Probabilidade & Estatística
Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade (Capítulo 3)
por Rodrigo Frehse Pereira Email: pereira@utfpr.edu.br
1 Variável Aleatória
Denição 1. Uma variável aleatória é uma função que associa um número real a cada elemento do espaço amostral.
S =fxigin=1; y:S !R; yi= y(xi):
Exemplo 2. Lançar uma moeda: 1HT S = fH ; Tg
x y1 y2 y3 y4 H
T
0 1
3 2
e
+
¡
Denição 3. Se a variável aleatória tem como contra-domínio f0;1g, é denomi- nada variável aleatória de Bernoulli.
Exemplo 4. Vericar se três objetos retidados em sequência de uma linha de produção são defeituosos ou não:
d 8>
>>
<
>>
>: d
d d; d; d ! 0 n d; d; n ! 1 n
d d; n; d ! 2 n d; n; n ! 3
n 8>
>>
<
>>
>: d
d n; d; d ! 4 n n; d; n ! 5 n
d n; n; d ! 6 n n; n; n ! 7
y(x) =x3+ 2x2+ 4x1
em quexi =
0 sed 1 sen
Exemplo 5. Espaço amostral innito (mas contável). Considere o experimento de se lançar um dado 1d6 até que a face 5 seja observada:
S =f5; x5; xx5; xxx5; xxxx5; :::g x= qualquer face exceto 5
Uma possível variável aleatória: y= número de x's 5 !! 0 x5 ! 1
xx5 ! 2
xxx5 ! 3
Exemplo 6. Espaço amostral innito (não contável). Considere o experimento de se medir a densidade de um objeto de massa não-nula encontrado utuando em uma piscina de água pura (densidade unitária). Então
S =fx2R;0< x <1g; y(x) =x:
Neste caso, o espaço amostral é idêntico ao contra-domínio da variável ale- atória
Observe que, y(x) =x2 ou ainda y(x) =sen(x) também são variáveis aleató- rias
Denição 7. Se o espaço amostral contém um número nito de pontos amostrais ou um número innito mas contável, então é denominado espaço amostral discreto.
Denição 8. Se o espaço amostral contém um número innito de pontos amostrais igual ao número de pontos em um segmento de linha, isto é, innito e não-contável, então é denominado espaço amostral contínuo.
Notação 9. A imagem de S com relação à y é denotada por y(S). Isto é,
S = fx1; x2; :::; xn; :::g ) y(S) =fy1; y2; :::; yn; :::g com yi = y(xi):
Denição 10. Se o domínio de y é nito ou innito mas contável, então y é denominada uma variável aleatória discreta.
Denição 11. Se o domínio de y é innito mas não-contável, então y é denomi- nada uma variável aleatória contínua.
Variáveis aleatórias de Bernoulli são discretas;
Variáveis aleatórias representando, por exemplo:
idades, são discretas;
densidades são contínuas;
2 Distribuições de Probabilidade Discretas
Denição 12. O conjunto de pares ordenados (x; f(x)) é uma função de proba- bilidade, ou uma função de massa de probabilidade ou ainda uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X se, para cada x 2X(S),
i. f(x)>0 ii. X
x2X(S)
f(x) = 1
iii. P(X =x) = f(x)
Isto é, a distribuição de probabilidade f é uma função que fornece a proba- bilidade dos pontos amostrais s2S tais que X(s) =x.
Exemplo 13. Determine a distribuição de probabilidade para o experimento 2HT com moedas idênticas.
Espaço amostral (discreto):
S = fHH ; HT ; TT g
com P(HH) =P(TT) = 1/4 e P(HT) = 1/2.
Variável aleatória (discreta):
x=X(s);
s x=X(s)
HH 0
HT 1
TT 2
Distribuição de probabilidade:
f:f0;1; 2g ! [0;1]
x f(x) 0 1/4 1 1/2 2 1/4
Denição 14. A distribuição de probabilidade acumulada F de uma variável ale- atória discreta com distribuição de probabilidade f é
F(x) =P(X 6x) =X
t6x
f(x):
Exemplo 15. Do exemplo anterior:
F(x) = 8>
>>
>>
<
>>
>>
>:
0 se x <0 1
4 se 06x <1 3
4 se 16x <2 1 se 26x
Distribuições de probabilidade e distribuições de probabilidade acumulada são tipicamente representados por histogramas
1 3/4
f(x) 1/2
1/4
0
¡2 ¡1 0 1 2 3 4 x
,
1
3/4
F(x) 1/2
1/4
0
¡2 ¡1 0 1 2 3 4 x
Exemplo 16. Suponha que uma loja vende carros de dois modelos (A e B) com 50% de probabilidade cada um. Determine a distribuição de probabilidade de X, se X é o número de carros modelo A vendidos.
