Noções de Conjuntos

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Professora Bruna Rodrigues Disciplina: Matemática

Noções de Conjuntos

Conjunto: É um conceito primitivo associado à ideia de coleção.

. Notação:

 Os conjuntos serão, em geral, indicados por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C,...

 Os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, d,...

Representação: Um conjunto pode ser representado por:

1) Enumeração: N = {a, e, i, o, u}.

2) Propriedade característica: N = {x | x é uma vogal}.

3) Diagrama de Venn-Euler

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Relações de pertinência: É a relação que existe entre um elemento e seu conjunto.

Exemplos: Para o conjunto V = {a, e, i, o, u}, pode se escrever:

a  V lê-se a pertence a V b  V lê-se b não pertence a V

Relações de inclusão: É a relação que só existe entre conjuntos.

Exemplos: Para os conjuntos: A = {a, b, c, d}; B = {a, b}; C = {e}, temos:

 B  A lê-se B está contido em A  (B é subconjunto de A)

 A  B lê-se A contém B

 C  B lê-se C não está contido em B

Igualdade de conjuntos: Dois conjuntos são iguais se, e somente se possuem os mesmos elementos.

A = B  ( x) (x A  x  B)

Conjunto Universo (U): é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos que podem ser utilizados num determinado estudo.

1 Matemático inglês John Venn (1834 – 1923).

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2 Conjuntos das partes

Seja o conjunto A = {1, 2}. Os subconjuntos de A, são: {1}; {2}; {1, 2}; .

O conjunto das partes de A que se indica por P(A) é o conjunto cujos elementos são subconjuntos de A, i é:

P(A) = {{1}; {2}; {1, 2}; }  P(A) = {x  A/ x  A}.

Operações com Conjuntos

União: Denomina-se união de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou a B.

A  B = {x | x  A ou x  B}

Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades:

 A  A = A

 A   = A

 A  B = B  A

 (A  B)  C = A  (B  C)

 A  B  A B = B No diagrama de Venn:

Exemplo:

Sejam os conjuntos: A = {2, 3, 5, 7, 8} B = {0, 1, 3, 5} e C= {9}, então:

a) A  B = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8}

b) B  C = {0, 1, 3, 5, 9}

Intersecção: Denomina-se intersecção de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e a B.

A  B = {x | x  A e x  B}

Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades:

 A  A = A

 A   = 

 A  B = B  A

 (A  B)  C = A  ( B  C )

 A  B  A  B = A

Exemplo:

Sejam os conjuntos: A = {2, 3, 5, 7, 8} B = {0, 1, 3, 5} e C= {9}, então:

a) A  B = { 3, 5 } b) A  C = 

Obs.: Dois conjuntos são disjuntos se a interseção entre eles é vazia, isto é. A  C = 

3 No diagrama de Venn:

Diferença: Dados dois conjuntos A e B, a diferença A-B é o conjunto formado pelos elementos que fazem parte de A, mas que não fazem parte de B.

A – B = {x | x  A e x  B}

Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades:

 A – A = 

 A –  = A

  – A = 

 B  A  B – A = 

Exemplo:

Sejam os conjuntos: A = {2, 3, 5, 7, 8} B = {0, 1, 3, 5} e C= {9}, então:

a) A – B = { 2, 7, 8 } b) B – A = { 0 ,1}

No diagrama de Venn:

Complementar: Quando dois conjuntos A e B são tais que B  A, Damos à diferença A-B o nome de complementar de B em A.

B  A  C

B = A – B lê-se complementar de B em A

No diagrama de Venn:

4 Exemplo:

Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4}

Como B  A  C

B = A – B = {1, 2}

Obs.: Dado um conjunto P contido no universo U, chama-se complementar de P, simplesmente o U – P cuja representação simbólica pode ser feita por P’ ou P .

Ou seja: P = C

P = {x / x  U e x  P}

Exercícios:

1) Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) A  B b) C  A c) B  D d) D  B f) A  D

g) B  C

2) Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e)10

3) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, o conjunto (A - C) U (C - B) U (A ∩ B ∩ C) é:

a) {a, b, c, e}

b) {a, c, e}

c) A d) {b, d, e}

e) {b, c, d, e}

4) Dados os conjuntos A = {1, 2, -1, 0, 4, 3, 5} e B = {-1, 4, 2, 0, 5, 7} assinale a afirmação verdadeira:

a) A U B = {2, 4, 0, -1}

b) A ∩ (B - A) = Ø

c) A ∩ B = {-1, 4, 2, 0, 5, 7, 3}

d) (A U B) ∩ A = {-1, 0}

e) Nenhuma das respostas anteriores

5) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:

a) 29

b) 24

c) 11

d) 8

e) 5

5

6) Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos:

a) 80%

b) 14%

c) 40%

d) 60%

e) 48%

7) Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma das sobremesas?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

8) Dos 30 candidatos a vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. Quantos candidatos masculinos não fumam?

9) A e B são dois conjuntos tais que A - B tem 30 elementos, A ∩ B tem 10 elementos e AUB tem 48 elementos. Então o número de elementos de B – A é:

a) 8 b) 10 c) 12 d) 18

10) Estamos acompanhando a vacinação de 200 crianças em uma creche. Analisando as carteiras de vacinação, verificamos que 132 receberam a vacina Sabin, 100 receberam a vacina contra sarampo e 46 receberam as duas vacinas. Vamos orientar os pais das crianças, enviando uma carta para cada um, relatando a vacina faltante.

a) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam a vacina Sabin?

b) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam a vacina contra sarampo?

c) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam as duas vacinas?