chegadas encontram o sistema cheio e vão embora. Assim, em média λλλλ-λπλπλπλπ_c = λλλλ(1 - ππππc) chegadas entram no sistema:

) 1

(

_c

W L

π

λ −

= ( 1

_c

)

Wq Lq

π λ −

=

e

Para um sistema M/M/1/GD/c/∞∞∞∞ o estado estacionário irá existir mesmo que λλλλ ≥≥≥≥ µµµµ, pois o limite c do sistema irá impedir que o número de pessoas aumente sem limites.

34

Exemplo 3: Um salão de beleza possui 10 lugares.

O tempo entre as chegadas é exponencial e em média 20

clientes tentam entrar no sistema por hora. Os clientes que

encontram o salão cheio não entram. O cabelereiro leva 12 minutos, em média, para cortar o cabelo de cada pessoa

(distribuição exponencial).

TEORIA DE FILAS

(A) Na média, quantos cortes de cabelo são completados por hora pelo cabelereiro.

(B)Na média, quanto tempo será gasto no salão por um cliente

(18)

Uma fração de ππππ10 da chegada de clientes irá encontrar o salão cheio por hora e não entram. Então, uma média de λλλλ(1-ππππ10) clientes entra por hora. Sejam c = 10, λλλλ = 20 clientes por hora, e µµµµ= 5 clientes por hora. Então: ρρρρ = 20/5 = 4 e:

ππππ

0

= (1- ρρρρ )/(1- ρρρρ

^c+1

) = (1-4)/(1-4

¹¹

)

ππππ

j

= ρρρρ

^j

ππππ

0

→ → ππππ → →

10

= 4

¹⁰

(1-4)/(1-4

¹¹

) = 0,75

Assim, uma média de 20(1 – 3/4) = 5 clientes por hora irão conseguir cortar o cabelo. Isto significa que uma média de 20 – 5 = 15 clientes por hora não irão entrar no salão.

(A) Na média, quantos cortes de cabelo são completados por hora pelo cabelereiro.

36

TEORIA DE FILAS

(B)Na média, quanto tempo será gasto no salão por um cliente que consegue entrar?

clientes

67 , ) 9

4 1 )(

4 1 (

)]

4 ( 10 ) 4 ( 11 1 [ 4 )

1 )(

1 (

] )

1 ( 1 [

11

11 10

1

=

−

− +

= −

−

+ +

= −

₊ ⁺

ρ ρ

ρ ρ ρ

c

L c

horas

93 , ) 1 4 / 3 1 ( 20

67 , 9 )

1 ( =

= −

c

W L

π

λ

(19)

37

Exercício 3: Um serviço atende, em média, 2 clientes por hora (o serviço é

exponencial). Uma média de 3 clientes por hora chegam ao atendimento (o tempo entre as chegadas é exponencial). A capacidade do sistema é de 3 clientes.

(B) Qual a probabilidade de que o servidor esteja ocupado?

(A) Na média, quantos clientes potenciais entram no sistema?

ππππ

0

= (1- ρρρρ )/(1- ρρρρ

^c+1

) ππππ

j

= ρρρρ

^j

ππππ

0

(j=1,...,c)

38

TEORIA DE FILAS

Uma fração de ππππ₃ da chegada de clientes irá encontrar o servidor cheio por hora e não entram no sistema. Então, uma média de λλλλ(1-ππππ₃) clientes entra por hora. Sejam c = 3, λλλλ = 3 clientes por hora, e µµµµ = 2 clientes por hora.

Então: ρρρρ = 3/2 = 1,5 e:

ππππ

0

= (1- ρρρρ )/(1- ρρρρ

^c+1

) = (1-1,5)/(1-(1,5)

⁴

)

ππππ

j

= ρρρρ

^j

ππππ

0

→ → ππππ → →

3

= (1,5)

³

(1-1,5)/(1-(1,5)

⁴

) = 0,4154

Assim, uma média de 3(1 – 0,4154) = 1,75 clientes por hora irão conseguir o serviço. Isto significa que uma média de 3 – 1,75 = 1,25 clientes por hora não irão conseguir o serviço.