Espaço amostral: S =fA; Bg fA; Bg fA; Bg fA; Bg tal que #S =16 Quantas maneiras de se vender nA carros em n vendas?
n nA
= n!
nA!(n¡ nA)!
Distribuição de probabilidade (n= 4):
f(x) =P(X =x) ) f(nA) =P(X = nA) = 1 16
4!
nA!(4¡nA)!
Logo:
f(nA) = 3 2
1
nA!(4¡nA)!
tal que
nA f(nA) 0
1 2 3 4 X #
f(n)
0;0625 0;2500 0;3750 0;2500 0;0625
# 1
3 Distribuições de Probabilidade Contínuas
Uma variável aleatória contínua tem probabilidade nula de assumir exata- mente um valor arbitrário (medida nula):
P(X =a) = 0 8a2S
Variáveis aleatórias contínuas ) intervalos
P(a < X < b) =P(a6 X < b) =P(a < X 6 b) =P(a6 X 6b)
Denição 17. A função f(x) é uma densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável aleatória contínua X se
i. f(x)>0 para todo x2R ii.
Z
¡1 1
f(x)dx= 1
iii. P(a < X < b) = Z
a b
f(x)dx
Uma função que satisfaz (i) e (ii) é denominada função densidade.
Exemplo 18. Considere
f(x) = 8<
: x2
3 se ¡1< x < 2 0 caso contrário : (a) Mostre que f é uma função densidade.
(b) Assuma que f é a f.d.p. de X. Determine P(0< X <1).
(a) Obviamente, f(x)>0 (condição (i)). Note que Z
¡1 1
f(x)dx= Z
¡1
¡1
f(x)dx+ Z
¡1 2
f(x)dx+ Z
2 1
f(x)dx = 0 +
x3 9
¡1 2
+ 0 = 1
Logo, f é uma função densidade.
(b) Se f é uma f.d.p. da variável aleatória contínua X,
P(0< X <1) = Z
0 1
f(x)dx=
x3 9
0 1
= 1 9:
Denição 19. A distribuição de probabilidade acumulada F(x) de uma variável aleatória contínua X com f.d.p. f(x) é
F(x) =P(X 6x) = Z
¡1 x
f(s)ds; 8x2R:
Pela denição:
P(a < X < b) =F(b)¡ F(a); f(x) = dF(x) dx se F é diferenciável em x.
Exemplo 20. Do exemplo anterior, determine a distribuição de probabilidade acumulada F(x).
F(x) = Z
¡1 x
f(x)dx = 8>
><
>>
:
0 se x <¡1 x3+ 1
9 se ¡1< x <2 1 se x >2 Note que
F(0) = 1
9; F(1) = 2
9 ) P(0< X <1) =F(1)¡ F(0) = 1 9
4 Distribuições de Probabilidade Conjuntas
Quando o evento é caracterizado por duas ou mais variáveis aleatórias
Denição 21. A função f(x; y) é uma distribuição de probabilidade conjunta para as variáveis aleatórias discretas X e Y se
i. f(x; y)>0 para todo x e y ii. X
x
X
y
f(x; y) = 1
iii. P(X =x; Y = y) = f(x; y) Notação
X
x
f(x) X
i=1 n=#Sx
f(xi) = f(x1) + f(x2) + + f(xn)
Observação: da denição de probabilidade de um evento A P[(X ; Y )2A] = X
(x;y)
f(x; y)
Soma sobre todos os pontos amostrais X =x; Y = y contidos em A
Exemplo 22. Considere que 2 bolas são retiradas (sem reposição) de uma caixa que contém 3 bolas azuis, 2 vermelhas e 3 verdes. Seja X o número de bolas azuis e Y o número de bolas vermelhas.
(a) Determine a distribuição de probabilidade conjunta f(x; y).
(b) Seja A o evento A=f(x; y)jx+ y 61g. Determine P[(X ; Y )2A].
A: Ou uma bola azul ou vermelha foi retirada, ou nenhuma.
Como f é discreta, podemos listar seus valores:
(x; y)2 f(0;0); (1;0); (2;0); (0;1); (0;2); (1;1)g
Número total de possibilidades: (3+2+3=8 bolas, tomadas duas à duas) 8
2
= 8!
6!2! =28 Para cada um dos casos:
(0; 0) , só verdes )
3 2
= 2!1!3! = 3
)P[(X ; Y ) = (0;0)] = 283 (1; 0) , uma azul e uma verde )
3 1
3 1
= 1!2!3! 1!2!3! = 9
)P[(X ; Y ) = (1;0)] = 289 (2; 0) , duas azuis )
3 2
= 3
)P[(X ; Y ) = (2;0)] = 283 (0; 1) , uma vermelha e uma verde )
2 1
3 1
= 1!1!2! 1!2!3! = 6
)P[(X ; Y ) = (0;1)] = 286 (0; 2) , duas vermelhas )
2 2
= 2!0!2! = 1
)P[(X ; Y ) = (0;2)] = 281
(1; 1) , uma azul e uma vermelha ) 3
1
2 1
= 1!2!3! 1!1!2! = 6
)P[(X ; Y ) = (1;1)] = 286 Assim:
(x; y) f(x; y) (0; 0) 3/28 (1; 0) 9/28 (2; 0) 3/28 (0; 1) 6/28 (0; 2) 1/28 (1; 1) 6/28 X +
x;y
f(x; y) 1 (b) Como, nesse caso,
A=f(0;0);(1;0);(0;1)g; temos
P[(X ; Y )2A] = f(0; 0) + f(1;0) + f(0;1) = 3 + 9 + 6
28 = 18
28 = 9 14
Denição 23. A função f(x; y) é uma densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias contínuas X e Y se
i. f(x; y)>0 para todo (x; y) ii. Z
¡1 1 Z
¡1 1
f(x; y)dxdy = 1
iii. P[(X ; Y )2A] = Z Z
A
f(x; y)dxdy para qualquer A R2.
Exemplo 24. Suponha um processo probabilístico descrito por f(x; y) =
8<
: 2
5(2x+ 3y) se (x; y)2[0;1]2 0 caso contrário : (a) Verique que f é uma função densidade.
(b) Determine P[(X ; Y )2A] se A=n
(x; y)
0< x < 12; 14 < y < 12o :
Resolução:
Primeiramente, observe que se x >0 e y > 0, então 2x+ 3y >0. Logo, f(x; y)>0.
Para que f seja uma função densidade, é necessário também que Z
¡1 1 Z
¡1 1
f(x; y)dxdy = 1:
Integrando, temos:
Z
0
1 Z
0 1 2
5(2x + 3y)dx
dy = Z
0 1
2 5
2x2
2 + 3yx
0 1
dy
= 2 5
Z
0 1
(1 + 3y)dy
= 2 5
y + 3y2 2
0 1
= 2 5
1 + 3 2
= 2 5
5
2 = 1:
Logo f é uma função densidade.
Pela denição, temos que
P[(X ; Y )2A] =
Z Z
A
f(x; y)dxdy
= Z
1 4
1
2 (Z
0
1
2 2(2x + 3y)
5 dx
) dy
= 2 5
Z
1 1
2 [x2+ 3yx]0
1 2dy
= 2 5
Z
1 4
1
2
1
4 + 3 2y
dy
= 2 5
y
4 + 3 4y2
1 4 1
2 = 2 5
1
8 + 3
16 ¡ 1
16 ¡ 3 64
= 2 5
8 + 8¡3
64 = 13 160
Denição 25. A distribuição marginal de X apenas e Y apenas é, respectivamente, dada por
g(x) =X
y
f(x; y) h(y) =X
x
f(x; y)
se X e Y são variáveis aleatórias discretas; e por g(x) =
Z
¡1 1
f(x; y)dy h(y) = Z
¡1 1
f(x; y)dx;
se X e Y são variáveis aleatórias contínuas.
Exemplo 26. Revisitar os dois exemplos anteriores:
Caso discreto:
g(0) = 5
14, g(1) = 15
28 g(2) = 3
28
e
h(0) = 15
28 h(1) = 3
7 h(2) = 1
28 Caso contínuo:
g(x) = 4x+ 3
5 ; para0< x < 1 h(y) = 2 + 6y
5 ; para 0< y <1
As distribuições marginais são f.d.p:
P(a < X < b) = P(a < X < b;¡1< Y <1)
= Z
a b Z
¡1 1
f(x; y)dydx
= Z
a b
g(x)dx
Denição 27. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias (discretas ou contínuas). A distribuição condicional da variável Y = y dado que X =x é
f(yjx) = f(x; y)
g(x) ; g(x)>0
e a distribuição condicional da variável X =x dado que Y = y é f(xjy) = f(x; y)
h(y) ; h(y)> 0:
Assim, se X é discreta:
P(a < X < bjY = y) = X
a<x<b
f(xjy)
se X é contínua:
P(a < X < bjY = y) = Z
a b
f(xjy)dx
Denição 28. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias (discretas ou contínuas), com distribuição de probabilidade conjunta f(x; y) e distribuições marginais g(x) e h(y), respectivamente. As variáveis aleatórias X e Y são ditas estatisticamente independentes se, e somente se,
f(x; y) = g(x)h(y) para todo (x; y) em seus domínios.