(A) Na média, quantos clientes potenciais entram no sistema?

(20)

Para calcular essa probabilidade é necessário calcular:

ππππ₁ + ππππ₂+ ππππ₃. Sejam c = 3, λλλλ = 3 clientes por hora, e µµµµ= 2 clientes por hora. Então: ρρρρ = 3/2 = 1,5 e:

ππππ

0

= (1- ρρρρ )/(1- ρρρρ

^c+1

) = (1-1,5)/(1-(1,5)

⁴

)=0,1231

Assim, a probabilidade de que o servidor esteja ocupado é de 87,69%.

(B) Qual a probabilidade de que o servidor esteja ocupado?

1- ππππ

0

= 0,8769

40

Exercício 4: Em um drive-in uma média de 40 carros chegam por hora (intervalo entre as chegadas é exponencial). Quando

mais de 4 carros estão na fila (incluindo o carro em

atendimento), um carro não entra na fila. O tempo de serviço é de 4 minutos (distrib. exp.).

TEORIA DE FILAS

(B) Qual a média do número de carros esperando atendimento no drive-in (não incluindo o carro em atendimento)?

(A) Na média, quantos carros são servidos por hora?

(C) Se uma pessoa acabou de chegar na janela do drive-in, quanto tempo ela deverá esperar para receber o pedido?

(21)

41

Uma fração de ππππ₄ da chegada de clientes irá encontrar o drive- in cheio por hora e não entram. Então, uma média de λλλλ(1-ππππ₄) clientes entra por hora. Sejam c = 4, λλλλ = 40 clientes por hora, e µµµµ= 15 clientes por hora.

Então: ρρρρ = 40/15 = 8/3 e:

ππππ

j

= ρρρρ

^j

ππππ

0

→ → ππππ → →

4

= (8/3)

⁴

*0,0125 = 0,6297

Assim, uma média de 40(1 – ππππ4) = 14,81 clientes por hora irão ser servidos. Isto significa que uma média de 40 – 14,81

= 25,19 clientes por hora não irão entrar no sistema.

(A) Na média, quantos carros são servidos por hora?

ππππ

0

= (1- ρρρρ )/(1- ρρρρ

^c+1

) = (1-8/3)/(1-(8/3)

⁵

) = 0,0125

42

Ls = 1 - ππππ

0

= 1 – 0,0125

Lq = L – Ls = 3,4374 – 1 + 0,0125 = 2,4499

TEORIA DE FILAS

(B) Qual a média do número de carros esperando atendimento no drive-in (não incluindo o carro em atendimento)?

Sejam c = 4, λλλλ = 40 clientes por hora, e µµµµ= 15 clientes por hora. Então: ρρρρ = 40/15 = 8/3 = 2,67 e:

carros

4374 , ) 3

6 , 2 1 )(

6 , 2 1 (

)]

6 , 2 ( 4 ) 6 , 2 ( 5 1 [ 6 , 2 )

1 )(

1 (

] )

1 ( 1 [

5

5 4

1

=

−

+

= −

−

+ +

= −

₊ ⁺

ρ ρ

ρ ρ ρ

c

L c

ππππ

0

= (1- ρρρρ )/(1- ρρρρ

^c+1

) = (1-8/3)/(1-(8/3)

⁵

) = 0,0125

(22)

(C) Se uma pessoa acabou de chegar na janela do drive-in, quanto tempo ela deverá esperar para receber o pedido?

horas

1655 , ) 0 6297 , 0 1 ( 40

4499 , 2 )

1 ( =

= −

c

Wq Lq

π λ

Lq = L – Ls = 3,4374 – 1 + 0,0125 = 2,4499

ππππ

j

= ρρρρ

^j

ππππ

0

→ → → → ππππ

4

= (8/3)

⁴

*0,0125 = 0,6297

Assim, o cliente deverá esperar 0,1655 horas ou 9 minutos e 55 minutos para ter seu atendimento completado.

44

OBRIGADO !!!

FIM !!!